吉林省吉大附中實驗學(xué)校2022-2023學(xué)年高一年級下冊期中考試數(shù)學(xué)試題

吉林省吉大附中實驗學(xué)校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中考

試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.下列向量中不是單位向量的是（）

A.a=（1,0）B.a=（1,1）

C.a=（cose,sina）D.卜。）

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=二二的共舸復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）

1+2;

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.若用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形為如下圖的一個正方形，則原來圖形是

()

4.米斗是古代官倉、米行等用來稱量糧食的器具，鑒于其儲物功能以及吉祥富足的寓

意，現(xiàn)今多在超市、糧店等廣泛使用.如圖為一個正四棱臺形米斗（忽略其厚度），其上、

下底面正方形邊長分別為30cm、20cm,側(cè)棱長為5而cm，若將該米斗盛滿大米（沿

著上底面刮平后不溢出），設(shè)每立方分米的大米重0.8千克，則該米斗盛裝大米約（）

A.6.6千克B.6.8千克C.7.6千克D.7.8千克

jr

5.已知48c的外接圓圓心為O,且2AO=A3+ACNAC3=U，則向量C4在向量C8

6

上的投影向量為（）

3131

A.-CBB.一一CBC.--CBD.-CB

4444

6.在ABC中，內(nèi)角ABC的對邊分別為。力,c,已知"+些=」一，則佇0=（）

tanAtanBtanCc

A.2023B.2024C.4046D.4047

7.如圖，在直角梯形A8CZ）中，BCJiCD,AB=BC=2,CD=4,E為CD中點,M,

N分別為A。，BC的中點，將VADE沿AE折起，使點。到2，〃到在翻折過

程中，有下列命題：

①的最小值為1；

②MN〃平面CRE；

③存在某個位置，使

④無論M位于何位置，均有M1N，AE.

其中正確命題的個數(shù)為

A.1B.2C.3D.4

8.如圖，在43c中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若sin4=sin8,且

73(acosC+ccosA)=2/?sinB,。是A6C外一點，DC=2,DA—6,則下列說法錯誤

的是()

試卷第2頁，共6頁

DC

A.是等邊三角形B.若AC=2jl3,則A、B,C,。四點

共圓

C.四邊形48C￡＞面積最大值為10百+12D.四邊形A8C。面積最小值為log-12

二、多選題

9.設(shè)有兩條不同的直線〃2、〃和兩個不同的平面。、夕，下列命題中錯誤的命題是（）

A.若m//a,n11a,則m//〃

B.若mua,〃ua,mlIp,nll/3,則a///?

C.若m//n,mua,則〃//a

D.若a///7,mua,則〃?///?

10.已知向量〃，b,滿足。=〃=2,卜+〃|=26，則下列結(jié)論正確的是（）

A.a-b=-2B.a與人的夾角為g

C.卜一。|＜卜+0D.a一匕在上的投影向量為

11.在工3c中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,下列敘述正確的是（）

Hab

A.右.—,，則.AfiC為等腰三角形

sinBsmA

b

B.右_則一MC為等腰三角形

cos3cosA'

b

J有f則ABC為等腰三角形

cosAcosB

9b2

D.若，一一,則MC為等腰三角形

tanAtanB

12.如圖，在正方體ABC。-AgG。中，E,b是底面正方形A8CQ四邊上的兩個不同

的動點，過點口、E、b的平面記為。，則（）

A.a截正方體的截面可能是正五邊形

B.當(dāng)E,尸分別是A8,8c的中點時，a分正方體兩部分的體積匕,匕化<%）之比

是25：47

C.當(dāng)E,F分別是ARAB的中點時，A片上存在點P使得AP〃0

D.當(dāng)F是8c中點時，滿足但。|=2|所|的點E有且只有2個

三、填空題

13.已知a=（l,2sin°）,=,0&R,aLb,貝（JtanO的值為.

14.若復(fù)數(shù)"（aeR,i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則該復(fù)數(shù)的模為.

