一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系限i一、目標(biāo)認(rèn)知一學(xué)習(xí)目標(biāo)展；.掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系；.能夠利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求簡單的關(guān)于根的對(duì)稱式的值；.能夠利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系判斷兩個(gè)數(shù)是否是方程的根；4.能夠利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求出以兩個(gè)已知數(shù)為根的一元二次方程.重點(diǎn),二對(duì)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的掌握，以及在各類問題中的運(yùn)用.難點(diǎn)二一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的運(yùn)用.二、知識(shí)要點(diǎn)梳理一一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)根是X1,x2，那么X-勺1wW?注意它的使用條件為aW0,A，0.三、規(guī)律方法指導(dǎo)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的用法：①不解方程，檢驗(yàn)兩個(gè)數(shù)是否為一元二次方程的根；②已知方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及未知系數(shù)；③不解方程，求已知一元二次方程的根的對(duì)稱式的值；④已知方程的兩根，求這個(gè)一元二次方程；⑤已知兩個(gè)數(shù)的和與積，求這兩數(shù)；⑥已知方程的兩根滿足某種關(guān)系，確定方程中字母系數(shù)的值；⑦討論方程根的性質(zhì)。四、經(jīng)典例題透析國.已知一元二次方程的一個(gè)根，求出另一個(gè)根以及字母系數(shù)的值.國01.已知方程x2-6x+m2-2m+5=0一個(gè)根為2,求另一個(gè)根及m的值屈思路點(diǎn)撥：本題通常有兩種做法，一是根據(jù)方程根的定義，把x=2代入原方程，先求出m的值，再通過解方程求另一個(gè)根；二是利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求出另一個(gè)根及m的值.解：法一：把x=2代入原方程，得22-6X2+m2-2m+5=0即m2-2m-3=0解得m1=3,m2=-1當(dāng)m1=3,m2=-1時(shí)，原方程都化為x2-6x+8=0.\x1=2,x2=4???方程的另一個(gè)根為4,m的值為3或-1.法二：設(shè)方程的另一個(gè)根為x.[2+x=6則[―二.\=4-[jt=4

■叫….判別一元二次方程兩根的符號(hào).國。2.不解方程，判別2x2+3x-7=0兩根的符號(hào)情況.思路點(diǎn)撥：因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)皆為已知，可求根的判別式^,但△只能用于判定根存在與否,若判定根的正負(fù),則需要考察X1?x2或X1+X2的正負(fù)情況.W：V△=32-4X2X(-7)=65>0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)方程的兩個(gè)根為x1,x2，?? 七7一門?1七=廠-5<。，原方程有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根.總結(jié)升華：判別根的符號(hào)，需要“根的判別式”，“根與系數(shù)的關(guān)系”結(jié)合起來進(jìn)行確定.另外本題中\(zhòng)-*2<0,可判定根為一正一負(fù)，若XJX2A0,仍需考慮x1+x2的正負(fù)，從而判別是兩個(gè)正根還是兩個(gè)負(fù)根.舉一反三：【變式1］當(dāng)m為什么實(shí)數(shù)時(shí)，關(guān)于x的二次方程mx2-2(m+1)x+m-1=0的兩個(gè)根都是正數(shù).思路點(diǎn)撥：正、負(fù)根的問題應(yīng)這樣想：如正數(shù)根，應(yīng)確保兩根之和大于零，兩根之積大于零，根的判別式大于等于零.解：設(shè)方程的二根為x1，x2，且x1>0，x2>0,

2(那+1)了-4m(m一1)之。20十1)x1+x2=- >0m則有m-1則有//二 >0m由△=[-2(m+1)]2-4m(m-1)、0,解得:VmVm#0,.\m>0或m<0,???上面不等式組化為:32(???上面不等式組化為:32(徵+1)、口或⑵，mm-1 >0m<0

