2023初三中考數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)型題復(fù)習(xí)

蘇州學(xué)年初三中考數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)型題復(fù)習(xí)

知識(shí)點(diǎn)名師點(diǎn)晴

利用等腰三角形或直角三角形

等腰三角形與直角三角形

動(dòng)點(diǎn)問題中的特殊性質(zhì)求解動(dòng)點(diǎn)問題

的特殊圖形

口利用相似三角形的對應(yīng)邊成比

相似問題

例、對應(yīng)角相等求解動(dòng)點(diǎn)問題

動(dòng)點(diǎn)問題的最值與定值問

理解最值或定值問題的求法

題

動(dòng)點(diǎn)問題中

的計(jì)算問題

結(jié)合面積的計(jì)算方法來解決動(dòng)

動(dòng)點(diǎn)問題的面積問題

點(diǎn)問題

動(dòng)點(diǎn)問題的

一次函數(shù)或二次函數(shù)的.圖

函數(shù)圖象問結(jié)合函數(shù)的圖象解決動(dòng)點(diǎn)問題

象

題

歸納1:動(dòng)點(diǎn)中的特殊圖形

基礎(chǔ)知識(shí)歸納：等腰三角形的兩腰相等，直角三角形的兩直角邊的平方和等于

斜邊的平方，平行四邊形的對邊平行且相等，矩形的對角線相等，菱形的對角

線互相垂直

基本方法歸納：動(dòng)點(diǎn)問題常與等腰三角形、直角三角形、平行四邊形、矩形、

菱形等特殊圖形相結(jié)合，解決此類問題要靈活運(yùn)用這些圖形的特殊性質(zhì)

注意問題歸納：注意區(qū)分等腰三角形、直角三角形、平行四邊形、矩形、菱形

的性質(zhì).

【例1】已知：如圖，在RtZ\ABC中，ZC=90°,AB=5cm,AC=3cm,動(dòng)點(diǎn)P從

點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以lcm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.

(1)求BC邊的長；

(2)當(dāng)4ABP為直角三角形時(shí)，求t的值；

(3)當(dāng)AABP為等腰三角形時(shí)，求t的值

歸納2：動(dòng)點(diǎn)問題中的計(jì)算問題

基礎(chǔ)知識(shí)歸納：動(dòng)點(diǎn)問題的計(jì)算常常涉及到線段和的最小值、三角形周長的最

小值、面積的最大值、線段或面積的定值等問題.

基本方法歸納：線段和的最小值通常利用軸對稱的性質(zhì)來解答，面積采用割補(bǔ)

法或面積公式，通常與二次函數(shù)、相似等內(nèi)容.

注意問題歸納：在計(jì)算的過程中，要注意與相似、銳角三角函數(shù)、對稱、二次

函數(shù)等內(nèi)容的結(jié)合.

【例2】如圖，在R17XABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,AD是NBAC的平分

線.若P,Q分別是AD和AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是（）

A.工

5

練習(xí)：（2013?日照）問題背景：如圖（a）,點(diǎn)A、B在直線1的同側(cè)，要在直

線1上找一點(diǎn)C,使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點(diǎn)B關(guān)于1的對

稱點(diǎn)玄，連接AB'與直線1交于點(diǎn)C,則點(diǎn)C即為所求.

16

C

(1)實(shí)踐運(yùn)用：如圖(b),已知，。0的直徑CD為4,點(diǎn)A在。0上，ZACD=30°,

B為弧AD的中點(diǎn)，P為直徑CD上一動(dòng)點(diǎn)，則BP+AP的最小值為.

(2)知識(shí)拓展：如圖(c),在Rt^ABC中，AB=10,NBAC=45°,NBAC的平

分線交BC于點(diǎn)D,E、F分別是線段AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，求BE+EF的最小值，

并寫出解答過程.

歸納3：動(dòng)點(diǎn)問題的圖象

基礎(chǔ)知識(shí)歸納：動(dòng)點(diǎn)問題經(jīng)常與一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的圖象相結(jié)

入口?

基本方法歸納：一次函數(shù)圖象是一條直線，反比例函數(shù)圖象是雙曲線，二次函

數(shù)圖象是拋物線.

注意問題歸納：動(dòng)點(diǎn)函數(shù)的圖象問題可以借助于相似、特殊圖形的性質(zhì)求出函

數(shù)的圖象解析式，同時(shí)也可以觀察圖象的變化趨勢.

