四川省瀘州市瀘縣第四中學(xué)高三二模數(shù)學(xué)（理科）試題

瀘縣四中2020級(jí)高三第二次診斷性模擬考試數(shù)學(xué)（理工類）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.第Ⅰ卷選擇題（60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別求得集合，，結(jié)合集合并集的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，集合，，根據(jù)集合并集的運(yùn)算，可得.故選：A.2.圖中網(wǎng)格紙的小正方形的邊長是1，復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)所表示的復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】由題得：，所以3.甲?乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同一種零件，根據(jù)兩臺(tái)機(jī)床每天生產(chǎn)零件的次品數(shù)，繪制了如下莖葉圖，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）A.甲的平均數(shù)大于乙的平均數(shù) B.甲的眾數(shù)大于乙的眾數(shù)C.甲的方差大于乙的方差 D.甲的性能優(yōu)于乙的性能【答案】D【解析】【分析】A.利用平均數(shù)公式求解判斷；B.利用眾數(shù)的定義求解判斷；C.利用方差的公式求解判斷；D.根據(jù)方差判斷.【詳解】A.甲的平均數(shù),乙的平均數(shù)，故正確；B.甲的眾數(shù)是15，乙的眾數(shù)是12，故正確；C.甲的方差，乙的方差，故正確；D.由甲的方差大于乙的方差，得甲的性能劣于乙的性能，故錯(cuò)誤；故錯(cuò)誤；故選：D4.已知某幾何體的三視圖如圖所示（圖中網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1），則該幾何體的體積為（）A. B.15 C. D.20【答案】C【解析】【分析】由三視圖得到該幾何體為棱臺(tái)，利用棱臺(tái)的體積公式即得.【詳解】由題可得該幾何體為底面分別為邊長為2、4的正方形，高為2的正棱臺(tái)，故該幾何體的體積為.故選：C.5.已知是第四象限角，，則A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)的正弦值和角所在的象限，求得的值，根據(jù)兩角差的正切公式求得所求表達(dá)式的值.【詳解】因?yàn)椋覟榈谒南笙藿?，則，，故選D.所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查兩角差的正切公式，屬于基礎(chǔ)題.6.設(shè)是公比為的等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【詳解】試題分析：當(dāng)時(shí)，不是遞增數(shù)列；當(dāng)且時(shí)，是遞增數(shù)列，但是不成立，所以選D.考點(diǎn)：等比數(shù)列7.在如圖所示的計(jì)算程序框圖中，判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意結(jié)合流程圖所要實(shí)現(xiàn)的功能確定判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件即可.【詳解】由題意結(jié)合流程圖可知當(dāng)時(shí)，程序應(yīng)執(zhí)行，，再次進(jìn)入判斷框時(shí)應(yīng)該跳出循環(huán)，輸出的值；結(jié)合所給的選項(xiàng)可知判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是.故選：A.8.已知函數(shù)，其中.若函數(shù)的最小正周期為，且當(dāng)時(shí)，取最大值，是A.在區(qū)間上是減函數(shù) B.在區(qū)間上是增函數(shù)C.在區(qū)間上是減函數(shù) D.在區(qū)間上是增函數(shù)【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)題目所給已知條件求得的解析式，然后求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】由于函數(shù)的最小正周期為，故，即，.所以.由，解得，故函數(shù)的遞增區(qū)間是，令，則遞增區(qū)間為，故B選項(xiàng)正確.所以本小題選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)解析式的求法，考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，屬于基礎(chǔ)題.9.若，則A. B.C. D.【答案】B【解析】【詳解】試題分析：因，，由已知得，故所以考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)10.已知函數(shù)在上單調(diào)，且函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，若數(shù)列是公差不為的等差數(shù)列，且，則的前項(xiàng)的和為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，可知函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，函數(shù)在上單調(diào)，所以在上也單調(diào)，由，可以得到，進(jìn)而可以求出的前項(xiàng)的和.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)，所以在上也單調(diào)，由，可以得到，，故本題選C.【點(diǎn)睛】本題考查了抽象函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性，利用等差數(shù)列的性質(zhì)，求前項(xiàng)和問題.11.已知點(diǎn)是雙曲線的左焦點(diǎn)，過且平行于雙曲線漸近線的直線與圓交于點(diǎn)，且點(diǎn)在拋物線上，則該雙曲線的離心率的平方為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】如圖,設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l,作PQ⊥l于Q,設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F′,P(x,y).由題意可知FF′為圓的直徑，∴PF′⊥PF,且，滿足，將①代入②得，則，即,(負(fù)值舍去)代入③,即再將y代入①得,即e2=.故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查雙曲線的漸近線、離心率及簡單性質(zhì)，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解;④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解．本題中，12.