15.如圖，一倒立的圓錐和一個底面圓直徑為2R的圓柱內(nèi)裝等高”的液體，圓錐的軸

截面為等腰直角三角形，圓柱的軸截面為矩形，H=^R,圓錐內(nèi)液體體積為％,圓

四、雙空題

16.如圖，在棱長為2的正方體A8C￡>-A81GA中，M，N分別是線段AA-AR的中

點，E是線段CG上的動點，過M,N,E的平面a截正方體A88-ABCQ所得的截

面面積記為S.當(dāng)E為線段CG的中點時，S=；當(dāng)E在線段CG（包括端點）上運

動0寸，S的取值范圍是.

試卷第4頁，共6頁

五、解答題

17.已知點A(孫2),5(1,1),C(2,4).

(1)若IC4+C8I最小，求實數(shù)加的值:

(2)若CA與CB夾角的余弦值為。，求實數(shù)機的值.

18.如圖，邊長為4的正方形A8C。中，點反尸分別為的中點.將

,AED,BEF,DCF分別沿DE,EF,DF折起，使ARC三點重合于點P.

(1)求證：PDLEF；

(2)求三棱錐P-EFD的體積；

⑶求二面角的余弦值.

19.如圖，在四棱錐尸-43CD中，底面A8CO是邊長為。的正方形，側(cè)面PAD_1底面

ABCD,且弘=?。=①",設(shè)E,F分別為PC,8。的中點.

2

(1)求證：EF〃平面PAD；

(2)求證：平面心8_L平面尸DC；

(3)求直線EF與平面A8CD所成角的大小.

20.已知.43C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若J5csinB=a-bcosC.

⑴求B；

(2)若DC=4。，BD=2,求一43c的面積的最大值.

21.如圖，圓錐的底面直徑和高均是“，過P0上的一點O'作平行于底面的截面,

以該截面為底面挖去一個圓柱.

(1)若。'是PO的中點，求圓錐挖去圓柱剩下幾何體的表面積和體積；

(2)當(dāng)00'為何值時，被挖去的圓柱的側(cè)面積最大？并求出這個最大值.

22.某農(nóng)場有一塊等腰直角三角形的空地ABC,其中斜邊BC的長度為400米，為迎接

“五一”觀光游，欲在邊界8c上選擇一點尸，修建觀賞小徑其中分別在

邊界A8,AC上，小徑與邊界BC的夾角都是60。，區(qū)域和區(qū)域PNC內(nèi)種植

郁金香，區(qū)域內(nèi)種植月季花.

(1)判斷觀賞小徑PM與PN的長度之和是否為定值？若是請求出定值，若不是請說明理

由；

(2)為深度體驗觀賞，準(zhǔn)備在月季花區(qū)域內(nèi)修建小徑MN,當(dāng)點尸在何處時，三條小徑

PM,PN,MN的長度之和最?。?/p>

(3)求郁金香區(qū)域面積之和的最小值.

試卷第6頁，共6頁

參考答案：

I.B

【分析】根據(jù)單位向量的定義，一一判斷各選項中的向量，即得答案.

【詳解】由于a=(l,0),故向=1,即a=(l,0)為單位向量；

4=(1,1),則|〃|=4+]2=0,故4=(1,1)不是單位向量；

a=(cosa,sinc),則|〃|=Jcos?a+sir?a=1，a=(cosa,sincr)為單位向量;

根據(jù)單位向量的定義可知百(卜卜°)為單位向量,

故選：B

2.D

【分析】先對復(fù)數(shù)化簡，從而可得其共規(guī)復(fù)數(shù)，進而可得答案

2

EH-iz(l-2z)i-2i2+i21.

【詳解1解：因為Z=----=------------=------7=----=11,

1+2;(l+2/)(l-2f)1-⑵>555

所以-z=?21

所以三對應(yīng)的點位于第四象限,

故選：D

3.A

【分析】利用斜二測畫法判斷.

【詳解】解：由斜二測畫法知：平行或與x軸重合的線段長度不變，平行關(guān)系不變，

平行或與y軸重合的線段長度減半，平行關(guān)系不變，

故選：A

4.C

【分析】計算出米斗的高，進而可求得出該米斗的體積，結(jié)合題意可求得該米豆所盛大米的

質(zhì)量.

