河北省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)五調(diào)考試數(shù)學(xué)試題(含答案)

2023-2024學(xué)年度上學(xué)期高三年級(jí)五調(diào)考試

數(shù)學(xué)

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.共4頁，總分150分，考試時(shí)間120

分鐘.

第I卷（選擇題共60分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.已知i為虛數(shù)單位，?,Z?eR,集合A={z|z=a+（2a—=z=6—2+歷},則Ac5=（）

A.{2i}B.{l+3i}C.{3+5i}D.{2+4i}

2.已知等邊三角形的邊長為2,用斜二測畫法畫出該三角形的直觀圖，則所得直觀圖的面積為（）

A.—B.—C.272D.2V6

44

3.已知。為直線/的方向向量，加/分別為兩個(gè)不同平面a?〃的法向量，則下列說法正確的是（）

A.若a±m(xù),m//n,貝U/〃夕

B.若?！C(jī),a〃〃，則。_L￡

C.若a±m(xù),a±n,則a〃/?

D.若a//m,a±n,則。J_/7

4.如圖，在四面體ABCD中，G為/ACE>的重心，若8G=xA3+yAC+zA￡>,則x+y+z=（）

77577

5.已知兩圓錐的底面積分別為一,左,其側(cè)面展開圖中圓心角之和為——，則兩圓錐的母線長之和的最小值為

162

（）

57

A.2B.—C.3D.—

22

1

6.如圖，在直三棱柱ABC—AgG中，5。，平面4。。14，。4=。￡=2。3,則異面直線BG與A耳夾角

的余弦值為（）

2a行百D3

A.---------b.C.U.一

5355

7.己知棱長為6的正方體內(nèi)有一個(gè)棱長為機(jī)的正四面體，且該正四面體可以在正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則實(shí)數(shù)根的

最大值為（）

A.V3B.3C.276D.3A/3

8.設(shè)a=ln2,6=L09,c=e03,貝。（）

\.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.c<b<a

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.如圖，在長方體ABCD-A4G，中，。是BR的中點(diǎn)，直線4。交平面A44于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正

人.氏男,。,河四點(diǎn)共面B.。，4四點(diǎn)共面

C.A,O,C,M四點(diǎn)共面D.AM,0三點(diǎn)共線

10.已知函數(shù)〃x）=log2（4*+2x+i+l）—-J——x,則（）

A./⑴在區(qū)間（—8,0）上單調(diào)遞增B./（X）是偶函數(shù)

。/（力的最小值為1D.方程〃x）=2x無解

11.如圖，若長方體ABC。-44GA的底面是邊長為2的正方形，高為4,E是。2的中點(diǎn)，則下列說法不

2

正確的是（）

A.BJEIAjB

B.平面4CE〃平面A3。

Q

C.三棱錐G-用。石的體積為之

D.三棱錐CfCDi的外接球的表面積為24萬

12.在三維空間中，定義：ox匕叫做向量a與人的外積，它是一個(gè)向量，滿足下列兩個(gè)條件：

?a±（axb）,b±（axby且a力和axb構(gòu)成右手系（即三個(gè)向量的方向依次與右手的梅指、食指、中指的

指向一致，如圖所示）；

②axZ?的模|axb|=|〃||人|sin〈Q,Z?〉（,力）表示向量a/的夾角）.在正方體ABC?！校韵?/p>

四個(gè)結(jié)論，正確的是（）

A.|ABIXAC|=|ADIXDB|

8.40*4。與山）1共線

C-ABxAD=ADxAB

D.6\BCxAc\與正方體表面積的數(shù)值相等

第II卷（非選擇題共90分）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

3

13.在空間直角坐標(biāo)系中，A（l,-2,a）,B（0,3,1）,C（b,-1,2）,若A5c三點(diǎn)共線，貝4而=.

2024

14.在數(shù)列｛4｝中，％=-1,。2=°，?！?2+an=4+1，則E4=.

i=l

15.如圖，將繪有函數(shù)/（x）=Msin[^x+〉0,0＜。（萬）部分圖象的紙片沿x軸折成直二面角，若此

時(shí)A,B兩點(diǎn)之間的空間距離為樂,則"6）=.

