理論力學(xué)chapt.5課件

第五章分析力學(xué)(analyticalmechanics

)5.1約束(constraint)與廣義坐標(biāo)(generalizedcoordinate

)

（1）約束的概念和分類1、力學(xué)體系有相互作用，運動彼此關(guān)聯(lián)的物體系統(tǒng)。2、約束約束是指對一個力學(xué)系統(tǒng)運動空間和運動方式的限制。約束往往可以用約束方程來表示。3、約束的種類（１）完整約束(holonomicconstraint

)

完整約束又叫做幾何約束，是指約束方程（條件）只與體系各質(zhì)點的坐標(biāo)及時間有關(guān)的約束。約束方程可以表示為1凡完整約束，都可以通過約束方程，用代數(shù)的方法將不獨立的坐標(biāo)消去。每一個完整約束方程可以消去一個不獨立的坐標(biāo)。如果體系受到個完整的約束，即則可以消去個不獨立的坐標(biāo)，剩余的獨立坐標(biāo)數(shù)為其中是體系質(zhì)點的個數(shù)，叫做體系的自由度2（２）非完整約束(nonholonomicconstraint

)

如果不能通過約束方程將不獨立的坐標(biāo)直接消去，這種約束成為非完整約束。這種約束方程中往往含有坐標(biāo)和時間的微分，單從約束方程本身不能通過積分的方式將微分消除。另外，用不等式表示的所謂可解約束也屬于非完整約束。（2）廣義坐標(biāo)

建立一個力學(xué)體系動力學(xué)方程所需要的獨立坐標(biāo)稱為廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)可以充分地表達(dá)一個力學(xué)體系的空間位形

對于完整約束體系，廣義坐標(biāo)的個數(shù)與體系的自由度相同3

但若體系所受約束中有非完整約束，廣義坐標(biāo)的個數(shù)將大于自由度對于完整約束體系設(shè)個廣義坐標(biāo)分別為則個質(zhì)點組成的力學(xué)體系全體個坐標(biāo)，均可用下式表示上式稱為變換方程5.2虛功原理(principleofvirtualwork

)（1）實位移與虛位移41、實位移：質(zhì)點按照運動定律真實發(fā)生的位移。表示成2、虛位移：在當(dāng)前約束許可的情形下虛擬發(fā)生的位移。表示成3、虛功：4、理想約束(idealconstraint

)設(shè)體系所受到的約束力為，滿足以下關(guān)系則構(gòu)成理想約束5光滑曲面，剛性連桿，不可伸長輕繩等都可視為理想約束5、虛功原理理想約束下的力學(xué)體系，當(dāng)處于平衡狀態(tài)時，全體主動力的虛功之和為零。即虛功原理在表達(dá)力學(xué)平衡體系時是完備的，這表現(xiàn)在它與牛頓定律的等價性按照牛頓定律，平衡體系應(yīng)滿足6取上式的虛功，有質(zhì)點虛位移與全體廣義坐標(biāo)的變更的關(guān)系，可以通過變換方程獲得，即將上式代入虛功原理有即上式稱為虛功原理7上式中

稱為廣義力(generalizedforce

)。又考慮到廣義坐標(biāo)的獨立性，虛功原理可以進一步表達(dá)為通過求解

個由廣義坐標(biāo)表達(dá)的體系的平衡方程，得到體系的平衡位形注：1、廣義力屬于整個主動力系，但與某廣義坐標(biāo)相關(guān)

2、具有功的量綱83、由于約束的作用已經(jīng)在虛功原理中消除，只能求得平衡位形，而不能求得約束力。這既是優(yōu)點也是缺點。約束力可以通過用解除約束的方法求得，但操作也因此繁瑣。5.3拉格朗日方程(Lagrangeequation

)（1）基本形式的拉格朗日方程一、達(dá)朗伯(dAlembert

)——拉格朗日方程在理想、完整約束下的力學(xué)體系，由牛頓定律或?qū)懗?上式中的理解為一種“倒轉(zhuǎn)有效力”，上式是一種形式上的廣義平衡方程，因此可以建立與此相等效的“廣義虛功原理”，即上式又稱為達(dá)朗伯方程。考慮體系的約束，體系的位形改由全體廣義坐標(biāo)表示，有上式經(jīng)完成第一重求和后簡化為10即其中兩個預(yù)備公式：（１）（２）證明：（１）11（２）

