2023-2024學(xué)年山東省青島七中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年山東省青島七中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本題滿分24分，共有8道小題，每小題3分）下列每小題都給出標(biāo)號為A、

第B、C、D的四個結(jié)論，其中只有一個是正確的。每小題選對得分；不選、選錯或者選出

的標(biāo)號超過一個的不得分。

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.x+2y=1B.尤2-2=0C.尤=2x3-3D.3x+^=l

x

2.根據(jù)下面表格中的對應(yīng)值判斷關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0（aWO）的一個解x的范圍是

()

X3.243.253.26

ax1+bx+c-0.020.010.03

A.尤＜3.24B.3.24cx＜3.25

C.3.25c尤＜3.26D.尤＞3.26

3.”宮商角徵羽”是中國古樂的五個基本音階（相當(dāng)于西樂的1,2,3,5,6）,是采用

“三分損益法”通過數(shù)學(xué)方法獲得.現(xiàn)有一款“一起聽古音”的音樂玩具，音樂小球從A

處沿軌道進(jìn)入小洞就可以發(fā)出相應(yīng)的聲音，且小球進(jìn)入每個小洞的可能性大小相同.現(xiàn)

有一個音樂小球從A處先后兩次進(jìn)入小洞，先發(fā)出“商”音，再發(fā)出“羽”音的概率是

（）

4.一元二次方程7-3尤-1=0與7-x+3=0的所有實(shí)數(shù)根的和等于（）

A.2B.-4C.4D.3

5.2021年以來，某廠生產(chǎn)的電子產(chǎn)品處于高速增長上升期，該廠生產(chǎn)一件產(chǎn)品起初的成本

為125元，經(jīng)過兩次技術(shù)改進(jìn)，現(xiàn)生產(chǎn)一件這種產(chǎn)品的成本比起初下降了19.2元.設(shè)每

次技術(shù)改進(jìn)產(chǎn)品的成本下降率均為x,則下列方程正確的是（）

A.125（1-2%）=125-19.2B.19.2（1+無）2=125

C.125(1-x)219.2D.125(1-x)2125-19.2

6.已知點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且CB>AC,則下列等式中成立的是（）

A.AB2^AC-CBB.

C.AC^^CB-ABD.AC2=2BC-AB

7.如圖，在正方形網(wǎng)格中，以點(diǎn)O為位似中心，AABC的位似圖形可以是（）

A.叢DEFB.ADHFC.AGEHD.AGDH

8.如圖，點(diǎn)。為正方形ABC。的中心，AD=1,BE平分/DBC交DC于點(diǎn)、E,延長BC到

點(diǎn)F,使BD=BF,連接DF交BE的延長線于點(diǎn)H,連接OH交DC于點(diǎn)G,連接HC.則

以下五個結(jié)論中：?OH//BF-,②OG：GH=2：1；③GH=立";④NCHF=2/EBC；

2

⑤CH2=HE，HB.正確結(jié)論的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題（每題3分，共6小題，滿分18分）

a則上的值為

9.若=4,

3a+b5a

10.如圖，矩形A2CD的對角線AC、BD交于點(diǎn)。，ZAOD=60°,AB=2^,AE±BD

于點(diǎn)E,則AE長_________________

11.一種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干

和小分支的總數(shù)是57,每個支干長出個小分支.

12.如圖，在△ABC中，E在2C邊上，BE：EC=1：3,。是3。的中點(diǎn)，連接3。并延長

交AC于。，則A。：AC=.

13.在一個不透明的口袋里裝有只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共20只，某學(xué)習(xí)小組

做摸球試驗(yàn)，將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù),

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表：

摸球的次數(shù)n1001502005008001000

摸到白球的次數(shù)機(jī)5896116295484601

摸到白球的頻率巨0.580.640.580.590.6050.601

n

根據(jù)數(shù)據(jù)，估計(jì)袋中黑球有個.

14.如圖，Ai，A2,A3,A4,-An,4+i是直線y=/x+2上的點(diǎn)，分別過點(diǎn)4，A2,A3,

,'An,A”+l作X軸的垂線，垂足分別為8],B?B3,B4>Bn>Bn+l已知OB\—B\B2

=B2B3=B3B4=-=BnBn+i=1,連接BjA,A2B3,22A3，…4瓦+1依次相交于

點(diǎn)P1，尸2，P3,…PN,AA1B1P1，282P2，383P3，…，△ANBNPN的面積依次為

三.作圖題（本題滿分4分）用圓直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡.

15.（4分）已知：矩形

求作：菱形AECF,使點(diǎn)E,尸分別在邊BC,上.

AD

BC

四、解答題（本大題滿分74分，共有9道小題）

16.（8分）（1）X2-8X-9=0.