【詳解】設(shè)該正棱臺為ABC。-A耳GR,其中上底面為正方形ABC。，取截面A4,CC，如

下圖所示：

答案第1頁，共17頁

易知四邊形A4〈C為等腰梯形，且AC=30&，AG=2M，例=。6=5而，

分別過點4、G在平面AAGC內(nèi)作AE^AC,QFLAC,垂足分別為點E、F,

由等腰梯形的幾何性質(zhì)可得44產(chǎn)CG，又因為NA4E=NGCF,ZAE4,=ZCFC,=90,

所以，RtA/LA.E^RtACC.F,所以，AE=CF,

因為AG//4C,易知NEAg=ZAtEF=ZEFC,=N4G尸=90,

故四邊形AC/E為矩形，則EF=AG=20及，AAE=CF=AC~EF=5^2,

所以，A1E=y]AA^-AE2=15.故該正四棱臺的高為15cm,

所以，該米斗的體積為V=gx(202+3()2+42()2x301xl5=9500cm3,

所以，該米斗所盛大米的質(zhì)量為9.5x0.8=7.6kg.

故選：C.

5.A

【分析】先根據(jù)已知條件分析出△ABC為以4為直角的直角三角形，NACB=3,由投影向

量的定義即可求得.

TT

【詳解】因為△ABC的外接圓圓心為O,且2Ao=AB+AC，^ACB=—,

o

所以。為3c的中點，所以A為直角，如圖示：

過4作AD_L8C于。，則向量CA在向量CB上的投影向量為CA

TT

在直角三角形A8C中，ZACB=-,所以

答案第2頁，共17頁

,\CD\=\CA\cos^-=^-\CA\

|CA|=|CB|cos?=

所以|C￡>|=jcB|,

向量C4在向量C8上的投影向量為

故選：A.

6.D

【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合兩角和的正弦公式化簡可得2023x—=cosC,

sinAsinB

利用正余弦定理角化邊可得4047c?=/+/,即可得答案.

【詳解】由在,ABC中，當(dāng)+竺勺=心得2023x（當(dāng)+岑）=等，

tanAtanBtanCsinAsinBsinC

cosAsincosBsinAcosC

即2023x------------------------------=--------,

sinAsinBsinC

故2023x^1^=型，即2023x^^=/

sinAsinBsinCsinAsinBsinC

所以2023xsm°=COsC,

sinAsinB

所以2023xJ=="工，即4047c2=4+從，

ablab

4.LCl~+b~

故一—=4（M7,

c

故選：D

7.D

【分析】通過連接直線MMMN等直線，結(jié)合直線與平面。平面與平面的平行與垂直，轉(zhuǎn)化

判斷4個命題的真假即可.

【詳解】在直角梯形A8CO中，BC±CDfAB=BC=2,CD=4f

E為C。中點，M,N分別為AO,BC的中點，

將VAT應(yīng)沿AE折起，使點。到口，M到M，

在翻折過程中，當(dāng)。與C重合時，|M|N|的最小值為1；所以①正確；

連接交AE于尸連接％尸，可以證明平面FMN//平面C"E,所以％N//平面CRE,

所以②正確；

當(dāng)平面ABCO時，可得平面RAE,所以所以③正確；

因為AEVM.F,所以直線在，平面八％E,所以無論M位于何位置，均有

答案第3頁，共17頁

所以④正確;

故選：D.

【點睛】本題考查命題的直接判斷與應(yīng)用，涉及空間幾何體直線與平面的位置關(guān)系的綜合應(yīng)

用，屬于中檔題.

8.D

【分析】根據(jù)正弦定理，求得GsinB=2sin8-sin8,求得sinB,結(jié)合sinA=sin8,可判斷

A；由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到。，結(jié)合余弦定理，可判定B正確；設(shè)AC=x,利用余弦

定理求得X,得出氧iwefZsinW-S+IO/，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，可判定CD.