16.如圖，已知四面體ABCD,ABC和一ABD是邊長為2的等邊三角形，CO=是該四面體表面及其內(nèi)

部的動(dòng)點(diǎn).若PA=PB,PC=PD,則點(diǎn)p軌跡的長度為；若尸在_ABD內(nèi)（含邊界）且,

則點(diǎn)P軌跡的長度為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）

如圖，在四棱臺(tái)ABC?！狝4G2中，上、下底面為等腰梯形，AD//BC,AB=y/10,

BC=2AD=4,A1Dl=1,A^±BD.

4

(1)證明：平面AACC1，平面ABCD；

(2)若44I=2,』AAC=45,求點(diǎn)C到平面43。的距離.

18.(12分)

記ABC的內(nèi)角A3,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,己知cosB=tanAsiaB+f.

3a

22

(1)證明：c=a+2b~；

2萬

(2)若。=q-,。=2,求A5C的面積.

19.(12分)

如圖，在四棱柱ABC?！狝4G，中，底面A3CD是平行四邊形，側(cè)棱，底面A3CD,過A3的截面

與側(cè)面交于PQ，點(diǎn)P在棱。，上，點(diǎn)。在棱上，且A3=1,AC=G,3C=2.

(1)證明：PQ//Aq；

JT

(2)若p為棱。，的中點(diǎn)，AP與平面DRGC所成的角為一，求側(cè)棱。2的長.

6

20.(12分)

已知函數(shù)/(%)=—%2+x-sinx-acosx,其中aeR.

(1)當(dāng)0<q,l時(shí),求/(x)的極值；

(2)若不等式/(x)+d,,l對(duì)任意恒成立，求a的取值范圍.

21.(12分)

已知等比數(shù)列｛a.｝的公比q>1,若&+%+%=14,且4，%+1，。4分別是等差數(shù)列｛2｝的第1，3,5項(xiàng).

(1)求數(shù)列｛4｝和也｝的通項(xiàng)公式；

b(、

(2)記，〃=」■,求數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和S”.

5

22.（12分）

如圖，在多面體ABCDEF中，平面ABCD為正方形，AB=2,AE=3,DE=45,二面角E—AD—C的平

面角的余弦值為無，￡EF〃BD.

5

(1)證明：平面ABCD，平面。CE；

(2)者M(jìn)=XOBU〉0),求平面ABF與平面C郎所成銳二面角的余弦值的取值范圍.

2023-2024學(xué)年度上學(xué)期高三年級(jí)五調(diào)考試.數(shù)學(xué)

參考答案及解析

一、選擇題

1.C【解析】由題得a+(2a—l)i=b—2+歷，

a=b-2,a=3

所以《解得《^—5’所以AcB={3+5i}.

2a-l=b,

2.B【解析】如圖.等邊三角形的高為6，根據(jù)斜二測畫法的知識(shí)可知,

直觀圖的面積為［gxlxgxsinf義2="

2244

3.D【解析】因?yàn)?。，所以a_L〃，貝!)/〃夕或/<=〃，故A錯(cuò)誤；

因?yàn)閍〃機(jī),a〃*所以加〃人所以?〃尸，故B錯(cuò)誤；

因?yàn)樗运健赡芷叫?，也可能不平行，所以e〃4或4夕相交，故C錯(cuò)誤;

因?yàn)閍〃私a~L”,所以所以。_L/?,故。正確.

6

4.A【解析】如圖，連接AG并延長交CD于點(diǎn)E.則E為CD的中點(diǎn)，

所以5G=5A+AG=—A5+2AE=—AB+2xL(AC—A￡>)=—所以

332、>33

1

x-y+z=——.

3

5.C【解析】設(shè)兩圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角分別為。，B,母線長分別為加，明

1712萬

由題知兩個(gè)圓錐的底面半徑分別為二，1,所以［,

42mn

jr27r37r14

所以。+/=2°+'=二，即上+工=3,所以

2mn2mn

1/\(14、I，?！?m1八Fn"""4.).

TYl+72——(TYl+7?)1——5H-----1-----...-5+2J—X-3,

3'\mnJ3\mn)3\mn)

當(dāng)且僅當(dāng)m=l,n=2時(shí)等號(hào)成立.

