八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)培優(yōu)講義(人教版)

2016年最新人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)培優(yōu)輔導(dǎo)講義第1講二次根式的概念及性質(zhì)考點(diǎn)·方法·破譯1.二次根式的定義：形如的式子叫二次根式，其中叫被開(kāi)方數(shù)，只有當(dāng)是一個(gè)非負(fù)數(shù)時(shí)，才有意義．非負(fù)性：是一個(gè)非負(fù)數(shù)．注意：此性質(zhì)可作公式記住，后面根式運(yùn)算中經(jīng)常用到．2.注意：此性質(zhì)既可正用，也可反用，反用的意義在于，可以把任意一個(gè)非負(fù)數(shù)或非負(fù)代數(shù)式寫成完全平方的形式：3.注意：（1）字母不一定是正數(shù)．（2）能開(kāi)得盡方的因式移到根號(hào)外時(shí)，必須用它的算術(shù)平方根代替．（3）可移到根號(hào)內(nèi)的因式，必須是非負(fù)因式，如果因式的值是負(fù)的，應(yīng)把負(fù)號(hào)留在根號(hào)外．4.公式與的區(qū)別與聯(lián)系（1）表示求一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)根，a的范圍是一切實(shí)數(shù)（2）表示一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的平方，a的范圍是非負(fù)數(shù)．（3）和的運(yùn)算結(jié)果都是非負(fù)的．經(jīng)典·考題·賞析【例1】下列各式1），其中是二次根式的是_________（填序號(hào)）．【變式題組】1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A、B、C、D、2、在、、、、中是二次根式的個(gè)數(shù)有______個(gè)【例2】若式子有意義，則x的取值范圍是．【變式題組】1、使代數(shù)式有意義的x的取值范圍是（）A、x>3 B、x≥3 C、x>4D、x≥3且x≠42、使代數(shù)式有意義的x的取值范圍是3、如果代數(shù)式有意義，那么，直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P（m，n）的位置在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D(zhuǎn)、第四象限【例3】若y=++2009，則x+y=解題思路：式子（a≥0），，y=2009，則x+y=2014【變式題組】1、若，則x－y的值為（）A．－1B．1C．2D．32、若x、y都是實(shí)數(shù)，且y=，求xy的值3、當(dāng)取什么值時(shí)，代數(shù)式取值最小，并求出這個(gè)最小值。4、已知a是整數(shù)部分，b是的小數(shù)部分，求的值。5、若的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，則。6、若的整數(shù)部分為x，小數(shù)部分為y，求的值.【例4】若則．【變式題組】1、若，則的值為。2、已知為實(shí)數(shù)，且，則的值為（） A．3 B．–3 C．1 D．–13、已知直角三角形兩邊x、y的長(zhǎng)滿足｜x2－4｜＋＝0，則第三邊長(zhǎng)為.4、若與互為相反數(shù)，則?！纠?】化簡(jiǎn)：的結(jié)果為（）A、4—2aB、0C、2a—4D、4【變式題組】1、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式:=；=化簡(jiǎn)：＝已知直角三角形的兩直角邊分別為和，則斜邊長(zhǎng)為【例6】已知,則化簡(jiǎn)的結(jié)果是()A、 B、 C、 D、【變式題組】1、根式的值是()A．-3B．3或-3C．3D．92、已知a<0，那么│－2a│可化簡(jiǎn)為（）A．－aB．a(chǎn)C．－3aD．3a3、若，則等于（）A.B.C.D.4、若a－3＜0，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）(A)－1(B)1(C)2a－7(D)7－2a5、化簡(jiǎn)得（）（A）2（B）（C）－2（D）6、當(dāng)a＜l且a≠0時(shí)，化簡(jiǎn)＝．7、已知，化簡(jiǎn)求值：＝【例7】如果表示a，b兩個(gè)實(shí)數(shù)的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么化簡(jiǎn)│a－b│+的結(jié)果等于（）A．－2bB．2bC．－2aD．2a【變式題組】1、實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示：化簡(jiǎn)：．2、化簡(jiǎn)的結(jié)果是2x-5，則x的取值范圍是（ ）（A）x為任意實(shí)數(shù)（B）≤x≤4（C）x≥1（D）x≤13、若代數(shù)式的值是常數(shù)，則的取值范圍是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．或【例8】如果，那么a的取值范圍是（）A.a=0B.a=1C.a=0或a=1D.a≤1【變式題組】1、如果成立，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）2、若，則的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）3、化簡(jiǎn)二次根式的結(jié)果是（）（A）(B)(C)(D)4、把二次根式化簡(jiǎn)，正確的結(jié)果是（）A. B. C. D.5、把根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)：當(dāng)＞0時(shí)，＝；＝。【例9】觀察下列各式：你能得出怎樣的結(jié)論？并給出證明。解析：仔細(xì)觀察，不難發(fā)現(xiàn)每個(gè)算式左邊根號(hào)內(nèi)的整數(shù)、分?jǐn)?shù)的分子與右邊根號(hào)外的整數(shù)、根號(hào)內(nèi)的分?jǐn)?shù)的分子都相同，而分母比分子的平方少1，故得結(jié)論為【變式題組】1、觀察下列分母有理化的運(yùn)算：利用上面的規(guī)律計(jì)算：__________。2、化簡(jiǎn)【例10】（2010.全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）若實(shí)數(shù)a,b,c滿足2＋3︳b︳=6，4－9︳b︳=6c,C可能取的最大值為﹙﹚A.0B.1C.2D.3【變式題組】1.（武漢競(jìng)賽）已知實(shí)數(shù)a滿足|2006-a|＋=a,那么a－20062的值是（）A.2005B.2006C.2007D.20082、((華師一中招生）已知實(shí)數(shù)滿足＋+|10-2b|＝2，則代數(shù)式ab＋bc的值為。演練鞏固·反饋提高1、已知y=+,+3，則xy=.2、(華師一中招生）把（a-b)根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)結(jié)果為（）A.B.C.－D.－3、（2010.湖北荊門）計(jì)算+=。代數(shù)式a化簡(jiǎn)為（）A.B.－C.D.－5、（2010.荊門）若a,b為實(shí)數(shù)，且滿足︳a－2︳＋=0,則b－a的值為（）A.2B.0C.－2D.以上都不對(duì)6.已知△ABC三邊a,b,c滿足a2＋b＋︳－2︳＝10a＋2－22,則△ABC為（）A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D..等腰直角三角形7、（2010.自貢）已知n是一個(gè)正整數(shù)，是整數(shù)，則n的最小值是（）A.3B.5C.15D.258、計(jì)算的結(jié)果是（）A． B．C．D．9、適合的正整數(shù)a的值有（）個(gè)A．1B．2C．3D．410.等式=（x-4）成立的條件是（）A．x≥4B.4≤x≤6C.x≥6D.x≤4或x≥611.（2012臺(tái)州）已知xy＜0,則化簡(jiǎn)x的正確結(jié)果是（）A．B.C.－D.－12、（2012煙臺(tái)市市）若=1-2a,則。13、已知是整數(shù)，求自然數(shù)n的值=。14、(2010.湖北孝感）使是整數(shù)的最小整數(shù)n=。15.（2012綿陽(yáng)）要使+有意義，則x應(yīng)滿足。16．（2012涼山）已知y=+-3,則2xy的值為。培優(yōu)升級(jí)·奧賽檢測(cè)﹙2010.湖北黃石﹚已知x﹤1，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是﹙﹚A．x－1B.x＋1C.－x－1D.1－x2.﹙2010.呼和浩特﹚已知a、b為兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，且a＜＜b,則a＋b＝.3.﹙2010.福建德化﹚若整數(shù)m滿足條件＝m＋1,且m＜，則m的值是。4、已知a,b,c是△ABC的三邊，化簡(jiǎn)＋－＝。5、實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示,化簡(jiǎn)＝。6、如果+│b-2│=0，求以a、b為邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)＝。7、計(jì)算：+++…+=。8、觀察下列等式:(1)=;(2)=2;(3)=3;(4)=4根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空:(1)第5個(gè)等式是_________________;(2)第n個(gè)等式是__________________;9、（2010年嘉興市）當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值是。