1.4 全等三角形（解析版）

1.4全等三角形了解全等形的概念,會判斷兩個圖形是不是全等形理解全等三角形的概念,學(xué)會判斷對應(yīng)元素的方法掌握全等三角形的性質(zhì),能利用全等三角形的性質(zhì)解決相關(guān)的證明和計(jì)算問題.知識點(diǎn)一全等形的概念能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形.全等形的形狀、大小相同.注意：(1)兩個圖形是否全等,只與這兩個圖形的形狀和大小有關(guān),而與圖形的位置無關(guān)(2)只有形狀和大小都相同的圖形才是全等形(3)全等形的周長、面積分別相等,但周長或面積相等的兩個圖形不一定是全等形即學(xué)即練（2023秋·安徽宣城·八年級統(tǒng)考期末）下列四個圖形中，屬于全等圖形的是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．③和④【答案】A【分析】根據(jù)全等形的概念：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形可得答案．【詳解】解：①、②和④都可以完全重合，因此全等的圖形是①和②．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等圖形，關(guān)鍵是掌握能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形．知識點(diǎn)二全等三角形的概念和表示方法1.全等三角形的相關(guān)概念(1)全等三角形:能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形(2)全等三角形的對應(yīng)元素:①對應(yīng)頂點(diǎn):全等三角形中,能夠重合的頂點(diǎn)②對應(yīng)邊:全等三角形中,能夠重合的邊③對應(yīng)角:全等三角形中,能夠重合的角2全等三角形的表示方法全等用符號“≌”表示,讀作“全等于”,記兩個三角形全等時,通常把表示對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)的位置上.例如，圖中的△ABC和△DEF全等，記作△ABC≌△DEF,讀作“△ABC全等于△DEF”其中點(diǎn)A和點(diǎn)D,點(diǎn)B和點(diǎn)E，點(diǎn)C和點(diǎn)F是對應(yīng)頂點(diǎn)，AB和DE，BC和EF，AC和DF是對應(yīng)邊，∠A和∠D,∠B和∠E,∠C和∠F是對應(yīng)角.3全等三角形中對應(yīng)元素的確定方法(1)圖形特征法:①最長邊對最長邊，最短邊對最短邊②最大角對最大角，最小角對最小角位置關(guān)系法:①公共角(對頂角)為對應(yīng)角，公共邊為對應(yīng)邊②對應(yīng)角的對邊為對應(yīng)邊,兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊③對應(yīng)邊的對角為對應(yīng)角，兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角(3)字母順序法:根據(jù)書寫規(guī)范按照對應(yīng)頂點(diǎn)確定對應(yīng)邊或?qū)?yīng)角歸納對應(yīng)邊、對應(yīng)角與對邊、對角的區(qū)別：對應(yīng)邊、對應(yīng)角是兩個三角形的兩條邊之間或兩個角之間的關(guān)系而對邊、對角是一個三角形中的邊和角之間的關(guān)系，“對邊”指與某個角相對的邊，“對角”指與某條邊相對的角.即學(xué)即練1（2023秋·安徽池州·八年級統(tǒng)考期末）下列說法中正確的是（

）A．兩個面積相等的圖形，一定是全等圖形 B．兩個等邊三角形是全等圖形C．兩個全等圖形的面積一定相等 D．若兩個圖形周長相等，則它們一定是全等圖形【答案】C【分析】根據(jù)全等圖形的判定和性質(zhì)，對每個選項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得到答案．【詳解】解：A、兩個面積相等的圖形不一定是全等圖形，故A錯誤；B、兩個等邊三角形不一定是全等圖形，故B錯誤；C、兩個全等圖形的面積一定相等，正確；D、若兩個圖形的周長相等，則它們不一定是全等形，故D錯誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等圖形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記全等圖形的判定和性質(zhì)進(jìn)行判斷．即學(xué)即練2如圖，△ABC≌△CDA，AB和CD，BC和DA是對應(yīng)邊．寫出其他對應(yīng)邊及對應(yīng)角．【答案】其他對應(yīng)邊：AC和CA．對應(yīng)角：∠BAC和∠DCA，∠B和∠D，【分析】根據(jù)全等三角形的概念，寫出相對應(yīng)的邊和角即可．【詳解】解：∵△ABC≌△CDA，∴其他對應(yīng)邊：AC和CA．對應(yīng)角：∠BAC和∠DCA，∠B和∠D，∠ACB和∠CAD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的概念，解題的關(guān)鍵在于能夠熟記概念．知識點(diǎn)三全等三角形的性質(zhì)1.性質(zhì)全等三角形的對應(yīng)邊相等,全等三角形的對應(yīng)角相等2.書寫格式∵∴,,;,,提示全等三角形的周長相等,面積相等,對應(yīng)邊上的中線相等,對應(yīng)角的平分線相等,對應(yīng)邊上的高相等.全等三角形的性質(zhì)可用來證明線段相等,角相等.即學(xué)即練（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，已知△ABC≌△DEF，點(diǎn)B，E，C，

