2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列專題21.9 期末復(fù)習(xí)之解答壓軸題專項訓(xùn)練（人教版）含解析

2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列專題21.9期末復(fù)習(xí)之解答壓軸題專項訓(xùn)練【人教版】考點1考點1二次根式解答期末真題壓軸題1．（2022春·廣東廣州·八年級華南師大附中?？计谀┪覀儗?a+b)與由于(24?x?8?x)(24?x又因為24?x?8?x=2①，所以24?x將24?x=5兩邊平方解得x=?1，代入原方程檢驗可得請根據(jù)上述材料回答下面的問題：(1)若m=2?3的對偶式為n，則m×n=(2)方程x+42+(3)解方程：4x2．（2022春·廣東廣州·八年級期末）閱讀下列材料，然后回答問題：在進行類似于二次根式23方法一：23方法二：23(1)化簡：25(2)觀察上述規(guī)律并猜想；當(dāng)n是正整數(shù)時，2n+2+n(3)計算：143．（2022秋·河南鄭州·八年級鄭州外國語中學(xué)?？计谀┫乳喿x，后解答：（1）由根式的性質(zhì)計算下列式子得：①32＝3，②(23)2＝23，③(?1由上述計算，請寫出a2的結(jié)果（a（2）利用（1）中的結(jié)論，直接寫出下列問題的結(jié)果：①(3.14?π)2②化簡：x2?4x+4（（3）應(yīng)用：若(x?5)2＋(x?8)2＝3，求滿足條件的所有整數(shù)4．（2022秋·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：像(5+2)(5例如：123=解答下列問題：（1）7的有理化因式是___________；5+2（2）觀察下面的變形規(guī)律，請你猜想：1n+112+1=2?1（3）利用上面的方法，請化簡：15．（2022秋·四川成都·八年級?？计谀╅喿x下列材料,然后回答問題:在進行類似于二次根式23方法一:2方法二:2(1)請用兩種不同的方法化簡:25(2)化簡:246．（2022秋·四川成都·八年級成都外國語學(xué)校?？计谀┮阎?a+b+5＝4(2a?2+b?1)，先化簡再求值ab7．（2022秋·四川成都·八年級成都外國語學(xué)校?？计谀┮阎獙崝?shù)a滿足|300﹣a|+a?401＝a，求a﹣3002的值．8．（2022秋·福建三明·八年級統(tǒng)考期末）已知點A(5,a)與點B(5,-3)關(guān)于x軸對稱，b為1+2的小數(shù)部分，求（1）a+b的值．（2）化簡.考點2考點2勾股定理解答期末真題壓軸題1．（2022秋·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D在直線AB上，連接CD，在CD的右側(cè)作CE⊥CD，CD=CE(1)如圖1，點D在AB邊上，探究線段BE和線段AD數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，點D在B右側(cè)，若AC=BC=22，BD=1，請求出DE(3)如圖3，∠DCE=∠DBE=90°，CD=CE=30，BE=6，請求出線段2．（2022秋·四川成都·八年級石室中學(xué)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，已知AD是BC邊上的高，過點B作BE⊥AC于點E，交AD于點F，且AD=65，BD=25，(1)求BEAB(2)求證：AF=BC；(3)如圖2，在（2）的條件下，在ED的延長線上取一點G，使BG=BE，請猜想DG與DE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．3．（2022秋·四川成都·八年級石室中學(xué)?？计谀┮阎骸鰽BC是等腰直角三角形，動點P在斜邊AB所在的直線上，以PC為直角邊作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解決下列問題：(1)如圖1，若點P在線段AB上，且AC=6+2，PA=2(2)在（1）的條件下，猜想PA、PB、PQ三者之間的數(shù)量關(guān)系并證明；(3)如圖2，若點P在AB的延長線上，求證：PA4．