第23講 任意角（學(xué)生版）-高一數(shù)學(xué)同步講義

第01講任意角

號(hào)目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

理解并掌握正角、負(fù)角、零角的概念；

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握任意角的概念，并能用集

掌握象限角的范圍，掌握終邊相同的角的

合的形式表示任意角.

表示方法及判定方法.

趣:知識(shí)精講

0-0,

±'知識(shí)點(diǎn)任意角

(1)角的概念

角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形.我們規(guī)定：按逆

時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做正角，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角.如果一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn),

我們稱(chēng)它形成了一個(gè)零角.

(2)象限角：角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么角的終邊在第幾象限，就認(rèn)為這

個(gè)角是第幾象限角.具體表示如下：

象限角角的表示

第一象限的角{a|^360°<a</l-360o+90o,A：eZ}

第二象限的角{]依360。+90。<6(<k360。+180。代2}

第三象限的角{a[A>360。+180yx<"360。+270。4￡Z}

第四象限的角{1依360。一90。<1<兒360。法￡2}

(3)軸線角：若角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.具體表示如下:

軸線角角的表示

終邊在X軸非負(fù)半軸上的角{a\a=2kn,k^Z}

終邊在x軸非正半軸上的角{a|a=(2A-l)兀,ZWZ}

終邊在y軸非負(fù)半軸上的角{a\a=2kn+^,k^Z}

71,

終邊在y軸非正半軸上的角[a\a=2kn--Z]

終邊在x軸上的角{a|a=E,AGZ}

終邊在y軸上的角{a\a=kTi+^-

ku

終邊在坐標(biāo)軸上的角

(4)終邊相同的角：所有與角a終邊相同的角連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S=｛向外a+%36(T,&G

Z}={為?=a+2航次ez}.

【即學(xué)即練1】下列各角中與225角終邊相同的是()

A.585B.315

C.135D.45

【即學(xué)即練2】與Y20°終邊相同的角是()

A.-120°B.420°

C.660°D.280°

【即學(xué)即練31510是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【即學(xué)即練4】在集合A=｛a|a=120°+R360°,左eZ｝中，屬于—360°?360°之間的角的集合是

【即學(xué)即練5】在148°,475°,-960°--1601°--185°這五個(gè)角中，第二象限角有.個(gè).

【即學(xué)即練6】下列說(shuō)法中正確的序號(hào)有.

①一65。是第四象限角：②225。是第三象限角;

③475。是第二象限角；④一315。是第一象限角.

【即學(xué)即練7】時(shí)針走過(guò)1小時(shí)50分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度是

H能力拓展

考法01

任意角

角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形.

角的表示：如圖，

(1)始邊：射線的起始位置04

(2)終邊：射線的終止位置08；

(3)頂點(diǎn)：射線的端點(diǎn)O；

(4)記法：圖中的角可記為“角a”或2a”或“NAOB”或“NO”.

【典例1］求得適合不等式一720。學(xué)＜360。的元素及

【即學(xué)即練8】下列說(shuō)法正確的是()

A.第一象限角一定小于90°

B.終邊在x軸正半軸的角是零角

C.若a+，=H360°(A:eZ),則a與，終邊相同

D.鈍角一定是第二象限角

【即學(xué)即練9］自行車(chē)大鏈輪有36齒，小鏈輪有24齒，當(dāng)大鏈輪轉(zhuǎn)過(guò)一周時(shí)，小鏈輪轉(zhuǎn)過(guò)的角度是

_____________度.

考法02

角的分類(lèi)

在平面內(nèi)，一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)有兩個(gè)相反的方向一一順時(shí)針?lè)较蚝湍鏁r(shí)針?lè)较?習(xí)慣上規(guī)定:

名稱(chēng)定義圖形

正角一條射線按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角

負(fù)角一條射線按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角

零角一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)

04(B)

這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角，包括正角、負(fù)角和零角.