10、(2010年荊門市)若a、b為實(shí)數(shù)，且滿足|a－2|＋＝0，則b－a的值為.11、（2010年義烏市）課外活動(dòng)小組測(cè)量學(xué)校旗桿的高度．如圖，當(dāng)太陽(yáng)光線與地面成30°角時(shí)，測(cè)得旗桿AB在地面上的投影BC長(zhǎng)為24米，則旗桿AB的高度約是米．（結(jié)果保留3個(gè)有效數(shù)字，≈1.732）AABC30°第11題圖第2講最簡(jiǎn)二次根式及化簡(jiǎn)求值考點(diǎn)·方法·破譯1、最簡(jiǎn)二次根式：（1）最簡(jiǎn)二次根式的定義：①被開(kāi)方數(shù)是整數(shù)，因式是整式；②被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的數(shù)或因式；分母中不含根號(hào)．2、同類二次根式（可合并根式）：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式，即可以合并的兩個(gè)根式。3．分母有理化定義：把分母中的根號(hào)化去，叫做分母有理化。4．有理化因式：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，就說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式。有理化因式確定方法如下：①單項(xiàng)二次根式：利用來(lái)確定，如：，，與等分別互為有理化因式。②兩項(xiàng)二次根式：利用平方差公式來(lái)確定。如與，，分別互為有理化因式。5．分母有理化的方法與步驟：①先將分子、分母化成最簡(jiǎn)二次根式；②將分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后結(jié)果必須化成最簡(jiǎn)二次根式或有理式。6.根式比較大小1、根式變形法當(dāng)時(shí)，=1\*GB3①如果，則；=2\*GB3②如果，則。2、平方法當(dāng)時(shí)，=1\*GB3①如果，則；=2\*GB3②如果，則。3、分母有理化法通過(guò)分母有理化，利用分子的大小來(lái)比較。4、分子有理化法通過(guò)分子有理化，利用分母的大小來(lái)比較。5、倒數(shù)法6、媒介傳遞法適當(dāng)選擇介于兩個(gè)數(shù)之間的媒介值，利用傳遞性進(jìn)行比較。7、作差比較法在對(duì)兩數(shù)比較大小時(shí)，經(jīng)常運(yùn)用如下性質(zhì)：=1\*GB3①；=2\*GB3②8、求商比較法它運(yùn)用如下性質(zhì)：當(dāng)a>0，b>0時(shí)，則：=1\*GB3①；=2\*GB3②經(jīng)典·考題·賞析【例1】在根式1)，最簡(jiǎn)二次根式是（）A．1)2)B．3)4)C．1)3)D．1)4)【變式題組】1、中的最簡(jiǎn)二次根式是。2、下列根式中，不是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A．B．C．D．3、下列根式不是最簡(jiǎn)二次根式的是()A.B.C.D.4、下列各式中哪些是最簡(jiǎn)二次根式，哪些不是？為什么？(1)(2)(3)(4)(5)(6)5、把下列各式化為最簡(jiǎn)二次根式：(1)(2)(3)【例2】下列根式中能與是合并的是()A.B.C.2D.【變式題組】1、下列各組根式中，是可以合并的根式是（）A、B、C、D、2、在二次根式：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④中，能與合并的二次根式是。3、如果最簡(jiǎn)二次根式與能夠合并為一個(gè)二次根式,則a=__________.【例3】把下列各式分母有理化（1）（2）（3）（4）【變式題組】1．把下列各式分母有理化（1）（2）（3）（4）2.把下列各式分母有理化：（1）（2）（3）3、已知，，求下列各式的值：（1）（2）4、把下列各式分母有理化：（1）（2）（3）【例4】化簡(jiǎn)(1)(2)(3)(4)()【變式題組】1.計(jì)算（1）

（2）

（3）

（4）（5）

（6）

2.化簡(jiǎn)：(1)(2)(3)【例5】能使等式成立的的x的取值范圍是（）A、B、C、D、無(wú)解【變式題組】1.計(jì)算（1）；（2）；2.計(jì)算（1）（2）（3）（4）（5）（6）3.計(jì)算1、2、EQ\F(2,EQ\R(,2))(2EQ\R(,12)+4EQ\R(,EQ\F(1,8))－3EQ\R(,48))3、·（-4）÷4、【例6】已知：，求的值=__________.【變式題組】1．已知，求的值=__________2．已知：，求的值=__________.3．求的值=__________.4．已知、是實(shí)數(shù)，且，求的值=__________.【例7】比較與的大小。（用兩種方法解答）【變式題組】1.比較與的大小。2.比較與的大小。3.比較與的大小。4.比較與的大小【例8】（2010.福建德化）化簡(jiǎn)﹙＋2﹚－=__________.【變式題組】1.（2010.江西中考）化簡(jiǎn)－﹙1－﹚的結(jié)果是﹙﹚A.3B.－3C.D.－2.﹙全國(guó)聯(lián)賽﹚化簡(jiǎn)2＋=__________.3.﹙2010.初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽﹚若a≠b，化簡(jiǎn)的結(jié)果為﹙﹚A.－B.－－C.＋D.0【例9】已知x＝,y＝,求x4＋y4的值=__________?！咀兪筋}組】1.已知a＝,求－的值=__________2.﹙2010.黃岡競(jìng)賽﹚若a,b是實(shí)數(shù)，且a＝＋＋4,則a＋b的值﹙﹚A.3或－3B.3或－1C.－3或－1D.3或13.﹙.天津競(jìng)賽﹚已知x＋＝7﹙0＜x＜1﹚,則－的值為﹙﹚A.－B.－C.D.4.﹙天津競(jìng)賽﹚若－|m|＝1,則＋|m|的值為﹙﹚A.B.－C.－D.5.已知a－＝，則a＋的值為﹙﹚A.B.－C.±D.6【例10】﹙2010.全國(guó)競(jìng)賽﹚已知a＝－1,求2a3＋7a2－2a－12的值=__________?！咀兪筋}組】1.設(shè)a＝,求a5＋2a4－17a3－a2＋18a－17的值=__________。2．把二次根式（y>0）化為最簡(jiǎn)二次根式結(jié)果是（）．A．（y>0）B．（y>0）C．（y>0）D．以上都不對(duì)3．化簡(jiǎn)=_________．（x≥0）4．a(chǎn)化簡(jiǎn)二次根式號(hào)后的結(jié)果是_________．5.已知0，化簡(jiǎn)二次根式的正確結(jié)果為_(kāi)________．【例11】．若+=0，求a2004+b2004的值_________．．【變式題組】1．已知+=0，求xy的值_________．．2.若，求的值值_________．．。3．先化簡(jiǎn)再求值：當(dāng)a=9時(shí)，求a+的值，甲乙兩人的解答如下：甲的解答為：原式=a+=a+（1-a）=1；乙的解答為：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17．兩種解答中，_______的解答是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤的原因是__________．4．若│1995-a│+=a，求a-19952的值_________．．（提示：先由a-2000≥0，判斷1995-a的值是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，去掉絕對(duì)值）【例12】設(shè)，，求的值_______?！咀兪筋}組】1、設(shè)，求的值_______。2、已知，求的值_______。3、已知，求的值_______?！纠?3】已知，那么的值等于______________?！咀兪筋}組】1、若，則的值為（）A.B.C.D.不能確定2、已知，求的值______________。3．已知是實(shí)數(shù)，且，問(wèn)的關(guān)系是______________。4.已知，求的值。5.已知均為正數(shù)，且，求的最小值______________。6.求代數(shù)式的最小值______________。演練鞏固·反饋提高1．以下二次根式：①；②；③；④中，與是同類二次根式的是（）．A．①和②B．②和③C．①和④D．③和④2．在、、、、、3、-2中，與是同類二次根式的有______3．若最簡(jiǎn)根式與根式是同類二次根式，求a、b的值______．4.若最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，求m、n的值______．5.+的有理化因式是________；x-的有理化因式是_________．--的有理化因式是_______．6．（1）當(dāng)x_________．時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？（2）當(dāng)x_________．時(shí)，+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？（3）當(dāng)x_________時(shí)，+x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？（4）當(dāng)時(shí)，有意義。7．已知y=++5，求的值_________．．8．若+有意義，則=_______．9.若有意義，則的取值范圍是。10.若-3≤x≤2時(shí)，試化簡(jiǎn)│x-2│++=_________．。11.當(dāng)x=+,y=-,求x2-xy+y2的值=_________12．已知a=3+2，b=3-2，則a2b-ab2=_________．13.已知a=-1,求a3+2a2-a的值=_________14．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值．15．先化簡(jiǎn)，再求值．（6x+）-（4x+），其中x=，y=27．16．當(dāng)x=時(shí)，求+的值____．17.已知，求的值____18．若，則等于_____．20．已知，求的值____．21．已知是實(shí)數(shù)，且，求的值____.22．