【例3】如圖，在矩形ABCD中，AB=2,點(diǎn)E在邊AD上，NABEM5°,BE=DE,

連接BD,點(diǎn)P在線段DE上，過點(diǎn)P作PQ〃BD交BE于點(diǎn)Q,連接QD.設(shè)PD=x,

△PQD的面積為y,則能表示y與x函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）

歸納4：函數(shù)中的動(dòng)點(diǎn)問題

基礎(chǔ)知識(shí)歸納：函數(shù)中的動(dòng)點(diǎn)問題的背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形,

所以要把握好一般與特殊的關(guān)系；分析過程中，特別要關(guān)注圖形的特性（特殊

角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置。）動(dòng)點(diǎn)問題一直是中考熱點(diǎn)，近幾年

考查探究運(yùn)動(dòng)中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊

形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值。

基本方法歸納：一是利用動(dòng)點(diǎn)(圖形)位置進(jìn)行分類，把運(yùn)動(dòng)問題分割成幾個(gè)

靜態(tài)問題，然后運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想和方法將幾何問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)和方程問題；二

是利用函數(shù)與方程的思想和方法將所解決圖形的性質(zhì)(或所求圖形面積)直接

轉(zhuǎn)化為函數(shù)或方程。

注意問題歸納：化動(dòng)為靜，畫出符合條件的圖形。

【例4】(2015年江蘇鹽城12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將拋物線

),=x2的對稱軸繞著點(diǎn)P(o,2)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后與該拋物線交于A、B兩點(diǎn),

點(diǎn)Q是該拋物線上的一點(diǎn).

(1)求直線AB的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖①，若點(diǎn)Q在直線AB的下方，求點(diǎn)Q到直線AB的距離的最大值；

(3)如圖②，若點(diǎn)Q在y軸左側(cè)，且點(diǎn)T(0,t)(t<2)是直線P0上一點(diǎn)，

當(dāng)以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與aPAT相似時(shí)，求所有滿足條件的t的值.

圖①圖②備用

鞏固練習(xí)：

1.（2015年江蘇揚(yáng)州3分）如圖，已知RtZ^ABC中，ZABC=90°,AC=6,BC=4,

將AABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△口￡（；,若點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接

AF,則AF=▲.

2.（2015年江蘇宿遷3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0,

4）,直線》=，-3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A,B,點(diǎn)M是直線AB上的一個(gè)動(dòng)

4

點(diǎn)，則PM長的最小值為▲.

3.（2015年江蘇連云港12分）在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小明進(jìn)行數(shù)學(xué)探究

活動(dòng)，將邊長為2的正方形ABCD與邊長為2"的正方形AEFG按圖1位置放置，

AD與AE在同一直線上，AB與AG在同一直線上.

（1）小明發(fā)現(xiàn)DGJ_BE,請你幫他說明理由.

（2）如圖2,小明將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)B恰好落在線段DG

上時(shí)，請你幫他求出此時(shí)BE的長.

（3）如圖3,小明將正方形ABCD繞點(diǎn)A繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，將線段DG與線段

BE相交，交點(diǎn)為H,寫出AGHE與ABHD面積之和的最大值，并簡要說明理由.

4.如圖①，正方形A8CD的頂點(diǎn)48的坐標(biāo)分別為（0,10）,（8,4）,頂點(diǎn)C,。在

第一象限.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形按逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)一，點(diǎn)Q從

點(diǎn)E（4,0）出發(fā)，沿x軸正方向以相同速度運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)。時(shí)，P,。兩點(diǎn)

同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f秒.

（1）求正方形ABCD的邊長.

（2）當(dāng)點(diǎn)p在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△OPQ的面積S（平方單位）與時(shí)間r（秒）

之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分（如圖②所示），求P,Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度.

（3）求（2）中面積S（平方單位）與時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式及面積S取最

大值時(shí)點(diǎn)尸坐標(biāo).

（4）若點(diǎn)尸，。保持（2）中的速度不變，則點(diǎn)尸沿著邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，NOPQ的

大小隨著時(shí)間f的增大而增大；沿著邊運(yùn)科時(shí)，W0尸0的大小庖著時(shí)間/的

28

增大而減小.當(dāng)點(diǎn)P沿著這兩邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，使/0卜。/90的點(diǎn)P有個(gè).

C20

AP

TH

OEX

中午作業(yè):

1.（2014年甘肅天水）如圖，扇形0AB動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿XB線段BO、0A

勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A,則OP的長度y與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)圖象大致是（）

2.（2014年貴州安順）如圖，MN是半徑為1的。。的.直徑，點(diǎn)A在。。上，Z

AMN=30°,點(diǎn)B為劣弧AN的中點(diǎn).點(diǎn)P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小

值為（）

A."B.1C.2D.2x/2

3.如圖，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，按A-B-C的方向

在AB和BC上移動(dòng)，記PA=x，點(diǎn)D到直線PA的距離為y,則y關(guān)于x的函數(shù)

圖象大致是（）

4.（2014年江蘇蘇州）如圖，直線1與半徑為4的。0相切于點(diǎn)A,P是。0

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），過點(diǎn)P作PB_L1,垂足為B,連接PA.設(shè)PA

=x,PB=y,則（x—y）的最大值是.