所以12將（１）、（２）兩個預(yù)備公式代入上式，得但注意到由以上結(jié)果得13即注：使上式有意義的是須經(jīng)變換方程完成。上式即基本形式的拉格朗日方程其中稱為廣義速度，稱為廣義動量，是廣義力其定義仍是且滿足14而上式也是求得廣義力的有效途徑之一（2）有勢力系(potential

system

)的拉格朗日方程1、有勢力系的定義及與保守力系的區(qū)別

若力場滿足則該力場稱為有勢力場，僅當(dāng)時，該力場稱為保守力場。力場僅有勢而非保守時，不滿足機械能守恒。這是因為由15得所以2、有勢力系的拉格朗日方程有勢力系，對其勢函數(shù)滿足由于16定義拉格朗日函數(shù)則基本形式的拉格朗日方程變?yōu)樯鲜骄褪怯袆萘ο档睦窭嗜辗匠?/p>

173、拉格朗日方程的初積分１）廣義動量積分（循環(huán)積分）廣義動量：循環(huán)坐標(biāo)（可遺坐標(biāo)）：中不顯含的廣義坐標(biāo)廣義動量積分：如是循環(huán)坐標(biāo)，則可得廣義動量積分２）廣義能量積分當(dāng)不顯含時間，即時，要求勢函數(shù)18，則有勢力系成為保守力系則有以下結(jié)果移項，得令19則上式稱為廣義能量積分，稱做哈密頓函數(shù)(Hamiltonianfunction

)３）廣義能量積分意義的討論ⅰ、用廣義坐標(biāo)、廣義速度表達(dá)的動能上式中20ⅱ、意義的討論結(jié)合上式，因此ⅲ、廣義能量積分的意義21當(dāng)時，即與皆不顯含時間時，變換方程仍有顯含時間的可能，此時，一般因而

廣義能量守恒并非一般意義下的機械能守恒。部分原因是由于約束不穩(wěn)定，約束力作為非保守力要作功。此時的廣義能量積分將與某非慣性系“機械能守恒”相對應(yīng)。只有當(dāng)變換方程不顯含時間時，這時22體系機械能守恒。但是作為一個機械能守恒系統(tǒng)，未必因為此時我們?nèi)舨捎媚撤N動坐標(biāo)系，同樣會使得變換方程顯含時間，這樣補例１：半徑為的光滑圓圈，以其豎直直徑為軸均勻轉(zhuǎn)動，圈上套有小環(huán)，討論小環(huán)的能量積分。分析：圓圈作為約束，由于自身存在轉(zhuǎn)動，屬于不穩(wěn)定約束。此系統(tǒng)自由度為1，選為廣義坐標(biāo)，變換方程為23所以動能上式中顯然所以24上式的物理意義，在慣性系中是無法理解的，但留意在轉(zhuǎn)動的圓圈參考系中，上式中的第一項為動能，第二項為慣性離心力勢能，最后一項為重力勢能，正好組成了轉(zhuǎn)動系中的“機械能”，表達(dá)了一種在非慣性系中的“機械能守恒”。例２：令例１中圓圈靜止，小環(huán)自由滑動，械能守恒，然而若選用顯然小環(huán)機如圖所示的為廣義坐標(biāo)，則相對旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的變換方程為25由于變換方程含有時間，因此無法得到5.5哈密頓正則方程（canonicalequation

）

、普遍勒讓德變換設(shè)獨立變量的特性函數(shù)為其全微分為其中作以替代的變換，變換后的特性函數(shù)也由成為1、勒讓德變換（legendretransformation

）26上述變換稱為普遍勒讓德變換。簡單證明如下：27二、部分勒讓德變換以替代，設(shè)相應(yīng)的特性函數(shù)成為，則上述變換稱為部分勒讓德變換。簡單證明如下：其中

