高中課程復(fù)習(xí)專題- 數(shù)學(xué)立體幾何

高中課程復(fù)習(xí)專題—數(shù)學(xué)立體幾何

一空間幾何體

㈠空間幾何體的類型

1多面體：由若干個平面多邊形圍成的幾何體.圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面,

相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點叫做多面體的頂點.

2旋轉(zhuǎn)體：把一個平面圖形繞它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)形成了封閉幾何體。其中，

這條直線稱為旋轉(zhuǎn)體的軸。

㈡幾種空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

1棱柱的結(jié)構(gòu)特征

1.1棱柱的定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊

形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面

所圍成的幾何體叫做棱柱。

1。2棱柱的分類

,斜極柱圖1-1棱柱

①棱柱I校*百十底而：百林件f底面是無多形>正棱柱

1其他棱柱…

(W四棱柱I底而為平行四邊代爐行六面體|側(cè)枝廬內(nèi)于底面值平行六面網(wǎng)底面為矩形

--------?------------------A--------b>

長方體I底而為正方形,1正四枝相側(cè)棱口底而邊長相、I正方體

1。3棱柱的性質(zhì)

(1)側(cè)棱都相等,側(cè)面是平行四邊形；

⑵兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；

⑶過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形；

(4)直棱柱的側(cè)棱長與高相等，側(cè)面的對角面是矩形。

1.4長方體的性質(zhì)

⑴長方體的一條對角線的長的平方等于一個頂點上三

條棱的平方和：ACI2=AB2+AC2+AAI2

⑵長方體的一條對角線AG與過定點A的三條棱所成

的角分別是a、。、y,那么：

cos2a+cos2p+cos、=1sin2a+sin2p+sin2/=2

⑶長方體的一條對角線AG與過定點A的相鄰三個面所組成的角分別為a、6丫，貝I：

cos2a+cos2p+cos、=2sin2a+sin2p+sin2'/=1

1。5棱柱的側(cè)面展開圖：正n棱柱的側(cè)面展開圖是由n個全等矩形組成的以底面周長和側(cè)

棱為鄰邊的矩形。

Io6棱柱的面積和體積公式

S直梭柱側(cè)面=c?h（c為底面周長,h為棱柱的高）

SH椽住金=c?h+2s底

V第上=S底,h

2圓柱的結(jié)構(gòu)特征

2-1圓柱的定義：以矩形的一邊所在的直線

為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成

的幾何體叫圓柱.

2-2圓柱的性質(zhì)

圖1-3圓柱

⑴上、下底及平行于底面的截面都是等圓；

⑵過軸的截面（軸截面）是全等的矩形.

2-3圓柱的側(cè)面展開圖:圓柱的側(cè)面展開圖是以底面周長和母線長為鄰邊的矩形.

2—4圓柱的面積和體積公式

SM柱郵面=2n,r,h（r為底面半徑，h為圓柱的高）

2

Sum金=27crh+2nr

VMu=Sigh=nr2h

3棱錐的結(jié)構(gòu)特征

3-1棱錐的定義

⑴棱錐：有一個面是多邊形,其余各面是有

一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的

幾何體叫做棱錐。

⑵正棱錐:如果有一個棱錐的底面是正多

圖1-4棱錐

邊形，并且頂點在底面的投影是底面的中心,

這樣的棱錐叫做正棱錐。

3-2正棱錐的結(jié)構(gòu)特征

⑴平行于底面的截面是與底面相似的正多邊形，相似比等于頂點到截面的距離與頂點到底

面的距離之比；

⑵正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面是全等的等腰三角形；

（3）正棱錐中的六個元素，即側(cè)棱（SB）、高（SO）、斜高（SH）、側(cè)棱在底面上的射影（OB）,

斜高在底面上的射影（0H）、底面邊長的一半（BH）,構(gòu)成四個直角三角形（三角形SOB、

SOH、SBH、OBH均為直角三角形）。

3-3正棱錐的側(cè)面展開圖：正n棱錐的側(cè)面展開圖是由n個全等的等腰三角形組成。

3-4正棱錐的面積和體積公式

S正楂推側(cè)=0.5ch，（c為底面周長，h為側(cè)面斜高）

S正梭錐全=0o5ch'+S底面

V校錐=1/3S底面?h（h為棱錐的高）

4圓錐的結(jié)構(gòu)特征

4-1圓錐的定義：以直角三角形的一直角邊所在的直線為

旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓

錐.