5.（2014年四川資陽）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，E是AB邊上的一

點(diǎn)，且AE=3,點(diǎn)Q為對角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，則aBEQ周長的最小值為

6.（2014年浙江嘉興中考）如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓上，AB=8,Z

CBA=30°,點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對稱，DF_LDE于點(diǎn)D,

并交EC的延長線于點(diǎn)F.下列結(jié)論：①CE=CF；②線段EF的最小值為2??；③

當(dāng)AD=2時(shí)1EF與半圓相切；④若點(diǎn)F恰好落在BC上，則AD=2"；⑤當(dāng)點(diǎn)D

從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，線段EF掃過的面積是16。.其中正確結(jié)論的序號

是.

F

D%（第6題）

7.（2015柳州）如圖，在四邊形ABCD中,AD〃BC,ZB=90°,AB=8cm,AD=12cm,

BC=18cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2cm/s的速度沿AfD->C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)

的同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以lcm/s速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)Q

也停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P,Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

(1)從運(yùn)動(dòng)開始，當(dāng)t取何值時(shí)，PQ〃CD?

(2)從運(yùn)動(dòng)開始，當(dāng)t取何值時(shí)，APQC為直角三角形?

8.(2015年江蘇蘇州10分)如圖，在矩形ABCD中，AD=acm,AB=bcm(a>b

>4),半徑為2cm的。。在矩形內(nèi)且與AB、AD均相切.現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),

在矩形邊上沿著A-BfC->D的方向勻速移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)D點(diǎn)時(shí)停止移動(dòng)；

00在矩形內(nèi)部沿AD向右勻速平移，移動(dòng)到與CD相切時(shí)立即沿原路按原速返

回，當(dāng)。?；氐匠霭l(fā)時(shí)的位置(即再次與AB相切)時(shí)停止移動(dòng).已知點(diǎn)P與。

。同時(shí)開始移動(dòng)，同時(shí)停止移動(dòng)(即同時(shí)到達(dá)各自的終止位置).

(1)如圖①，點(diǎn)P從A-B-CfD,全程共移動(dòng)了▲cm(用含a、b

的代數(shù)式表示);

(2)如圖①，已知點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，移動(dòng)2s到達(dá)B點(diǎn)，繼續(xù)移動(dòng)3s,到達(dá)

BC的中點(diǎn).若點(diǎn)P與。。的移動(dòng)速度相等，求在這5s時(shí)間內(nèi)圓心。移動(dòng)的距

離；

(3)★★如圖②，已知a=20,b=10.是否存在如下情形：當(dāng)。。到達(dá)。0的

1

位置時(shí)(此時(shí)圓心。在矩形對角線BD上)，DP與。。恰好相切？請說明理由.

1]

回家作業(yè):

1.（2015鹽城）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中剪去一個(gè)邊長為1的小正

方形CEFG,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A-DfE-FfG-B的路線繞多邊形的邊勻

速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止（不含點(diǎn)A和點(diǎn)B）,則AABP的面積S隨著時(shí)間t變化的

函數(shù)圖象大致是（）

2.（2015樂山）如圖，已知直線y=3與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，P

4

是以C（0,1）為圓心，1為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA、PB.則4PAB面積

的最大值是（）

A.8B.12C.—D.—

22

3.（2015咸寧）如圖，已知正方形ABCD的邊長為2,E是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，BF1AE

交CD于點(diǎn)F,垂足為G,連結(jié)CG.下列說法：①AG>GE；②AE=BF；③點(diǎn)G運(yùn)

動(dòng)的路徑長為n；④CG的最小值為&-1.其中正確的說法是.(把

你認(rèn)為正確的說法的序號都填上)

4.(2015年江蘇徐州8分)如圖，在矩形OABC中,OA=3,OC=5,分別以0A、

OC所在直線為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，D是邊CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不

與C、B重合)，反比例函數(shù)y=4Q>o)的圖像經(jīng)過點(diǎn)D且與邊BA交于點(diǎn)E,連

X

接DE.