【詳解】對于A,因為G(acosC+ccosA)=2/?sin8,所以

G(sinAcosC+sinCcosA)=2sinsinB,

即百sin(A+C)=V3sinB=2sin8sinB,

由sinBHO,可得sin8=3,8為三角形內(nèi)角，所以B=g或?qū)ぃ?/p>

233

TT

又因為sinA=sin8,可得。=〃.所以8=NC4B=NAC8=石，故A正確；

對于B,在八位北中，因為DC=2,DA=6,4c=2，萬，

所以COSO=4：3?-：2=_',。為三角形內(nèi)角，所以。=M，此時四邊形對角互補，

2x2x623

四點A,B,C,。共圓，故B正確；

對于CD,等邊工/WC中，設(shè)AC=x,x>0,

在/\ADC中，由余弦定理得AC2=A。?+CD2-2ADCDcosD,

由于A￡>=6,DC=2,可得x2=62+2?—2x2x6cos￡)=40-24cos￡),

2

所以氧邊彩的=5ABc+SACO=1x-xsin^+1x6x2sinD=^x+6sinD=12sinfD-^+lO^,

ZJZ.4\/

答案第4頁，共17頁

因為￡）€（0,無），年），所以--^<5桁（￡）-三）41,

所以四邊形ABCD面積的最大值為12+10百，無最小值，故C正確，D錯誤.

故選：D.

9.ABC

【分析】根據(jù)直線與直線的位置關(guān)系可判斷A；根據(jù)面面平行的判定定理可判斷B；根據(jù)線

面的位置關(guān)系判斷C；根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理判斷D.

【詳解】對于A,若加//夕，〃//a,則私〃可能平行、異面或相交，A錯誤；

對于B,若機ua,〃ua,ml1/3,nll/3,也"不一定為相交直線，

只有當(dāng)孫〃為相交直線時，才可得到故B錯誤；

對于C,當(dāng)加〃“，機ua時，可能是“ua,推不出一定是〃〃a,C錯誤；

對于D,若a/l/J,mua,根據(jù)面面平行的性質(zhì)可知根〃/，D正確，

故選：ABC

10.BC

【分析】求得“力的值判斷選項A；求得a與。的夾角判斷選項B；求得卜一0的值判斷選項

C；求得8在6上的投影向量判斷選項D.

【詳解】選項A：由卜卜［4=2,卜+。卜2道，

可得（a+匕）='+忖+2a/=12,則4+4+2G〃=12，

則a/=2.判斷錯誤；

ab21

H=麗=五T5，

又（a,h）G［0,兀］,則,酚=1.判斷正確；

選項C：,-0=｛（a-b）=^|a|+|/?p-2a-/?=J4+4-4=2,

由2<26，可得卜-0<卜+目.判斷正確；

選項D：在人上的投影向量為

答案第5頁，共17頁

（a-b\-ba-b-b22-41

，2-必=、-6=丁m=一不％.判斷錯誤.

W442

故選：BC

11.AC

【分析】利用正弦定理變化角和三角恒等變換即可判斷三角形的形狀.

【詳解】對于A,若，==3,則根據(jù)正弦定理得：

sinBsinA

S^n—=-=sin2A=sin28=（sinA+sinS）（sinA-sinB）=O,

sin3sinAv八7

VsinA+sinB^O,sinA=sin5,則a=b,B|JAABC為等腰三角形,故A正確;

對于B,若一%=一二，則根據(jù)正弦定理得：

cosBcosA

sinAsin8...“n.c..cn

-------=--------=>sinAcosA-sinncosB=>sin2A-sin28,

cosBcosA

?.?A、J?e（0,兀），A+Be（0,71）,???2A、2Be（0,2兀）且2A+28e（o,2TC）,

IT

，2A=2B或24+28=兀，即A=B或A+B=—,即△ABC為等腰三角形或直角三角形，故B錯

2

誤；

對于C,若，二=一"，則根據(jù)正弦定理得：

cosAcosB

sinA=tanA=tanS,VA.Be（0,n）,A+BG（0,兀），：.A=Bf即aABC為等腰三

cosAcosB

角形，故c正確；

9.9

對于D,若，_=/一,則根據(jù)正弦定理得：

tanAtanB

..cosA.cosB....

sin2A--------=sm2Bn---------=>sinAcosA-sinBncosBn,

sinAsinB

則由B選項可知，此時△ABC為等腰或直角三角形，故D錯誤.