(1)若∠BED=140°，∠D=75°，求∠ACB的度數(shù)；(2)若BE=2，EC=3，求BF的長．【答案】(1)65(2)7【分析】（1）由三角形外角性質(zhì)，得∠F=∠BED（2）由條件可推出BC=BE+EC=5，由三角形全等知BC=EF=5，故BF=BE+EF=7．【詳解】（1）解：∵∠BED=140°，∴∠F=∵△ABC∴∠ACB=（2）解：∵BE=2，EC=3，∴BC=BE+EC=5∵△ABC∴BC=EF=5，∴BF=BE+EF=2+5=7．故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，由全等三角形得出角之間，線段之間的相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型一全等圖形識別例1（2022秋·浙江嘉興·八年級校聯(lián)考期中）觀察下列圖案，其中與如圖全等的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)全等圖形的定義：形狀，大小完全相同，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：圖形與為全等圖形．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查全等圖形的定義．熟練掌握形狀，大小完全相同的兩個圖形，是全等圖形，是解題的關(guān)鍵．舉一反三1（2020·浙江金華·八年級期末）下列圖形中是全等圖形的是．（填序號）【答案】⑤和⑦【分析】根據(jù)能夠互相重合的兩個圖形叫做全等圖形解答．【詳解】解：由全等形的定義可知：⑤和⑦是全等圖形，故答案為：⑤和⑦．【點(diǎn)睛】本題考查了全等圖形，是基礎(chǔ)題，熟記概念并準(zhǔn)確識別各圖形的形狀是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（2021秋·浙江寧波·八年級浙江省余姚市第四中學(xué)校考期中）下列說法正確的是（

）A．形狀相同的兩個三角形全等 B．面積相等的兩個三角形全等C．完全重合的兩個三角形全等 D．所有的等邊三角形全等【答案】C【分析】根據(jù)全等形的概念：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形，以及全等三角形的判定定理可得答案．【詳解】解：A、形狀相同的兩個三角形全等，說法錯誤，應(yīng)該是形狀相同且大小也相同的兩個三角形全等；B、面積相等的兩個三角形全等，說法錯誤；C、完全重合的兩個三角形全等，說法正確；D、所有的等邊三角形全等，說法錯誤；故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等圖形，關(guān)鍵是掌握全等形的概念．題型二利用全等圖形求正方形網(wǎng)格中角度之和例2（2022秋·浙江·八年級校聯(lián)考期中）如圖，已知方格紙中是4個相同的小正方形，則∠1+∠2的度數(shù)為.【答案】45°【分析】觀察圖形可知∠3與∠1所在的直角三角形全等，則∠1=【詳解】觀察圖形可知∠3與∠∴∠1=∵∠4=45∴∠1+故答案為：45°【點(diǎn)睛】本題考查了利用全等的性質(zhì)求網(wǎng)格中的角度，三角形外角的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，得出∠1=舉一反三1（2022秋·重慶榮昌·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中標(biāo)出了∠1和∠2，則∠1+∠2=度．【答案】135【分析】作輔助線，使△ADB為等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形△DFB≌△【詳解】解：如圖，連接AD、BD，∠ADB=90°，AD=BD=BC，由圖可知，在△DFB和△DF=BE∠∴△DFB∴∠DBF=∵∠DBA=45∴∠1+故答案為：135．【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格中求兩角和，構(gòu)造全等三角形，利用等角代換是解題關(guān)鍵．舉一反三2（2022秋·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示的網(wǎng)格是由9個相同的小正方形拼成的，圖形的各個頂點(diǎn)均為格點(diǎn)，則∠1-∠2-∠3的度數(shù)為（