(1)連接OE,若AEOA的面積為2,則1<=；

(2)連接CA、DE與CA是否平行？請說明理由；

(3)是否存在點(diǎn)D,使得點(diǎn)B關(guān)于DE的對稱點(diǎn)在0C上？若存在，求出點(diǎn)D

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

5.(2015年江蘇宿遷8分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(8,1),

B(0,-3),反比例函數(shù)y=9Q>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A,動(dòng)直線x=t(0VtV8)

X

與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)M,與直線AB交于點(diǎn)N.

(1)求k的值;

(2)求△BMN面積的最大值;

(3)若MAJ_AB,求t的值.

6.(2015年江蘇常州10分)如圖，一次函數(shù)y=—+4的圖象與x軸、y軸分

別相交于點(diǎn)A、B,過點(diǎn)A作x軸的垂線1,點(diǎn)P為直線1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為直

線AB與AOAP外接圓的交點(diǎn)，點(diǎn)P、Q與點(diǎn)A都不重合.

(1)寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線1上運(yùn)動(dòng)時(shí)一，是否存在點(diǎn)P使得△OQB與4APQ全等？如果

存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

(3)若點(diǎn)M在直線1上，且NP0M=90°,記AOAP外接圓和△OAM外接圓的面

積分別是S、S,求_1+上的值.

12SS

12

參考答案

例1.解：(1)在RtZ^ABC中，BC2=AB2-AC2=52-32=16,.\BC=4(cm)；

(2)由題意知BP=tcm,①當(dāng)NAPB為直角時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，BP=BC=4cm,

即t=4；

②當(dāng)NBAP為直角時(shí)，BP=tcm,CP=(t-4)cm,AC=3cm,在RtZXACP中，

AP2=32+(t-4)2,在RtZkBAP中，AB2+AP2=BP2,即：52+⑶+(t-4)21力,解

得：t茗

4

故當(dāng)AABP為直角三角形時(shí)，1=4或土=空；

(3)①當(dāng)AB=BP時(shí)，t=5；②當(dāng)AB=AP時(shí),BP=2BC=8cm,t=8；

③當(dāng)BP=AP時(shí)，AP=BP=tcm,CP=|t-4|cm,AC=3cm,在RtAACP中，AP2=AC2+CP2,

所以t2=32+(t-4)2,解得:t=必，

8

綜上所述：當(dāng)^ABP為等腰三角形時(shí)，t=5或t=8或t=2^.

8

圖③圖④圖⑤圖①s?

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理以及等腰三角形的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是掌握

勾股定理的應(yīng)用，以及分情況討論，注意不要漏解.

例2.【答案】C.【解析】解：如圖，過點(diǎn)C作CM_LAB交AB于點(diǎn)M,交

AD于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PQ_LAC于點(diǎn)Q,

[AD是NBAC的平分線.，PQ=PM,這時(shí)PC+PQ有最小值,即CM的長度，

VAC=6,BC=8,ZACB=90°,/.AB=^^^,2+B（-.2=1Jg24.g2-Q,

VS=1AB?CM=1AC?BC,.-.CM=AC-BC.6X5=24.

8c22AB~105

考點(diǎn)：1.軸對稱的應(yīng)用（最短路線問題）；2.角平分線的性質(zhì)；3.勾股定理;

4.直角三角形的面積.

練習(xí)：解：（1）作點(diǎn)B關(guān)于CD的對稱點(diǎn)E,連接AE交CD于點(diǎn)P,此時(shí)PA+PB

最小，且等于AE.作直徑AC',連接LE.根據(jù)垂徑定理得

BD=DE.VZACD=30°,AZA0D=60°,ZD0E=30°,

/.ZA0E=90°，：,ZCAE=45°,又AC'為圓的直徑,「.NAEC'=90°,

.,.ZC/=NC'AE=45°，

AC7E=AE=V2ACZ=2?，即AP+BP的最小值是2?.故答案為：2?；

2

(2)如圖，在斜邊AC上截取AB'=AB,連結(jié)BB’.「AD平分NBAC,

.'.NB'AM=ZBAM,

'AB，=AB

在AB'AM和aBAM中，，/B，，?'△B'AM^ABAM(SAS),

.\BM=B,M,ZBMA=ZBZMA=90°，，點(diǎn)B與點(diǎn)B'關(guān)于直線AD對稱.過點(diǎn)B'

作B'F_LAB,垂足為F,交AD于E,連結(jié)BE,則線段B'F的長即為所求.(點(diǎn)

到直線的距離最短)在RtZkAFB'中，VZBAC=45°,AB'=AB=10,

：.B'F=AB,?sin45°=AB?sin45°=10X叵5匹

ABE+EF的最小值為

例3.【答案】C.【解析】

VZABEF45°,ZA=90°,...4ABE是等腰直角三角形，AE=AB=2,

BE=#AB=2#,

,：

VBE=DE,PD=x,/.PE=DE-PD=272-x,VPQ//BD,BE=DE,..?=PE=2x/2-x,

又?「△ABE是等腰直角三角形(已證)，，點(diǎn)Q到AD的距離(2V2-x)

二2一導(dǎo)

APQD的面積y=x（2-仁x）=-W（X2-2J2x+2）=-#（x-/）2+戶,

2442

即y=-"(x-72)2+戶,縱觀各選項(xiàng)，只有C選

42

項(xiàng)符合.