（2022春·湖北武漢·八年級校聯(lián)考期末）已知△ABC是等腰直角三角形，動點P在斜邊AB所在的直線上，以PC為直角邊在PC右側(cè)作等腰Rt△PCQ，∠PCQ=90°(1)如圖1，若點P在線段AB上，求證：PB⊥BQ；(2)如圖2，若點P在線段AB的延長線上，其它條件不變，畫出圖形，猜想PA2，PB(3)若動點P滿足PAPB=15．（2022春·山東濟南·八年級?？计谀┤鐖D，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=16，D是AC上的一點，CD=3，點P從B點出發(fā)沿射線BC方向以每秒2個單位的速度向右運動，設(shè)點P的運動時間為t(1)當(dāng)t=3秒時，求AP的長度；(2)當(dāng)△ABP為等腰三角形時，求t的值；(3)過點D作DE⊥AP于點E，連接PD，在點P的運動過程中，當(dāng)PD平分∠APC時，直接寫出t的值．6．（2022秋·浙江杭州·八年級期末）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，點F在邊BC上，過點B作BE⊥AB于點B，交AF的延長線于點E，且BF=BE(1)求證：∠CAF=∠BAF；(2)如圖2，過點E作EM⊥BF于點M，過點F作FG⊥BA于點G．①求證：BM=CF；②若AC=6，AB=10，求AE的長．（結(jié)果可以保留根號不化簡）7．（2022春·江蘇泰州·八年級?？计谀?）用不同的方法計算圖1中陰影部分的面積得到的等式：________（2）圖2是由兩個邊長分別為a、b、c的直角三角形和一個兩條直角邊都是c的直角三角形拼成，試用不同的方法計算這個圖形的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么？說明理由；（3）根據(jù)上面兩個結(jié)論，解決下面問題：①在直角△ABC中，∠C=90°，三邊分別為a、b、c，a+b=7，ab=12，求c的值：②如圖3,五邊形ABCDE中，線段AC⊥BD，AC=BD=2，四邊形ODAE為長方形，在直角△BOC中，OB=x，OC=y，其周長為n，當(dāng)n為何值時，長方形AODE的面積為定值，并說明理由．8．（2022春·浙江臺州·八年級?？计谀┰趯W(xué)習(xí)完勾股定理這一章后，小夢和小璐進行了如下對話．小夢：如果一個三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=2c2，那我們稱這個三角形為“類勾股三角形”，例如△ABC的三邊長分別是2小璐：那等邊三角形一定是“類勾股三角形”！根據(jù)對話回答問題：(1)判斷：小璐的說法___________（填“正確”或“錯誤”）(2)已知△ABC的其中兩邊長分別為1，7，若△ABC為“類勾股三角形”，則另一邊長為___________；(3)如果Rt△ABC是“類勾股三角形”，它的三邊長分別為x，y，z（x，y為直角邊長且x<y，z為斜邊長），用只含有x9．（2022秋·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”．?dāng)?shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透．某校數(shù)學(xué)興趣小組，在學(xué)習(xí)完勾股定理和實數(shù)后，進行了如下的問題探索與分析【提出問題】已知0<x<1，求1+x【分析問題】由勾股定理，可以通過構(gòu)造直角三角形的方法，來分別表示長度為1+x2和1+1?x【解決問題】(1)如圖，我們可以構(gòu)造邊長為1的正方形ABCD，P為BC邊上的動點．設(shè)BP=x，則PC=1?x．則1+x(2)在（1）的條件下，已知0<x<1，求1+x(3)【應(yīng)用拓展】應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，求x2考點3考點3平行四邊形解答期末真題壓軸題1．（2022春·浙江杭州·八年級校聯(lián)考期末）平行四邊形ABCD中，點C關(guān)于AD的對稱點為E，連接DE，BE，BE交AD于點F．