正弦定理與余弦定理

關(guān)于正弦定理與余弦定理

1.問題的引入:

.(1)在我國古代就有嫦娥奔月的神話故事.明月高懸,我們仰望夜空,會有無限遐想,不禁會問,月亮離我們地球有多遠呢?科學家們是怎樣測出來的呢？第2頁,共44頁，2024年2月25日，星期天(2)設A,B兩點在河的兩岸,只給你米尺和量角設備,不過河你可以測出它們之間的距離嗎?AB我們這一節(jié)所學習的內(nèi)容就是解決這些問題的有力工具.第3頁,共44頁，2024年2月25日，星期天正弦定理正弦定理正弦定理第4頁,共44頁，2024年2月25日，星期天回憶一下直角三角形的邊角關(guān)系?

ABCcba兩等式間有聯(lián)系嗎？思考:對一般的三角形,這個結(jié)論還能成立嗎?2.定理的推導1.1.1正弦定理第5頁,共44頁，2024年2月25日，星期天(1)當是銳角三角形時,結(jié)論是否還成立呢?D如圖:作AB上的高是CD,根椐三角形的定義,得到1.1.1正弦定理BACabcE第6頁,共44頁，2024年2月25日，星期天(2)當是鈍角三角形時,以上等式是否仍然成立?BACbca1.1.1正弦定理D第7頁,共44頁，2024年2月25日，星期天

正弦定理在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即1.1.1正弦定理解三角形:已知三角形的幾個元素求其他元素的過程含三角形的三邊及三內(nèi)角,由己知二角一邊或二邊一角可表示其它的邊和角定理結(jié)構(gòu)特征:第8頁,共44頁，2024年2月25日，星期天二、外接三角形中OB/cbaCBA第9頁,共44頁，2024年2月25日，星期天1、正弦定理在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即能否用向量法來證明正弦定理？第10頁,共44頁，2024年2月25日，星期天我們選擇單位向量→j

并讓與垂直.→jAC→j與ABACCB的夾角分別為即:→jAB·→j(AC+CB)·ABC=bac第11頁,共44頁，2024年2月25日，星期天c·sinA=a·sinC同理:a·sinB=b·sinA→BCbacA即即第12頁,共44頁，2024年2月25日，星期天正弦定理:在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等.即第13頁,共44頁，2024年2月25日，星期天（四）定理的應用例1在△ABC中，已知c=10,A=45。,C=30。求b(保留兩位有效數(shù)字）。解：∵

且∴b=19=已知兩角和任意邊，求其他兩邊和一角第14頁,共44頁，2024年2月25日，星期天變式訓練：（1）在△ABC中，已知b=，A=，B=，求a。（2）在△ABC中，已知c=，A=，B=，求b。解：∵∴==解：∵=又∵∴第15頁,共44頁，2024年2月25日，星期天例2證明：∵用正弦定理證明三角形面積BACDabc而∴又∴第16頁,共44頁，2024年2月25日，星期天例3、在△ABC中，已知a=28，b=20，A=120o，求B（精確到1o）和c（保留兩個有效數(shù)字）。baCBA120o小結(jié)：2、已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，有兩解或一解。如圖第17頁,共44頁，2024年2月25日，星期天（1）A為銳角a=bsinA(一解）AbaBCAB2baB1CabsinA<a<b(兩解）AbaBCa≥b(一解）第18頁,共44頁，2024年2月25日，星期天（2）A為直角或鈍角a>b(一解）baABCbaCBAa>b(一解）第19頁,共44頁，2024年2月25日，星期天（五）總結(jié)提煉（1）三角形常用公式：（2）正弦定理應用范圍：①已知兩角和任意邊，求其他兩邊和一角

②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角。正弦定理：第20頁,共44頁，2024年2月25日，星期天基礎練習題1.1.1正弦定理B=300無解第21頁,共44頁，2024年2月25日，星期天（3）在△ABC中，B=30°，AB=，AC=2，則△ABC的面積是解：根據(jù)正弦定理，有所以則C有兩解：1)當C為銳角時，C=60°A=90°∴S=當C為鈍角時，C=120°A=30°2)∴S=ABCC第22頁,共44頁，2024年2月25日，星期天余弦定理第23頁,共44頁，2024年2月25日，星期天千島湖ABC110.8°700m1338m第24頁,共44頁，2024年2月25日，星期天千島湖

ABC110.8°700m1338m用正弦定理能否直接求出A,B兩處的距離？這是一個已知三角形兩邊a和b,和兩邊的夾角C，求出第三邊c的問題.?第25頁,共44頁，2024年2月25日，星期天角邊角角角邊邊邊角邊角邊邊邊邊正弦定理天?。≡撛趺崔k呢？？第26頁,共44頁，2024年2月25日，星期天ABCcba已知三角形兩邊分別為a和b,這兩邊的夾角為C，角C滿足什么條件時較易求出第三邊c？勾股定理你能用向量證明勾股定理嗎？即證第27頁,共44頁，2024年2月25日，星期天CBAbca第28頁,共44頁，2024年2月25日，星期天CBAbca第29頁,共44頁，2024年2月25日，星期天CBAbca第30頁,共44頁，2024年2月25日，星期天

余弦定理

三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。勾股定理令C＝900勾股定理與余弦定理有何關(guān)系？適用于任何三角形第31頁,共44頁，2024年2月25日，星期天ACBbacxyDC(bcosA,bsinA)能不能用坐標方法來證明余弦定理呢？B(c,0)第32頁,共44頁，2024年2月25日，星期天ACBbacxyDC(bcosA,bsinA)能不能用坐標方法來證明余弦定理呢？B(c,0)第33頁,共44頁，2024年2月25日，星期天

余弦定理

三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。勾股定理令C＝900勾股定理與余弦定理有何關(guān)系？這個定理有什么作用？若已知b=8,c=3,A=,能求a嗎？適用于任何三角形第34頁,共44頁，2024年2月25日，星期天它還有別的用途嗎？若已知a,b,c,可以求什么？利用余弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：（1）已知三邊，求三個角;（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊，進而還可求其它兩個角。歸納：第35頁,共44頁，2024年2月25日，星期天角邊角角角邊邊邊角邊角邊邊邊邊正弦定理余弦定理第36頁,共44頁，2024年2月25日，星期天千島湖

ABC110.8°700m1338m?答：A,B兩處的距離約為1716米。引題（精確到1米）第37頁,共44頁，2024年2月25日，星期天例3、在△ABC中，已知b=60cm,c=34cm,A=41，解三角形（角度精確到1o，邊長精確到1cm）解：根據(jù)余弦定理所以第38頁,共44頁，2024年2月25日，星期天例4、在△ABC中，已知a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm,解三角形（角度精確到1

）解：由余弦定理的推論得第39頁,共44頁，2024年2月25日，星期天練習：解：由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cosA=4+9-2×2×3×=7∴BC=在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=，求BC的長第40頁,共44頁，2024年2月25日，星期天例5：一鈍角三角形的邊長為連續(xù)自然數(shù)，則這三邊長為（）

分析：要看哪一組符合要求，只需檢驗哪一個選項中的最大角是鈍角，即該角的余弦值小于0。B中：，所以C是鈍角D中：，所以C是銳角，

因此以4，5，6為三邊長的三角形是銳角三角形A、C顯然不滿足BA、1，2，3B、2，3，4C、3，4，5D、4，5，6第41頁,共44頁，2024年2月25日，星期天例6：在△ABC中，已知a=7,b=8,cosC=,求最大角的余弦值分析：求最大角的余弦值，最主要的是判斷哪個角是最大角。由大邊對大角，已知兩邊