，

28三、哈密頓正則方程由拉格朗日函數(shù)及廣義動量

取拉格朗日函數(shù)的全微分若以全體替代全體，則應(yīng)按照部分勒讓德變換代之以，且29上式正是哈密頓函數(shù)。于是利用拉格朗日方程30上述方程可以改寫為其中前兩式稱為哈密頓正則方程，最后一式實際為恒等式四、正則方程的廣義能量積分和廣義動量積分１、廣義能量積分31由哈密頓表達(dá)式，得將正則方程用于上式，得因此若中不顯含，則有只有當(dāng)變換方程不顯含時間時，上式才成為機械能守恒。否則只說明系統(tǒng)存在一個具有能量量綱的守恒量，它的意義一般可以是某非慣性系中的“機械能守恒”。32２、廣義動量積分當(dāng)函數(shù)中不顯含某個廣義坐標(biāo)，即時，由正則方程得因此，所謂循環(huán)坐標(biāo)對和是共同的335.6泊松括號與泊松定理１、泊松括號（Poissonbracket）設(shè)有任意兩個用全體正則變量和時間表示的函數(shù)和，定義泊松括號為以下計算２、用泊松括號表示的正則方程對函數(shù)求對時間的全微商34結(jié)合正則方程，上式可成為利用泊松括號的定義，上式可表示成將上式中的和分別代之以，可得到用泊松括號表達(dá)的正則方程355.7哈密頓原理（Hamiltonprinciple

）

（1）變分（variation）運算的幾個法則1、泛函（functional）極值問題與歐勒方程

數(shù)學(xué)上的變分法源于力學(xué)上的最速落徑問題：在鉛直的平面內(nèi)固定兩點A、B，在所有的連接A、B的曲線中找出初速度為零，僅在重力作用下無摩擦滑下用時最短的曲線。AB設(shè)曲線方程為，質(zhì)點下落速度，則由下式36下落時間可表示為顯然，上式是函數(shù)的函數(shù)，其形式就是泛函。最速落徑問題就是求上式的最小值或泛函的極值問題。37泛函取極值的條件是利用變分運算的規(guī)則對如下形式的泛函取其變分，并注意，有38上式第一項顯然由于兩個端點固定而為零，由于第二項中的任意，所以上式稱為歐勒方程，是泛函取極值的條件39若式中的不顯含，則歐勒方程將有初積分證明如下：證畢402、哈密頓原理將上述討論中的，代之以拉格朗日函數(shù)不難發(fā)現(xiàn)拉格朗日方程恰好是泛函取極值的條件。即41其物理意義是：在固定的時刻和之間，可能發(fā)生的各種運動過程，只有滿足上式要求的運動是真實發(fā)生的。上式中的稱為哈密頓作用量，該式則稱為哈密頓原理應(yīng)當(dāng)指出，哈密頓原理、拉格朗日方程與哈密頓正則方程是等價的。用哈密頓原理同樣可以推出哈密頓正則方程。根據(jù)拉格朗日函數(shù)與哈密頓函數(shù)的關(guān)系，我們有42代入哈密頓原理，有上式中的第一項積分可改寫為注意到43所以積分最后可以表示為

根據(jù)

和都是獨立變量，則必有

而這正是哈密頓正則方程

44補：多自由度體系小振動（smallvibration

）分析

1、振動方程完整的穩(wěn)定、理想約束的保守系統(tǒng)，在穩(wěn)定平衡位置附近的微振動

體系的勢能函數(shù)可表示成

設(shè)體系穩(wěn)定平衡的位置處于

當(dāng)體系有微小偏離平衡位置發(fā)生時，可將勢能函數(shù)在

45處作泰勒展開，即可取注意到在平衡位置處因此勢能函數(shù)最低次項近似式為46作為穩(wěn)定平衡系統(tǒng)，上式屬于正定二次型體系在微偏離平衡位置時的拉格朗日函數(shù)為

代入拉格朗日方程

這是s個線性、齊次、二階常微分方程組472、振動的解本征頻率和本征振動

解具有如下形式

代入微分方程組得這是關(guān)于Aβ的線性齊次方程組，有解的條件是48方程是關(guān)于本征圓頻率λ2的s次方程，其解為，，…，

對應(yīng)任一組

，可解得一組

共s組，通解形式為49根據(jù)T，V均為正定對稱型，λ2具有小于零的解，即，或利用歐拉定理，解可表示成

結(jié)果表明，具有s個自由度的體系在穩(wěn)