(1)如圖1，若∠ADC=90°，試說明點F為BE的中點；(2)如圖2，若∠ABC=α(0°<α<90°)．①試判斷點F是否為BE的中點？并說明理由；②若∠ABC=45°，延長BA，DE交于點H，求2．（2022春·甘肅天水·八年級天水市逸夫?qū)嶒炛袑W(xué)?？计谀┮阎?，平行四邊形ABCD中，一動點P在AD邊上，以每秒1cm的速度從點A向點D(1)如圖①，運動過程中，若CP平分∠BCD，且滿足CD=CP，求∠ABC的度數(shù)．(2)如圖②，在（1）問的條件下，連接BP并延長，與CD的延長線交于點F，連接AF，若△PCD的面積等于S，求△APF的面積．（用含S的式子表示）(3)如圖③，另一動點Q在BC邊上，以每秒4cm的速度從點C出發(fā)，在BC間往返運動，兩個點同時出發(fā)，當(dāng)點P到達點D時停止運動（同時Q點也停止），若AD=12cm，則t為何值時，以P，D，Q，3．（2022春·貴州黔東南·八年級校聯(lián)考期末）小紅根據(jù)學(xué)習(xí)平行四邊形的經(jīng)驗，對平行四邊形進行了拓展探究．【問題探究】如圖1，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點均在格點上，請按要求完成下列各題：(1)在網(wǎng)格中找一點D，畫線段CD∥BA且使CD=BA，連接(2)在括號內(nèi)填寫根據(jù)：∵CD∥BA且CD＝∴四邊形ABCD是平行四邊形（____________）【拓展延伸】(3)如圖2，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC=8厘米，AD=9厘米，點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，點P以2厘米/秒的速度由點A向點D運動，點Q以1厘米/秒的速度由點C向點B運動．當(dāng)其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動．請問：經(jīng)過幾秒，直線PQ將四邊形4．（2022春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點O，A，C的坐標(biāo)分別為O0,0，A4,0，C0,c，動點P從A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿射線AB方向移動，作△PAO關(guān)于直線PO的對稱△PA′(1)當(dāng)c=x?2①矩形的頂點B的坐標(biāo)是；②如圖2．當(dāng)點A′落在OB上時，顯然△PA′(2)若直線PA′與直線BC相交于點M，且t<3時，∠POM=45°．問：當(dāng)t>3時，5．（2022春·江蘇·八年級姜堰區(qū)實驗初中?？计谀┤鐖D，已知正方形ABCD，將它繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°<α<90°）得正方形AEFG，EF交BC于H，AB=2．(1)求證：AH平分∠BHE；(2)當(dāng)A、E、C在同一條直線上時，①求證：A、B、F共線；②求BH長．(3)當(dāng)D、B、F在同一直線上時直接寫出∠FAB的度數(shù)．6．（2022春·江蘇揚州·八年級校考期末）如圖1，在?ABCD中，∠ADC的平分線交AB于點E，交CB的延長線于F，以BE、BF為鄰邊作?EBFH．(1)證明：平行四邊形EBFH是菱形；(2)如圖2，若∠ABC=60°，連接HA、HB、HC、AC，求證：△ACH是等邊三角形．(3)如圖3，若∠ABC=90°．①直接寫出四邊形EBHF的形狀；②已知AB=10，AD=6，M是EF的中點，求CMCF7．（2022春·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）已知等邊三角形ABC的邊長為12，D為射線BC上一動點（點D不與B，C重合），以AD為邊作菱形ADEF，使∠DAF=60°，連接BF．(1)如圖，當(dāng)點D在BC邊上時，求證：△ACD≌△ABF，(2)在點D的移動過程中，當(dāng)BF=3時，求BD的長度(3)設(shè)△ABC與菱形ADEF的面積分別為S1，S2，直接寫出8．