⑵■^-X2-6X-7=0-

17.（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程無2-（人1）無-6=0的一個根為2,求人的值及另

一個根.

18.（6分）為了保護(hù)學(xué)生視力，防止學(xué)生沉迷網(wǎng)絡(luò)和游戲，促進(jìn)學(xué)生身心健康發(fā)展，教育

辦公廳于2021年1月15日頒發(fā)了《教育部辦公廳關(guān)于加強(qiáng)中小學(xué)生手機(jī)管理工作的通

知》為貫徹《通知》精神，學(xué)校組織該主題漫畫比賽.現(xiàn)在小雪和小英想通過設(shè)計(jì)一個

游戲來決定誰去參賽.游戲規(guī)則如下：有一個可自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，被分成了三個大小相

同的扇形，分別標(biāo)有數(shù)字2,3,4；另有一個不透明的瓶子，裝有分別標(biāo)有數(shù)字1,3,5

的三個完全相同的小球.先轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤，停止后記下指針指向的數(shù)字（若指針指在分

界線上則重轉(zhuǎn)），再從瓶子中隨機(jī)取出一個小球，記下小球上的數(shù)字.若得到的兩數(shù)字

之和大于6,則小雪參賽；若得到的兩數(shù)字之和小于6,則小英參賽.

（1）請用列表或畫樹狀圖的方法表示出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；

（2）此游戲公平嗎？請說明理由.

19.（6分）如圖，在平行四邊形A8C。中，過點(diǎn)A作垂足為E,連接。E,F

為線段。石上一點(diǎn)，且NAFE=NB.

（1）求證：AADFsADEC；

（2）若AB=4,AD=373'AE=3,求AF的長.

D

REC

20.（8分）如圖，一塊長5米寬4米的地毯為了美觀，設(shè)計(jì)了兩橫、兩縱的配色條紋（圖

中陰影部分），已知配色條紋的寬度相同，所占面積是整個地毯面積的星■.

80

（1）求配色條紋的寬度；

（2）如果地毯配色條紋部分每平方米造價200元，其余部分每平方米造價100元，求地

21.（8分）已知：如圖，在四邊形ABC。中，AB±AC,DC±AC,ZB=ZD,點(diǎn)E,F

分別是BC,A。的中點(diǎn).

（1）求證：AABE出△CDF；

（2）當(dāng)A2與AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形AEb是正方形？請證明.

22.第19屆亞運(yùn)會已于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，其吉祥物“江南憶”為

一組機(jī)器人，這組機(jī)器人分別命名為“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”.而由它們組成的

“江南憶”毛絨玩具套件，已成為杭州店銷人氣款.

某商場經(jīng)銷這種玩具套件，每套成本為55元.經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該套件平均每月的銷售

量y（件）與銷售單價X（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，其中部分對應(yīng)值如下表所示：

銷售單價X（元）6066707286

月銷售量y（件）300276260252196

（1）求y與X的關(guān)系式;

(2)物價部門規(guī)定該種玩具套件的銷售單價不能超過95元，該商場要想使這種商品的

銷售利潤平均每月達(dá)到6300元，套件的銷售單價應(yīng)定為多少元？

(3)該套件平均每月的銷售利潤可能是6500元嗎？請說陰理由.

23.如圖1,正方形ABC。和正方形AEFG,連接。G.

(1)［發(fā)現(xiàn)］：當(dāng)正方形AEEG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，如圖2,線段。G與BE之間有怎樣的關(guān)系？

請說明理由;

(2)［探究］:如圖3,若四邊形A3C。與四邊形AEFG都為矩形，且AG=2AE,

猜想。G與BE的關(guān)系，并說明理由；

(3)［應(yīng)用］:在(2)情況下，連接GE(點(diǎn)E在上方)，若GE〃AB,且AB=收，

AE=1,求DG的長.

24.(12分)已知：如圖1,在四邊形A8C。中，AB=10cm,AD=8cm,對角線AC的長

為6cm,將△ABC沿射線C2方向以2cm/s的速度運(yùn)動，經(jīng)平移得到(如圖2)；

同時，點(diǎn)P從點(diǎn)E以2cm/s的速度向點(diǎn)8運(yùn)動，點(diǎn)。從點(diǎn)C以1cm/s的速度向點(diǎn)。運(yùn)動.過

點(diǎn)P作PG±BC交BC于點(diǎn)G,連接PQ,交EF于點(diǎn)O,設(shè)運(yùn)動時間為“s)(0</<5).解

答下列問題：

圖1圖2

(1)當(dāng)尸。平分NEPG時，求f的值；

(2)連接AP、AQ,設(shè)△APQ的面積為S(cm2),求S與/的函數(shù)關(guān)系式；

(3)是否存在某一時刻，使2、。、。三點(diǎn)共線？若存在，請求出f值；若不存在，請

說明理由.

