旋轉中的最大值或最小值

旋轉中的最大值或最小值1.〔2008?徐州〕著圖1，一副直角三角板滿足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°

操作：將三角板DEF的直角頂點E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞點E旋轉，并使邊DE與邊AB交于點P，邊EF與邊BC于點Q．

探究一：在旋轉過程中，

〔1〕看圖2，當=1時，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關系？并給出證明；

〔2〕看圖3，當=2時，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關系？并說明理由；

〔3〕根據(jù)對〔1〕、〔2〕的探究結果，試寫出當=m時，EP與EQ滿足的數(shù)量關系式為，其中m的取值范圍是．〔直接寫出結論，不必證明〕

探究二：假設=2且AC=30cm，連接PQ，設△EPQ的面積為S〔cm2〕，在旋轉過程中：

〔1〕S是否存在最大值或最小值？假設存在，求出最大值或最小值；假設不存在，說明理由．

〔2〕隨著S取不同的值，對應△EPQ的個數(shù)有哪些變化，求出相應S的值或取值范圍．

2.：如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=6，BC=8，AD=14．E為AB上一點，BE=2，點F在BC邊上運動，以FE為一邊作菱形FEHG，使點H落在AD邊上，點G落在梯形ABCD內或其邊上．假設BF=x，△FCG的面積為y．

〔1〕當x=時，四邊形FEHG為正方形；

〔2〕求y與x的函數(shù)關系式；〔不要求寫出自變量的取值范圍〕

〔3〕在備用圖中分別畫出△FCG的面積取得最大值和最小值時相應的圖形〔不要求尺規(guī)作圖，不要求寫畫法〕，并求△FCG面積的最大值和最小值；〔計算過程可簡要書寫〕

〔4〕△FOG的面積由最大值變到最小值時，點G運動的路線長為．

3.如圖，在平面直角坐標系中，點A〔8，2〕，B點在第一象限，BO=BA=5，假設M、N是OB和OA中點，〔1〕直線MN的解析式為〔2〕△ABN面積=〔3〕將圖〔1〕中的△4MO繞點O旋轉一周，在旋轉過程中，△AB4面積是否存在最大值、最小值？假設不存在，請說明理由；假設存在請在備用圖中畫出相應位置的圖形，并直接寫出最大值、最小值；

〔4〕將圖〔1〕中的△NMO繞點O旋轉，當點N在第二象限時，如圖〔2〕，設N〔x，y〕，△ABN的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關系式．

(第4題)

4.如圖，在平面直角坐標系中，A〔4，0〕，B〔4，4〕，C〔0，4〕，點F、D分別在x軸、y軸上，正方形DEFO$\\ODEF$的邊長為a〔a＜2〕，連接AC、AE、CF．〔1〕求圖中△AEC的面積，請直接寫出計算結果；

〔2〕將圖中正方形ODEF繞點O旋轉一周，在旋轉的過程中，S△AEC是否存在最大值、最小值？如果不存在，請說明理由；如果存在，在備用圖中畫出相應位置的圖形，并直接寫出最大值、最小值；

〔3〕將圖1中正方形ODEF繞點O旋轉，當點E在第二象限時，設E〔x，y〕，△AEC的面積為S，求S關于x的函數(shù)關系式．5.〔2006?徐州〕將兩張寬度相等的矩形紙片疊放在一起得到如下圖的四邊形ABCD．〔1〕求證：四邊形ABCD是菱形；

〔2〕如果兩張矩形紙片的長都是8，寬都是2．那么菱形ABCD的周長是否存在最大值或最小值？如果存在，請求出來；如果不存在，請簡要說明理由．

6.閱讀下面材料：

小偉遇到這樣一個問題：如圖1，在△ABC〔其中∠BAC是一個可以變化的角〕中，AB=2，AC=4，以BC為邊在BC的下方作等邊△PBC，求AP的最大值．

小偉是這樣思考的：利用變換和等邊三角形將邊的位置重新組合．他的方法是以點B為旋轉中心將△ABP逆時針旋轉66°得到△A′BC，連接A′A，當點A落在A′C上時，此題可解〔如圖2〕．

請你答復：AP的最大值是．

參考小偉同學思考問題的方法，解決以下問題：

如圖3，等腰Rt△ABC．邊AB=4，P為△ABC內部一點，那么AP+BP+CP的最小值是．〔結果可以不化簡〕

7.如圖1，矩形CEFG的一邊落在矩形ABCD的一邊上，并且矩形CEFG～CDAB，其相似比為k，連接BG、DE．

〔1〕試探究BG、DE的位置關系，并說明理由；

〔2〕將矩形CEFG繞著點C按順時針〔或逆時針〕旋轉任意角度α，得到圖形2、圖形3，請你通過觀察、分析、判斷〔1〕中得到的結論是否能成立，并選取圖2證明你的判斷；