6.C【解析】如圖，連接。耳交5G于O,取AC的中點(diǎn)E，連接BE,ED,

由A5C-A51G為直棱柱，各側(cè)面四邊形為矩形，易知。是。耳的中點(diǎn)，所以即〃A耳，故異面直線BG

與A耳的夾角即為與Bq的夾角/皮）￡或其補(bǔ)角.設(shè)3C=1.則CE=1,5。=CD=@,BC，平面

2

ACG4，ECu平面ACG4，則CBLCE,又EC，CG，BCcCG=C^CCGu平面3CG4，故

EC_L平面8CG4,又CDu平面5CG4,所以CELCD.所以

_________O__________

ED=y/CD2+CE2=-,BE=yJCB2+CE-=41,在8DE中，

2.......

7

59、

+2

cos/BDE-RD?+ED?_BE?_44-.舊

CObNIJULL------------------------尸---——---

2BDED^35

2x—X—

22

7.C【解析】由題意知，當(dāng)正四面體在正方體的內(nèi)切球內(nèi)時(shí)，正四面體可以在正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，故當(dāng)該正

四面體內(nèi)接于球時(shí)，其棱長最長?因?yàn)檎襟w的棱長為6,則其內(nèi)切球的半徑為3,如圖所示，

設(shè)正四面體為P-A5cq為底面，ABC的中心，設(shè)正四面體外接球的球心為o,連接尸q，ac,oc,則

pq，平面ABC℃=gx#勿=[私=JPC2—=

\22

OP=OC=3,所以在RtO。。中,m—3+[—6m)=9，解得m-2y[6.

3

IJ

8.A【解析】a=ln2-Ine=l<b,c=e°3>e°=1>a/(x)=e'-x2—1,則/''(x)=e*—2x,令

g(x)=ex-2x,則g'(x)=e*—2.當(dāng)xe(-oo,ln2)時(shí)，g'(x)<O,/'(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xe(ln2,+oo)時(shí),

g'(x)>OJ'(x)單調(diào)遞增，所以/'(x)../'(ln2)=2(l—ln2)>0,所以。(無)在R上單調(diào)遞增,所以

/(0.3)>/(0)=0,即e°3>1.09,所以c>b.綜上，a<b<c.

二、多選題

9.BCD【解析】對(duì)于A，如圖.連接AO,4￡,AC.

在長方形4用孰2中，由。為對(duì)角線耳，的中點(diǎn)，則4Gc42=0,則平面ACGAC平面

ABR=AO,由MG平面平面，得AfwAO.在長方體ASCO—A4G〃中，

平面因?yàn)锳Oc平面A34A=A,所以與MO異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由選項(xiàng)A可

知，MeAO,4cle=O,易知A,",。/u平面,故B正確；對(duì)于C,由選項(xiàng)A可知，

〃eAO,AGc4。=O,易知A,M,Cu平面AC￡4,故C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)A可知，以eAO.

故。正確.

8

XX+1Xxx

10.BC[?W1/(x)=log2(4+2+1)-log22--^=log2(2+2-+2)--^―,所以

A1

/(-%)=log2(2+2-+2)-=/(%)，所以〃X)為偶函數(shù)，B正確；令"2,當(dāng)尤<0時(shí)，函數(shù)

y=1。82(2'+2-*+2)與丁=-義7均為減函數(shù)，所以/⑴在區(qū)間(—8,0)上單調(diào)遞減，A錯(cuò)誤；由偶函

X十1

數(shù)對(duì)稱性可知，“X)在區(qū)間(0,+“)上單調(diào)遞增，所以/(%焉=/(0)=1,C正確；令g(x)=〃x)—2%,

所以g(0)=1〉0,g(l)=log2|-1=||log21i-l|<0,由零點(diǎn)存在定理可知方程“力=2%有解，D錯(cuò)

o221o4J

誤.

11.AB【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(2.0,4),E(0,2,2),4(0,0,4),3(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),所以1方=(一2,2,-2),

A,3=(2,0,T),因?yàn)?E.A6=T+0+8=4W0,所以gE與人8不垂直，故A錯(cuò)誤；又

CB]=(0,-2,4),CE=(-2,0,2),B\=(-2,0,4),BD=(-2,2,0),設(shè)平面BXCE的一個(gè)法向量"=(羽％z),

則'取尤=1,得〃=(1,2,1),設(shè)平面A8。的一個(gè)法向量根=(a,b,c),則

n-CE=-2x+2z=Q,

m-BA.=-2a+4c=0,(1A

\取。=1,得m=1,1,q,因?yàn)榧臃讲还簿€，所以平面4CE與平面A3。相交，

m-BD=-2a+2b=0,\2)

故B錯(cuò)誤；三棱錐G-B}CE的體積為0棱錐G.BQ=KSW|_C,C￡=|X|X4X2X2=

Q

故C正確；三棱錐￡一用。2的外接球就是長方體ABC。-ABJGD的外接球，所以三棱錐

的外接球半徑R='2-+2-+42=瓜,所以三棱錐G-BCD1的外接球的表面積為S=4萬x(前了=24萬,

2

故。正確.