若與互為相反數(shù)，求代數(shù)式的值____.23．若滿足，求的最大值和最小值____.（結(jié)果用最簡(jiǎn)二次根式表示）培優(yōu)升級(jí)·奧賽檢測(cè)1.﹙2010.山東濰坊﹚已知＋＝0，則x－y的值為（）A.2B.6C.2或－2D.6或－62.﹙2010.黃岡預(yù)選賽﹚已知﹙＋﹚＝3﹙＋4﹚，其中ab≠0,則的值為﹙﹚A.B.CD.以上答案均不對(duì)a、b、c為有理數(shù)，且等式a＋b＋c＝成立，則2a＋999b＋1001c的值是﹙﹚A.1999B.2000C2001D.不能確定3·若式子＋化簡(jiǎn)結(jié)果為2x－3，則x的取值范圍是﹙﹚A．x≤1B.x≥2C.1≤x≤2D.x＞04．a(chǎn)、b、c為有理數(shù)，且等式a＋b＋c＝成立，則2a＋999b＋1001c的值是﹙﹚A．1999B.2000C.2001D.不能確定5.已知a為實(shí)數(shù)，則代數(shù)式－＋＝。6.設(shè)x＝,a是x的小數(shù)部分，b是－x的小數(shù)部分，則a3＋b3＋3ab＝.7.﹙武漢CASIO杯競(jìng)賽﹚已知a＝－，b＝－,c＝－,則a,b,c三者的大小關(guān)系為。8.﹙全國(guó)聯(lián)賽﹚已知實(shí)數(shù)x,y滿足﹙x－﹚﹙y－﹚＝2008,則3x2－2y2＋3x－3y－2007的值為。9.觀察下列各式：＝2，＝3，＝4，…請(qǐng)你將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含自然數(shù)n﹙n≥1﹚的形式表示出來(lái)。10．化簡(jiǎn)∶﹙﹚=。11．若x＋y＝,x－y＝,則xy＝.12．已知x＝,y＝,則x＋12xy＋y＝.13．已知實(shí)數(shù)x、y滿足﹙x－﹚﹙y－﹚＝2008,則3x－2y＋3x－3y－2007＝.14．計(jì)算：＝.15·已知x＝,那么＝.16.計(jì)算:⑴﹙＋＋＋…＋﹚﹙＋1﹚⑵﹙五市聯(lián)賽﹚第3講勾股定理考點(diǎn)·方法·破譯1．會(huì)用勾股定理解決簡(jiǎn)單問(wèn)題.2．會(huì)用勾股定理的逆定理判定直角三角形.3．勾股定理提示了直角三角形三邊的關(guān)系，對(duì)于線段的計(jì)算，?？捎晒垂啥ɡ砹蟹匠踢M(jìn)行求解；對(duì)于涉及平方關(guān)系的等式證明，可根據(jù)勾股定理進(jìn)行論證.經(jīng)典·考題·賞析【例1】(達(dá)州)如圖是一株美麗的勾股樹(shù)，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的邊長(zhǎng)分別是3，5，2，3，則最大正方形E的面積是()A．13B．26C．47D．94【解法指導(dǎo)】觀察勾股樹(shù)，發(fā)現(xiàn)正方形A、B的邊長(zhǎng)恰好是一直角三角形相鄰的兩直角邊.此時(shí)直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即兩個(gè)較小正方形面積之和等于較大正方形的面積，從而正方形E的面積等于正方形A、B、C、D四個(gè)面積之和，故選C．【變式題組】lA1DCB2第1題圖第2題圖第3題圖AClA1DCB2第1題圖第2題圖第3題圖ACBl1l2l302．(浙江省溫州)在直線l上的依次擺放著七個(gè)正方形(如圖所示)，己知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1，2，3，正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1＋S2＋S3＋S4＝______.03．(浙江省麗江)如圖，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線l1、l2、l3上，且l1、l2之間的距離為2，l2、l3之間的距離為3，則AC的長(zhǎng)是()BA3cm1cm6cmA． B． C． BA3cm1cm6cm【例2】(青島)如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為1cm和3cm，高為6cm.如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要_____cm；如果從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要______cm.B51015A20B51015A20C第1題圖【變式題組】01．(恩施)如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15，寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是()第2題圖AB吸管1065A． B．25 第2題圖AB吸管106502．(荊州)如圖所示的長(zhǎng)方體是某種飲料的紙質(zhì)包裝盒，規(guī)格為5×6×10(單位:cm)，在上蓋中開(kāi)有一孔便于插吸管，吸管長(zhǎng)為13cm，小孔到圖中邊AB距離為1cm，到上蓋中與AB相鄰的兩邊距離相等，設(shè)插入吸管后露在盒外面的長(zhǎng)為hcm，則h的最小值大約為_(kāi)____cm.(精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù):＝1．4，＝1．7:＝2．2)ADBECFADBECFMN【例3】(荊州)如圖，將邊長(zhǎng)為8cm的正方形ABCD折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在F處，折痕為NM，則線段CN的長(zhǎng)是()A．3cm B．4cm C．5cm D．6cmABCD【解法指導(dǎo)】對(duì)折問(wèn)題即對(duì)稱問(wèn)題，設(shè)CN＝x，DN＝NE＝8－x.在Rt△CEN中，(8－x)2＝42＋x2ABCD【變式題組】01．在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝13，AD＝12．求S四邊形ABCD．02．如圖，△ABC中，AB＝13，AD＝6，AC＝5，D為BC邊的中點(diǎn).求S△ABC．03．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，BC＝4，CD＝.求AC．AOByxy＝－2x【例4】（四川省初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)如圖，直線OB是一次函數(shù)y＝－2x的圖象，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，2)，在直線AOByxy＝－2x【解法指導(dǎo)】求C點(diǎn)坐標(biāo)需分類討論.若以O(shè)為頂點(diǎn)，OA為腰，則C在以O(shè)為圓心，OA的長(zhǎng)為半徑的圓與y＝－2x的交點(diǎn)處.OCyxE若以A為頂點(diǎn)，AO為腰，則C在以A為圓心，OCyxE若以C為頂點(diǎn)，則C在OA的中垂線與y＝－2x的交點(diǎn)處.【解】⑴若以O(shè)為頂點(diǎn)，OA為腰，如圖設(shè)C(t，－2t)，則在Rt△COD中，AyxDOCOC2＝OD2＋CD24＝t2＋(－2t)25t2＝4AyxDOC∴C1(，），C2(，）⑵若以A為頂點(diǎn)，AO為腰，如圖，設(shè)C(t，－2t)，在Rt△ACE中AAC2＝CE2＋AE222＝t2＋(－2t－2)2 t＝0（舍去），t＝∴C3(，)⑶若C為頂點(diǎn)，C在OA的中垂線上.∴C4(，1)A【變式題組】01．若A（3，2），B為x軸上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若△AOB是等腰三角形.求B點(diǎn)坐標(biāo).AA(4,0)y＝2xxyO02．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(4，0)，B為y＝2x上一點(diǎn)，若△AOB為等腰三角形.求B點(diǎn)坐標(biāo).AAy＝2xxyO03．如圖.在平面直角坐標(biāo)系中，A(0，4)，B為y＝2x上一點(diǎn)，若△AOB為直角三角形.求B點(diǎn)坐標(biāo).【例5】(福建省漳州)幾何模型：條件：如下左圖，A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn).問(wèn)題：在直線l上確定一點(diǎn)P，使PA＋PB的值最小.方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B交l于點(diǎn)P，則PA＋PB＝A'B的值最小(不必證明).模型應(yīng)用：⑴如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn).連接BD，由正方形對(duì)稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱.連接ED交AC于P，則PB＋PE的最小值是__________；OAQPBRP1P2OAQPBR圖2BDCAPOAQPBRP1P2OAQPBR圖2BDCAPE圖1A’APBl【解】如圖2，作P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P1，關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)P2，連接P1P2，交OB于R，交OA于Q，則△PRQ的周長(zhǎng)最小，且此時(shí)△PRQ的周長(zhǎng)為PR＋RQ＋QP＝P1P2．連接OP1，OP2，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2＋∠3＝45°OCAxyBDP∴∠P1OP2＝90°，OP1＝OP＝OP2，在Rt△OP1P2中，P1P22＝OP12＋OCAxyBDP【變式題組】01．(荊門)一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)A（2，0），B（0，4）.