）．A．30° B．45° C．55° D．60°【答案】B【分析】根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)，可得出∠1=90°，∠【詳解】解：如圖，則∠1=90°，∠∴∠1-∠2故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查網(wǎng)格中的全等圖形、三角形的外角性質(zhì)，會利用全等圖形求正方形網(wǎng)格中角度之和是解答的關(guān)鍵．題型三將已知圖形分割成幾個全等圖形例3（2021秋·北京西城·八年級?？计谥校┳鲌D題將4×4的棋盤沿格線劃分成兩個全等圖形，參考圖例補(bǔ)全另外幾種（約定某種劃分法經(jīng)過旋轉(zhuǎn)、軸對稱得到的劃分法與原劃分法相同）．【答案】見解析【分析】能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形，可以利用圖形的軸對稱性和中心對稱性來分割成兩個全等的圖形．【詳解】解：如圖所示，（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等圖形，解題的關(guān)鍵是掌握全等圖形的定義：形狀和大小完全相同的兩個圖形叫全等形．舉一反三1（2021秋·江西贛州·八年級統(tǒng)考期中）沿網(wǎng)格線把正方形分割成兩個全等圖形？用兩種不同的方法試一試．【答案】見解析【分析】觀察圖形發(fā)現(xiàn)：這個正方形網(wǎng)格的總面積為16，因此只要將面積分為8，且圖形形狀相同即可．【詳解】解：如圖所示即為所求．【點(diǎn)睛】題目主要考查了全等圖形的定義及學(xué)生的空間想象能力，理解全等圖形的定義是解題關(guān)鍵．舉一反三2（2022秋·河南三門峽·八年級統(tǒng)考期中）下圖所示的圖形分割成兩個全等的圖形，正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用全等圖形的概念進(jìn)而得出答案．【詳解】解：圖形分割成兩個全等的圖形，如圖所示：故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查全等圖形的識別，解題的關(guān)鍵是熟知全等的性質(zhì).題型四全等三角形的概念例4（2022秋·浙江杭州·八年級?？计谥校┫铝忻}是真命題的是（

）A．兩個等邊三角形一定全等 B．形狀相同的兩個三角形全等C．全等三角形的面積一定相等 D．面積相等的兩個三角形全等【答案】C【分析】根據(jù)全等圖形的概念和性質(zhì)對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．【詳解】解：A、兩個等邊三角形一定相似，但不一定全等，如一個等邊三角形三邊為2，2，2，另一個等邊三角形是3，3，3，故選項(xiàng)A中的命題是假命題；B、形狀相同的兩個三角形相似，但不一定全等，如一個邊長為2的等邊三角形和一個邊長為3的等邊三角形，故選項(xiàng)B中的命題是假命題；C、全等三角形大小形狀完全相同，所以面積一定相等，故選項(xiàng)C中的命題是真命題；D、面積相等的兩個三角形不一定全等，如同底邊，等高的兩個三角形，故選項(xiàng)D中的命題是假命題；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查命題與定理和全等圖形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，可以判斷出各個選項(xiàng)中的命題的真假．舉一反三1（2019秋·浙江杭州·八年級期末）下列說法正確的是（）A．全等三角形是指形狀相同大小相等的三角形B．全等三角形是指面積相等的三角形C．周長相等的三角形是全等三角形D．所有的等邊三角形都是全等三角形【答案】A【詳解】解：根據(jù)全等三角形的定義，能夠完全重合的三角形是全等三角形，故選：A.舉一反三2（2020秋·浙江杭州·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）下列說法正確的是（）A．形狀相同的兩個三角形全等B．面積相等的兩個三角形全等C．完全重合的兩個三角形全等D．所有的等腰三角形都全等【答案】C【分析】利用三角形全等的定義及性質(zhì)解題即可．【詳解】解：A．形狀相同，邊長不對應(yīng)相等的兩個三角形不全等，故本選項(xiàng)錯誤；B．面積相等的兩個三角形不一定全等，故本選項(xiàng)錯誤；C．完全重合的兩個三角形全等，正確；D．兩個腰不相等的等腰三角形不全等，故本選項(xiàng)錯誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的性質(zhì)及定義，熟知三角形全等的定義是解題關(guān)鍵．題型五全等三角形的性質(zhì)例5（2023秋·浙江杭州·八年級?？奸_學(xué)考試）如圖所示，△ABC≌△ADE，∠CAD=10°，∠B=25°，