考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象.

例4.解：(1)如答圖1,設(shè)直線AB與x軸的交點(diǎn)為M,

ZOPA=45°，P（0，2）,/.M（-2,0）?

設(shè)直線AB的解析式為丫:履+人

貝IJ12女+。=。解得仁尸直線AB的解析式為i+2.

]b=2

(2)如答圖2,過點(diǎn)Q作*軸的垂線QC,交AB于點(diǎn)C,再過點(diǎn)Q作直線AB的

垂線，垂足為點(diǎn)D,根據(jù)條件可知,△QDC是等腰

直角三角形.

答圖2

??QD

設(shè)°Cn,m2），貝（JC（加，加+2），

??QC=m+2一m2?

??.“孚+2一仙)=一？(*)+9,

...當(dāng)加口時(shí)，點(diǎn)Q到直線AB的距離的最大值為

2

9及

8

（3）:/APT=45。，，APBQ中必有一角等于

45°.

①由圖可知，ZBPQ=45。不合題意.

②若4PBQ=45。，

如答圖3,過點(diǎn)B作x軸的平行線與），軸和拋物線

分別交于點(diǎn)尸、Q,此時(shí)，NP3Q=45。.

根據(jù)拋物線的軸對稱性質(zhì)，知ZPQB=45°，

是等腰直角三角形.

?二APAT與bBPQ相似，且Z4PT=45°，

.??AFAT也是等腰直角三角形.

i)若ZPAT=90°，

聯(lián)立產(chǎn)無2,解得x—或x=2

y=無+2J=1y=4

?*-A(-l,1).AP=^(-1>+(2-1>=72?PT=2?此時(shí)，/=().

五)若Zra4=90P，PT=AT=1，止匕時(shí)，z=l-

③若NPQB=45。，②是情況之一，答案同上.

如答圖4,5,過點(diǎn)B作K軸的平行線與y軸和拋物線分別交于點(diǎn)人Q,以點(diǎn)口

1

為圓心，陽為半徑畫圓，則。、氏。都在尸上，設(shè)尸與y軸左側(cè)的拋物線交

1

于另一點(diǎn)。.

2

???根據(jù)圓周角定理，APQB=ZPQB=45°，

2I

...點(diǎn)Q也符合要求.

2

設(shè)QQ,M2)(-2v〃v0)，

2

由嗎2得〃2+Cz2-4)=22解得/?2=3或〃2=4,

而-2v〃v0，故〃=-?QI串,3)

2

可證APF。是等邊三角形，60。.

2

?1

??ZPBQ=-ZPFQ=3（f-

貝|J在NPQB中，APBQ=30°,ZPQ8=45。?

222

i）若"7^=30°，

如答圖4,過點(diǎn)4作AE_L），軸于點(diǎn)E,

則ET=6AE=73,OE=1，

ET=&E=E,OE=I.

,?OT=小-T，此時(shí)，f=1—^3?

ii）若ZPAT=30P，

如答圖5,過點(diǎn)T作TGJ_AB軸于點(diǎn)G，

設(shè)7U=a，貝l」PG=TG=a,AG=Ea.

???xp2.?2

?AP=\/2,??a+yj3a=>/2，a=—=—???PT=y/2a=—=—=小-1?

V3+1V3+1

Qi—1）=3—6，此時(shí),

OTOP—PT=2—t=3—事?

綜上所述，所有滿足條件的t的值為（=0或/=1或/=1—/或/=3-4.

鞏固練習(xí):

答圖

1.如答圖，連接c尸，過點(diǎn)尸作EG_L4C于點(diǎn)G，

?.?在Rt^ABC中，NABC=90°,點(diǎn)F是DE的中點(diǎn),

CF=EF=DF=、DE.：?ACEF是等腰三角形.

2

?.?將AABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DEC,B排4,AO6,

CE=4,CD=6.

：FGLAC，?*-EG=CG=-CE=2-AG=AC-CG=4

2

又：G、F分別是EC、ED的中點(diǎn)，是ADEC的中位線.GF.C￡>=3.

2

在RtZiAGF中，,.,AG=4，GF=3，，由勾股定理，得AF=5.