【典例2】已知。為第二象限角，那么匕是（）

3

A.第一或第二象限角B.第一或四象限角

C.第二或四象限角D.第一、二或第四象限角

【即學(xué)即練10】下列命題：①鈍角是第二象限的角；②小于90。的角是銳角；③第一象限的角一定不是負(fù)角;

④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表時(shí)針走過(guò)2小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為60。；⑥若c=5,則a

是第四象限角.其中正確的題的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【即學(xué)即練11】時(shí)針走過(guò)2時(shí)40分，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度是（）

A.80°B.-80°

C.960°D.-960°

考法03

象限角、軸線角、終邊相同的角

(1)在平面直角坐標(biāo)系中，如果角的頂點(diǎn)在在原點(diǎn)，角的始邊與X軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終

邊在第幾象限，便稱(chēng)此角為第幾象限角.

(2)軸線角：若角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.

(3)終邊相同的角：所有與角a終邊相同的角連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S={^=a+k-3600,k&

Z}={P\P=a+2kn,keZ}.

a

(4)確定角一(n6N)終邊所在象限的方法：

n

已知角終邊所在的象限，確定人(neN)終邊所在象限的常用方法有以下兩種：

n

a

一是分類(lèi)討論法.利用已知條件寫(xiě)出a的范圍(用上表示)，由此確定一的范圍，然后對(duì)左進(jìn)行分類(lèi)討

n

a

論，從而確定一所在象限.

n

二是幾何法.先把各象限均分為”等份，再?gòu)膞軸的正方向的上方起，逆時(shí)針依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、

a

三、四，一、二、三、四，…則a原來(lái)是第幾象限角，標(biāo)號(hào)為幾的區(qū)域即一終邊所在的區(qū)域.

n

【典例3】已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊落在x軸的非負(fù)半軸上，在0。4[<360°范圍內(nèi)，找出與

下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限角.

(1)750°；(2)-795°；(3)950。20'.

【即學(xué)即練12】已知a銳角，那么2a是()

A.小于180。的正角B.第一象限角

C.第二象限角D.第一或二象限角

【即學(xué)即練13】與烏終邊相同的角的集合是.

【典例4】寫(xiě)出如圖所示陰影部分的角a的范圍.

fii分層提分

題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

I.已知角a的終邊與300。角的終邊重合，則Cf女的終邊不可能在（）.

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.若角a的終邊與240。角的終邊相同，則角券的終邊所在象限是（）

A.第二或第四象限B.第二或第三象限

C.第一或第四象限D(zhuǎn).第三或第四象限

3.下列說(shuō)法：①終邊相同的角必相等；②銳角必是第一象限角；③小于90。的角是銳角；④第二象限的角必

大于第一象限的角；⑤若角"的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)加（0,-3）,則角a是第三或第四象限角，其中錯(cuò)誤的是（）

A.③④⑤B.①③④C.①③④⑤D.②③④⑤

4.若角。=?3600+60。，月=-360。+120。，（加，kwZ）,則角a與尸的終邊的位置關(guān)系是（）

A.重合B.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

C.關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)D.關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

5.與-30。角終邊相同的角的集合是（

A.{a\a=k-36O°+3O°,k&Z}B.{a|a=A:-360o+330o,A:eZ}

C.?=h360°-330°,/wZ}D.{a\a=k-360°-260°,keZ}

6.已知角a=2020°,則角a是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

7.角口=45。+%180。，/GZ的終邊落在

A.第一或第三象限

B.第一或第二象限

C.第二或第四象限

D.第三或第四象限

8.若a是第四象限角,則180。一a是（)

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

9.把—1485。轉(zhuǎn)化為。+公360。（0。4a<360。,后€2）的形式是（）

A.45°-4x360°B.-450-4x360°

C.-45°-5x360°D.3150-5x360°

10.終邊在第二、四象限的角平分線上的角可表示為（）

A.Z/80°+135°,keZB.hl80°±135°,keZ

C.八360°+135°,keZD.-90°+135°,&eZ

題組B能力提升練

1.（多選題）已知A=｛第一象限角｝,8=｛銳角｝,C=｛小于90°的角｝,那么A、B、C關(guān)系是（）

A.B=AcCB.BUC=CC.BIA=BD.A=B=