關(guān)于x的不等式對(duì)任意x>1恒成立，則a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】將對(duì)任意x>1恒成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)任意x>1恒成立，由單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為對(duì)任意x>1恒成立求解.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意x>1恒成立，即對(duì)任意x>1恒成立，令，則，所以單調(diào)遞增，則對(duì)任意x>1恒成立，即對(duì)任意x>1恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，遞減，當(dāng)時(shí)，，遞增，所以取得最大值，所以，解得，故選：B第Ⅱ卷非選擇題（90分）二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.13.曲線在處的切線方程為_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即得.【詳解】因?yàn)椋裕?dāng)時(shí)，，，故切線方程為：，即.故答案為：.14.3名女生和4名男生隨機(jī)站成一排，則每名女生旁邊都有男生的概率為______．【答案】【解析】【分析】首先求出基本事件總數(shù)，再分女生都不相鄰和有兩個(gè)女生相鄰兩種情況討論，求出符合題意的基本事件數(shù)，再根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得；【詳解】解：依題意基本事件總數(shù)為，若女生都不相鄰，首先將4個(gè)男生全排列，再將3個(gè)女生插入所形成的5個(gè)空中的3個(gè)空，則有種排法，若有兩個(gè)女生相鄰，首先從3個(gè)女生中選出2個(gè)作為一個(gè)整體，將4個(gè)男生全排列，再將整體插入中間3個(gè)空中的1個(gè)，再將另一個(gè)女生插入4個(gè)空中的1個(gè)空，則有種排法，故每名女生旁邊都有男生的概率故答案為：15.若實(shí)數(shù)滿足，且，則的最大值為______.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得xy＝2，再根據(jù)基本不等式即可求【詳解】實(shí)數(shù)x、y滿足x＞y＞0，且log2x+log2y＝1，則xy＝2，則，當(dāng)且僅當(dāng)x﹣y，即x﹣y＝2時(shí)取等號(hào)故的最大值為，故答案．【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算，其中對(duì)代數(shù)式進(jìn)行變形與靈活配湊，是解本題的關(guān)鍵，屬于中等題．16.如圖，在四邊形中，，，，，，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為___________．【答案】【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系,求出四點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè),求出的坐標(biāo),用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出的表達(dá)式,利用二次函數(shù)的知識(shí),求出的最小值.【詳解】設(shè),建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系：所以,設(shè)，因?yàn)椋裕裕?【點(diǎn)睛】本題考查求向量數(shù)量積最值問題，建立直角坐標(biāo)系，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，構(gòu)建函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值，是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必做題：共60分.17.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若成等差數(shù)列，．（1）求與；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和記為，求．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件可構(gòu)造關(guān)于的方程組，解方程組可得，由等比數(shù)列通項(xiàng)和求和公式可求得；（2）由（1）可得，采用錯(cuò)位相減法可求得.【小問1詳解】成等差數(shù)列，；設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，則，解得：，，.【小問2詳解】由（1）得：，，，，.18.某超市從2014年甲、乙兩種酸奶的日銷售量（單位：箱）的數(shù)據(jù)中分別隨機(jī)抽取100個(gè)，并按[0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分組，得到頻率分布直方圖如下：假設(shè)甲、乙兩種酸奶獨(dú)立銷售且日銷售量相互獨(dú)立．（1）寫出頻率分布直方圖（甲）中的的值；記甲種酸奶與乙種酸奶日銷售量（單位：箱）的方差分別為，，試比較與的大?。唬ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）（2）估計(jì)在未來的某一天里，甲、乙兩種酸奶的銷售量恰有一個(gè)高于20箱且另一個(gè)不高于20箱的概率；（3）設(shè)表示在未來3天內(nèi)甲種酸奶的日銷售量不高于20箱的天數(shù)，以日銷售量落入各組的頻率作為概率，求的數(shù)學(xué)期望．【答案】（1），；（2）0．42；（3）0．9．【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）由各個(gè)小矩形的面積和為1，先求出，由頻率分布直方圖可看出，甲的銷售量比較分散，而乙較為集中，由此可得出與的大小關(guān)系；（Ⅱ）首先設(shè)事件：在未來的某一天里，甲種酸奶的銷售量不高于20箱；事件：在未來的某一天里，乙種酸奶的銷售量不高于20箱；事件：在未來的某一天里，甲、乙兩種酸奶的銷售量恰好一個(gè)高于20箱且另一個(gè)不高于20箱；然后分別求出事件和事件的概率，最后由相互獨(dú)立事件的概率乘法計(jì)算公式即可得出所求的結(jié)果；（Ⅲ）首先由題意可知的可能取值為0，1，2，3，然后運(yùn)用相互獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式分別計(jì)算相應(yīng)的概率，最后得出其分布列即可．試題解析：（Ⅰ）由各小矩形面積和為1可得：，解之的；由頻率分布直方圖可看出，甲的銷售量比較分散，而乙較為集中，主要集中在箱，故．（Ⅱ）設(shè)事件：在未來的某一天里，甲種酸奶的銷售量不高于20箱；事件：在未來的某一天里，乙種酸奶的銷售量不高于20箱；事件：在未來的某一天里，甲、乙兩種酸奶的銷售量恰好一個(gè)高于20箱且另一個(gè)不高于20箱．則，．所以．（Ⅲ）由題意可知，的可能取值為0，1，2，3．，，，．所以分布列為