2.根據(jù)垂線段最短得出PMJ_AB時(shí)線段PM最短，分別求出PB、OB、0A、AB的

長度，利用△PBMS/\ABO,即可求出答案

如答圖，過點(diǎn)P作PM_LAB,貝ij：ZPMB=90°,

當(dāng)PM_LAB時(shí),PM最短,

?.?直線y=，—3與X軸、y軸分別交于點(diǎn)A,B,

4

...點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4,0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,-3）

在RtZ^AOB中，?.?A0=4,BO3,...根據(jù)勾股定理，得AB=5.

VZBMP=ZA0B=90O，ZABO=ZPBM,

.-.△PBM-AABO.即：2=也，解得PM=里.

ABAO545

3.解：(1)?.?四邊形ABCD和四邊形AEFG都為正方形，

ZDAG=ZBA^90°,AG=AE,

.-.△ADG^AABE

(SAS).AZAGD=ZAEB.

如答圖1,延長EB交DG于點(diǎn)H,

在4ADG中，?.,NAGD+NADG=90°，

AZAEB+ZADG=90°.

在AEDH中，?.,NAE—NADG+/DH及180°,

AZDHE=90°.ADGIBE.

(2)?.?四邊形ABCD和四邊形AEFG都為正方形，.?.AD=AB,

NDA氏NGA及90°,AG=AE,

ZDAB+ZBAG=ZGAE+ZBAG,即NDAG=NBAE,AADG^AABE

(SAS).DG=BE.

如答圖2,過點(diǎn)A作AM_LDG交DG于點(diǎn)M,貝（J/AMD=/AMG=90。，

?「BD為正方形ABCD的對角線，.,.ZMDA=45°.在R17XAMD中，?.?/MDA=45°,

AD=2,

?二=AM=".在Rt△圃G中,根據(jù)勾股定理得：GM=JAG?一AM?="，

,:DG=DM+GM=6+R，:?BE=DG=J^+5

(3)ZXGHE和ABHD面積之和的最大值為6,理由如下：

?.?對于△EGH,點(diǎn)H在以EG為直徑的圓上，.?.當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，^EGH的

高最大；

?.?對于△BDH,點(diǎn)H在以BD為直徑的圓上，.?.當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，△BDH的

高最大.

/.AGHE和△BHD面積之和的最大值為2+4=6.

【考點(diǎn)】面動(dòng)旋轉(zhuǎn)問題；正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定和性質(zhì)；三角形內(nèi)

角和定理；等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理；數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

4.［解］(1)作M'y軸于八A(0,10),B(8,4),.?.EB=8,FA=6./.AB=10.

(2)由圖②可知，點(diǎn)尸從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B用了10秒.又48=10,10+10=1.

P,。兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位.

⑶方法「作PGD軸于G,則W.嚼嗡哼哈》小

6>G=10--r.0Q=4+f，.?.S=_xOQxOG=9(r+4)10--r

52215,

19

日n319八b519o19^

即S=——t?+—t+20?——二——r---=—,J-L0W—W10，

1052aT7Hv33

.?.當(dāng)(=12時(shí)，S有最大值.止匕時(shí)GP=±/=也，OG=lO--t=—,

351555

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(上,11].

1155J

l63

方法二：當(dāng)，=5時(shí)，0G=7,00=9,S=OG0Q=

22

設(shè)所求函數(shù)關(guān)系式為5=a2+4+20.拋物線過點(diǎn)(10,28)3期,

3

100。+10。+20=28,a=-一,

「319”

63A10S=——f2+—t+20?

25。+5b+20=上,19105

2b=一.

19

--/_^=—^且0W里W10,.?.當(dāng)t=C時(shí)，S有最大值.

773A333

此時(shí)G?=至,OG=21，.?.點(diǎn)尸的坐標(biāo)為三］.

1551155)

(4)2.

［點(diǎn)評］本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的簡單運(yùn)用和幾何知識(shí)，是近年來較為流行的試

題，解題的關(guān)鍵在于結(jié)合題目的要求動(dòng)中取靜，相信解決這種問題不會(huì)非常難

中午作業(yè):

1.【答案】D.考點(diǎn)：1.動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象；2.分類思想的應(yīng)用.

2.【答案】A.考點(diǎn)：1.軸對稱的應(yīng)用(最短路線問題)；2.圓周角定理；3.等

腰直角三角形的判定和性質(zhì).

3.【答案】B.考點(diǎn)：1.單動(dòng)點(diǎn)問題函數(shù)圖象的分析；2.由實(shí)際問題列函數(shù)

關(guān)系式；3.矩形的性質(zhì)；4.相似三角形的判定和性質(zhì)；.