2023-2024學(xué)年山東省青島七中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題滿分24分，共有8道小題，每小題3分）下列每小題都給出標(biāo)號為A、

第B、C、D的四個結(jié)論，其中只有一個是正確的。每小題選對得分；不選、選錯或者選出

的標(biāo)號超過一個的不得分。

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.x+2y=1B.x2-2=0C.x=2x3-3D.3x-+^=l

x

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐個判斷即可.

解：A.方程x+2y=l是二元一次方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；

B.方程d-2=0是一元二次方程，故本選項(xiàng)符合題意；

C.方程兀=2%3-3是一元三次方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；

D.方程3x4二l是分式方程，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；

x

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關(guān)鍵,

只有一個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫一元二次方程.

2.根據(jù)下面表格中的對應(yīng)值判斷關(guān)于x的方程以2+"+°=（）（〃wo）的一個解x的范圍是

()

X3.243.253.26

ax1+bx+c-0.020.010.03

A.x<3.24B.3.24<x<3.25

C.3.25<x<3.26D.1>3.26

【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)得至!j光=3.24時，ax1+bx+c=-0.02；x=3.25時，ax2+bx+c=0.01,

則x取2.24到2.25之間的某一個數(shù)時，使ax2+bx+c=0,于是可判斷關(guān)于x的方程a^+bx+c

=0（aWO）的一個解工的范圍是3.24<xV3.25.

12

解：?「％=3.24時，ax+bx+c=-0.02；x=3.25時，ax+bx+c=0.01f

；?關(guān)于x的方程〃%2+區(qū)+。=（）（〃#0）的一個解x的范圍是3.24VxV3.25.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了估算一元二次方程的近似解：用列舉法估算一元二次方程的近似解，

具體方法是：給出一些未知數(shù)的值，計(jì)算方程兩邊結(jié)果，當(dāng)兩邊結(jié)果愈接近時，說明未

知數(shù)的值愈接近方程的根.

3.”宮商角徵羽”是中國古樂的五個基本音階（相當(dāng)于西樂的1,2,3,5,6）,是采用

“三分損益法”通過數(shù)學(xué)方法獲得.現(xiàn)有一款“一起聽古音”的音樂玩具，音樂小球從A

處沿軌道進(jìn)入小洞就可以發(fā)出相應(yīng)的聲音，且小球進(jìn)入每個小洞的可能性大小相同.現(xiàn)

有一個音樂小球從A處先后兩次進(jìn)入小洞，先發(fā)出“商”音，再發(fā)出“羽”音的概率是

（）

【分析】畫樹狀圖，共有25種等可能的結(jié)果，其中先發(fā)出“商”音，再發(fā)出“羽”音的

結(jié)果有1種，再由概率公式求解即可.

解：根據(jù)題意畫圖如下：

開始

1235612356123561235612356

共有25種等可能的情況數(shù)，其中先發(fā)出“商”音，再發(fā)出“羽”音的有1種，

則先發(fā)出“商”音，再發(fā)出“羽”音的概率是3.

25

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)

不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩

步以上完成的事件.用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

4.一元二次方程3x-1=0與7-x+3=0的所有實(shí)數(shù)根的和等于（）

A.2B.-4C.4D.3

【分析】此題不能只利用兩根之和公式進(jìn)行簡單的求和計(jì)算，還要考慮一下△與0的關(guān)

系，判斷方程是否有解.

解：方程x2-3x-1=。中△=(-3)2-4X(-1)=13>0,

該方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，

根據(jù)兩根之和公式求出兩根之和為3.

方程尤2-了+3=0中A=(-1)2-4X3=-11<0,所以該方程無解.

方程尤2-3尤-1=0與x2-x+3=0一共只有兩個實(shí)數(shù)根，

即所有實(shí)數(shù)根的和3.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式.

易錯易混點(diǎn)：很多學(xué)生不考慮A與。的關(guān)系，而直接利用兩根之和公式進(jìn)行計(jì)算，求出

3+1=4.

5.2021年以來，某廠生產(chǎn)的電子產(chǎn)品處于高速增長上升期，該廠生產(chǎn)一件產(chǎn)品起初的成本

為125元，經(jīng)過兩次技術(shù)改進(jìn)，現(xiàn)生產(chǎn)一件這種產(chǎn)品的成本比起初下降了19.2元.設(shè)每

次技術(shù)改進(jìn)產(chǎn)品的成本下降率均為x,則下列方程正確的是()

A.125(1-2%)=125-19.2B.19.2(1+無)2=125

C.125(l-x)2=19.2D.125(l-x)2=125-19.2

【分析】可先表示出第一次降價后的價格，那么第一次降價后的價格X(1-降低的百分

率)=125-19.2,把相應(yīng)數(shù)值代入即可列出方程.