--32(償+I>口m >0,m由⑴得m由⑴得m>1；⑵不等式組無解.???m>1???當(dāng)m>1時(shí)，方程的兩個(gè)根都是正數(shù).總結(jié)升華：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)含有字母時(shí)，不要忘記aW0的條件.【變式2】k為何值時(shí)，方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0(1)兩根互為相反數(shù)；(2)兩根互為倒數(shù)；(3)有一根為零，另一根不為零.思路點(diǎn)撥：兩根“互為相反數(shù)”、“互為倒數(shù)”，“有一根為零，另一根不為零”等是對(duì)兩根的性質(zhì)要求，在滿足這個(gè)要求的條件下，求待定字母的取值.方程的根互為相反數(shù)，貝Ix1=-x2即,X]+X2=0;互為倒數(shù)，則==,,即x^x^L但要注意考察判別式4N0.解：設(shè)方程的兩根為x1,x2，mrl_ _____求則Xx+X2=2/+1)化+13此-2XJ2=G(1)要使方程兩根互為相反數(shù)，必須兩根的和是零，即xx+x2=-等=0,Ak=0,當(dāng)k=0時(shí)，△=(4k)2-4X2(k+1)(3k-2)=16〉0.?.當(dāng)k=0時(shí)，方程兩根互為相反數(shù).(2)要使方程兩根互為倒數(shù)，必須兩根的積是1，即31t—2X]X2=2(4+1)=1，解得k=4當(dāng)k=4時(shí)，△=(4k)2-4X2(k+1)(3k-2)=-144<0???k為任何實(shí)數(shù)，方程都沒有互為倒數(shù)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.(3)要使方程只有一個(gè)根為零，必須二根的積為零，且二根的和不是零，即乂產(chǎn)2=熱=0,解得k=|又當(dāng)k=1時(shí),X]+X2=-備叫當(dāng)k=|時(shí)，△=(4k)2-4X2(k+1)(3k-2)=y>0,.??k空時(shí)，原方程有一根是零，另一根不是零.總結(jié)升華：研究兩個(gè)實(shí)數(shù)根問題時(shí)，應(yīng)注意二次項(xiàng)系數(shù)不得為零，△=b2-4ac不得小于零.3.根的關(guān)系，確定方程系中字母的取值范圍或取值.國03.關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+k+1=0的兩根的平方和小于5,求k的取值范圍.—解：設(shè)方程兩根分別為X1,x2，x1+x2=3, x1?x2=k+1丁xi2+x22=(xi+x2)2-2xix2=32-2(k+1)<5???k〉1 ①又???△=(-3)2-4(k+1)、0，kW ②由①②得：l<kW：.總結(jié)升華：應(yīng)用根的判別式，已知條件，構(gòu)造不等式，用不等式組的思想，確定字母的取值范圍.舉一反三：【變式1】已知：方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)根的平方和比兩根的積大21,求m的值.思路點(diǎn)撥：本題是利用轉(zhuǎn)化的思想將等量關(guān)系“兩個(gè)根的平方和比兩根的積大21”轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的方程，就可求得m的值.解：..?方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，二.△=[2(m-2)]2-4X1X(m2+4)N0解這個(gè)不等式，得mW0設(shè)方程兩根為X1，x2,，x1+x2=-2(m-2) x1?x2=m2+4X12+X22-X1X2=21/.(x1+x2)2-3x1x2=21???[-2(m-2)]2-3(m2+4)=21整理得：m2-16m-17=0解得：m1=17,m2=-1又???mW0,???m=-1.總結(jié)升華：1.求出m1=17,m2=-1后，還要注意隱含條件mW0,舍去不合題意的m=17.【變式2]設(shè)比與產(chǎn)是方程x2-7mx+4m2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且(&-1)(父1)=3,求m的值.思路點(diǎn)撥：利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系把等式(°-1)(尸-1)=3轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的方程.解：由于優(yōu)與產(chǎn)是方程x2-7mx+4m2=0的兩個(gè)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，有&+/工了明郵=4喀，所以，有(您")(尸-1)=哪-Q+產(chǎn))+1=4m2-7m+1=3.所以，得方程4m2-7m-2=0.解這個(gè)方程，物或m=2.經(jīng)檢驗(yàn)，，--；或m=2都能使判別式A=(7m)2-4X(4m2)=33m2〉0,所以m=2都符合題意.總結(jié)升華：如果所求m的值使方程沒有實(shí)數(shù)根，就是錯(cuò)誤的結(jié)果，所以檢驗(yàn)的步驟是十分必要的.討論方程的實(shí)數(shù)根的問題，只有在判別式的值是非負(fù)數(shù)時(shí)才有意義，在解決問題時(shí)應(yīng)注意這個(gè)重要的條件.4.求簡單的關(guān)于根的對(duì)稱式的值.出在關(guān)于一元二次方程的根X1與x2的式子中，如果交換這兩個(gè)字母的位置后式子不變(我們常把這種式子叫做對(duì)稱式)，就可以通過恒等變形，轉(zhuǎn)化為用x1+x2與X1X2表達(dá)的式子，從而可以利用根與系數(shù)的關(guān)系解決.如x；+w，(T，(1+x1)(1+x2)都是對(duì)稱式，它們可以變形為用X1+X2與X1X2表達(dá)的式子，如(1+x1)(1+x2)=1+(x1+x2)+x1x2,"W=(xi+x2)2-2xix2,等等．4.如果a與尸是方程2x2+4x+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求何+矽+因的值.思路點(diǎn)撥：注意到交換您與戶的位置時(shí)，代數(shù)式必+的+加不變，所以代數(shù)式蘇+明+加是關(guān)于您與#的對(duì)稱式.解：:A=b2-4ac=8>0,???方程有實(shí)根.&+聲=-2,矽=；,戶3=9+時(shí)-班=(-2)、；=4-91舉一反三：【變式1】已知a與乃是方程3X2■后X-2返=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求代數(shù)式介強(qiáng)T的值.思路點(diǎn)撥：9七+(中的。與戶的位置互換時(shí)，式子的形式不變，所以它們都是對(duì)稱式，可以轉(zhuǎn)化為含有a+產(chǎn)與胡的式子，利用根與系數(shù)的關(guān)系簡化計(jì)算.解：由于”3>0,「一2也<0，所以A>0，方程一定有實(shí)根．于是把Q+產(chǎn)自與即=1應(yīng)代入，得工十上；十1二」g十f十D=一還〔3J值*。戶靖行 = 3_33+75=~2^T~3723+75弓6+M