（2022春·浙江杭州·八年級校考期末）如圖，有一張矩形紙條ABCD，AB=5cm，BC=2cm，點M，N分別在邊AB，CD上，CN=1cm．現(xiàn)將四邊形BCNM沿MN折疊，使點B，C分別落在點B(1)當(dāng)點B′恰好落在邊CD①證明：△B②求線段BM的長；(2)點M從點A向點B運動的過程中，若邊線段MB′與邊CD交于點①求此運動過程中，DE的最大值；②請直接寫出點E相應(yīng)運動的路徑長．9．（2022春·浙江溫州·八年級校聯(lián)考期末）如圖，等邊△ABC中，AB=6，動點D，E分別是邊BC，AC上的兩個點，且滿足CD=CE+1，以CD，CE為鄰邊構(gòu)造?DCEF，記CE的長為m(1)EF=______（含m的代數(shù)式表示）；(2)當(dāng)點F分別落在∠A，∠B的角平分線上時，求對應(yīng)的m的值；(3)作∠B的角平分線，交AC于H，當(dāng)BH恰好平分?DCEF的面積時，m=_____．（請直接寫出答案）考點4考點4一次函數(shù)解答期末真題壓軸題1．（2022春·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）問題發(fā)現(xiàn)．(1)如圖1，等腰直角△AOB置于平面直角坐標(biāo)系中，點A，B的坐標(biāo)分別為2,0，0,2，D是AB上一點，AD=OA，則點D的坐標(biāo)為______．(2)問題探究：如圖2，若點A，B的坐標(biāo)分別為16,0，0,12，其余條件與1相同，求經(jīng)過O，D兩點的直線表達式．(3)問題解決：國慶前夕，某景區(qū)為了提高服務(wù)質(zhì)量，想盡可能美化每一個角落，給游客美的享受．如圖3，△ABO是景區(qū)東門的廣場一角，OA，OB兩面墻互相垂直，景區(qū)管理部門設(shè)計將OA，OB墻面布置成歷史故事宣傳墻，AB邊上用建筑隔板搭出AD段將該角落與廣場其他區(qū)域隔開，AD段布置成時事政治宣傳墻，剩余BD部分為廣場角出入口，內(nèi)部空間放置一些綠植和供游人休息的桌椅，考慮到防疫安全，還需在靠近出入口的E處建一個體溫檢測點．已知AD=OA=16m，OB=12m，BC平分∠OBA，體溫檢測點E在BC與OD的交點處．求點E分別到OB，2．（2022秋·陜西西安·八年級校考期末）同學(xué)們在第一次微課中聽取了劉老師與楊老師關(guān)于面積等分線練習(xí)的講評，小浩同學(xué)對此產(chǎn)生興趣，上網(wǎng)又查到了長方形的一些性質(zhì)：長方形的對角線相等且互相平分，對角線所在的直線是其一條面積等分線．請你利用以上性質(zhì)，幫小浩解決下面問題：(1)如圖①，已知長方形ABCD，請畫出它的一條面積等分線l（不經(jīng)過對角線）(2)四邊形OABC位于如圖②所示的平面直角坐標(biāo)系中，頂點O位于原點，其余頂點坐標(biāo)為A（4，6），B（8，7），C（10，0），CE是四邊形OABC的一條面積等分線，點E在y軸上，請求出點E的坐標(biāo)．(3)全民抗疫，西安加油！如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中（長度單位為米），長方形OABC是西安某小區(qū)在疫情期間為居民核酸檢測圍成的一個工作區(qū)域，頂點A，C在坐標(biāo)軸上，O為坐標(biāo)原點，記頂點B（20，12），原有的一個出入口D在邊OC上，且CD=4米，為使工作高效有序，現(xiàn)計劃在邊AB，OA，BC上依次再設(shè)出入口E，G，H，沿DE，GH拉兩道警戒線將工作區(qū)域分成面積相等的四部分，請問，是否存在滿足上述條件的點E，H，G，如存在，請求出點E的坐標(biāo)及GH的函數(shù)表達式，如不存在，請說明理由．3．（2022春·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）讀一讀“數(shù)形結(jié)合”是一種重要的數(shù)學(xué)思想，其簡而言之就是把數(shù)學(xué)中“數(shù)”和數(shù)學(xué)中“形”結(jié)合起來解決數(shù)學(xué)問題的一種數(shù)學(xué)思想．