工程中關(guān)于公差模型的數(shù)學(xué)方法

公差模型的數(shù)學(xué)方法

報(bào)告人：劉嬌2021/10/10星期日1.目錄CONTENTS12

建立公差模型的數(shù)學(xué)方法研究面向剛性、柔性裝配的公差分析方法2021/10/10星期日2.目錄CONTENTS12

建立公差模型的數(shù)學(xué)方法研究面向剛性、柔性裝配的公差分析方法2021/10/10星期日3.125漂移公差帶模型虛擬邊界模型齊次變換矩陣法建立公差模型的數(shù)學(xué)方法研究3矢量空間模型（圓度公差數(shù)學(xué)模型）4基于積分映射的輪廓度公差建模2021/10/10星期日4.125漂移公差帶模型虛擬邊界模型齊次變換矩陣法建立公差模型的數(shù)學(xué)方法研究3矢量空間模型（圓度公差數(shù)學(xué)模型）4基于積分映射的輪廓度公差建模2021/10/10星期日5.1漂移公差帶模型閔科夫斯基和（Minkowskisum）是兩個(gè)歐幾里得空間（一個(gè)特別的度量空間它使我們能夠?qū)ζ涞耐負(fù)湫再|(zhì)加以調(diào)查）的點(diǎn)集的和，以德國(guó)數(shù)學(xué)家閔可夫斯基命名。點(diǎn)集A與B的閔可夫斯基和就是A+B={a+b|a∈A,b∈B}。例如，平面上有兩個(gè)三角形，其坐標(biāo)分別為A={(1,0),(0,1),(0,?1)}及B={(0,0),(1,1),(1,?1)}，則其閔可夫斯基和為A+B={(1,0),(2,1),(2,?1),(0,1),(1,2),(1,0),(0,?1),(1,0),(1,?2)}。2021/10/10星期日6.例：+=2021/10/10星期日7.MMC：MaximumMaterialCondition最大實(shí)體條件[MMC=A

+B]LMC：LeastMaterialCondition最小實(shí)體條件[LMC=A-B]公差帶可以認(rèn)為是處于MMC和LMC狀態(tài)下的兩個(gè)實(shí)體的差集，只不過(guò)該集合使用漂移技術(shù)得到的2021/10/10星期日8.如圖所示，移動(dòng)一個(gè)半徑為r的圓盤(pán)，其圓心位于圖(a)所示矩形邊上，所掃過(guò)的空間區(qū)域如圖(b)所示，它是圖(a)矩形的擴(kuò)展型，即矩形和圓盤(pán)的閔可夫斯基和；類(lèi)似的，可得如圖(c)所示的圖(a)中矩形的縮減型；求擴(kuò)展型和縮減型的差，便得圖所示的公差帶。（a）一個(gè)矩形（b）擴(kuò)展形（c）收縮型MMCLMC（d）公差帶2021/10/10星期日9.漂移模型(offettingmodel)這個(gè)模型用點(diǎn)集形式來(lái)表示，實(shí)體S是歐氏空間的一個(gè)正則子集，用點(diǎn)集定義了其上特征，公差的數(shù)學(xué)表達(dá)：為所需添加公差的實(shí)體為該名義實(shí)體的邊界是公差要求上述定義的公差經(jīng)過(guò)漂移，得到漂移實(shí)體=為漂移量(與公差有關(guān))-*為正規(guī)差C*為正規(guī)補(bǔ)點(diǎn)p到實(shí)體S的距離2021/10/10星期日10.漂移公差帶模型（a）一個(gè)矩形（b）擴(kuò)展形（c）收縮型（d）公差帶