4-2圓錐的結(jié)構(gòu)特征

（1）平行于底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等

于頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比；

⑵軸截面是等腰三角形；

⑶母線的平方等于底面半徑與高的平方和：

[2=p+產(chǎn)

4-3圓錐的側(cè)面展開圖:圓錐的側(cè)面展開圖是以頂點為圓心，以母線長為半徑的扇形.

4-4圓錐的面積和體積的公式

SI!??!=7tr?1（r為底面半徑,1為母線長）

S=?rr?（r+1）

VMS=1/3KT2-h（h為圓錐高）

5棱臺的結(jié)構(gòu)特征

5o1棱臺的定義:用一個平行于底面的平面去截棱錐,

我們把截面和底面之間的部分稱為棱臺.

5o2正棱臺的結(jié)構(gòu)特征

⑴各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰梯形；

⑵正棱臺的兩個底面和平行于底面的截面都是正多邊

圖1-6棱臺

形;

⑶正棱臺的對角面也是等腰梯形；

（4）棱臺經(jīng)常被補成棱錐，然后利用形似三角形進行研究。

5-3正棱臺的面積和體積公式

Sn/2（a+b）-h'（a為上底邊長，b為下底邊長,h，為棱臺的斜高，n為邊數(shù)）

S被臺金=S上底+S下設(shè)+SIM

V段臺=鏟+S'）力

6圓臺的結(jié)構(gòu)特征

6-1圓臺的定義：用一個平行于底面的平面去截圓錐，我

們把截面和底面之間的部分稱為圓臺。

6-2圓臺的結(jié)構(gòu)特征

⑴圓臺的上下底面和平行于底面的截面都是圓；

（2）圓臺的截面是等腰梯形；

⑶圓臺經(jīng)常補成圓錐，然后利用相似三角形進行研究。

圖1-7圓臺

6—3圓臺的面積和體積公式

SM合儲=兀?（R+r）T（r、R為上下底面半徑）

S圓臺全=71?r2+K-R2+n-(R+r)-1

VMft=1/3(nr2+7tR2+nrR)h(h為圓臺的高)

7球的結(jié)構(gòu)特征

7-1球的定義:以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，

半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體.空間中，與定點

距離等于定長的點的集合叫做球面，球面所圍成的幾何

體稱為球體。

7—2球的結(jié)構(gòu)特征

(1)球心與截面圓心的連線垂直于截面；

⑵截面半徑等于球半徑與截面和球心的距離的平方

差：r2=R2-d2圖1-8球

★7-3球與其他多面體的組合體的問題

球體與其他多面體組合,包括內(nèi)接和外切兩種類型，解決此類問題的基本思路是:

⑴根據(jù)題意，確定是內(nèi)接還是外切，畫出立體圖形；

⑵找出多面體與球體連接的地方，找出對球的合適的切割面，然后做出剖面圖;

⑶將立體問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中圓與多邊形的問題；

(4)注意圓與正方體的兩個關(guān)系：球內(nèi)接正方體，球直徑等于正方體對角線；

球外切正方體，球直徑等于正方體的邊長。

7-4球的面積和體積公式

Sa?=4itR2(R為球半徑)

V球=4/3兀R3

㈢空間幾何體的視圖

1三視圖：觀察者從三個不同的位置觀察同一個空間幾何體而畫出的圖形.

正視圖：光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖。

側(cè)視圖：光線從幾何體的左邊向右邊正投影，得到的投影圖.