〔3〕在〔2〕中，矩形CEFG繞著點C旋轉過程中，連接BD、BF、DF，且k=，AB=8，BC=4，△BDF的面積是否存在最大值或最小值？假設存在，求出最大值或最小值；假設不存在，請說明理由．8.〔2008?大慶〕如圖①，四邊形AEFG和ABCD都是正方形，它們的邊長分別為a，b〔b≥2a〕，且點F在AD上〔以下問題的結果均可用a，b的代數(shù)式表示〕．

〔1〕求S△DBF；

〔2〕把正方形AEFG繞點A按逆時針方向旋轉45°得圖②，求圖②中的S△DBF；

〔3〕把正方形AEFG繞點A旋轉一周，在旋轉的過程中，S△DBF是否存在最大值、最小值？如果存在，直接寫出最大值、最小值；如果不存在，請說明理由．9.：如圖①，正方形ABCD的邊長是a，正方形AEFG的邊長是b，且點F在AD上，連接DB，BF，〔以下問題的結果可用a，b表示〕．

〔1〕觀察計算：△DBF的面積S=〔2〕圖形變式：

將圖①中的正方形AEFG繞點A順時針方向旋轉45°得到圖②，其他條件不變，請你求出圖②中△DBF的面積S；

〔3〕探究發(fā)現(xiàn)：

當a＞2b時，假設把圖①中的正方形AEFG繞點A旋轉任意角度，在旋轉過程中，△DBF的面積S是否能到達最大值、最小值？如果能到達，請畫出圖形，并求出最大值、最小值；如果達不到，請說明理由．〔圖③可用來畫圖〕．

10.如圖1，P為正方形ABCD的對角線AC上一點〔不與A、C重合〕，PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F．

〔1〕試說明：BP=DP；

〔2〕如圖2，假設正方形PECF繞點C按逆時針方向旋轉，在旋轉過程中是否總有BP=DP？假設是，請給予證明；假設不是，請畫圖用反例加以說明；

〔3〕試選取正方形ABCD的兩個頂點，分別與正方形PECF的兩個頂點連接，使得到的兩條線段在正方形PECF繞點C按逆時針方向旋轉的過程中長度始終相等，并證明你的結論；

〔4〕旋轉的過程中AP和DF的長度是否相等？假設不等，直接寫出AP：DF=；

〔5〕假設正方形ABCD的邊長是4，正方形PECF的邊長是1．把正方形PECF繞點C按逆時針方向旋轉的過程中，△PBD的面積是否存在最大值、最小值？如果存在，試求出最大值、最小值；如果不存在，請說明理由．如圖，在平面直角坐標系中，點A〔8，2〕，B點在第一象限，BO=BA=5，假設M、N是OB和OA中點，

〔1〕直線MN的解析式為．

〔2〕△ABN面積=．

〔3〕將圖〔1〕中的△4MO繞點O旋轉一周，在旋轉過程中，△AB4面積是否存在最大值、最小值？假設不存在，請說明理由；假設存在請在備用圖中畫出相應位置的圖形，并直接寫出最大值、最小值；

〔4〕將圖〔1〕中的△NMO繞點O旋轉，當點N在第二象限時，如圖〔2〕，設N〔x，y〕，△ABN的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關系式．

〔2013濰坊〕22．如圖1所示，將一個邊長為2的正方形ABCD和一個長為2、寬為1的長方形CEFD拼在一起，構成一個大的長方形ABEF．現(xiàn)將小長方形CEFD繞點C順時針旋轉至CE′F′D′，旋轉角為a．

〔1〕當點D′恰好落在EF邊上時，求旋轉角a的值；

〔2〕如圖2，G為BC中點，且0°＜a＜90°，求證：GD′=E′D；

〔3〕小長方形CEFD繞點C順時針旋轉一周的過程中，△DCD′與△CBD′能否全等？假設能，直接寫出旋轉角a的值；假設不能說明理由．

24．在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延長線于點G．一等腰直角三角尺按如圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點為F，一條直角邊與AC邊在一條直線上，另一條直角邊恰好經(jīng)過點B．

〔1〕在圖1中請你通過觀察、測量BF與CG的長度，猜測并寫出BF與CG滿足的數(shù)量關系，然后證明你的猜測；

〔2〕當三角尺沿AC方向平移到圖2所示的位置