具體地說就是將抽象數(shù)學(xué)語言與直觀圖形結(jié)合起來，使抽象思維與形象思維結(jié)合起來，通過“數(shù)”與“形”之間的對應(yīng)和轉(zhuǎn)換來解決數(shù)學(xué)問題．在中學(xué)數(shù)學(xué)的解題中，主要有三種類型：以數(shù)化形、以形變數(shù)、形數(shù)互變．研一研【定義】在平面直角坐標(biāo)系xoy中，如果點A，C為某個菱形的一組對角的頂點，且點A，C在直線y＝x上，那么稱該菱形為點A，C的“最佳菱形”．如圖是點A，C的“最佳菱形”的一個示意圖．【運用】已知點M的坐標(biāo)為（2，2），點P的坐標(biāo)為（4，4）．(1)下列各組點，能與點M，P形成“最佳菱形”的是______．①E（3，4），F(xiàn)（4，3）

②G（2，3），H（3，2）

③I（2，4），J（4，2）(2)如果四邊形MNPQ是點M，P的“最佳菱形”．①當(dāng)點N的坐標(biāo)為（6，0）時，求四邊形MNPQ的面積；②當(dāng)四邊形MNPQ的面積為16，且與直線y＝x＋b有公共點時，求b的取值范圍．5．（2022春·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A在y軸的正半軸上，點B在x軸的正半軸上，OA＝OB＝10．（1）求直線AB的解析式；（2）若點P是直線AB上的動點，當(dāng)S△OBP＝14S△OAP時，求點P（3）將直線AB向下平移10個單位長度得到直線l，點M，N是直線l上的動點（M，N的橫坐標(biāo)分別是x，x，且x＜x），MN＝42，求四邊形ABNM的周長的最小值，并說明理由．6．（2022秋·廣東廣州·八年級校考開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線l1:y=?12x+12交x軸于點A，直線l2:y=m+1x（1）求B點的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；（2）作直線l2關(guān)于y軸的對稱直線l3，直線l1和l①求證：點C在直線y=mx+1上；②已知P?1,1?m，請問：是否存在P點，使得A到直線PC的距離最大？若存在，請求這個最大距離，并指出此時P7．（2022秋·山東青島·八年級校考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸交于點B（b，0），與y軸交于點A（0，a），且a?b+2+(1)求S△AOB；(2)若P（x，y）為直線AB上一點．①求S△APO的面積（用含x的式子表示）；②求x與y的數(shù)量關(guān)系（用x表示y）；(3)已知點Q（m，m?2），若△ABQ的面積為6，求m．8．（2022秋·山東青島·八年級山東省青島第二十六中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線l：y＝43x+8與x軸、y軸分別交于點B，點A，直線x＝﹣2交AB于點C，D是直線x＝﹣2上一動點，且在點C的上方，設(shè)D（﹣2，m（1）求點O到直線AB的距離；（2）當(dāng)四邊形AOBD的面積為38時，求點D的坐標(biāo)，此時在x軸上有一點E（8，0），在y軸上找一點M，使|ME﹣MD|最大，請求出|ME﹣MD|的最大值以及M點的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，將直線l：y＝43x+8左右平移，平移的距離為t（t＞0時，往右平移；t＜0時，往左平移）平移后直線上點A，點B的對應(yīng)點分別為點A′、點B′，當(dāng)△A′B′D為等腰三角形時，求t9．（2022秋·山東青島·八年級青島市即墨區(qū)實驗學(xué)校?？计谀┩瑢W(xué)們，我們在學(xué)習(xí)一次函數(shù)時，采用由特殊到一般的研究思路，首先研究特殊的一次函數(shù)y=kx（k為常數(shù)，k≠0），通過畫出具體函數(shù)的圖象，觀察圖象，數(shù)形結(jié)合，歸納出這類特殊函數(shù)的圖象特征（形狀、位置、對稱性）和性質(zhì)（增減性），從中初步習(xí)得了研究函數(shù)的思路、內(nèi)容和方法，進而推廣到研究一般的一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0），獲得了一次函數(shù)的圖象特征（形狀、位置、對稱性）和性質(zhì)（增減性），然后再綜合運用相關(guān)的知識解決實際問題．請你運用學(xué)過的方法研究一類含有絕對值的新函數(shù)y=k|x|（k為常數(shù)，k≠0）的圖象和性質(zhì)．【實際操作】（1）直接在平面直角坐標(biāo)系（圖1）中畫出函數(shù)y=2|x|的圖象；（2）直接在平面直角坐標(biāo)系（圖2）中畫出函數(shù)y=-3|x|的圖象．