假定一個(gè)實(shí)體S，它的正漂移a>0定義為S↑*a，相當(dāng)于在實(shí)體S外加上一層與實(shí)體S邊界的距離值小于等于a的所有的點(diǎn)（圖b）；a<0為負(fù)漂移，定義為S↓*|a|,相當(dāng)于除去實(shí)體S上與實(shí)體S邊界的距離值小于a的所有的點(diǎn)（圖c）2021/10/10星期日11.國(guó)標(biāo)和ISO采用極限尺寸判斷原則：（1）孔和軸的作用尺寸不允許超過(guò)最大實(shí)體尺寸?？祝饔贸叽鐟?yīng)不小于最小尺寸；軸，不應(yīng)大于最大極限尺寸。（2）在任何位置上實(shí)際尺寸不允許超過(guò)最小實(shí)際尺寸。孔，實(shí)際尺寸應(yīng)不大于最大尺寸；軸，不應(yīng)小于最小極限尺寸。2021/10/10星期日12.125漂移公差帶模型虛擬邊界模型齊次變換矩陣法建立公差模型的數(shù)學(xué)方法研究3矢量空間模型（圓度公差數(shù)學(xué)模型）4基于積分映射的輪廓度公差建模2021/10/10星期日13.2虛擬邊界模型定義：R.J和V.S在漂移理論上，將裝配件的功能要求描述為虛擬表面的功能要求剛性集合。

這種用虛擬表面或虛擬半空間的邊界的剛性集合來(lái)描述的功能要求的方法稱(chēng)為虛擬表面法或虛擬邊界要求法(VBRS)。裝配要求材料體積要求VBRS相當(dāng)于對(duì)材料增加量的限制，即對(duì)孔而言限制其最小極限尺寸，對(duì)軸而言限制其最大極限尺寸相當(dāng)于對(duì)零件材料減少量的限制，即對(duì)孔而言限制其最大極限尺寸，對(duì)軸而言限制其最小極限尺寸2021/10/10星期日14.裝配要求：（在兩個(gè)零件之間建立指定的空間關(guān)系）柱銷(xiāo)和墊片的裝配要求2021/10/10星期日15.柱銷(xiāo)應(yīng)滿(mǎn)足的集合約束關(guān)系采用虛擬表面剛性集合表述：（1）Vs-1位于法蘭面的非材料邊(2)法蘭面與Vs-1緊密接觸（3）Vs-2包容圓柱面墊片應(yīng)滿(mǎn)足的集合約束關(guān)系采用虛擬表面剛性集合表述：（1）Vs-1存在于基面的非材料邊(2)基面與Vs-1緊密接觸（3）Vs-2被墊片的圓柱孔表面包圍2021/10/10星期日16.材料體積要求：功能要求:圓筒圓柱壁材料所占的體積包容由規(guī)定直徑和壁厚所確定的空心圓柱體積。關(guān)鍵部位的材料幾何特性稱(chēng)為材料體積要求，只與材料量有關(guān)，與零件個(gè)部分之間的空間關(guān)系無(wú)關(guān)。虛擬表面剛性集合表述：（1）Vs-outer位于外圓柱的材料邊且被外圓柱包圍（2）Vs-inner存在于內(nèi)圓柱的材料邊且包容內(nèi)圓柱虛擬邊界實(shí)際上是滿(mǎn)足公差定義的零偏差的極值邊界，所以虛擬邊界模型可用于極值公差分析，但不適用于尺寸鏈復(fù)雜的裝配體。

2021/10/10星期日17.125漂移公差帶模型虛擬邊界模型齊次變換矩陣法建立公差模型的數(shù)學(xué)方法研究3

矢量空間模型（圓度公差數(shù)學(xué)模型）4基于積分映射的輪廓度公差建模2021/10/10星期日18.3矢量空間模型Hoffman認(rèn)為幾何實(shí)體由三維歐氏空間的點(diǎn)矢量構(gòu)成，公差模型定義為一系列以點(diǎn)矢量為參數(shù)的公差函數(shù)族。滿(mǎn)足公差要求就是滿(mǎn)足下式：為零件的參數(shù)矢量為公差函數(shù)L、U為公差域的上、下界Turner擴(kuò)展了這一模型。首先需要定義公差變量、設(shè)計(jì)變量和模型變量公差變量：表示零件名義尺寸的偏差設(shè)計(jì)變量：由設(shè)計(jì)者確定，用以表示最終裝配件的多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)模型變量：控制零件各個(gè)公差的獨(dú)立變量