4.【答案】1.考點(diǎn)：L圓周角定理；2.相似三角形的判定和性質(zhì)；3.由

實(shí)際問題列函數(shù)關(guān)系式；3.二次函數(shù)的最值.

5.【答案】6.考點(diǎn)：1.單動(dòng)點(diǎn)問題；2.軸對稱的應(yīng)用（最短路線問題）；3.正

方形的性質(zhì)；4.勾股定理.

（6題答圖）

6.【答案】①③⑤.考點(diǎn)：1.軸對稱的性質(zhì)；2.垂直線段的性質(zhì)；3.圓周

角定理；4.含30度角直角三角形的性質(zhì)；5.等邊三角形的性質(zhì)；6.切線的

判定.

7.解：⑴當(dāng)PQ〃CD時(shí),四邊形PDCB是平行四邊形,此時(shí)PD=QC,，12-2t=t,

t=4.

.?.當(dāng)t=4時(shí)，四邊形PQDC是平行四邊形.

(2)過D點(diǎn)，DFJ_BC于F,.,.DF=AB=8.FC=BC-AD=18-12=6,CD=10,

①當(dāng)PQLBC,則BQ+CQ=18.即：2t+t=18,，t=6；

②當(dāng)QP_LPC,此時(shí)P一定在DC上,CP=10+12-2t=22-2t,CQ=t,易知,

12

△CDF^ACQP,

21

.?.22-t,解得：t=no,

6-1013

③情形：當(dāng)PC_LBC時(shí),因NDCBV90。，此種情形不存在.

...當(dāng)t=6或3時(shí)，Z\POC是直角三角形.

13

8.解：(1)a+2。.

(2)?.?在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)P移動(dòng)的距離為Q+2/2)cm,圓心移動(dòng)的距離為

2（a—4）cm,

:.由題意得a+26=2(a-4)①.：點(diǎn)P移動(dòng)2s到達(dá)B點(diǎn)，即點(diǎn)P用2s移動(dòng)了〃cm,

1

點(diǎn)P繼續(xù)移動(dòng)3s到達(dá)BC的中點(diǎn)，即點(diǎn)P用3s移動(dòng)了1,3，.」=引②.聯(lián)

223

立①②，解得［”24.

［。=8

???點(diǎn)P移動(dòng)的速度與。。移動(dòng)的速度相等，.二。。移動(dòng)的速度為沁(Ws).

.?.這5s時(shí)間內(nèi)圓心0移動(dòng)的距離為5x4=20

B

(cm).

E

(3)存在這樣的情形.j

設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的速度為-cm/s,。。移動(dòng)的速度為vcm/s,

PO

根據(jù)題意，得據(jù)=：+2。2（J2xl?=2.

v2U+4）2（20+4）4

O

如答圖，設(shè)直線0。與AB交于點(diǎn)E,與CD交于點(diǎn)E,。。與AD相切于點(diǎn)PG.

11

若PD與。0相切，切點(diǎn)為H,貝IJOG=O〃.易得△口（）G也ADOH,.,.NADB=NBDP.

11111

?.?BC〃AD,ZADB=ZCBD.AZBDP=ZCBD..*.BP=DP.

設(shè)BP=xCm,則Op=xcm,PC=（20-x）cm,在心APC￡）中，由勾股定理，得

PC2+CD2=PD2，

即―2=取,解得―竺此時(shí)點(diǎn)P移動(dòng)的距離為10+三=竺（cm）.

222

VEF^AD,.,.ABEO^ABAD..,.絲=些，即竺—.，EO=16皿O6>=i4cm.

1ADBA2010??

①當(dāng)。0首次到達(dá)。。的位置時(shí)，。。與移動(dòng)的距離為14cm.

1

45

???此時(shí)點(diǎn)P移動(dòng)的速度與。。移動(dòng)的速度比為2=竺.此時(shí)DP與。。恰好相

14281

切.

②當(dāng)。0在返回途中到達(dá)。01的位置時(shí)，。0與移動(dòng)的距離為

2x（20-4）-14=18cm.

45

此時(shí)點(diǎn)P移動(dòng)的速度與。。移動(dòng)的速度比為二=竺=工此時(shí)DP與。。不可

183641

能相切.

【考點(diǎn)】單動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)圓問題；矩形的性質(zhì)；直線與圓的位置關(guān)系；全等三角形

的判定和性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定和性質(zhì)；方程思想和分類思想的

應(yīng)用.

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)可得：點(diǎn)P從A-B-C->D,全程共移動(dòng)了a+20cm.

