專題08 分式方程（教師版）

知識(shí)點(diǎn)01：解分式方程【高頻考點(diǎn)精講】1．解分式方程的步驟（1）去分母。方程兩邊同時(shí)乘以最簡公分母，將分式方程化為整式方程。（2）去括號(hào)。系數(shù)分別乘以括號(hào)里的數(shù)。（3）移項(xiàng)。含有未知數(shù)的式子移到方程左邊，常數(shù)移到方程右邊。（4）合并同類項(xiàng)。（5）系數(shù)化為1。（6）檢驗(yàn)。把整式方程的根代入最簡公分母，如果最簡公分母等于0，這個(gè)根就是增根；如果最簡公分母不等于0，這個(gè)根就是原分式方程的根；如果解出的根是增根，那么原方程無解。2．換元法解分式方程（1）將原分式方程中含有字母的整體用另一個(gè)字母代替，從而使問題得到簡化，這種方法叫做換元法。（2）常見類型①直接換元。例如，設(shè)。②配方換元。例如，原方程配方，得，設(shè)。③倒數(shù)換元。例如，設(shè)。④變形換元。例如，可變形為，設(shè)。知識(shí)點(diǎn)02：由實(shí)際問題抽象出分式方程【高頻考點(diǎn)精講】1．利用常見數(shù)量關(guān)系確定等量關(guān)系。例如行程問題中的相遇時(shí)間、追擊時(shí)間相等。2．利用關(guān)鍵詞確定等量關(guān)系。例如“倍”“多”“少”等。檢測(cè)時(shí)間：90分鐘試題滿分：100分難度系數(shù)：0.56一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?哈爾濱）方程＝的解為（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2解：分式方程去分母得：2x+2＝3x，解得：x＝2，經(jīng)檢驗(yàn)x＝2是分式方程的解．故選：C．2．（2分）（2023?德州）某次列車平均提速v千米/小時(shí)，用相同的時(shí)間，列車提速前行駛s千米，相同的時(shí)間，提速后比提速前多行駛50千米，根據(jù)以上信息，下列說法正確的是（）A．若設(shè)提速后這次列車的平均速度為x千米/小時(shí)，則可列方程為 B．若設(shè)提速后這次列車的平均速度為x千米/小時(shí)，則可列方程為 C．若設(shè)提速前這次列車的平均速度為y千米/小時(shí)，則可列方程為 D．若設(shè)提速前這次列車的平均速度為y千米/小時(shí)，則可列方程為解：①∵該次列車平均提速v千米/小時(shí)，且提速后這次列車的平均速度為x千米/小時(shí)，∴提速前這次列車的平均速度為（x﹣v）千米/小時(shí)．根據(jù)題意得：＝；②∵該次列車平均提速v千米/小時(shí)，且提速前這次列車的平均速度為y千米/小時(shí)，∴提速后這次列車的平均速度為（y+v）千米/小時(shí)．根據(jù)題意得：＝．故選：B．3．（2分）（2023?大連）解方程去分母，兩邊同乘（x﹣1）后的式子為（）A．1+3＝3x（1﹣x） B．1+3（x﹣1）＝﹣3x C．x﹣1+3＝﹣3x D．1+3（x﹣1）＝3x解：分式方程的兩側(cè)同乘（x﹣1）得：1﹣3（x﹣1）＝﹣3x．故選：B．4．（2分）（2023?深圳）某運(yùn)輸公司運(yùn)輸一批貨物，已知大貨車比小貨車每輛多運(yùn)輸5噸貨物，且大貨車運(yùn)輸75噸貨物所用車輛數(shù)與小貨車運(yùn)輸50噸貨物所用車輛數(shù)相同，設(shè)大貨車每輛運(yùn)輸x噸，則所列方程正確的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝解：∵每輛大貨車的貨運(yùn)量是x噸，∴每輛小貨車的貨運(yùn)量是（x﹣5）噸，依題意得：＝．故選：B．5．（2分）（2023?聊城）若關(guān)于x的分式方程+1＝的解為非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是（）A．m≤1且m≠﹣1 B．m≥﹣1且m≠1 C．m＜1且m≠﹣1 D．m＞﹣1且m≠1解：+1＝，兩邊同乘（x﹣1），去分母得：x+x﹣1＝﹣m，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：2x＝1﹣m，系數(shù)化為1得：x＝，∵原分式方程的解為非負(fù)數(shù)，∴≥0，且≠1解得：m≤1且m≠﹣1，故選：A．6．（2分）（2023?