⑴求該函數(shù)的解析式；⑵O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)OA、AB的中點(diǎn)分別為C、D，P為OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo).CCABDMN02．（四川聯(lián)賽試題)已知矩形ABCD的AB＝12，AD＝3，E、F分別是AB，DC上的點(diǎn)，則折線AFEC長(zhǎng)的最小值為_(kāi)___________.AC2FB4DxH8－xAC2FB4DxH8－xED，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM＋MN的最小值是___________.【例6】求＋的最小值.【解法指導(dǎo)】所求的兩個(gè)根式之和的最小值，因被開(kāi)方數(shù)不是完全平方式而無(wú)法化簡(jiǎn)，用代數(shù)方法求解困難，但被開(kāi)方數(shù)的特點(diǎn)x2＋4＝x2＋22，(8－x)2＋16＝(8－x)2＋42均為平方和結(jié)構(gòu)，由此聯(lián)想到勾股定理，題目就是求以，為斜邊的兩邊之和的最小值，于是根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想轉(zhuǎn)化為構(gòu)造圖形問(wèn)題來(lái)解決.【解】如圖，作AB＝8，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝2，BD＝4.E是AB上一動(dòng)點(diǎn).設(shè)AE＝x.則BE＝8－x.∴CE＝，DE＝.所以求代數(shù)式最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在AB上求一點(diǎn)E，使CE＋DE值最小.根據(jù)線段公理，連接CD交AB于H，則CD為所求.作CF⊥DB交DB延長(zhǎng)線于F.在Rt△CDF中，CD＝＝10.∴所求最小值為10.【變式題組】ABCDE01.（恩施自治州）如圖，C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，設(shè)CD＝x.⑴用含x的代數(shù)式表示AC＋CE的長(zhǎng)；⑵請(qǐng)問(wèn)點(diǎn)C滿足什么條件時(shí)，AC＋CE的值最小?⑶根據(jù)⑵中的規(guī)律和結(jié)論，請(qǐng)構(gòu)圖求出代數(shù)式ABCDE02．(咸寧)問(wèn)題背景:在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長(zhǎng)分別為、、，求這個(gè)三角形的面積.小輝同學(xué)在解答這道題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)絡(luò)(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1)，再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC(即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處)，如圖1所示.這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積.⑴請(qǐng)你將△ABC的面積直接填寫在橫線上______；思維拓展:⑵我們把上述求△ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法.若△ABC三邊的長(zhǎng)分別為a、a、a(a＞0)，請(qǐng)利用圖2的正方形網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a)畫出相應(yīng)的△ABC，并求出它的面積；探索創(chuàng)新:⑶若△ABC三邊的長(zhǎng)分別為、、（m＞0，n＞0，且m≠n），試運(yùn)用構(gòu)圖法求出這三角形的面積.【例7】.(天津)已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，有一個(gè)圓心角為45°，半徑的長(zhǎng)等于CA的扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，且直線CE、CF分別與直線AB交于點(diǎn)M、N.⑴當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C在∠ACB的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖1，求證：MN2＝AM2＋BN2；【思路點(diǎn)撥】考慮MN2＝AM2＋BN2符合勾股定理的形式，需轉(zhuǎn)化為在直角三角形中解決.可將△ACM沿直線CE對(duì)折，得△DCM，連接DN，只需證DN＝BN，∠MDN＝90°就可以了.請(qǐng)你完成證明過(guò)程:⑵當(dāng)扇形GEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖2的位置時(shí)，關(guān)系式MN2＝AM2＋BN2是否仍然成立?若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解法指導(dǎo)】觀察求證的結(jié)論容易發(fā)現(xiàn)MN2＝AM2＋BN2符合勻股定理的結(jié)構(gòu)形式.因此我們?cè)O(shè)法構(gòu)造以MN為斜邊的直角三角形.【解】(l)證明:將△ABM沿直線CM對(duì)折，得△DCM，連DN.∵△ACM≌△DCM∴∠1＝∠2，AC＝CD，∠A＝∠MDC∵AC＝BC∴CD＝BC∵∠MCN＝45°，∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3∴∠3＝∠4在△DCN和△BCN中，CD＝CB∠3＝∠4∴△CDN≌△CBN，∴∠CDN＝∠B＝45°，BN＝DNCN＝CN∴∠MDN＝90°在Rt△DMN中，MN2＝DM2＋DN2∴NM2＝AM2＋BN2⑵將△ACM沿直線CM對(duì)折，得△GCM，連接GN.∵△GCM≌△ACM，∴∠CGM＝∠CAM＝135°，∠1＝∠2，AM＝GM∵∠BCN＝90°－∠3＝90°－(45°－∠1)＝45°＋∠1＝45°＋∠2∠CGN＝∠1＋∠3＋∠2＝45°＋∠2∴∠BCN＝∠CGN在△BCN和△GCN中CN＝CN∠BCN＝∠CGNGN＝BN∴△BCN≌△GCN，∴∠CGN＝∠B＝45°，CB＝CG∴∠MGN＝135°－45°＝90°，在Rt△MGN中，MN2＝MG2＋GN2，∴MN2＝AM2＋BN2【變式題組】01．在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為AB邊的中點(diǎn)，DE⊥DF.求證：EF2＝AE2＋BF202．我們給出如下定義:若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方，則稱這個(gè)四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個(gè)四邊形的勾股邊.⑴寫出你所學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是勾股四邊形的一種圖形的名稱________；⑵如圖1，請(qǐng)你在圖中畫出以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，OA、OB為勾股邊且對(duì)角線相等的勾股四邊形OAMB；⑶如圖2，將△ABC繞頂點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到△DBE，連接AD、DC，∠DCB＝30°.求證：四邊形ABCD是勾股四邊形.03．(臺(tái)州)如圖1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB＝∠F＝90°，∠A＝∠E＝30°.△EDF繞著邊AB的中點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DE、DF分別交線段AC于點(diǎn)M、K.⑴觀察:①如圖2、圖3，當(dāng)∠CDF＝0°或60°時(shí)，AM＋CK______MK(填“＞”、“＜”或“＝”).②如圖4，當(dāng)∠CDF＝30°時(shí)，AM＋CK______MK（只填“＞”或“＜”).⑵猜想:如圖1，當(dāng)0°＜∠CDF＜60°時(shí)，AM＋CK______MK，證明你所得到的結(jié)論.⑶如果MK2＋CK2＝AM2，請(qǐng)直接寫出∠CDF的度數(shù)和的值.AABC演練鞏固·反饋提高1．如圖，小正方形邊長(zhǎng)為1，連接小正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，可得△ABC，則AC邊上的高為（）A． B． C． D．ABCDEF02．(哈爾濱)如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AB＝8cm，把長(zhǎng)方形紙片沿直線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE交DC于點(diǎn)F，若AF＝cmABCDEFA．4cm B．5cm C．6cm D．7cm03．(濱州)已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC邊上的高AD為8，則邊BC的長(zhǎng)為()A．21 B．15 C．6 D．21或904．在同一平面內(nèi)把邊BC＝3，AC＝4，AB＝5的三角形沿最長(zhǎng)邊AB翻折后得到△ABC'，則CC'的長(zhǎng)等于()A．B．C．D．05．一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)度之比為3:4:5，則這個(gè)三角形的三邊上高的之比為()A．3:4:5 B．5:4:3 C．20:15:12 D．9:16:2506．