(2)根據(jù)“在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)P移動(dòng)的距離等于圓心移動(dòng)的距離”

和“點(diǎn)P用2s移動(dòng)了bcm,點(diǎn)P用3s移動(dòng)了二cm”列方程組求出a,b,根

2

據(jù)點(diǎn)p移動(dòng)的速度與移動(dòng)的速度相等求得。0移動(dòng)的速度，從而求得這5s

時(shí)間內(nèi)圓心。移動(dòng)的距離.

(3)分。。首次到達(dá)00的位置和。。在返回途中到達(dá)。。的位置兩種

11

情況討論即可.

回家作業(yè)：

1.【答案】B.【解析】試題分析：當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí)，4ABP的底AB不變，高

增大,所以4ABP的面積S隨著時(shí)間t的增大而增大；

當(dāng)點(diǎn)P在DE上時(shí)，4ABP的底AB不變，高不變，所以4ABP的面積S不變；

當(dāng)點(diǎn)P在EF上時(shí)，AABP的底AB.不變，高減小，所以4ABP的面積S隨著時(shí)

間t的減??；

當(dāng)點(diǎn)P在FG上時(shí)，4ABP的底AB不變，高不變，所以4ABP的面積S不變;

當(dāng)點(diǎn)P在GB上時(shí)，4ABP的底AB不變，高減小，所以4ABP的面積S隨著時(shí)

間t的減??；

故選B.

考點(diǎn)：1.動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象；2.分段函數(shù)；3.分類討論；4.壓軸題.

2.【答案】C.【解析】試題分析：?.?直線y=3與x軸、y軸分別交于A、

4

B兩點(diǎn)，，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0),B點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-3),3x-4y-12=0，即

0A=4,0B=3,由勾股定理得：AB=5,...點(diǎn)C(0,1)至U直線3x—4y—12=0的距

離是巴二巴=絲，，圓C上點(diǎn)到直線y=2x-3的最大距離是1+3=3,

V37T475455

??.△PAB面積的最大值是1x5x21=3,故選C.

252

考點(diǎn)：1.圓的綜合題；2.最值問題；3.動(dòng)點(diǎn)型.

3.解：?.?在正方形ABCD中,BF_LAE,，NAGB保持90°不變，「.G點(diǎn)的軌跡

是以AB中點(diǎn)。為圓心，A0為半徑的圓弧，.?.當(dāng)E移動(dòng)到與C重合時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)和D

點(diǎn)重合，此時(shí)G點(diǎn)為AC中點(diǎn)，

.\AG=GE,故①錯(cuò)誤;

VBF±AE,AZAEB+ZCBF=90°,VZAEB+ZBAE=90°,AZBAE=ZCBF,在

，ZBAE=ZCBF

△ABE和ABCF中，，.'.AABE^ABCF(AAS),故②正確；

,AB=BC

???當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)停止，點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的軌跡為4圓，圓弧的長=工x7Tx2=三,

442

故③錯(cuò)誤；

由于0C和0G的長度是一定的，因此當(dāng)0、G、C在同一條直線上時(shí)，CG取最小

值，

OC=A/OB2+BC2=jCG的最小值為0C-°G=a-1,故④正確；

綜上所述，正確的結(jié)論有②④.故答案為②④.

4.解：⑴4.

(2)平行，理由如下:

如答圖1,連接AC,

設(shè)。（a,5）,E（3,b）,VD（a,5）,E（3,b）在y=2（k>0）上,

X

k

5」a=—

a5

=><.VBC=0A=3,AB=0C=5,.\BD=3-i,BE=5-i.

.k,k53

b=一b=一

33

絲=3J

?BC3

??___=一[..?.竺=竺，即竺=".?.DE

AB5『二I5ABBEBDBE

3

〃AC.

答圖2

（3）存在。假設(shè)存在點(diǎn)D滿足條件.設(shè)5）,《3,j,

則CD=2,BD=3-i,AE=i,BE=5-i

5533

如答圖2,過點(diǎn)E作EF_LOC,垂足為F,

5一t

易證△B'CDS^EFB',即_1="....

B'DCDakk3

55

kkIk

CB'=OC-B'F-OF=OC-B'F-AE=5----=5--.

333

在RtZiB'CD中,在'=5--,CD=￡,B-D=BD=3-i,由勾股定理得，CB'2+

355

CD2=B'D2,

整理得10上一123k+360=0.解得，k=—,k=!￡

1522

（不合題意，舍去）.."產(chǎn)5〕....滿足條件的點(diǎn)D存在，D的坐標(biāo)為產(chǎn)5].

（25）（25）

【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題；單動(dòng)和軸對稱問題；曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的

關(guān)系；平行的判定；相似