A．90° B．95° C．100° D．110°【答案】A【分析】根據(jù)△ABC≌△ADE，得出∠DAE=∠CAB，根據(jù)∠CAD=10°，【詳解】解：∵△ABC∴∠DAE=∵∠CAD=10°，∴∠DAE+∴∠CAB=∴∠FAB=∵∠B=25∴∠AFB=180故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的性質(zhì)，求出∠CAB=55舉一反三1（2023秋·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知△ABC≌△DBE，AB=4，BE=10，則CD的長是．【答案】6【分析】根據(jù)全等的性質(zhì)可得AB=BD=4，BC=BE=10，觀察圖形得CD=BC-【詳解】解：∵△ABC≌△DBE，AB=4∴AB=BD=4，BC=BE=10，∴CD=BC故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練應(yīng)用全等三角形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（2023秋·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）下列命題是假命題的是（

）A．同旁內(nèi)角互補(bǔ) B．全等三角形的對應(yīng)角相等C．內(nèi)錯角相等，兩直線平行 D．三角形的兩邊之和大于第三邊【答案】A【分析】根據(jù)命題的定義一一進(jìn)行判斷真假即可解答．【詳解】A、只有兩條平行線形成的同旁內(nèi)角才互補(bǔ)，所以這個命題是假命題，故選A；B、兩個三角形全等，所以對應(yīng)角相等，是真命題，故B選項(xiàng)與題意不符；C、根據(jù)平行線的判定，內(nèi)錯角相等，兩直線平行是真命題，故選項(xiàng)C與題意不符；D、由三角形的三邊關(guān)系可判斷，三角形的兩邊之和大于第三邊是真命題，故選項(xiàng)D與題意不符；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了命題的定義，熟悉掌握命題、定理、真理、推論的定義是解決本題的關(guān)鍵．單選題1.（2023秋·浙江杭州·八年級校聯(lián)考期末）如圖，△ABC≌△EFD，則下列說法錯誤的是（

）A．FC=BD B．EF平行且等于ABC．∠B=∠ACB D．AC平行且等于DE【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，對選項(xiàng)逐個判斷即可．【詳解】解：∵△ABC∴DF=BC，AC=DE，EF=AB，∠F=∠∴FC=DF-EF∥AB，AC∥DE，根據(jù)已知，得不出∠B=故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)，平行線的判定，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．2．（2023秋·浙江溫州·八年級瑞安市安陽實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，△OCA≌△OBD，∠A=30°，∠AOC=80°，則∠B的度數(shù)為（

）A．30° B．70° C．80° D．90°【答案】B【分析】在△AOC中由三角形內(nèi)角和180°可求出∠C，由全等三角形對應(yīng)角相等可得【詳解】解∶在△AOC中，∠∴∠C=又∵△OCA∴∠C=故選B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和與全等三角形的性質(zhì)，熟記相應(yīng)的概念是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·浙江杭州·八年級?？奸_學(xué)考試）下列各組圖形中，屬于全等圖形的是（

）A．

B．

C． D．

【答案】C【分析】根據(jù)全等圖形的定義（能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形）逐項(xiàng)判斷即可得．【詳解】解：A、兩個圖形的大小不相同，不能夠完全重合，不是全等圖形，則此項(xiàng)不符合題意；B、兩個圖形的大小不相同，不能夠完全重合，不是全等圖形，則此項(xiàng)不符合題意；C、兩個圖形能夠完全重合，是全等圖形，則此項(xiàng)符合題意；D、兩個圖形的形狀不相同，不能夠完全重合，不是全等圖形，則此項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等圖形，熟記定義是解題關(guān)鍵．4．（2023秋·廣西崇左·八年級統(tǒng)考期末）下列命題中是假命題的是（