(山西)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分線DE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則CE的長(zhǎng)為()A． B． C． D．207．(湖州)如圖，在正三角形ABC中，AB＝1，D、E、F分別是BC、AC、AB上的點(diǎn)，DE⊥AC，EF⊥AB，F(xiàn)D⊥BC，則△DEF面積為_(kāi)____.08．(安順)如圖是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的.若AC＝6，BC＝5，將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為6的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到如圖所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)是_______.09．(安徽)長(zhǎng)為4m的梯子搭在墻上與地面成45°角，作業(yè)時(shí)調(diào)整為60°角(如圖所示)，則梯子的頂端沿墻面升高了_______m.10．(濱州)某樓梯的側(cè)面視圖如圖所示，其中AB＝4米，∠BAC＝30°，∠C＝90°，因某種活動(dòng)要求鋪設(shè)紅色地毯，則在AB段樓梯所鋪地毯的長(zhǎng)度應(yīng)為_(kāi)_____.11．(湖州)如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分別以AC、BC為直徑作半圓，面積分別記為S1、S2則S1＋S2的值等于________.12．(呼和浩特)如圖，四邊形ABDC中，∠ABD＝120°，AB⊥AC，BD⊥CD，AB＝4，CD＝，則該四邊形的面積是_______.13．已知等腰三角形ABC的底邊AB＝20cm，P是腰AC上一點(diǎn)，且AP＝12cm，BP＝16cm，則腰長(zhǎng)是_________.14．(滬州)如圖，△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，且它關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)為D′，則BD′＝_______.yx15．如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，OA＝4，AC⊥x軸，OA的中垂線交x軸于B．求yx△ABC的周長(zhǎng).16．有一人字形屋架(等腰三角形)，其頂角為120°，兩腰長(zhǎng)均為4米，現(xiàn)擬定以其中一腰和底重新組成一個(gè)三角架，試問(wèn)將屋架的第三邊改為多少時(shí)，新的三角架為直角三角形?17．(牡丹江)有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊分別為6m，8m.現(xiàn)在要將綠地?cái)U(kuò)充成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以原來(lái)綠地8m長(zhǎng)的邊為直角邊的直角三角形，求擴(kuò)充后等腰三角形綠地的周長(zhǎng).A(3,4)B(a,1))xyO18．如圖A(3，4)，B(a，1)，AB＝5，A(3,4)B(a,1))xyO長(zhǎng)的最小值.19．如圖，在正△ABC中，DC＝4，DB＝3，DA＝5，求∠CDB．20．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D為三角形內(nèi)一點(diǎn)，DC＝2，DB＝1，DA＝3．求∠CDB．培優(yōu)升級(jí)?奧賽檢測(cè)01．如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E在斜邊BC上且∠DAE＝45°，將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AC與AB重合，得到△AFB，連接EF，則下列結(jié)論:①△AED≌AEF；②△ABE≌△ACD；③BE＋DC＝DE；④BE2＋DC2＝DE2其中正確的是()A．②④ B．①④ C．②③ D．①③02．(四川聯(lián)賽試題)BD是△ABC的中線，AC＝6且∠ADB＝45°，∠C＝30°，則AB＝()A． B． C． D．603．（江西競(jìng)賽）若將三條高線長(zhǎng)度分別為x、y、z的三角形記為(x，y，z)，現(xiàn)在以下四個(gè)三角形(6，8，10)，(8，15，17)，(12，15，20)，(20，21，29)中，直角三角形的個(gè)數(shù)為()A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)04．(北京競(jìng)賽)如圖，ABCD是一張長(zhǎng)方形紙片，將AD，BC折起、使A、B兩點(diǎn)重合于CD邊上的P點(diǎn)，然后壓平得折痕EF與GH.若PE＝8cm，PG＝6cm，EG＝10cm，則長(zhǎng)方形紙片ABCD的面積為（）cm2A．105.6 B．110.4 C．115.2 D．124.805．如圖，在由單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)出了AB、CD、EF、GH四條線段，其中能構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的線段是()A．CD、EF、GH B．AB、CD、EF C．AB、CD、GH D．AB、EF、GH06．(四川省初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)如圖，等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P向三邊作垂線，垂足分別為S、Q、R，且PQ＝6，PR＝S，PS＝10，則△ABC的面積等于()A． B． C． D．07．(四川省初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)如圖所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝cm，一動(dòng)點(diǎn)P從B向C以每秒2cm的速度移動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)____秒時(shí)，PA與腰垂直.08．如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，AB＝AD＝2，AC＝4，且BD:DC＝2:3則BC＝___09．(黑龍江競(jìng)賽)小宇同學(xué)在布置班級(jí)文化園地時(shí)，想從一塊長(zhǎng)為20cm，寬為8cm的長(zhǎng)方形彩色紙板上剪下一個(gè)腰長(zhǎng)為10cm的等腰三角形，并使其一個(gè)頂點(diǎn)在長(zhǎng)方形的一邊上，另兩個(gè)頂點(diǎn)落在對(duì)邊上，請(qǐng)你幫他計(jì)算出所剪下的等腰三角形的底邊長(zhǎng).10．如圖，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB，AC上的點(diǎn)，且DE⊥DF，若BE＝12，CF＝5.求.S△DEF圖①xyOBAC11．如圖①，已知直線y＝－2x＋4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、C圖①xyOBAC限內(nèi)作長(zhǎng)方形OABC．⑴求點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；⑵將△ABC對(duì)折，使得點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕交AB于點(diǎn)D，求直線CD的解析式（圖②）⑶在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在點(diǎn)P(除點(diǎn)B外)，使得△APC與△ABC全等，若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.DDxyOBACB’圖②12．(浙江省義烏)如圖1，已知∠ABC＝90°，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)(點(diǎn)P與B不重合)，連接AP，將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連接QE并延長(zhǎng)交射線BC于點(diǎn)F.⑴如圖2，當(dāng)BP＝BA時(shí)，∠EBF＝_____°，猜想∠QFC＝_______°；⑵如圖l，當(dāng)點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)時(shí)，猜想∠QFC的度數(shù)，并加以證明；⑶已知線段AB＝，設(shè)BP＝x，點(diǎn)Q到射線BC的距離為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.13．一條筆直的公路l穿過(guò)草原，公路邊有一衛(wèi)生站A，距公路30km的地方有一居民點(diǎn)B，A、B之間的距離為60km.一天某司機(jī)駕車從衛(wèi)生站送一批急救藥品到居民點(diǎn).已知汽車在公路上行駛的最快速度是60km/h.在草地上行駛的最快速度是30km/h，問(wèn)司機(jī)應(yīng)以怎樣的路線行駛，所用的行車時(shí)間最短?最短時(shí)間是多少?14．是否存在這樣的直角三角形，它的兩條直角邊長(zhǎng)為整數(shù)，且它的周長(zhǎng)與面積的數(shù)值相等?若存在，求出它的邊長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.第4講平行四邊形考點(diǎn)?方法?破譯⒈理解并掌握平行四邊形的定義、性質(zhì)、和判定方法，并運(yùn)用它們進(jìn)行計(jì)算與證明.⒉理解三角形中位線定理并會(huì)應(yīng)用.⒊了解平行四邊形是中心對(duì)稱圖形.經(jīng)典?考題?