=總結(jié)升華：這是一個(gè)無理數(shù)系數(shù)的一元二次方程，如果分別求出根&與產(chǎn)的值，計(jì)算過程將冗長而煩瑣，利用根與系數(shù)的關(guān)系就可以有效地達(dá)到簡化計(jì)算過程的目的，讀者如果用求根后代入的方法演算一遍，將會(huì)有深刻的體會(huì).5.利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系判斷兩個(gè)已知數(shù)是否方程的根，能夠求出以兩個(gè)已知數(shù)為根的一元二次方程.他：事實(shí)上，我們有這樣的定理：如果兩個(gè)實(shí)數(shù)X1與X2使得X1+X2=-P，且X1x2=q,那么x1與x2是方程x2+px+q=0的兩個(gè)根.證明如下：由于x1+x2=-p,x1x2=q，那么方程x2+px+q=0

可以化為X2-(X1+X2)X+X1X2=0,X2-X1X-X2X+X1X2=0,x(x-x1)-x2(x-x1)=0,(x-x1)(x-x2)=0,，x=x1或x=x2.這就是說，x1和x2是方程x2+px+q=0的兩個(gè)根.05.判斷下列方程后面括號(hào)內(nèi)的兩個(gè)數(shù)是不是方程的根：11*1(1)x2-8x-20=0，(10，-2)；(2 5](2)6y2+19y+10=0，〔丁2；(3)a2?2應(yīng)a+3=0,(點(diǎn)+后，■北+㈤.解：(1):10+(-2)=+8=-(-8),10X(-2)=-20,???10與-2是方程x2-8x-20=0的兩1910飛，1910飛，(2)??????二與J是方程6y2+19y+10=0的兩個(gè)根；⑶雖然有(一黑+.Q(■疵+后)=+3,但是(應(yīng)+后)+(■元+v^=+2石豐-(-2V2)；所以正+而與?正+而不是方程a2+2點(diǎn)a-3=0的根.6.⑴作一個(gè)以■近與龍為根的一元二次方程.；而(2)作一個(gè)方程，使它的兩個(gè)根分別是方程2x2+5x