廣元）近年來，我市大力發(fā)展交通，建成多條快速通道，小張開車從家到單位有兩條路線可選擇，路線a為全程10千米的普通道路，路線b包含快速通道，全程7千米，走路線b比路線a平均速度提高40%，時(shí)間節(jié)省10分鐘，求走路線a和路線b的平均速度分別是多少？設(shè)走路線a的平均速度為x千米/小時(shí)，依題意，可列方程為（）A． B． C． D．解：∵走路線b的平均車速比走路線a能提高40%，且走路線a的平均速度為x千米/時(shí)，∴走路線b的平均速度為（1+40%）x千米/時(shí)．根據(jù)題意得：﹣＝．故選：A．7．（2分）（2023?東營）為扎實(shí)推進(jìn)“五育”并舉工作，加強(qiáng)勞動(dòng)教育，東營市某中學(xué)針對(duì)七年級(jí)學(xué)生開設(shè)了“跟我學(xué)面點(diǎn)”烹飪課程．課程開設(shè)后學(xué)校花費(fèi)6000元購進(jìn)第一批面粉，用完后學(xué)校又花費(fèi)9600元購進(jìn)了第二批面粉，第二批面粉的采購量是第一批采購量的1.5倍，但每千克面粉價(jià)格提高了0.4元．設(shè)第一批面粉采購量為x千克，依題意所列方程正確的是（）A．﹣＝0.4 B．﹣＝0.4 C．﹣＝0.4 D．﹣＝0.4解：由題意得：﹣＝0.4．故選：A．8．（2分）（2023?云南）閱讀，正如一束陽光．孩子們無論在哪兒，都可以感受到陽光的照耀，都可以通過閱讀觸及更廣闊的世界．某區(qū)教育體育局向全區(qū)中小學(xué)生推出“童心讀書會(huì)”的分享活動(dòng)．甲、乙兩同學(xué)分別從距離活動(dòng)地點(diǎn)800米和400米的兩地同時(shí)出發(fā)，參加分享活動(dòng)．甲同學(xué)的速度是乙同學(xué)的速度的1.2倍，乙同學(xué)比甲同學(xué)提前4分鐘到達(dá)活動(dòng)地點(diǎn)．若設(shè)乙同學(xué)的速度是x米/分，則下列方程正確的是（）A． B． C． D．解：∵乙同學(xué)的速度是x米/分，則甲同學(xué)的速度是1.2x米/分，由題意得：，故選：D．9．（2分）（2023?遼寧）某校八年級(jí)學(xué)生去距離學(xué)校120km的游覽區(qū)游覽，一部分學(xué)生乘慢車先行，出發(fā)1h后，另一部分學(xué)生乘快車前往，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)．已知快車的速度是慢車速度的1.5倍，求慢車的速度．設(shè)慢車的速度是xkm/h，所列方程正確的是（）A．+1＝ B．﹣1＝ C．＝ D．＝解：設(shè)慢車的速度為xkm/h，根據(jù)題意可列方程為：﹣1＝．故選：B．10．（2分）（2023?黑龍江）已知關(guān)于x的分式方程+1＝的解是非負(fù)數(shù)．則m的取值范圍是（）A．m≤2 B．m≥2 C．m≤2且m≠﹣2 D．m＜2且m≠﹣2解：分式方程去分母得：m+x﹣2＝﹣x，解得：x＝，由分式方程的解是非負(fù)數(shù)，得到≥0，且﹣2≠0，解得：m≤2且m≠﹣2，故選：C．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?青島）某校組織學(xué)生進(jìn)行勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)，用1000元購進(jìn)甲種勞動(dòng)工具，用2400元購進(jìn)乙種勞動(dòng)工具，乙種勞動(dòng)工具購買數(shù)量是甲種的2倍，但單價(jià)貴了4元．設(shè)甲種勞動(dòng)工具單價(jià)為x元，則x滿足的分式方程為＝2×．解：∵乙種勞動(dòng)工具的單價(jià)比甲種勞動(dòng)工具的單價(jià)貴了4元，且甲種勞動(dòng)工具單價(jià)為x元，∴乙種勞動(dòng)工具單價(jià)為（x+4）元．根據(jù)題意得：＝2×．故答案為：＝2×．12．（2分）（2023?蘇州）分式方程的解為x＝﹣3．解：方程兩邊乘3x，得，3（x+1）＝2x，解得，x＝﹣3，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝﹣3時(shí)，3x≠0，所以，原分式方程的解為：x＝﹣3．故答案為：﹣3．13．（2分）（2023?永州）若關(guān)于x的分式方程（m為常數(shù)）有增根，則增根是x＝4．