解：根據(jù)題意得：125(l-x)2=125-19.2.

故選：D.

【點(diǎn)評】此題考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，求平均變化率的方法，若設(shè)變化前

的量為。，變化后的量為6,平均變化率為了,則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a(l±x)

2=b.

6.已知點(diǎn)C是線段A8的黃金分割點(diǎn)，且CB>AC,則下列等式中成立的是()

A.AB2=AC'CBB.CB2=AC-AB

C.AC2=CB，ABD.AC2^2BC'AB

【分析】根據(jù)黃金分割的定義即把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與

較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值(近二1)叫做黃金

2

比，從而得出答案.

解：是線段48的黃金分割點(diǎn)，且CB>AC,

.AC=BC

：.CB2^AC'AB.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查了黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對應(yīng)線段是解決問

題的關(guān)鍵，難度適中.

7.如圖，在正方形網(wǎng)格中，以點(diǎn)。為位似中心，△ABC的位似圖形可以是（）

A.B.ADHFC.叢GEHD.AGDH

【分析】根據(jù)位似變換的概念判斷即可.

解：:△ABC與△GE”是相似圖形，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行,

/.AABC與△GEH是位似圖形,

【點(diǎn)評】本題考查的是位似變換，如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線

相交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形.

8.如圖，點(diǎn)。為正方形ABC。的中心，AD=\,BE平分/DBC交DC于點(diǎn)E,延長BC到

點(diǎn)F,使BD=BF,連接DF交BE的延長線于點(diǎn)H,連接0H交DC于點(diǎn)G,連接HC.則

以下五個結(jié)論中：?OH//BF；②。G：GH=2：1；③GH=返二④NCHF=2NEBC；

2

⑤CH?=HE?HB.正確結(jié)論的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】①只要證明0〃是AOB廠的中位線即可得出結(jié)論；

②③根據(jù)OH是△BED的中位線，得出OH=^BD可得出結(jié)論；

④證明由直角三角形的性質(zhì)可得。H=CH,則結(jié)論得證；

⑤證明△HECs/v/CB,則HC：HB=HE：HC,BPH(^=HE'HB,即可得到⑤正確.

解：?"：BD=BF,BE平分/DBC,

：.DH=HF,BH±DF,

：OD=OB,

OH是△OB尸的中位線，

C.OH//BF-,故①正確；

②③：點(diǎn)。為正方形ABC。的中心，4。=1,BD=BF,

：.BD=BF=yf2-

由三角形中位線定理知，0G=《2C=g,GH二CF=g(&T),

2222v

：.OG：GH=1：(我-1),

故②錯誤，③正確；

@VZBCE=ZBHD=90°,ZBEC=ZDEH,

：.NEBC=ZEDH,

：OH是△OB尸的中位線，CD±BF,

:.DH=CH,

：.ZCDH=ZDCH,

：.ZCHF=ZDCH+ZCDH=2ZEBC.

故④正確；

⑤,/ZECH=ZCBH,ZCHE=CHB,

:.叢HECs叢HCB,

:.CH：HB=HE：CH,即CH2=HE-HB,

故⑤正確.

故選：D.

【點(diǎn)評】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形

的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì).利用等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合角平分線的性質(zhì)逐步

解答.

二、填空題（每題3分，共6小題，滿分18分）

9.若則2的值為2.

3a+b5a

【分析】利用比例的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

.\5a=3a+b,

.\5a-3a=b,

2a=b,

?b_2a

aa

故答案為：2.

【點(diǎn)評】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，矩形A8CD的對角線AC、BD交于點(diǎn)、O,ZAOD=60°,A8=2?,AE1BD

于點(diǎn)E,則AE長—百

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得NOA8=90°,OA^OD,則可判斷△AO。為等邊三角形，

所以/&。。=60°,OA^AD,接著計(jì)算出和AB,然后利用等面積法計(jì)算AE即可.

解：???四邊形A8CO為矩形，

：.ZDAB=90°,OA^AD,

VZAOD=6Q°,

...△AO。為等邊三角形,

AZADO=6Q°,

ZABD=30°,

在RtaADB中，AD=9=2q=2,

V3V3

：.BD=4,

焉"AD*AB=^-BD*AE>

即/X2X2F-|X4XAE，

解得AE=J^.

故答案為：-^3,

【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)：平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有，矩形的四個角都是直

角；鄰邊垂直；矩形的對角線相等.也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系.

11.一種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干

和小分支的總數(shù)是57,每個支干長出7個小分支.

【分析】由題意設(shè)每個支干長出的小分支的數(shù)目是尤個，每個小分支又長出x個分支，

則又長出x2個分支，則共有無2+x+l個分支，即可列方程求得x的值.