俯視圖：光線從幾何體的上面向右邊正投影，得到的投影圖。

注意：⑴俯視圖畫在正視圖的下方，“長度”與正視圖相等；側(cè)視圖畫在正視圖的右方，“高

度”與正視圖相等，“寬度”與俯視圖相等.(正側(cè)一樣高，正俯一樣長，俯側(cè)一樣寬)

⑵正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是平面圖形，而不是直觀圖.

2直觀圖

2-1直觀圖的定義:是觀察者站在某一點觀察一個空間幾何體而畫出的圖形，直觀圖通常

是在平行投影下畫出的空間圖形。

2-2斜二測法做空間幾何體的直觀圖

(1)在已知圖形中取互相垂直的軸Ox、Oy,即取NxOy=90°；

(2)畫直觀圖時，把它畫成對應(yīng)的軸O*'、O'y,取/x'O'y'=45°或135°,它們確定的平

面表示水平平面；

⑶在坐標(biāo)系x6y，中畫直觀圖時，已知圖形中平行于數(shù)軸的線段保持平行性不變;平行于x

軸的線段保持長度不變；平行于y軸的線段長度減半。

結(jié)論：采用斜二測法作出的直觀圖的面積是原平面圖形的這

4

2-3解決關(guān)于直觀圖問題的注意事項

(1)由幾何體的三視圖畫直觀圖時，一般先考慮“俯視圖”；

⑵由幾何體的直觀圖畫三視圖時，能看見的輪廓線和棱畫成實線，不能看見的輪廓線和棱

畫成虛線。

二點、直線、平面之間的關(guān)系

㈠平面的基本性質(zhì)

1立體幾何中圖形語言、文字語言和符號語言的轉(zhuǎn)化

圖形語言文字語言符號語言

B-點A在直線a上AEa

點在直線外

AaBaB2a

?B點A在平面a內(nèi)AGa

點B在平面a外B2a

h直線a在平面a內(nèi)aU。

直線b在平面a外b

直線a與平面a相交于點AaAa=A

b

直線a與直線b相交于點AaCb=A

z>^/

平面a與平面0交于直線aaDp=a

★2平面的基本性質(zhì)

公理一：如果一條直線上有兩點在一個平面內(nèi)，那么直線在平面內(nèi).

公理二：不共線的三點確定一個平面。

推論一：直線與直線外一點確定一個平面。

推論二:兩條相交直線確定一個平面。

推論三:兩條平行直線確定一個平面。

公理三：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有公共點，這些公共點的集合是一條直

線（兩個平面的交線）。

㈡空間圖形的位置關(guān)系

1空間直線的位置關(guān)系（相交、平行、異面）

lo1平行線的傳遞公理：平行于同一直線的兩條直線相互平行。

即：a〃b,b〃c=a〃c

k2等角定理：如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補。

1.3異面直線

（1）定義:不在任何一個平面內(nèi)的兩條直線稱為異面直線。

⑵判定定理:連平面內(nèi)的一點與平面外一點的直線與這個平面內(nèi)不過此點的直線為異面直

線。

P史a

即:

A&a

>=>PA與a異面

aua

a

1.4異面直線所成的角

（1）異面直線成角的范圍：（0°,90°

⑵作異面直線成角的方法:平移法.

注意：找異面直線所成角時，經(jīng)常把一條異面直線平移到另一條異面直線的特殊點（如

中點、端點等），形成異面直線所成的角。

2直線與平面的位置關(guān)系（直線在平面內(nèi)、相交、平行）

3平面與平面的位置關(guān)系（平行、斜交、垂直）

㈢平行關(guān)系（包括線面平行和面面平行）

1線面平行

1.1線面平行的定義：平面外的直線與平面無公共點，則稱為直線和平面平行.

1。2判定定理：a/tb'

a（za>^>alla（線線平行=線面平行）

baa

1.3性質(zhì)定理：alia

auB=>a//b（線面平行=線線平行）

aC\j3-h

1.4判斷或證明線面平行的方法

⑴利用定義（反證法）:1白<1=6,1〃<1（用于判斷）；

⑵利用判定定理:線線平行=線面平行（用于證明）；

⑶利用平面的平行：面面平行二線面平行（用于證明）；

（4）利用垂直于同一條直線的直線和平面平行（用于判斷）.