圖一

圖二【歸納總結(jié)】（3）結(jié)合上面畫出的函數(shù)圖象，請歸納出函數(shù)y=k|x|（k為常數(shù)，k≠0）的圖象特征（形狀、位置、對稱性），并且寫出當(dāng)自變量x的值增大時，函數(shù)值y怎樣變化?【遷移應(yīng)用】（4）圖3是某個含有絕對值的函數(shù)的圖象，請求出該函數(shù)的表達式．10．（2022秋·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù)y＝kx+4與x軸交于點A(4，0)，點(1)求k的值和點C的坐標(biāo)；(2)點D為x軸上一點，BD=CD，求點D的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，若點M是x軸上的動點，問在直線AB上，是否存在點N(點N與點C不重合)，使△AMN與△ACD全等？若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)，并寫出其中一種情況的解答過程，若不存在，請說明理由．11．（2022春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，直線y=?2x+b（b為常數(shù)）交x軸的正半軸于點A（2，0）．交y軸正半軸于點B．（1）求直線AB的解析式：（2）點C是線段AB中點，點P是x軸上一點，點Q是y軸上一點，若以A、C、P、Q為頂點的四邊形恰好是平行四邊形，請直接寫出點P的坐標(biāo)；（3）如圖2，若點P是x軸負半軸上一點，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為?4，以AP為底作等腰△APM（點M在x軸下方），過點A作直線l//PM．過點O作OE⊥AM于E，延長EO交直線l于點F，連接PF、OM，若2∠PFO+∠AFE=180°，求△PMO的面積．12．（2022春·廣東佛山·八年級?？计谀┮阎本€l1：y1＝x﹣3m+15，l2：y2＝﹣2x+3m﹣9．(1)當(dāng)m＝3時，求直線l1與l2的交點坐標(biāo)；(2)若直線l1與l2的交點在第一象限，求m的取值范圍；(3)若等腰三角形的兩邊為（2）中的整數(shù)解，求該三角形的面積．專題21.9期末復(fù)習(xí)之解答壓軸題專項訓(xùn)練【人教版】考點1考點1二次根式解答期末真題壓軸題1．（2022春·廣東廣州·八年級華南師大附中?？计谀┪覀儗?a+b)與由于(24?x?8?x)(24?x又因為24?x?8?x=2①，所以24?x將24?x=5兩邊平方解得x=?1，代入原方程檢驗可得請根據(jù)上述材料回答下面的問題：(1)若m=2?3的對偶式為n，則m×n=(2)方程x+42+(3)解方程：4x【答案】(1)1(2)x=39(3)x=3【分析】（1）由定義直接可得答案；（2）求出x+42+x+10x+42?x+10（3）同（2）的方法求解即可．【詳解】（1）解：m=2?3的對偶式為n=2+∴m×n=2?（2）x+42+∴x+42+∴x+42?①+②得：∴x=39；（3）4x∴4x∴4x①+②得：∴4x∴x=3．【點睛】本題考查二次根式，平方差公式，涉及新定義，無理方程等知識，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式運算的相關(guān)法則．2．（2022春·廣東廣州·八年級期末）閱讀下列材料，然后回答問題：在進行類似于二次根式23方法一：23方法二：23(1)化簡：25(2)觀察上述規(guī)律并猜想；當(dāng)n是正整數(shù)時，2n+2+n(3)計算：14【答案】(1)5(2)n+2(3)1010．