0

1

2

3

0．343

0．441

0．189

0．027

所以的數(shù)學(xué)期望．考點(diǎn)：1、離散型隨機(jī)變量的均值與方差；2、相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；3、頻率分布直方圖．【方法點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖、離散型隨機(jī)變量的均值與方差和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬中檔題．這類題型是歷年高考的必考題型之一，其解題的關(guān)鍵有二點(diǎn)：其一是認(rèn)真審清題意，掌握二項(xiàng)分布與幾何分布，并區(qū)分兩者的適用范圍；其二是掌握離散型隨機(jī)變量的分布列和均值的求法以及頻率分布直方圖的性質(zhì)的應(yīng)用．19.如圖，，分別是圓臺(tái)上下底面的圓心，是下底面圓的直徑，，點(diǎn)是下底面內(nèi)以為直徑的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不在上）.（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）若，，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由底面，證得，再由點(diǎn)是下底面內(nèi)以為直徑的圓上的一點(diǎn)，得到，進(jìn)而證得平面，即可證得平面平面；（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）由題意，分別是圓臺(tái)上下底面的圓心，可得底面，因?yàn)榈酌?，所以，又由點(diǎn)是下底面內(nèi)以為直徑的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可得，又因?yàn)椋移矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)?，則，，可得，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得，所以，又由，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得，所以，所以，因?yàn)槎娼菫殁g角，所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】利用空間向量計(jì)算二面角的常用方法：1、法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大??；2、方向向量法：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小.20.已知拋物線，直線，過點(diǎn)作直線與交于，兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，為中點(diǎn).（1）求的方程；（2）作，，垂足分別為，兩點(diǎn)，若與交于，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由題意可得直線的方程為，聯(lián)立方程組結(jié)合韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，即可得解；（2）當(dāng)時(shí)，由平面幾何的知識(shí)可得；當(dāng)與不平行時(shí)，設(shè)與相交于，，，轉(zhuǎn)化條件為需要證明，設(shè)方程為，進(jìn)而可得，聯(lián)立方程組結(jié)合韋達(dá)定理即可得證.詳解】（1）設(shè)，，當(dāng)時(shí)，的方程為即,由可得，，∵為的中點(diǎn)，∴，∴，的方程為；（2）證明：當(dāng)時(shí)，則四邊形為矩形，為的中點(diǎn)，由（1）可知為的中點(diǎn)，∴為的中位線，；當(dāng)與不平行時(shí)，設(shè)與相交于，不妨設(shè)從左至右依次為點(diǎn)A、B、M，如圖，由題意顯然成立，只要證，即證，又，∴，∴只要證，即證，即證.設(shè)直線的方程為，則，由，解得.由可得，，∴，，∴，得證；綜上，.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線方程的求解及直線與拋物線的綜合應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.21.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)分類討論，通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)情況，求得參數(shù)取值范圍；（2）方法一：由題意得，令，兩式相除得，欲證，即證，即證，記，通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值情況，即可證得不等式；方法二：令，代入化簡得，，將不等式轉(zhuǎn)化為，即證.記，通過求導(dǎo)，并對(duì)導(dǎo)數(shù)中的部分函數(shù)求導(dǎo)研究原函數(shù)的最值情況，證得不等式.【詳解】（1）解：的定義域?yàn)椋?①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，令，得；令，得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以（i）若，則，故至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；（ii）若，則，，由（i）知，∴，∴，.又∵，，故存在兩個(gè)零點(diǎn)，分別在，內(nèi).綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）證明：方法1：由題意得，令，兩式相除得，變形得.欲證，即證，即證.記，，故在上單調(diào)遞減，從而，即，所以得證.方法2：由題意得：由（1）可知，，令，則，則，兩式相除得，，，欲證，即證，即證.記，，令，，故在上單調(diào)遞減，則，即，∴在上單調(diào)遞減，從面，∴得證，即得證.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題，帶參需要分類討論；對(duì)于雙變量問題，一般選擇另一個(gè)變量對(duì)雙變量進(jìn)行代換，如本題中令或，然后構(gòu)造新函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值情況.（二）選做題:共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題記分.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ.（1）若曲線C1方程中的參數(shù)是α，且C1與C2有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求C1的普通方程；（2）已知點(diǎn)A（0，1），若曲線C1方程中的參數(shù)是t，0＜α＜π，且C1與C2相交于P，Q兩個(gè)不同點(diǎn)，求的最大值.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）利用公式直接把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用圓與圓相切，可以得到等式，求出，進(jìn)而得到結(jié)果；（2）把曲線參數(shù)方程代入曲線直角坐標(biāo)方程，得到一個(gè)一元