解：設(shè)每個支干長出的小分支的數(shù)目是尤個，

根據(jù)題意列方程得：/+/1=57,

解得：尤=7或x=-8（不合題意，應(yīng)舍去）；

.'.x=7.

故答案為：7.

【點(diǎn)評】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，注意能夠熟練運(yùn)用因式分解法解方程.

12.如圖，在△ABC中，E在BC邊上，BE：EC=1：3,。是BO的中點(diǎn)，連接3。并延長

交AC于。，則4。：AC=1：3.

【分析】（方法一）過點(diǎn)E作EF//AC交AB于點(diǎn)憶EF交BD于點(diǎn)P,過點(diǎn)0作MN

//AC,MN交BC于點(diǎn)、M,交AB于點(diǎn)N,由跖〃AC,利用平行線分線段成比例，可得

出尸E=LC,BF=ZA,由MN〃AC,利用平行線分線段成比例，可得出NO=《Ar>,

442

BN*BA,由EF//AC,MN//AC,可得出EF//MN,利用平行線分線段成比例，可得

711

出NOJFE,再代入NO=±AD及尸E=±4C,即可求出A。：AC的值；

324

（方法二）過點(diǎn)。作。/〃BC,交AE于點(diǎn)孔由。F〃BE,利用平行線分線段成比例，

可得出。尸=8￡,結(jié)合BE：EC=1：3,可得出。氏CE=1：3,再由。尸〃CE,利用平

行線分線段成比例，即可求出A。：AC的值.

解：（方法一）過點(diǎn)E作EF//AC交AB于點(diǎn)F,EF交BD于點(diǎn)P,過點(diǎn)0作MN//AC,

MN交BC于點(diǎn),M,交AB于點(diǎn)N,如圖1所示.

'."EF//AC,

.FE_BF_BE_1_1

,?而一前一而一而1

：.FE^—AC,BF^—BA；

44

'：MN//AC,

.NO=BN=BO=1

,?瓦一威一麗—T

：.NO=—AD,BN=—BA；

22

\'EF//AC,MN//AC,

：.EF//MN,

RA—^-RA

.NO_AN_BA-BN_2_2

??麗―市―BA-即一1“一5'

BA-vBDA

4

2

：.NO=—FE,

3

191

：.—AD=—X—AC,

234

：.AD^—AC,

3

：.AD：AC=1：3.

（方法二）過點(diǎn)。作。F〃BC,交AE于點(diǎn)凡如圖2所示.

'JDF//BE,

.DF0D1

..——=——=1,

BEOB

：.DF=BE,

?：BE：EC=1：3,

：.DF-.C￡=l：3.

'：DF//CE,

,AD=DF=2

"AC-CE-T

即A。：AC=1：3.

故答案為：1：3.

BEMC

圖1

【點(diǎn)評】本題考查了平行線分線段成比例，牢記“平行于三角形一邊的直線截其他兩邊

（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例”是解題的關(guān)鍵.

13.在一個不透明的口袋里裝有只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共20只，某學(xué)習(xí)小組

做摸球試驗(yàn)，將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)，

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表:

摸球的次數(shù)n1001502005008001000

摸到白球的次數(shù)相5896116295484601

摸到白球的頻率巨0.580.640.580.590.6050.601

n

根據(jù)數(shù)據(jù)，估計(jì)袋中黑球有8個.

【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，當(dāng)〃很大時，摸到白球的頻率接近06然后列式計(jì)算即可.

解：當(dāng)力很大時，摸到白球的概率約是06

，袋中黑球有20-20X0.6=8(個)；

故答案為：8.

【點(diǎn)評】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時，事件發(fā)生的頻率在某個固定

位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集

中趨勢來估計(jì)概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率.

14.如圖，A1，&2，43，^4，■■-An,4+1是直線y=/x+2上的點(diǎn)，分別過點(diǎn)4，兒,&，

44,…4”4+1作x軸的垂線，垂足分別為為，&,BT,,B4,…B",已知。8]=3/2

=B2B3=B3B4=?“=BnBn+i=l,連接A2B3,82A3，…A"6”+l依次相交于

點(diǎn)尸1，尸2，尸3，…PN,△A1SP1，△A282尸2，333P3，…，△ANBNPN的面積依次為

【分析】因?yàn)镺B1=B1B?=B?B3=B3B4=…=B"B"+1=1,把x=l代入直線解析式中得出

4、42、A3、…、A"、An+1的縱坐標(biāo)，從而得出底邊的長，再根據(jù)相似三角形的高比等

于它們的相似比得出高，從而求出三角形的面積，找出高和底邊的變化規(guī)律.