）A．對頂角相等 B．兩直線平行，同位角相等C．全等三角形對應(yīng)角相等 D．同旁內(nèi)角互補(bǔ)【答案】D【分析】根據(jù)對頂角的性質(zhì)可以判斷A，根據(jù)平行線的性質(zhì)可以判斷B、D，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可以判斷C，即可得到答案．【詳解】解：A.對頂角相等，是真命題，故A選項(xiàng)不符合題意；B.兩直線平行，同位角相等，是真命題，故B選項(xiàng)不符合題意；C.全等三角形對應(yīng)角相等，是真命題，故C選項(xiàng)不符合題意；D.兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，故原命題是假命題，故D選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題與定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握對頂角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)．5．（2023秋·山東菏澤·八年級校聯(lián)考期末）圖中△ABC≌△ADE,∠DAC=100°,∠BAE=140°，則

A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】B【分析】先根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等求出∠B=∠D,∠BAC=∠DAE，所以∠【詳解】解：∵△ABC∴∠B=∵∠BAD=∠BAC∴∠BAD=∵∠DAC=100∴∠BAD=在△ABG和△∠B=∴∠DFB=∴∠CFE=故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是關(guān)鍵．二、填空題1．（2023秋·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC≌△DEF，且∠A=55°，∠B=75°，則∠F=°．【答案】50【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理計(jì)算出∠C【詳解】解：在△ABC中，∠∵△ABC∴∠F=故答案為：50．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和，全等三角形的性質(zhì)的綜合，理解并掌握三角形的內(nèi)角和等于180°2．（2023秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）如圖，若△ABD≌△ACE，且∠1=45°，∠ADB=95°，則∠B=°．【答案】50【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵△ABD≌△ACE∴∠AEC=∵∠AEC=∠1+∴∠B=50故答案為：50．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·浙江杭州·八年級?？奸_學(xué)考試）如果△ABC的三邊長分別為3，5，7，△DEF的三邊長分別為3，3x-2，2y-1，若這兩個三角形全等，則x+y=．【答案】6或19【分析】根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等分類討論，分別求出x值判斷即可．【詳解】解：∵△ABC和△∴當(dāng)3x-2=52y∴x+y=7當(dāng)3x-2=72y∴x+y=3+3=6；∴綜上所述，x+y=19故答案為：6或193【點(diǎn)睛】此題考查的是根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求字母的值，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等是解決此題的關(guān)鍵．4．（2023秋·廣西賀州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ACE≌△DBF，若∠A=68°,∠E=78°,則∠FBD的度數(shù)是

【答案】34°/34【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ECA【詳解】解：∵在△AEC中，∠A=68°∴∠ECA=180∵△ACE∴∠FBD=故答案為：34°【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，熟知全等三角形對應(yīng)角相等是解本題的關(guān)鍵．5．（2023秋·山西陽泉·八年級統(tǒng)考期末）已知△ABC≌△DEF，△DEF的周長為22，DE=10，AC=4，則BC=．【答案】8【分析】利用全等三角形的性質(zhì)得出AB=DE=10，AC=DF=4，BC=EF，再結(jié)合△DEF【詳解】解：∵△ABC∴AB=DE=10，AC=DF=4，BC=EF，∵△DEF∴DE+EF+DF=10+EF+4=22，∴BC=EF=22-故答案為：8．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，得出對應(yīng)邊相等是解題關(guān)鍵．三、解答題1．（2023秋·河北承德·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC和△A'B'C'的頂點(diǎn)都在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，且△ABC和△

(1)直接寫出△ABC的面積為；(2)請?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中作出對稱軸m；(3)請?jiān)诰€段AC的右側(cè)找一點(diǎn)D，畫出△DCB，使△ABC≌△DCB．【答案】(1)5(2)見解析(3)見解析【分析】（