12.ABD【解析】對(duì)于A，設(shè)正方體的棱長為1,在正方體中，AB],AC=60,貝U

9

|ABjxAC|=||,|AC|sinAC=V2xV2x^-=73,因?yàn)榍?叫旦=60,所以

(AD],￡>6)=120,所以,加明=?阿卜由曲,￡)3=7^^義孝=6?所以

\ABXXA(^=\AD^D^,所以A正確：對(duì)于B,在正方形44G2中，又因?yàn)?4,平面

A4Ga，4￡u平面A4GQ，所以又43c4，=耳，BBBRU平面BBRD,所以

4G，平面34，。，因?yàn)锽Qu平面34，。，所以同理可證3。_L4。，再由右手系知,

40義4。與3R同向，所以B正確；對(duì)于C.由a力和oxb構(gòu)成右手系知，axb與bxa方向相反，又由

axZ?模的定義知，|axbHdWsin(a,Z?)=W|dsin<a,b>=|/>x?|,所以axb=—bxa，則

ABxAD=-ADxAB>所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)正方體的棱長為

xax1=6a2,正方體的表面積為6a?，所以。正確.

tz,6|BCxAC|=6|BC||Ac|-sin45=6缶

2

三、填空題

9

工

5-【解析】由題得AB=(—1,5,1—a),5C=S「4,1),因?yàn)锳5c三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)X,使得

AB=ABC>BP(-l,5,l-a)=2(Z?,^,l),

9

a——,

Ab=—1,4

49

所以《-42=5,解得<b=—,所以〃/?=—.

上5

4=1—。，

a

14.-1【解析】由??+2+??=4+1，得4+3+a“+l=n+2，所以4+3+4+1=4+1—4，即4+3=,所以

%+6=一?！?3=%，所以數(shù)列｛凡｝的一個(gè)周期為6.又

10

%=4―q=L%=%—%=L%=4—/=°，&=4_q=-i，所以％+%+/+%+%+4=0，所

20246

以2>=337Zq+%+%--1-

i=iz=i

AT=2"_A7-------

15._省【解析】因?yàn)椤Φ闹芷谝话鸵?，所以CO=—=2,AC=MBC=〃f2+4,所以

222

2

AB=VAC2+BC=V2M2+4=Vio>解得”=G,所以/("=瓜足1]%+可.由圖可知,當(dāng)％=o

時(shí)，f(x)=與,即/⑼=Gsin°=#，得sine=g.又。＜。＜?，所以。=￡或。=g.觀察外力在

577

y軸右側(cè)的圖象結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性可知夕二)，所以

6

/(%)=gsin，/⑹=Qsin3^+—=--

I6)2

16.-；哀H【解析】如圖，分別取棱AB,CD的中點(diǎn)為MN,連接。MCK⑷V,5N,肱V,因?yàn)?，ABC

25

和是邊長為2的等邊三角形，所以43，。以，AB±CM,DMr＞CM=M，所以ABJ_平面COM,

同理CDJ_平面A3N,因?yàn)?.所以Pe平面CDM，因?yàn)槭?尸￡＞，所以Pe平面ABN,所以P

的軌跡為線段MN,因?yàn)锳BC和ABD是邊長為2的等邊三角形，所以DM=CM==也

而CD=石，所以.CDM為等邊三角形，所以MN=｝后_[gx呵=j.

如圖，設(shè)過點(diǎn)A且與BC垂直的平面為a,則C截該四面體所得的截面為尸，所以尸的軌跡為線段

AF,AE±BC,所以E為棱BC的中點(diǎn)，且跖，3C,在，BCD中，由余弦定理得

EBFBCD2

^-^BC.BD^所以奴]'在?的中'可得

11

AF=y/BA2+BF2-IBA-BF-cos60=——.

5

四、解答題

（1）證明：如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)￡,

則BE=1,CE—3,

在RtABE中，AE=A/AB2-BE2=3-

所以3。=4。=3忘.