【分析】（1）利用分母有理化進行化簡；（2）利用分母有理化進行化簡即可；（3）先把各分母提12【詳解】（1）解：25故答案為：5?（2）解：當(dāng)n是正整數(shù)時，2n+2∵2n+2故答案為：n+2?（3）解：1====1010．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算：熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則和平方差公式是解決問題的關(guān)鍵．3．（2022秋·河南鄭州·八年級鄭州外國語中學(xué)?？计谀┫乳喿x，后解答：（1）由根式的性質(zhì)計算下列式子得：①32＝3，②(23)2＝23，③(?1由上述計算，請寫出a2的結(jié)果（a（2）利用（1）中的結(jié)論，直接寫出下列問題的結(jié)果：①(3.14?π)2②化簡：x2?4x+4（（3）應(yīng)用：若(x?5)2＋(x?8)2＝3，求滿足條件的所有整數(shù)【答案】（1）a2=a=a(a>0)0【分析】（1）將a分為正數(shù)、0、負數(shù)三種情況得出結(jié)果；（2）①當(dāng)a=3.14﹣π＜0時，根據(jù)（1）中的結(jié)論可知，得其相反數(shù)﹣a，即得π﹣3.14；②先將被開方數(shù)化為完全平方式，再根據(jù)公式得結(jié)果；（3）根據(jù)（1）式得：(x?5)2+(x?8)2=x?5+【詳解】解：（1）a2=a（2）①(3.14?π)2=3.14?π②x2?4x+4（=(x?2)2=|x﹣2|，∵x＜2，∴x﹣2＜0，∴x2?4x+4=2﹣（3）∵(x?5)2①當(dāng)x＜5時，x﹣5＜0，x﹣8＜0，所以原式=5﹣x+8﹣x=13﹣2x；②當(dāng)5≤x≤8時，x﹣5≥0，x﹣8≤0，所以原式=x﹣5+8﹣x=3；③當(dāng)x＞8時，x﹣5＞0，x﹣8＞0，所以原式=x﹣5+x﹣8=2x﹣13，∵（x?5)所以x的取值范圍是5≤x≤8，x可取5、6、7、8，滿足條件的所有整數(shù)x的和5+6+7+8=26．【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)和化簡，明確二次根式的兩個性質(zhì)：①a2=a（a≥0）（任何一個非負數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式）；②a24．（2022秋·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：像(5+2)(5例如：123=解答下列問題：（1）7的有理化因式是___________；5+2（2）觀察下面的變形規(guī)律，請你猜想：1n+112+1=2?1（3）利用上面的方法，請化簡：1【答案】（1）7；5?2；（2）n+1?n【分析】（1）根據(jù)材料中的定義可以得到解答；（2）根據(jù)材料中給出的規(guī)律解答；（3）根據(jù)（2）得到的規(guī)律進行解答．【詳解】解：（1）∵7?∴7的有理化因式為7；∵5+2∴5+2與5故答案為：7，5?2（2）通過觀察可得：1n+1故答案為：n+1?（3）由（2）可得：原式==2021【點睛】本題考查新定義下的實數(shù)運算和分母有理化，根據(jù)材料給定的定義和運算法則進行計算是解題關(guān)鍵．5．（2022秋·四川成都·八年級?？计谀╅喿x下列材料,然后回答問題:在進行類似于二次根式23方法一:2方法二:2(1)請用兩種不同的方法化簡:25(2)化簡:24【答案】（1）5?3;（2）【分析】（1）首先理解題意，根據(jù)題目的解析，即可利用兩種不同的方法化簡求得答案；（2）結(jié)合題意，可將原式化為4-【詳解】解：（1）方法一：25+方法二：25+3（2）原式=4【點睛】本題考查了分母有理化的知識．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握分母有理化的兩種方法．6．（2022秋·四川成都·八年級成都外國語學(xué)校?？计谀┮阎?a+b+5＝4(2a?2+b?1)，先化簡再求值ab【答案】215【分析】用完全平方公式將原方程配方，由平方的非負性求出a、b的值，化簡要求的式子，將a、b的值代入化簡后的式子計算出結(jié)果即可.