2線面斜交和線面角:1na=A

2。1直線與平面所成的角（簡稱線面角）：若直線與平面斜

交，則平面的斜線與該斜線在平面內(nèi)射影的夾角0.

2。2線面角的范圍：0G[0°,90°]

注意:當(dāng)直線在平面內(nèi)或者直線平行于平面時，0=0。；

當(dāng)直線垂直于平面時，0=90。

3面面平行

3。1面面平行的定義:空間兩個平面沒有公共點，則稱為兩

平面平行.

3.2面面平行的判定定理：

（1）判定定理1:如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另^7

一個平面，那么兩個平面相互平行.即：

圖2-4面面平行

a,baa,ar\b=O,a//a,b//a=>a//

推論：一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面7^7

的兩條線段，那么這兩個平面平行。即：

a,bda,ar\b=O,a',b'a/3,aIIa\bIIb'=>all（5

圖2-5判定1推論

⑵判定定理2:垂直于同一條直線的兩平面互相平行。即:

aLa,aL0=>allp

3。3面面平行的性質(zhì)定理

⑴”//1="〃"（面面平行=線面平行）

a（za\

⑵

all0

any=a，n“〃b；（面面平行=>線線平行）

夕ny=〃|

⑶夾在兩個平行平面間的平行線段相等。

㈣垂直關(guān)系（包括線面垂直和面面垂直）

1線面垂直

1。1線面垂直的定義：若一條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，則這條直線垂直于平面.

1.2線面垂直的判定定理:

a、bua

aC\b=O

I<za卜n/Jua（線線垂直n線面垂直）

ILa

ILh

1.3線面垂直的性質(zhì)定理:

⑴若直線垂直于平面，則它垂直于平面內(nèi)任意一條直線。

即：/la,auan/lo（線面垂直.=線線垂直）

⑵垂直于同一平面的兩直線平行。

即：aloi'bIana//b

1.4常用的判定或證明線面垂直的依據(jù)

（1）利用定義，用反證法證明。

⑵利用判定定理證明.

⑶一條直線垂直于平面而平行于另一條直線，則另一條直線也垂直與平面。

（4）一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則也垂直于另一個。

⑸如果兩平面垂直，在一平面內(nèi)有一直線垂直于兩平面交線，則該直線垂直于另一平面.

★1。5三垂線定理及其逆定理

（1）斜線定理：從平面外一點向這個平面所引的所有線段中，斜線相

等則射影相等，斜線越長則射影越長，垂線段最短。

如圖：

PB=PCoOB=OC；PA>PB=OA>OB

圖2-7斜線定理

⑵三垂線定理及其逆定理

已知PO_La,斜線PA在平面a內(nèi)的射影為OA,a是平面

a內(nèi)的一條直線.

①三垂線定理：若aJ_OA,則aJ_PA。即垂直射影則垂直斜線。

②三垂線定理逆定理：若a_LPA,則a_LOA.即垂直斜線則垂直

射影。

⑶三垂線定理及其逆定理的主要應(yīng)用

圖2-8三垂線定理

①證明異面直線垂直；

②作出和證明二面角的平面角；

③作點到線的垂線段。

2面面斜交和二面角

2.1二面角的定義：兩平面a、。相交于直線1,直線a是a內(nèi)的一條直線，它過1上的一

點0且垂直于1,直線b是。內(nèi)的一條直線,它也過。點，也垂直于1,則直線a、b所形成的

角稱為a、。的二面角的平面角，記作/a—1—仇

2.2二面角的范圍:/a-1—0e[0°,180°]

2。3二面角平面角的作法：

（1）定義法：證明起來很麻煩，一般不用；

⑵三垂線法：常用方法；

⑶垂面法：常用于空間幾何體中的二面角.

3面面垂直

3。1面面垂直的定義:若二面角a—1-p的平面角為90。，則

圖2-9面面垂直

兩平面alp.

3。2判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,那么這兩個平面互相垂直。

即:

=