設(shè)AC交5D于點(diǎn)。，因?yàn)锳Z）〃BC,

,OAODAD1

所以===—，

OCOBBC2

所以。。=。5=2拒，

所以052+0。2=§。2,即

又叫_13。,胡小4。=4,朋,4。（=平面44。。1，

所以3D，平面AACG.

又5Du平面A3CD,所以平面A/ACG，平面A5CD.

（2）解：連接A。，則由余弦定理得

6>42=M2+-2AA-OACOS45=4+2—2x2x后義當(dāng)=2,

12

所以。4；+OA-=A^,所以。4±AC.

又41cB0=0,所以AC,平面4與。，

所以點(diǎn)C到平面\BD的距離為OC的長為2夜.

18.(1)證明：由已知及正弦定理得cos3-tanAsinB二s任inC一1,

3sinA

所以3sinAcosBcosA-3sin2AsinB=sinCcosA，

所以3sinA(cos5cosA-sinAsinfi)=sinCcosA,

所以3sinAcos(A+B)=sinCcosA,

所以3sinAcosC=sinCcosA.

222222

占人十士,曰a+b-cb+c-a

由正、余弦定理得3a-------=c.-------

2ab2bc

整理得°2=/+2/.

(2)解：由題得-6=8'

C2仔222

由余弦定理得cos。=%士—-a+4-c

2ab4〃

-411,

一二—=—,解得a=2,

4aa2

所以ABC的面積=—absinC=-x2x2x

22*"

19.(1)證明：因?yàn)樵谛Ｖ鵄BC。—中,

底面A5CD是平行四邊形.所以A3//CD.

因?yàn)锳3?平面DCCQI,CDu平面DCCR,

所以A5〃平面

又ABu平面A3QP,平面DCGQC平面A5QP=PQ,

所以A3〃PQ,

又A3〃DC〃AG，

所以尸?！?/p>

13

D,

(2)解：在底面平行四邊形ABCD中,

因?yàn)锳B=1，AC=6,BC=2.

所以AB2+AC2=§。2,所以ABLAC,

又因?yàn)锳5〃CD，所以ACLCD.

因?yàn)?4,，平面ABCD,

所以C￡J_平面ABCD,

又ACu平面ABCD,

所以C￡_LAC.

又CC[cCD=C,CC[,CD<=平面CDDG,

所以AC_L平面CDQG，

連接PC,AP,則/CB4為AP與平面CDDg所成的角,

n

即/CP4=—.

6

設(shè)。尸=x,因?yàn)?。C=AB=1.

所以PC=y/PD2+DC2=&+1,

在RtACP中.tan/APC=^=^|_=走,

PCV77i3

解得x=2直，

因?yàn)槭瑸椤?的中點(diǎn)，所以。0=4人.

20.解：(1)/r(x)=l-cosx+asinx-2x,

令g(x)=l—cosx+asinx-2x,

則g'(x)=sinx+QCOSx-2v0,

14

所以g(x)在R上單調(diào)遞減，且g(o)=o,

所以當(dāng)xe(—。,0)時(shí)，g(以)>0,即/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)xe(0,+⑹時(shí),g(x)<0.即單調(diào)遞減

故當(dāng)x=0時(shí)，"％)取得極大值/(0)=—匹無極小值.

(71n\一

(2)由題得X—sinx—acosM,1對(duì)任意工￡[-,，耳)恒成立，

口口x-siwc-1(71?]一4一

即ci..；----------對(duì)任思xe—■—怛成乂.

cosxv227

x-sinx-1

令h(x)=---------,xe

cosx

cosx-sinx+xsiwc-1

所以〃(x)=

cos2x

令=cosx-sinx+xsiwc-1,xG

所以「(x)=-sinx-cosx+sinx+xcosx=(x-l)cosx,

當(dāng)工￡卜冬11時(shí)，?X)<0/(x)單調(diào)遞減；當(dāng)光同時(shí)，?x)>0j(x)單調(diào)遞增,

所以^(x)..^(l)=cosl-l,

又《。)=。，4]=/2'

所以當(dāng)5,oJ時(shí)，

《x)>0,〃(x)>0,單調(diào)遞增;

當(dāng)xe時(shí)，《力<0,”(“<0,/z(x)單調(diào)遞減,

所以以幻厘=/2(°)=一1，所以。一.一1，

即〃的取值范圍是[—1,+。).

15

3

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