由于旋轉(zhuǎn)偏差是非線性的，用模型變量表示旋轉(zhuǎn)偏差旋轉(zhuǎn)方向上的矢量頂點(diǎn)特點(diǎn)：1.參數(shù)矢量必須獨(dú)立，否則就不能保證線性獨(dú)立和矢量疊加的可替換性2.即使是一個(gè)簡(jiǎn)單的零件會(huì)產(chǎn)生大量參數(shù)矢量，如平面上兩個(gè)圓的尺寸公差就需要定義至少36個(gè)參數(shù)矢量3.為把公差約束轉(zhuǎn)換成參數(shù)矢量，需要對(duì)公差約束做一些近似處理，導(dǎo)致過(guò)大的誤差積累2021/10/10星期日19.圓度公差數(shù)學(xué)模型

（1）假設(shè)圓度公差帶局部坐標(biāo)系的原點(diǎn)取在圓心

定向矢量帶入（1）2021/10/10星期日20.圓度公差帶最大位移情況當(dāng)處于最大值時(shí)，圓過(guò)，圓過(guò)代入（3）（4）由（7）（8）得2021/10/10星期日21.125漂移公差帶模型虛擬邊界模型齊次變換矩陣法建立公差模型的數(shù)學(xué)方法研究3矢量空間模型（圓度公差數(shù)學(xué)模型）4基于積分映射的輪廓度公差建模2021/10/10星期日22.4齊次變換矩陣法常用齊次坐標(biāo)來(lái)實(shí)現(xiàn)三維空間中的點(diǎn)從一個(gè)坐標(biāo)到另一個(gè)坐標(biāo)的變換，坐標(biāo)點(diǎn)的齊次坐標(biāo)變換可寫(xiě)成2021/10/10星期日23.零件A從理想位姿變換到實(shí)際位的齊次坐標(biāo)變換：，綜合的表示了沿各坐標(biāo)軸的平動(dòng)和繞各坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)

平動(dòng)2021/10/10星期日24.由于影響機(jī)械加工精度的幾何變動(dòng)量相對(duì)零件的名義尺寸是微小量簡(jiǎn)化旋轉(zhuǎn)2021/10/10星期日25.2021/10/10星期日26.2021/10/10星期日27.機(jī)床工作臺(tái)相對(duì)于刀具的齊次坐標(biāo)變換（機(jī)床的幾何精度）夾具相對(duì)于機(jī)床工作臺(tái)的齊次坐標(biāo)變換（夾具在機(jī)床上的定位誤差）工件相對(duì)夾具的齊次坐標(biāo)變換（工件在夾具上的定位誤差）工件本身幾何變動(dòng)2021/10/10星期日28.125漂移公差帶模型虛擬邊界模型齊次變換矩陣法建立公差模型的數(shù)學(xué)方法研究3矢量空間模型（圓度公差數(shù)學(xué)模型）4基于積分映射的輪廓度公差建模2021/10/10星期日29.5基于積分映射的輪廓度公差建模

自由曲面空間平面P

Z=h假設(shè)則對(duì)曲面的積分可以通過(guò)對(duì)平面積分求解得到2021/10/10星期日30.變動(dòng)要素公差上限理想要素公差下限2021/10/10星期日31.設(shè)映射平面變化大小為2021/10/10星期日32.目錄CONTENTS12

建立公差模型的數(shù)學(xué)方法研究面向剛性、柔性裝配的公差分析方法2021/10/10星期日33.剛體偏差分析模型假設(shè)不考慮零件的局部變形，只考慮零件的整體位移，可采用運(yùn)動(dòng)學(xué)分析理論。

柔性體模型中考慮零件的裝配變形因此需采用彈塑性力學(xué)分析理論。模型類(lèi)別分析方法特點(diǎn)基于剛性假設(shè)的偏差模型尺寸鏈模型尺寸鏈法直接簡(jiǎn)單、易于理解、適于簡(jiǎn)單對(duì)象確定性算法適于零件變形