故選：AC.

12.BCD

【分析】A.若截面a為五邊形，則截面a與正方體的5個面都相交，則必有兩條交線平行,

與正五邊形的性質(zhì)矛盾.

B.作出截面a,分別求出兩部分的體積，再求體積比.

C.作出截面a,再在線段A片上找出P,證明A尸〃8

D.分別從點E在線段AB,BC,CD,4。上去討論|=21EF|是否成立.

答案第6頁，共17頁

【詳解】A.若a截正方體的截面為五邊形，則五邊形必有兩條邊位于正方體相對的平行平面

上，此時該五邊形必有兩條邊相互平行，但正五邊形沒有哪兩條邊平行，故截面不可能是五

邊形，選項A錯誤.

B.如圖，延長EF分別交于點G,/,連接RG,ZV分別交AACG于點”，J,

.??截面為五邊形RHEE/,記正方體棱長為6,C/=AG=3,C/=AH=2,

截面RHEFJ下側(cè)的體積為V=k』x9x9x6」xL3x3x2」xL3x3x2=81-3-3=75,

323232

另側(cè)體積為：/方體-K=216-75=141,=75:141=25:47,故選項B正確.

C.截面a為圖中等腰梯形E/詞口，此時取Aq中點P,知AP〃四尸,

---71cl

Air~^7~~/Pi

I1?//

A------p-------B

4/><2平面。，片/<=平面&AAP//a,故選項C正確.

D.當(dāng)E在C￡>上時，設(shè)E?=x,C￡>=2,

由|EQ|=2\EF\nj4+x2=2&2-，+1nx=。，故C￡>上有一個點E；

當(dāng)E在AD上時，=黑=孚<2,故AO上不存在這樣的點E；

當(dāng)E在BC上時，|樣|皿、一向一丁"，故BC上也不存在；

答案第7頁，共17頁

當(dāng)E在A3上時，設(shè)A￡=y,:.j8+y2=25(2一+1=>y='二："，故A3上存在一個

點E,...共2個，選項D正確.

故選：BCD.

【點睛】作截面的三種方法：

①直接法：截面的定點在幾何體的棱上

②平行線法：截面與幾何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個面

平行

③延長交線得交點：截面上的點中至少有兩個點在幾何體的同一平面上

13.B

5

【分析】由〃工6,可得“0=0,再利用兩角差的正弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算

即可得出.

【詳解】解：因為a=(l,2sin。)，6=［出,—51,1),0eR,a±b,

所以=0即sin，-?)+2sin0=°，所以sin0cosqicos6sin?+2sin0=°，即

—sin0-—cos0=O,所以tan6=^^

225

故答案為：見

5

【點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

14.3

a+3i(a+3z)(l-2z)a+6+(3-2a}i

【分析】由丁丁=------——人是純虛數(shù)求出。即可.

1+2/，(l+2款z)(l-2>z)<=5

a+3i(a+3i)(l-2i)a+6+(3-2a)i

【詳解】因為用r局局=—1是純虛數(shù)

所以a+6=0,即。=-6,所以苦1=3"所以其模為3

故答案為：3

15.1

【分析】由題意可得月=GR,得到圓錐的水面圓的直徑，進一步得到半徑，再由圓錐與圓

柱體積公式求解.

答案第8頁，共17頁

【詳解】因為圓錐的軸截面為等腰直角三角形，且H=6R,

則圓錐的水面圓的直徑為24=26R,

12

323

由匕=1X7tX(Xx/3/?=>/3rt/?,V2=7tRXy/3R=73TT/?,

v

所以V/=L,即/=1.

V2

故答案為：1

「9"

16.3y/3~'3v3

【分析】(1)根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理找平行線

(2)根據(jù)對稱性知道中點最大，兩邊最小.