賞析【例1】（莆田）已知:如圖在□ABCD中,過(guò)對(duì)角線BD的中點(diǎn)O作直線EF分別交DA的延長(zhǎng)線AB、DC、BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、M、N、F．⑴觀察圖形并找出一對(duì)全等三角形：△≌△，請(qǐng)加以證明；⑵在⑴中你所找出的一對(duì)全等三角形，其中一個(gè)三角形可由另一個(gè)三角形經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到？【解】⑴①△DOE≌△BOF證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB∥CD∴∠MBO＝∠NDO,∠BMO＝∠DNO，又∵BO＝DO∴△BOM≌△DON（AAS）③△ABD≌△CDB證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD＝CB，AB＝CD，又∵BD＝DB∴△ABD≌△CDB（SSS）⑵繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后得到或以點(diǎn)O為中心作對(duì)稱變換得到．【變式題組】01．（吉林省長(zhǎng)春）如圖，在□ABCD中，∠BAD＝32°．分別以BC、CD為邊向外作△BCE和△DCF，使BE＝BC，DF＝DC，∠EBC＝∠CDF，延長(zhǎng)AB交邊EC于點(diǎn)上，點(diǎn)H在E、C兩點(diǎn)之間，連接AE、AF．⑴求證：△ABE≌△FDA；⑵當(dāng)AE⊥AF時(shí)，求∠EBH的度數(shù)．02．（沈陽(yáng)）如圖，已知在□ABCD中，E、F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，BE＝DF，點(diǎn)G、H分別在BA和DC的延長(zhǎng)線上，且AG＝CH，連接GE、EH、HF、FG．求證：四邊形GEHF是平行四邊形．02．（長(zhǎng)春）如圖，在△ABC中，AB＝AC，延長(zhǎng)BC至D，使CD＝BC．點(diǎn)E在邊AC上，以CD、CE為鄰邊作□CDFE．過(guò)點(diǎn)C作CG∥AB交EF于點(diǎn)G，連接BG、DE．⑴∠ACB與∠DCG有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；⑵求證：△BCG≌△DCE．【例2】如圖，□ABCD的周長(zhǎng)為20，BE⊥AD，BF⊥CD，BE＝2，BF＝3.則□ABCD的面積為．【解法指導(dǎo)】在三角形或平行四邊形中，若題目中有高，常利用面積等式建立方程，從而求解．【解】∵□ABCD的周長(zhǎng)為20，∴AD＋DC＝10，設(shè)AD＝x,則DC＝10－xS□ABCD＝AD?BE＝DC?BF∴2x＝3（10－x）∴x＝6S□ABCD＝AD?BE＝6×2＝12【變式題組】01．如圖，□ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，∠EBF＝60°,AE＝3,DF＝2.求EC、EF的長(zhǎng)．02．（上海競(jìng)賽）在□ABCD中，M是AD的中點(diǎn),N是DC的中點(diǎn)，BM＝1,BN=2，∠MBN＝60°求BC的長(zhǎng)．03．（北京初二年級(jí)競(jìng)賽試題）平行四邊形ABCD中,AD＝a,CD＝b,過(guò)點(diǎn)B分別作AD邊上的高Ha和CD邊上的高Hb,已知Ha≥a,Hb≥b,對(duì)角線AC＝20厘米,求平行四邊形ABCD的面積.【例3】（南昌）如圖:在平面直角坐標(biāo)系中,有A（0,1）,B（－1,0）,C（1,0）三點(diǎn).⑴若點(diǎn)D與A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，請(qǐng)寫出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；⑵選擇⑴中符合條件的一點(diǎn)D，求直線BD的解析式．【解法指導(dǎo)】已知固定的三個(gè)點(diǎn)，作平行四邊形應(yīng)有三種可能性，如圖所示，因而本題D點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)有三種可能性．【解】⑴D1（2，1）D2（－2，1）D3（0，－1）⑵若選擇D3（0，－1），可求得解析式：y＝－x－1【變式題組】01．如圖，直線l1:y＝－＋3與y軸交于點(diǎn)A，與直線l2交于x軸上同一點(diǎn)B，直線l2交y軸于點(diǎn)C，且點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱．⑴求直線l2的解析式⑵設(shè)D（0，－1），平行于y軸的直線x＝t分別交直線l1和l2于點(diǎn)E、F．是否存在t的值，使得以A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．02．如圖，在直角坐標(biāo)系中，A（1，0），B（3，0），P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，在直線y＝x上是否存在點(diǎn)Q，使A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出對(duì)應(yīng)的Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．03．（四川資陽(yáng)）若一次函數(shù)y＝2x－1和反比例函數(shù)y＝的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1）．⑴求反比例函數(shù)的解析式；⑵已知點(diǎn)A在第三象限，且同時(shí)在兩個(gè)函數(shù)的圖象上，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；⑶利用⑵的結(jié)果，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），且以點(diǎn)A、O、B、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【例4】（齊齊哈爾）如圖1.在四邊形ABCD中,AB＝CD,E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)，分別與BA、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M、N,則∠BME＝∠CNE（不需證明）(溫馨提示:在圖1中，連接BD,取BD的中點(diǎn)H,連接HE、HF，根據(jù)三角形中位線定理，證明HE＝HF，從而∠1＝∠2，再利用平行線性質(zhì)，可證得∠BME＝∠CNE．)問(wèn)題一：如圖2，在四邊形ADBC中，AB與CD相交于點(diǎn)O,AB＝CD,E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF,分別交DC、AB于M、N，判斷?OMN的形狀，請(qǐng)直接寫出結(jié)論．問(wèn)題二:如圖3，在?ABC中，AC>AB,D點(diǎn)在AC上，AB＝CD,E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)，與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,若∠EFC＝60°,連接GD,判斷?AGD的形狀并證明.【解法指導(dǎo)】出現(xiàn)中點(diǎn)，聯(lián)想到三角形中位線是常規(guī)思路，因?yàn)槿切沃形痪€不僅能進(jìn)行線段的替換，也可通過(guò)平行進(jìn)行角的轉(zhuǎn)移．【解】⑴△OMN為等腰三角形．⑵△AGD為含有30°的直角三角形．證明：連接BD，取BD的中點(diǎn)M，連接FM、EM．∵AF＝FD，BM＝MD∴MFAB同理MECD．∵AB＝CD∴MF＝ME，又∵∠2＝∠1＝60°，∴△MEF為等邊三角形，∴∠4＝∠3＝60°，∠5＝60°∴△AGF為等邊三角形∴FG＝FD∴∠ADG＝30°∴△AGD為含有30°的直角三角形．RPDCRPDCBAEF01．（揚(yáng)州）如圖，已知四邊形ABCD中，R、P分別是BC、CD上的點(diǎn)，E、F分別是AP、RP的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在CD上從C向D移動(dòng)而點(diǎn)R不動(dòng)時(shí)，那么下列結(jié)論成立的是（)A、線段EF的長(zhǎng)逐漸增大B、線段EF的長(zhǎng)逐漸減小C、線段EF的長(zhǎng)不變D、線段EF的長(zhǎng)與點(diǎn)P的位置有關(guān)02．如圖，在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AD是∠A的平分線，BD⊥AD于D,AB＝12,AC＝22,則MD的長(zhǎng)為（）.A.3B.4C.5D.6【例5】（浙江競(jìng)賽）如圖1，在△ABC中，∠C＝90°,點(diǎn)M在BC上，且BM＝AC,點(diǎn)N在AC上，且AN＝MC,AM與BN相交于點(diǎn)P,求證：∠BPM＝45°.【解法指導(dǎo)】題中相等線段關(guān)聯(lián)性不強(qiáng)，能否把相等的線段（或角）通過(guò)改變位置，將分散的條件集中，從而構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．【解】方法1、如圖2，過(guò)M作MEAN,連接BE,EN,則得AMEN,∴ME⊥BC,AM＝EN在△AMC和△BEM中，AC＝BN,∠BNE＝∠C＝90°,ME＝MC∴△AMC≌△BEM∴BE＝AM＝EN,∠3＝∠4∵∠1＝∠2,∠1＋∠4＝90°∴∠2＋∠3＝90°,∴△BEN為等腰直角三角形，∠BNE＝45°,∴∠BPM＝45°方法2：如圖3，過(guò)B作BFAN,連接AF,FM也可證得．【變式題組】如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC,延長(zhǎng)邊AB到點(diǎn)D,延長(zhǎng)CA到點(diǎn)E,連接DE，若AD＝BC＝CE＝DE,求∠BAC的度數(shù)．