解：:OB1=B1B2=B2B3=2384=…=BnBn+1=1,

???根據(jù)題意得，Ai(1,2.5)、A2(2,3)、A3(3,3.5)、…、An(小會?+2)

TA向〃人2&

:.ZkAi51Pls2Pl9

AB

.112.55>

A2B236

/.△AiBiPi與△A2&P1據(jù)題意對應(yīng)高之比之比為三

0

???5島=1

AjBi邊上的為

???5AAIBIPI=^X2.5義三=巖

21144

同理可得，邊上的高為電;，A383邊上的高為

…片“X導(dǎo)翁

177

SA3C3=-X-X-49

A3B60

:.S尸工.生生回魚=金讓_

222n+94(2n+9)

故答案為(n+4)2

4(2n+9)

【點(diǎn)評】本題考查了圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)與距離的關(guān)系，相似三角形的性質(zhì)和判定，規(guī)律型

問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會探究規(guī)律的方法，學(xué)會利用規(guī)律解決問題.

三.作圖題（本題滿分4分）用圓直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡.

15.（4分）已知：矩形ABC，

求作：菱形AECF使點(diǎn)區(qū)廠分別在邊BC,AD±.

【分析】連接AC,作AC的垂直平分線交BC于E,交AD于F,通過證明AE=AF可證

明四邊形AECF為菱形.

解：如圖，四邊形AEC尸為所作.

B

【點(diǎn)評】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，

一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法.解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖

形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.

四、解答題（本大題滿分74分，共有9道小題）

16.（8分）（1）x2-8x-9=0.

⑵■^?X2-6X-7=0-

【分析】（1）先把方程轉(zhuǎn)化為x-9=0或x+l=0,然后解兩個一次方程即可；

（2）先把方程的二次項(xiàng)系數(shù)化為整系數(shù)，然后利用配方法解方程.

解：（1）X2-8X-9=0,

（x-9）（無+1）=0,

x-9=0或x+1=0,

所以無1=9,X2=-1；

（2）方程化為「-12x-14=0,

x2-12x—14,

x2-12元+36=50,

（x-6）2=50,

x-6=+5-^21

所以無］=6+5&，X2=6-5圾.

【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出

方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了配方

法.

17.（6分）已知關(guān)于尤的一元二次方程/-（葉1）x-6=0的一個根為2,求上的值及另

一個根.

【分析】由于一根為2,把x=2代入方程即可求得上的值.然后根據(jù)兩根之積即可求得

另一根.

解：?.?方程x2-（Z+1）x-6=0的一個根為2,

.?.22-2（左+1）-6=0,

解得k=-2,

設(shè)另一根為x,

*/2x=-6,

-3,

：.k=-2,另一根為-3.

【點(diǎn)評】考查了一元二次方程的解的知識，解題時可利用根與系數(shù)的關(guān)系使問題簡化，

難度不大.

18.（6分）為了保護(hù)學(xué)生視力，防止學(xué)生沉迷網(wǎng)絡(luò)和游戲，促進(jìn)學(xué)生身心健康發(fā)展，教育

辦公廳于2021年1月15日頒發(fā)了《教育部辦公廳關(guān)于加強(qiáng)中小學(xué)生手機(jī)管理工作的通

知》為貫徹《通知》精神，學(xué)校組織該主題漫畫比賽.現(xiàn)在小雪和小英想通過設(shè)計(jì)一個

游戲來決定誰去參賽.游戲規(guī)則如下：有一個可自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，被分成了三個大小相

同的扇形，分別標(biāo)有數(shù)字2,3,4；另有一個不透明的瓶子，裝有分別標(biāo)有數(shù)字1,3,5

的三個完全相同的小球.先轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤，停止后記下指針指向的數(shù)字（若指針指在分

界線上則重轉(zhuǎn)），再從瓶子中隨機(jī)取出一個小球，記下小球上的數(shù)字.若得到的兩數(shù)字

之和大于6,則小雪參賽；若得到的兩數(shù)字之和小于6,則小英參賽.

（1）請用列表或畫樹狀圖的方法表示出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；

（2）此游戲公平嗎？請說明理由.

【分析】（1）畫樹狀圖即可；

（2）共有9種等可能的結(jié)果，兩數(shù)字之和大于6的結(jié)果有4種，兩數(shù)字之和小于6的結(jié)

果有4種，求出小雪參賽和小英參賽的概率，即可得出結(jié)論.

解：（1）畫樹狀圖如下：

ZN/4\/T\

135135135

和357468579

共有9種等可能的結(jié)果；

（2）此游戲公平，理由如下：

共有9種等可能的結(jié)果，兩數(shù)字之和大于6的結(jié)果有4種，兩數(shù)字之和小于6的結(jié)果有4

種,

...小雪參賽的概率為4■，小英參賽的概率為&

此游戲公平.

【點(diǎn)評】本題考查了游戲公平性、樹狀圖法以及概率公式，判斷游戲公平性就要計(jì)算每

個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平.