【詳解】答題空1解：根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理得截面與平面BCGg的交線與MN平行，

又因為E為線段CG的中點，所以取BC的中點F，即交線為￡尸，延長MN與的延長線

交于點?！赣忠驗椤窸QNMA、N,即。Q=A"=1,連接。￡與。G交于點。2,連接

NQ,QE,又因為EC.,即。Q1=EG=1，所以。2時AG的中點，再根據(jù)面

面平行的性質(zhì)定理得截面與平面ABCD的交線與N。?平行，所以取AB的中點?！痹龠B接

M0.,即截面為平面“NaEFO?,因為六邊形"NOzEFO3為正六邊形且邊長為血，所以面

積S=6X"^X(A/^)=36.

O.

答題空2解：①當(dāng)點E與C,重合時根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理得截面與平面BCC、B\的交線與

MV平行，即交線為CB,連接M8,NC1,即等腰梯形MNGB的面積為

答案第9頁，共17頁

②當(dāng)點E與C重合時，延長MN與。"的延長線交于點。一連接QE與QC與￡>Ci交于點。2,

延長NM與DA的延長線交于點。3,連接03c與AB交于點?！?，則五邊形MNOg為截面,

如圖，則面積等于OCQ的面積減去2個。。2可的面積，并且NO02。。或，相似比

%，，“石知斗，3X/17c13岳7V17

為1:3,面積為：-...2x-x———.

2926

③當(dāng)點E在線段CC,（不包括端點時），延長MN與。4的延長線交于點億，再連接。也并延

長交AG于點Q,與OC的延長線交于點。5，延長交DA的延長線于點。3,再連接op,,

則六邊形MNOzEF。,即為截面.根據(jù)正方體的對稱性得當(dāng)點￡為cq的中點時面積最大，當(dāng)點

E與G重合時面積最小，故取值范圍為1,3?

答案第10頁，共17頁

QL

故答案為：/，-，3^3

17.(1)m=3；(2)機=4或/n=-12.

【分析】(1)可得出CA=(吁2,-2),CB=(-l,-3),從而得出|C4+C8|=J(m-3)2+25，從而可

得出ICA+CBI取最小值時機的值；

—771+8>/5

(2)根據(jù)題意即可得出一/萬一L=W，然后解出機的值即可.

V(??-2)2+4x7105

【詳解】解：(1)由題意，CA=(m-2,-2),CB=(-l,-3)

于是CA+C8=(ZM-3,-5),

所以|G4+C3|=J(九一3y+25±5，

所以ICA+CBI的最小值為5,

此時機=3；

CACB一加+8

(2)由cos<CA,CB>=

\CA\-\CB\7(m-2)2+4xVio

,—m+8

得JO-2)2+4XVRJ5，

化簡得機2+8機—48=0,解得根=4或m=—12.

【點睛】本題考查了根據(jù)點的坐標(biāo)求向量坐標(biāo)的方法，根據(jù)向量坐標(biāo)求向量長度的方法，向

量夾角的余弦公式，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.(1)證明見解析

答案第II頁，共17頁

試

【分析】(1)先證明PO_L平面PEb,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明結(jié)論;

(2)根據(jù)棱錐的體積公式即可求得答案；

(3)作出二面角P-EF-D的平面角，解直角三角形即可求得答案.

【詳解】(1)證明：因為在正方形A8C3中AO_LAE,COJLCF,

折疊后即有PD±PE,PDLPF,

又PEPF=P,PE,PFu平面PEF,

所以尸￡＞上平面PEF,而EFu平面PEF,

故尸。_LEF；

(2)由題意知PE=PF=2,PE_LPF,故S阻=gxPExPF=2,

1I0

故匕曲=§xS.xPO=§x2x4=§；

(3)取線段EF的中點G,連接PGQG,

因為PE=PEOE=O廠,

所以有PGLEEDGLEF,PGu平面PE入。Gu平面。跖,

所以NPGO即為二面角P-E尸-。的平面角,

又由（1）得PD_L平面PEF,PGu平面PEF,

故尸DJ_PG,而EF=2&,PG=；EF=&DG=JPD?+PG。=次+電）2=372,

故8s4G°=惡=系1'

即二面角2-所-。的余弦值為;.