演練鞏固反饋提高01．（東營(yíng)）如圖，□ABCD中，已知AD＝8cm,AB＝6cm,DE平分∠ADC交BC邊于點(diǎn)E,則BE等于（）A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm02．(桂林）如圖，□ABCD中，AC,BD為對(duì)角線，BC＝6,BC邊上的高為4，則陰影部分的面積為（）A.3B.6C.12D.2403．(威海）如圖，在四邊形ABCD中，E為BC邊的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,AB＝BF,添加一個(gè)條件，使四邊形ABCD是平行四邊形，你認(rèn)為四個(gè)條件中可選擇的是（）A．AD＝BCB.CD＝BFC.∠A＝∠CD.∠F＝∠CDE04．(日照）如圖，在周長(zhǎng)為20cm的□ABCD中，AB≠AD,AC,BD相交于點(diǎn)O,OE⊥BD交AD于點(diǎn)E,則△ABE的周長(zhǎng)為（）A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm05．（浙江金華）某廣場(chǎng)有一個(gè)形狀是平行四邊形的花壇（如圖）分別種有紅黃藍(lán)綠橙紫6得顏色的花，如果有AB∥EF∥DC,BC∥GH∥AD,那么下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．紅花，綠花種植面積一定相等B.紫花，橙花種植面積一定相等C.紅花，藍(lán)花種植面積一定相等D.藍(lán)花，黃花種植面積一定相等06．（陜西）如圖，l1∥l2BE∥CF,BA⊥l1DC⊥l2,下面四個(gè)結(jié)論中AB＝DC;BE＝CFS△ADE＝S△DCF④S□ABCD＝S□BCFE,其中正確的有（）A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)07．(成都）已知四邊形ABCD,有以下四個(gè)條件：AB∥CDAB＝CDBC∥AD④BC＝AD從這四個(gè)條件中任選兩個(gè)，能使四邊形ABCD為平行四邊形的選法種數(shù)有（）A.6種B.5種C.4種D.3種08．（廈門）如圖，在四邊形ABCD中，P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，E,F分別是AB,CD的中點(diǎn)，AD＝BC,∠PEF＝180,則∠PFE的度數(shù)為_(kāi)_______09．如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD中，以BE為折痕，將△ABE向上翻折，點(diǎn)A恰好落在CD上的F點(diǎn)，若△FDE的周長(zhǎng)為8，△FCB的周長(zhǎng)為22，則FC的長(zhǎng)為_(kāi)________10.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°,AB＝3,AC＝4,將△ABC沿直線BC向右平移2.5個(gè)單位得到△DEF,AC與DE相交于點(diǎn)G,連接AD,AE,則下列結(jié)論中成立的是____四邊形ABED是平行四邊；△AGD≌△CGE△ADE為等腰三角形④AC平分∠EAD11．(長(zhǎng)春）如圖□ABCD中，E是BC邊上一點(diǎn)，且AB＝AE.（1）.求證:△ABC≌△EAD(2).若AE平分∠DAB,∠EAC＝25°,求∠AED的度數(shù)．12．(荊州)如圖，□ABCD內(nèi)一點(diǎn)E滿足ED⊥AD于D,且∠EBC＝∠EDC,∠ECB＝45°,找出圖中一條與EB相等的線段，并加以證明．13．已知，如圖，△ABC是等邊三角形，D是AB邊上的點(diǎn)，將線段DB繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，延長(zhǎng)ED交AC于點(diǎn)F,連接DC,AE.⑴求證：△ADE≌△DFC⑵過(guò)點(diǎn)E作EH∥DC交DB于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)H,連接AH,求∠AHE的度數(shù)．培優(yōu)升級(jí)奧賽檢測(cè)01．(鐵嶺)△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B,C重合），△ADE是以AD為邊的等邊三角形，過(guò)點(diǎn)E作BC的平行線，分別交射線AB,AC于點(diǎn)F,G,連接BE.⑴如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，求證：△AEB≌△ADC;探究四邊形BCGE是怎樣特殊四邊形？并說(shuō)明理由．⑵如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，直接寫出(1)中的兩個(gè)結(jié)論是否成立？02．(山東省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)如圖，△ABC中，AB＝3,AC＝4,BC＝5,△ABD,△ACE△BCF都是等邊三角形，求四邊形AEFD的面積．03．(武漢)如圖，□ABCD中，BC＝2AB,CE⊥AB,E為垂足，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，若∠AEF＝54°,求∠B的度數(shù)．04．(南昌市)八年級(jí)競(jìng)賽試題四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD交于P,過(guò)點(diǎn)P作直線EF,交AD于E,交BC于F,若PE＝PF,且AP＋AE＝CP＋CF,求證：四邊形ABCD為平行四邊形．05．(荊州市八年級(jí)數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)如圖，已知在四邊形ABCD中，AB＝AD,AB⊥AD;連接AC,過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AC且使AE＝AC;連接BE,過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CD,垂足為H,且交BE于點(diǎn)F,求證：BF＝EF.06．在課外小組活動(dòng)時(shí)，小慧拿來(lái)一道題和小東，小明交流．題目：如圖1，已知△ABC,∠ACB＝90°,∠ABC＝45°,分別以AB,BC為邊向外作△ABD與△BCE,且DA＝DB,EB＝EC,∠ADB＝∠BEC＝90°,連接DE交AB于點(diǎn)F,探究線段DF與EF的數(shù)量關(guān)系．小慧同學(xué)的思路是：過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G,構(gòu)造全等三角形，通過(guò)推理使問(wèn)題得解．小東同學(xué)說(shuō)：我做過(guò)一道類似的題目，不同的是∠ABC＝30°,∠ADB＝∠BEC＝60°.小明同學(xué)經(jīng)過(guò)合情推理，提出一個(gè)猜想，我們可以把問(wèn)題推廣到一般情況．請(qǐng)你參考小慧同學(xué)的思路，探究并解決這三位同學(xué)提出的問(wèn)題：(1)寫出題目中DF與EF的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2，若∠ABC＝30°,∠ADB＝∠BEC＝60°,題目中的其他條件不變，你在(1)中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？請(qǐng)寫出你的猜想并加以證明；(3)如圖3，若∠ADB＝∠BEC＝2∠ABC，題目中的其他條件不變，你在(1)中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？請(qǐng)寫出你的猜想并加以證明．第5講菱形與矩形考點(diǎn)·方法·破譯1．理解并掌握菱形的定義、性質(zhì)和判定方法，并運(yùn)用它們進(jìn)行計(jì)算與證明；2．理解并掌握矩形的定義、性質(zhì)和判定方法，并運(yùn)用它們進(jìn)行計(jì)算與證明；3．理解“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”并會(huì)應(yīng)用．經(jīng)典·考題·賞析【例1】(衢州)如圖，四邊形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等邊三角形，且點(diǎn)P在矩形上方，點(diǎn)Q在矩形內(nèi)．求證：PA＝PQ．ABABCDQP【解法指導(dǎo)】證明線段相等的方法有如下：⑴若在同一三角形中可利用等腰三角形的判定定理；⑵若在不同三角形中可利用全等三角形證明；⑶利用三角形中位線定理與直角三角形謝邊上中線等于斜邊一半證明；(4)利用特殊四邊形的邊與對(duì)角線的關(guān)系證明等．證明：∵四邊形ABCD為矩形，△PBC、△QCD都是等邊三角形∴BA＝CD＝CQ，∠PBA＝30°，BP＝CP，∠DCP＝∠BCQ＝30°，∴∠PCQ＝30°在△ABP和△QCP中BA＝CQ，∠ABP＝∠QCP，BP＝CP∴△ABP≌△QCP，∴PA＝PQ【變式題組】01．(荊州)如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，AE＝AD，DF⊥AE與F，連接DE．求證：DF＝DC．ABABCDEF02．(荊州)如圖，矩形ABCD中，DP平分∠ADC交BC于點(diǎn)P，將一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)放在P點(diǎn)處，且使它的一條直角邊過(guò)A點(diǎn)，另一條直角邊交CD于E．找出圖中與PA相等的線段．并說(shuō)明理由．ABABCEDP03．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，求∠BOE的度數(shù)．