19.（6分）如圖，在平行四邊形ABC。中，過點(diǎn)A作AELBC,垂足為E,連接。E,F

為線段Z5E上一點(diǎn)，且

（1）求證：△ADFs^DEC；

（2）若AB=4,4。=3如，AE=3,求AF的長.

【分析】（1）根據(jù)四邊形A8CQ是平行四邊形，得出AB〃CD,AD//BC,再根據(jù)平行

線的性質(zhì)得出NB+NC=180°,NADF=/DEC,然后根據(jù)/4陽+/&小=180°,Z

AFE=ZB,得出從而得出AADFsADEC；

（2）根據(jù)已知和勾股定理得出￡>￡=VAD2+AE2J再根據(jù)△AQFS/KDEC,得出瞿=

祟，即可求出的長.

DE

解：（1）?..四邊形ABC。是平行四邊形，

J.AB//CD,AD//BC,

.\ZB+ZC=180°,ZADF=ZDECf

VZAF￡）+ZAFE=180°,ZAFE=ZB,

：.ZAFD=ZCf

：.△ADFS/\DEC；

（2）VAEXBC,AD=3M，AE=3,

???在Rt^OAE中，^=VAD2+AE2=V（373）2+32=6>

由（1）知△AO/S/XOEC,得空=膽，

DCDE

.?”=DeAD=4X3E=2%.

DE6

【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理.此題

難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

20.（8分）如圖，一塊長5米寬4米的地毯為了美觀，設(shè)計(jì)了兩橫、兩縱的配色條紋（圖

中陰影部分），已知配色條紋的寬度相同，所占面積是整個地毯面積的名.

（1）求配色條紋的寬度；

（2）如果地毯配色條紋部分每平方米造價200元，其余部分每平方米造價100元，求地

5米

【分析】（1）設(shè)條紋的寬度為x米，根據(jù)等量關(guān)系：配色條紋所占面積=整個地毯面積

的8，列出方程求解即可；

（2）根據(jù)總價=單價義數(shù)量，可分別求出地毯配色條紋和其余部分的錢數(shù)，再相加即可

求解.

解：（1）設(shè)條紋的寬度為x米.依題意得

2xX5+2xX4-4102=-1-7-X5X4,

80

解得：無1=￥（不符合，舍去），無2=].

44

答：配色條紋寬度為4■米.

4

17

（2）條紋造價：—X5X4X200=850（元）

80

其余部分造價：（1-￡）X4X5X100=1575（元）

80

總造價為:850+1575=2425（元）

答：地毯的總造價是2425元.

【點(diǎn)評】考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的

條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程.

21.(8分)已知：如圖，在四邊形A8CD中，ABLAC,DC±AC,/B=/D,點(diǎn)、E,F

分別是BC,的中點(diǎn).

(1)求證：AABE^^CDF；

(2)當(dāng)A2與AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形AEb是正方形？請證明.

【分析】(1)根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可;

(2)根據(jù)正方形的判定解答即可.

【解答】證明：(1)DCLAC,

：.ZBAC^ZACD^9Q0,

?：NB=4D,AC=CA,

.二△ABC名△CZM(A4S),

：.AB=CD,AD=BC,

；點(diǎn)E,1分別是BC,A。的中點(diǎn)，

BE-^BC-DF-j-AD-

：.BE=DF,

在△ABE與△(?￡)尸中，

'AB=CD

<NB=/D，

BE=DF

/.AABE^ACDF(SAS)；

(2)當(dāng)48=AC時，四邊形AEC尸是正方形,

理由：\"AB=CD,AD=BC,

四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD//BC,

:點(diǎn)E,F分別是8C,AD的中點(diǎn),

EC-^BC-AF-^AD，

：.EC=AF,

四邊形AECF是平行四邊形.

?.?N3AC=90°,點(diǎn)E是8C的中點(diǎn)，

???AE-|BC=EC-

平行四邊形AEb是菱形，

：AB=AC,點(diǎn)E是8C的中點(diǎn)，

：.AE±BC,

即/AEC=90°,

菱形AEC尸是正方形.

【點(diǎn)評】此題考查正方形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的判

定解答.

22.第19屆亞運(yùn)會已于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，其吉祥物“江南憶”為

一組機(jī)器人，這組機(jī)器人分別命名為“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”.而由它們組成的

“江南憶”毛絨玩具套件，已成為杭州店銷人氣款.

某商場經(jīng)銷這種玩具套件，每套成本為55元.經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該套件平均每月的銷售

量y（件）與銷售單價x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，其中部分對應(yīng)值如下表所示：

銷售單價x（元）6066707286

月銷售量y（件）300276260252196

（1）求y與x的關(guān)系式；

（2）物價部門規(guī)定該種玩具套件的銷售單價不能超過95元，該商場要想使這種商品的

銷售利潤平均每月達(dá)到6300元，套件的銷售單價應(yīng)定為多少元？

（3）該套件平均每月的銷售利潤可能是6500元嗎？請說陰理由.