19.(1)詳見解析;

答案第12頁，共17頁

(2)詳見解析;

【分析】(1)利用線面平行判斷判定定理即可證得EF〃平面PAD;

(2)先利用線面垂直判定定理證得PA，面PC。，進而證得平面平面尸DC；

(3)先求得直線E尸與平面ABCD所成角的正弦值，進而求得該角的大小.

【詳解】(1)取Pn中點S,AE>中點T,連接ES,S7,TF,

又E,F分別為PC,6。的中點，

則ES//CD,￡5=-CD,TF//AB,TF^-AB,

22

又AB//CD,AB=CD,則ES//TF,TF=ES,

則四邊形ESTF為平行四邊形，則EFHTS,

又EFu平面RW,75u平面PA。，則EF〃平面PAO.

(2)在小PAD中，PA=PD=^a,AD=a,

2

由可得R4J_P￡>,

由面PAOJ_面ABCD,面PADc面ABCD=AD,

AD1CD,C￡>u面A8CO,可得CZ)_L面PAD,

又B4u面尸4),^\CDLPA,

又PA'PD,CDPD=D,CD,PDu面PCD,

則PA_L面PC。，又PAu面ZVIB,

則平面平面PDC；

(3)連接PT,△PAD中，PA=PD,AT=DT,^\PTA.AD,

又面FAOJ?面ABC。，面R4￡>c面A8C￡>=4),尸Tu面PAD,

則PT_L面ABCD,則PT為點、P到面A8C￡)的距離，

又E為PC的中點，則點E到面ABCD的距離為gPT,

又4PAD中，PA=PD=—a,AD=a,AT=DT,

2

則"=\PT=\a,則點E到面ABC3的距離為La,

2244

y.EF=ST=-PA=—a,

24

答案第13頁，共17頁

1

-arx

設(shè)直線EF與平面ABC。所成角為6,則sinO=-^L=^-

——a

4

Tt71

又0,-,則，

4

7T

則直線b與平面A58所成角的大小為I

⑵8-4石

【分析】(1)利用三角形內(nèi)角和，正弦定理即可求出角8；

(2)利用向量加法，余弦定理和基本不等式求出碇的取值范圍，即可得到ABC的面積的

最大值.

【詳解】(1)由題意，

在.ABC中，A^csinB=a-hcosC)

..abc.?

?----------------------,A+n+C=Jr

sinAsin3sinC

V3sinCsinB=sinA-sinBcosC,BP>/3sinCsinB=sin(B4-C)-sinBcosC,

/.sinB-cosBjsinC=0,

VsinC0,0<B<n

???V3sinB-cosB=0,可得tan3=^^,解得：B=J.

36

(2)由題意及(1)得

在，ABC中，B=%DC=AD^BD=2,

o

力為邊AC的中點，4|BD|2=4x22=16

答案第14頁，共17頁

ULIUUULILIU

**-2BD=BA+BC,

：.4(BO『=(84+8C)2=(網(wǎng)2+284.8C+(8C『，即

4阿1二研+2網(wǎng),0際8+|時=16,

設(shè)〔BAbc,|BC|=67,則a2+c2+2accosa24-c2+\[?>ac=16>^2+y/i^ac,

所以X會=32-166,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時，等號成立.

.?.S"c=gacsinB=(ac48-4拓，當(dāng)且僅當(dāng)。=c時，等號成立,

ABC的面積的最大值為8-46.

21.(1)表面積為叵匚％2,體積為2萬/；(2)當(dāng)oo，=色時，被挖去的圓柱的側(cè)面積

4962

■>

最大值為‘二.

4

【分析】(1)根據(jù)圓錐，圓柱的側(cè)面積，表面積和體積公式即可求出；

(2)設(shè)O0=x,用x的函數(shù)表達式表示出圓柱的側(cè)面積，再利用基本不等式即可求出其最

大值.

【詳解】。)設(shè)圓柱的底面半徑為乙由三角形中位線定理可知‘，?=('圓柱母線長

而圓錐的母線長為/,所以圓錐挖去圓柱剩下幾何體的表面積為

圓錐的表面積加上圓柱的側(cè)面積,

nnc(a逐八aa逐+2

即S=;rx—