ABABCEDOABCEDO【例2】已知：如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在AD邊上，AE＞DE，BE＝BC，點(diǎn)O是線段CE的中點(diǎn)．⑴試說(shuō)明CE平分∠BED；⑵若AB＝3，BC＝5，求BO的長(zhǎng)；⑶在直線AD上是否存在點(diǎn)F，使得以B、C、E、ABCEDO【解】⑴∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠BCE＝∠DEC．又∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC．∴∠BEC＝∠DEC，∴CE平分∠BED．⑵在Rt△中，AB＝3，BE＝BC＝5，∴AE＝4．在Rt△CDE中，CD＝3，DE＝1，∴EC＝EQ\R(,10)．在Rt△BOC中，BC＝5，CO＝EQ\f(\r(,10),2)，∴BO＝EQ\f(\r(,90),2)＝EQ\f(3\r(,10),2)．(注：此處用面積法求BO也可)⑶在直線AD上存在點(diǎn)F，使得以B、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．ABCOxy延長(zhǎng)ED至F，使得EF＝BC，此時(shí)四邊形BCFE是菱形．∵AE＞DE，∴BE＞CE，因此在EAABCOxy【變式題組】01．(煙臺(tái))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，菱形OABC的對(duì)角線OB在x軸上，頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝Eq\f(2,x)的圖像上，菱形的面積為_(kāi)________．\f(2,)02．(益陽(yáng))兩個(gè)全等的直角三角形ABC和DEF重疊在一起，其中∠A＝60°，AC＝1．固定△ABC不動(dòng)，將△DEF進(jìn)行如下操作：⑴如圖1，△DEF沿線段AB向右平移(即D點(diǎn)在線段AB內(nèi)移動(dòng))，連接DC、CF、FB，四邊形CDBF的形狀在不斷的變化，但它的面積不變化，請(qǐng)求出其面積；⑵如圖2，當(dāng)D點(diǎn)移到AB的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)你猜想四邊形CDBF的形狀，并說(shuō)明理由．ABABCFED圖1FCEBDA圖2【例3】(全國(guó)聯(lián)賽)如圖，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD邊上任意一點(diǎn)，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分別是垂足，則PE＋PF＝__________．ABABCFEDOPGFEDAPCOB【解法指導(dǎo)】因?yàn)镻是AD上任意一點(diǎn)，故想求出PE、PF長(zhǎng)的具體數(shù)據(jù)是不可能的，從特殊位置考慮，當(dāng)P與A重合時(shí)，PE＋PF就等于點(diǎn)A到BD的距離，因而只需要求出A到BD的距離，事實(shí)上利用面積法可以證明下列命題“等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高．” 解：如圖，過(guò)A作AG⊥BD于G，∵等腰三角形底邊上的任意一點(diǎn)到兩腰距離之和等于腰上的高．∴PE＋PF＝AG．Rt△ABD中，AD＝12，AB＝5，BD＝13．S△ABC＝Eq\f(1,2)AB?AD＝EQ\f(1,2)BD?AG，∴AG＝EQ\f(60,13)，∴PE＋PF＝EQ\f(60,13)．EQ\f(60,13)【變式題組】01．⑴觀察與發(fā)現(xiàn)：講矩形紙片AOCB折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)B＇處(如圖1)，折痕為EF．小明發(fā)現(xiàn)△AEF為等腰三角形，你同意嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．⑵實(shí)驗(yàn)與應(yīng)用：以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以矩形的邊OC、OA為x軸、y軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，若頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(9，3)，請(qǐng)求出折痕EF的長(zhǎng)及EF所在直線的函數(shù)關(guān)系式．ABABCFEB＇OABCFEB＇Oyx圖1圖202．(佳木斯)如圖，將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折疊使點(diǎn)B落到B＇的位置，AB＇與CD交于點(diǎn)E．⑴試找出一個(gè)與△AED全等的三角形，并加以證明；⑵若AB＝8，DE＝3，P為線段AC上的任意一點(diǎn)，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，試求PG＋PH的值，并說(shuō)明理由．ABABCEDHGPB＇【例4】(沈陽(yáng))如圖1，在△ABC中，點(diǎn)P為BC邊中點(diǎn)，直線a繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，若B、P在直線a的異側(cè)，BM⊥直線a于點(diǎn)M，CN⊥直線a于點(diǎn)N，連接PM、PN；⑴延長(zhǎng)MP交CN于點(diǎn)E(如圖2)．①求證：△BPM≌△CPE；②求證：PM＝PN；⑵若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，點(diǎn)B、P在直線a的同側(cè)，其他條件不變，此時(shí)PM＝PN還成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；⑶若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到與BC邊平行的位置時(shí)，其他條件不變．請(qǐng)直接判斷四邊形MBCN的形狀及此時(shí)PM＝PN還成立嗎？不必說(shuō)明理由．ABABCMNPaABCMNPaEAaNPMBC圖1圖2圖3【解法指導(dǎo)】⑴證明：①如圖2，∵BM⊥直線a于點(diǎn)M，CN⊥直線a于點(diǎn)N，∴∠BMN＝∠CNM＝90°，∴BM∥CN，∴∠MBP＝∠ECP，∵P為BC的中點(diǎn)，∴BP＝CP，又∵∠BMP＝∠CPE，∴△BPM≌△CPE，②∵△BPM≌△CPE，∴PM＝PE，∴PM＝EQ\f(1,2)ME，∴在Rt△MNE中，PN＝EQ\f(1,2)ME，∴PM＝PN；⑵成立，如圖3，ABCDOMA＇60°45°證明：延長(zhǎng)MP與NC的延長(zhǎng)線相較于點(diǎn)E，∵BM⊥直線a于點(diǎn)M，CN⊥直線a于點(diǎn)N，∴∠BMN＝∠CMN＝90°，∴∠BMN＋∠CNM＝180°，∴BM∥CN，∴∠MBP＝∠ECP，∵P為BC的中點(diǎn)，∴BP＝CP，∵∠BPM＝∠CPE，∴△BPM≌△CPE，∵PM＝PE，∴PM＝EQ\f(1,2)ME，則在Rt△MNE中，PN＝EQ\f(1,2)MEABCDOMA＇60°45°⑶四邊形MBCN是矩形，PM＝PN成立．【變式題組】01．(綿陽(yáng))如圖，一副三角板拼在一起，O為AD的中點(diǎn)，AB＝a．將△ABO沿BO對(duì)折于△A’BO，M為BC上一動(dòng)點(diǎn)，則A’M的最小值為_(kāi)_______．02．(營(yíng)口)如圖1，P是線段AB上的一點(diǎn)，在AB的同側(cè)作△APC和△BPD，使PC＝PA，PD＝PB，∠APC＝∠BPD，連接CD，點(diǎn)E、F、G、H分別是AC、AB、BD、CD的中點(diǎn)，順次連接E、F、G、H．⑴猜想四邊形EFGH的形狀，直接回答，不必說(shuō)明理由；、⑵當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的上方時(shí)，如圖2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他條件不變，⑴中的結(jié)論還成立嗎？說(shuō)明理由．⑶如果⑵中，∠APC＝∠BPD＝90°，其他條件不變，先補(bǔ)全圖3，再判定四邊形EFGH的形狀，并說(shuō)明理由．ABABCHGFEDPABCHGFEDPABP圖1圖2圖303．(北京)如圖所示，一根長(zhǎng)為2a的木棍(AB)，斜靠在與地(OM)垂直的墻(ON)上，設(shè)木棍的中點(diǎn)為P．若木棍A端沿墻下滑，且B端沿地面向右滑行．

⑴請(qǐng)判斷木棍滑動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離是否變化，并簡(jiǎn)述理由；

⑵在木棍滑動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)滑動(dòng)到什么位置時(shí)，△AOB的面積最大？簡(jiǎn)述理由，并求出面積的最大值．ABABOPMN演練鞏固反饋提高01．(仙桃)將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，AE、EF為折痕，∠BAE＝30°，AB＝EQ\r(,3)，折疊后，點(diǎn)C落在AD邊上的C1處，并且點(diǎn)B落在EC1邊上的B1處．則BC的長(zhǎng)為()

A．EQ\r(,3) B．2 C．3 D．EQ2\r(,3)OAOABCxyC１DABCFEB１ABCEDA＇第3題圖第2題圖第1題圖02．(長(zhǎng)春)菱形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，∠AOC＝45°，OC＝EQ\r(,2)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為()

A．(EQ\r(,2)，1) B．(1，EQ\r(,2)) C．(EQ\r(,2)＋1，1) D．(1，EQ\r(,2)＋1)03