解：∵關(guān)于x的分式方程（m為常數(shù)）有增根，∴x﹣4＝0，∴x＝4，故答案為：x＝4．14．（2分）（2023?綿陽）隨著國家提倡節(jié)能減排，新能源車將成為時(shí)代“寵兒”．端午節(jié)，君君一家駕乘新購買的新能源車，去相距180km的古鎮(zhèn)旅行，原計(jì)劃以速度vkm/h勻速前行，因急事以計(jì)劃速度的1.2倍勻速行駛，結(jié)果就比原計(jì)劃提前了0.5h到達(dá)，則原計(jì)劃的速度v為60km/h．解：根據(jù)題意得：＝+0.5，解得v＝60，經(jīng)檢驗(yàn)，v＝60是原方程的解，∴原計(jì)劃的速度v為60km/h；故答案為：60．15．（2分）（2023?建華區(qū)三模）若關(guān)于x的分式方程﹣1＝有正數(shù)解，求m的取值范圍m＜﹣且m≠﹣．解：分式方程兩邊同時(shí)乘以x（x﹣3），得（2m+x）x﹣x（x﹣3）＝2（x﹣3），整理，得（2m+1）x＝﹣6，解得x＝﹣，∵方程有正數(shù)解，∴＜0，解得m＜﹣，∵x≠0，x≠3，∴≠3，則m≠﹣，∴m的取值范圍是m＜﹣且m≠﹣，故答案為：m＜﹣且m≠﹣．16．（2分）（2023?南海區(qū)模擬）分式方程的解是x＝．解：去分母得：x+2﹣1＝6﹣2x，解得：x＝，檢驗(yàn)：把x＝代入得：x﹣3≠0，∴分式方程的解為x＝．故答案為：x＝．17．（2分）（2023?高新區(qū)模擬）若關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是a≥﹣2且a≠1．解：，去分母，得x＝a﹣2（x﹣1）．去括號(hào)，得x＝a﹣2x+2．移項(xiàng)，得x+2x＝a+2．合并同類項(xiàng)，得3x＝a+2．x的系數(shù)化為1，得x＝．∵關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，∴≥0且≠1．∴a≥﹣2且a≠1．故答案為：a≥﹣2且a≠1．18．（2分）（2023?眉山）關(guān)于x的方程的解為非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是m≥﹣5且m≠﹣3．解：，去分母得：x+m﹣3（x﹣2）＝1﹣x，去括號(hào)移項(xiàng)得：x﹣3x+x＝1﹣m﹣6，合并同類項(xiàng)得：﹣x＝﹣5﹣m，系數(shù)化為1得：x＝5+m，∵x﹣2≠0，∴x≠2，即5+m≠2，∴m≠﹣3，∵解為非負(fù)數(shù)，∴x＝5+m≥0，∴m≥﹣5，∴m≥﹣5且m≠﹣3．故答案為：m≥﹣5且m≠﹣3．19．（2分）（2023?重慶）若關(guān)于x的不等式組的解集為x＜﹣2，且關(guān)于y的分式方程+＝2的解為正數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為13．解：解不等式組，得：，∵原不等式組的解集為：x＜﹣2，∴﹣≥﹣2，∴a≤5，解分式方程+＝2，得y＝，∵y＞0且y≠1，∴＞0且≠1，∴a＞﹣2且a≠1，∴﹣2＜a≤5，且a≠1，∴符合條件的整數(shù)a有：﹣1，0，2，3，4，5，∴﹣1+0+2+3+4+5＝13．故答案為：13．20．（2分）（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)二模）若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為x＞2，且關(guān)于y的分式方程的解為非負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的a的值之積為35．解：，解不等式①得：x＞2，解不等式②得：x≥a﹣5，∵關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為x＞2，∴a﹣5≤2，∴a≤7，，去分母得：5y﹣a＝﹣2（y﹣2）+3y+1，5y﹣a＝﹣2y+4+3y+1，∴y＝≥0，∴a≥﹣5，∴﹣5≤a≤7，∵y≠2，∴≠2，∴a≠3，∵關(guān)于y的分式方程的解為非負(fù)整數(shù)，∴5+a＝0或5+a＝4或5+a＝8或5+a＝12，∴a＝﹣5或﹣1或7，∴所有滿足條件的整數(shù)a的值之積為：﹣1×（﹣5）×7＝35．故答案為：35．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023?