【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法可求出y與x的關(guān)系式即可；

（2）利用總利潤=每件的銷售利潤X月銷售量，列出一元二次方程，解方程即可；

（3）利用總利潤=每件的銷售利潤X月銷售量，列出一元二次方程，由根的判別式△=

-100<0,可得出原方程沒有實(shí)數(shù)根，即該商品平均每月的銷售利潤不可能是6500元.

解：（1）設(shè)y與％的關(guān)系式為>=丘+。（4W0）,

則［60k+b=300,

166k+b=276

解得：（k=-4,

lb=540

Ay與x關(guān)系式為：y=-4x+540；

(2)由題意得：(x-55)(-4A+540)=6300,

整理得：x2-190x+9000=0,

解得：無1=90,無2=1。。（不合題意，舍去），

答：套件的銷售單價應(yīng)定為90元；

（3）該套件平均每月的銷售利潤不可能是6500元，理由如下：

由題意得：（%-55）（-4x+540）=6500,

整理得：x2-190A+9050=0,

A=（-190）2-4XlX9050=-100<0,

..?原方程沒有實(shí)數(shù)根，

???該套件平均每月的銷售利潤不可能是6500元.

【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用以及根的判別式，解題的關(guān)

鍵是：（1）利用待定系數(shù)法，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列

出一元二次方程；（3）牢記“當(dāng)△<（）時，方程無實(shí)數(shù)根”.

23.如圖1,正方形ABC。和正方形AEFG,連接。G.

（1）［發(fā)現(xiàn)］:當(dāng)正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，如圖2,線段。G與BE之間有怎樣的關(guān)系？

請說明理由；

（2）［探究］:如圖3,若四邊形A8CD與四邊形AEFG都為矩形，且A￡）=2AB,AG=2AE,

猜想。G與BE的關(guān)系，并說明理由；

（3）［應(yīng)用］:在（2）情況下，連接GE（點(diǎn)E在上方），若GE〃AB,且虹=收，

AE=1,求。G的長.

【分析】（1）先判斷出aABE之△AOG,進(jìn)而得出8E=OG,/ABE=NADG,再利用

等角的余角相等即可得出結(jié)論；

（2）先利用兩邊對應(yīng)成比例夾角相等判斷出得出DG=2BE,ZABE

=/ADG,再利用等角的余角相等即可得出結(jié)論；

（3）先求出BE,進(jìn)而得出即可得出四邊形A3EG是平行四邊形，進(jìn)而得出N

AEB=90°,求出BE的長，借助（2）得出的相似，即可得出結(jié)論.

解：（1）DG=BE,DGLBE,理由如下：

???四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，

：.AE=AG,AB=AD,ZBAD=ZEAG=90°,

ZBAE=ZDAG,

：.AABE^^ADG(SAS),

：.BE=DG；

如圖2,延長BE交AO于。，交DG于H,

???Z\ABE^ADAGf

：.ZABE=NADG,

VZAQB+ZABE=90°,

ZAQB+ZADG=90°,

???ZAQB=ZDQH,

：.ZDQH+ZADG=90°,

：.ZDHB=90°,

：.BELDG,

:?DG=BE,DG工BE；

(2)DG=2BE,BE_LDG,理由如下：

如圖3,延長BE交AZ)于K,交DG于H,

???四邊形A3CD與四邊形AEFG都為矩形,

：.ZBAD=ZEAG,

：.ZBAE=/DAG,

,.?AO=2AB,AG=2AE,

,AB=AE=1

**AD-AG-T

???AABE^AADG,

:?DG=2BE,

VZAKB+ZABE=90°,

AZAKB+ZADG=90°,

???NAKB=NDKH,

：.ZDKH+ZADG=90°,

：.ZDHB=90°,

：.BE.LDG,

:.DG=2BE,BE.LDG；

(3)如圖4,設(shè)EG與AO的交點(diǎn)為“，

9：EG//AB,

：.ZDME=ZDAB=90°,

在RtZvlEG中，AE=l,

.\AG=2AE=2,

22

根據(jù)勾股定理得：￡G=1y2+i=V5-

VAB=V5，

：.EG=AB,

,:EG〃AB,

...四邊形ABEG是平行四邊形，

J.AG//BE,

\'AG//EF,

...點(diǎn)B,E,尸在同一條直線上，如圖5,

/.ZAEB=90°,

在Rt^ABE中，根據(jù)勾股定理得，B￡=VAB2-AE2=V571=2,

由(2)知，AABE^AADG,

,BE=AB=2

,?而一而一E，

?.?2_-1~■，

DG2

???QG=4.

AB