鎮(zhèn)江）（1）解方程：＝+1；（2）解不等式組：．解：（1）方程兩邊同時(shí)乘以（x+3），得2x+1＝1+x+3，解得x＝3，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝3時(shí)，x+3≠0，∴x＝3是原方程的解；（2），解不等式①，得x＜2，解不等式②，得x≥1，∴原不等式組的解集是1≤x＜2．22．（6分）（2023?南通）為推進(jìn)全民健身設(shè)施建設(shè)，某體育中心準(zhǔn)備改擴(kuò)建一塊運(yùn)動(dòng)場地．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)參與施工，具體信息如下：信息一工程隊(duì)每天施工面積（單位：m2）每天施工費(fèi)用（單位：元）甲x+3003600乙x2200信息二甲工程隊(duì)施工1800m2所需天數(shù)與乙工程隊(duì)施工1200m2所需天數(shù)相等．（1）求x的值；（2）該工程計(jì)劃先由甲工程隊(duì)單獨(dú)施工若干天，再由乙工程隊(duì)單獨(dú)繼續(xù)施工，兩隊(duì)共施工22天，且完成的施工面積不少于15000m2．該段時(shí)間內(nèi)體育中心至少需要支付多少施工費(fèi)用？解：（1）根據(jù)題意得：＝，解得：x＝600，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝600是所列方程的解，且符合題意．答：x的值為600；（2）設(shè)甲工程隊(duì)施工m天，則乙工程隊(duì)單獨(dú)施工（22﹣m）天，根據(jù)題意得：（600+300）m+600（22﹣m）≥15000，解得：m≥6，設(shè)該段時(shí)間內(nèi)體育中心需要支付w元施工費(fèi)用，則w＝3600m+2200（22﹣m），即w＝1400m+48400，∵1400＞0，∴w隨m的增大而增大，∴當(dāng)m＝6時(shí)，w取得最小值，最小值＝1400×6+48400＝56800．答：該段時(shí)間內(nèi)體育中心至少需要支付56800元施工費(fèi)用．23．（8分）（2023?長春）隨著中國網(wǎng)民規(guī)模突破10億，博物館美育不斷向線上拓展．敦煌研究院順勢(shì)推出數(shù)字敦煌文化大使“伽瑤”，受到廣大敦煌文化愛好者的好評(píng)．某工廠計(jì)劃制作3000個(gè)“伽瑤”玩偶擺件，為了盡快完成任務(wù)，實(shí)際平均每天完成的數(shù)量是原計(jì)劃的1.5倍，結(jié)果提前5天完成任務(wù)，問原計(jì)劃平均每天制作多少個(gè)擺件？解：設(shè)原計(jì)劃平均每天制作x個(gè)擺件，根據(jù)題意，得，解得x＝200，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝200是原方程的根，且符合題意，答：原計(jì)劃平均每天制作200個(gè)擺件．24．（8分）（2023?寧夏）“人間煙火味，最撫凡人心”，地?cái)偨?jīng)濟(jì)、小店經(jīng)濟(jì)是就業(yè)崗位的重要來源．某經(jīng)營者購進(jìn)了A型和B型兩種玩具，已知用520元購進(jìn)A型玩具的數(shù)量比用175元購進(jìn)B型玩具的數(shù)量多30個(gè)，且A型玩具單價(jià)是B型玩具單價(jià)的1.6倍．（1）求兩種型號(hào)玩具的單價(jià)各是多少元？根據(jù)題意，甲、乙兩名同學(xué)分別列出如下方程：甲：＝+30，解得x＝5，經(jīng)檢驗(yàn)x＝5是原方程的解．乙：＝1.6×，解得x＝65，經(jīng)檢驗(yàn)x＝65是原方程的解．則甲所列方程中的x表示B型玩具的單價(jià)，乙所列方程中的x表示A型玩具的數(shù)量（2）該經(jīng)營者準(zhǔn)備用1350元以原單價(jià)再次購進(jìn)這兩種型號(hào)的玩具共200個(gè)，則最多可購進(jìn)A型玩具多少個(gè)？解：（1）根據(jù)所列方程即可知，甲所列方程中的x表示B型玩具的單價(jià)；乙所列方程中的x表示A型玩具的數(shù)量；故答案為：B型玩具的單價(jià)；A型玩具的數(shù)量；（2）設(shè)可購進(jìn)A型玩具a個(gè)，則B型玩具（200﹣a）個(gè)，根據(jù)題意得：8a+5（200﹣a）≤1350，a≤116，∴整數(shù)a最大值是116，答：最多可購進(jìn)A型玩具116個(gè)．25．（8分）（2023?黑龍江）2023年5月30日上午9點(diǎn)31分，神舟十六號(hào)載人飛船在酒泉發(fā)射中心發(fā)射升空．某中學(xué)組織畢業(yè)班的同學(xué)到當(dāng)?shù)仉娨暸_(tái)演播大廳觀看現(xiàn)場直播，學(xué)校準(zhǔn)備為同學(xué)們購進(jìn)A，B兩款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元購進(jìn)A款和用400元購進(jìn)B款的文化衫的數(shù)量相同．（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？（2）已知畢業(yè)班的同學(xué)一共有300人，學(xué)校計(jì)劃用不多于14800元，不少于14750元購買文化衫，求有幾種購買方案？（3）在實(shí)際購買時(shí)，由于數(shù)量較多，商家讓利銷售，A款七折優(yōu)惠，B款每件讓利m元，采購人員發(fā)現(xiàn)（2）中的所有購買方案所需資金恰好相同，試求m值．解：（1）設(shè)B款文化衫每件x元，則A款文化衫每件（x+10）元，根據(jù)題意得：＝，解得：x＝40，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝40是所列方程的解，且符合題意，∴x+10＝40+10＝50．答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；（2）設(shè)購買y件A款文化衫，則購買（300﹣y）件B款文化衫，根據(jù)題意得：，解得：275≤y≤280，又∵y為正整數(shù)，∴y可以為275，276，277，278，279，280，∴共有6種購買方案；（3）設(shè)購買300件兩款文化衫所需總費(fèi)用為w元，則w＝50×0.7y+（40﹣m）（300﹣y）＝（m﹣5）y+300（40﹣m），∵（2）中的所有購買方案所需資金恰好相同，∴w的值與y值無關(guān)，∴m﹣5＝0，∴m＝5．答：m的值為5．26．（8分）（2023?荊州）荊州古城旁“荊街”某商鋪打算購進(jìn)A，B兩種文創(chuàng)飾品對(duì)游客銷售．已知1400元采購A種的件數(shù)是630元采購B種件數(shù)的2倍，A種的進(jìn)價(jià)比B種的進(jìn)價(jià)每件多1元，兩種飾品的售價(jià)均為每件15元；計(jì)劃采購這兩種飾品共600件，采購B種的件數(shù)不低于390件，不超過A種件數(shù)的4倍．（1）求A，B飾品每件的進(jìn)價(jià)分別為多少元？（2）若采購這兩種飾品只有一種情況可優(yōu)惠，即一次性采購A種超過150件時(shí)，A種超過的部分按進(jìn)價(jià)打6折．設(shè)購進(jìn)A種飾品x件，①求x的取值范圍；②設(shè)計(jì)能讓這次采購的飾品獲利最大的方案，并求出最大利潤．解：（1）設(shè)A種飾品每件的進(jìn)價(jià)為a元，則B種飾品每件的進(jìn)價(jià)為（a﹣1）元，由題意得：＝×2，解得：a＝10，經(jīng)檢驗(yàn)，a＝10是所列方程的解，且符合題意，a﹣1＝9，答：A種飾品每件的進(jìn)價(jià)為10元，則B種飾品每件的進(jìn)價(jià)為9元；（2）①由題意得：，解得：120≤x≤210，∴購進(jìn)A種飾品件數(shù)x的取值范圍為：120≤x≤210，且x為整數(shù)；②設(shè)采購A種飾品x件時(shí)的總利潤為w元，當(dāng)120≤x≤150時(shí)，w＝15×600﹣10x﹣9（600﹣x）＝﹣x+3600，∵﹣1＜0，∴w隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝120時(shí)，w有最大值是：﹣120+3600＝3480，當(dāng)150＜x≤210時(shí)，w＝15×600﹣[10×150+10×60%（x﹣150）]﹣9（600﹣x）＝3x+3000，∵3＞0，∴w隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝210時(shí)，w有最大值是：3×210+