【詳解】原方程可化為2a+b+5﹣42a?2﹣4b?1=0，即（2a﹣2﹣42a?2+4）+（b﹣1﹣4b?1+4）=0，∴（2a?2﹣2）2+（b?1﹣2）2=0，∴2a?2﹣2=0，b?1﹣2=0，解得a=3，b=5，∴ab+=a2+2ab+=（a+b）2ab=|a+b|ab﹣=a+b?（b?a）=2a=2ab將a、b的值代入得：原式=215【點睛】本題主要考查完全平方公式、平方的非負性.7．（2022秋·四川成都·八年級成都外國語學(xué)校?？计谀┮阎獙崝?shù)a滿足|300﹣a|+a?401＝a，求a﹣3002的值．【答案】401.【分析】由二次根式有意義的條件可得出a的范圍為a≥401，對方程去絕對值，整理得出a﹣3002=401.【詳解】由題意得：a﹣401≥0，∴a≥401，∴原方程可化為a﹣300+a?401=a，∴3002=a﹣401，∴a﹣3002=401.【點睛】本題主要考查二次根式有意義的條件、絕對值的化簡以及方程的變形.8．（2022秋·福建三明·八年級統(tǒng)考期末）已知點A(5,a)與點B(5,-3)關(guān)于x軸對稱，b為1+2的小數(shù)部分，求（1）a+b的值．（2）化簡.【答案】（1）2+2；（2）5【詳解】試題分析：(1)先依據(jù)關(guān)于x軸對稱的兩點的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)可求得a的值，然后再估算出2的大小，從而可求得b，最后進行計算即可；(2)先將a,b的值代入，然后進行計算即可．試題解析：(1)∵點A(5,a)與點B(5,?3)關(guān)于x軸對稱，∴a=3.∵1<2∴b=2∴a+b=2(2)將a、b的值代入得：原式=12+(考點2考點2勾股定理解答期末真題壓軸題1．（2022秋·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D在直線AB上，連接CD，在CD的右側(cè)作CE⊥CD，CD=CE(1)如圖1，點D在AB邊上，探究線段BE和線段AD數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，點D在B右側(cè)，若AC=BC=22，BD=1，請求出DE(3)如圖3，∠DCE=∠DBE=90°，CD=CE=30，BE=6，請求出線段【答案】(1)BE=AD，BE⊥AD，理由見解析(2)26(3)2【分析】（1）先證明∠CAB=∠CBA=45°，∠ACD=∠BCE，再證明△ACD≌△BCE，得到AD=BE，∠CAD=∠CBE=45°，由此即可得到結(jié)論；（2）同（1）可證BE=AD，∠ABE=90°，利用勾股定理求出AB，進而求出BE的長即可利用勾股定理求出（3）過點C作CA⊥CB交DB于A，設(shè)BD與CE相交于點O，如圖3所示：證明△ACD≌△BCE，得到AD=BE=6，AC=BC，求出AB=26，則【詳解】（1）解：BE=AD，BE⊥AD，理由如下：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=45°，∵CE⊥CD，∴∠DCE=90°=∠ACB，∴∠ACD=∠BCE，又∵AC=BC，CD=CE，∴△ACD≌△BCESAS∴AD=BE，∠CAD=∠CBE=45°，∴∠ABE=90°，∴AD⊥BE；（2）解：如圖2，連接BE，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，∵AC=BC，CD=CE，∴△ACD≌△BCESAS∴AD=BE，∠A=∠CBE=45°，∵∠A+∠ABC=90°，∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°，∴∠DBE=90°，∵∠ACB=90°，AC=BC=22∴AB=2∴AD=AB+BD=4+1=5，∴BE=AD=5，在Rt△BDE中，由勾股定理得：B∴DE=B（3）解：過點C作CA⊥CB交DB于A，設(shè)BD與CE相交于點O，如圖3所示：則∠ACB=90°=∠DCE，∴∠DCE?∠ACE=∠ACB?∠ACE，即∠ACD=∠BCE，∵∠DCO=∠EBO=90°，∠DOC=∠EOB，∴∠CDA=∠CEB，又∵CD=CE，∴△ACD≌△BCEASA∴AD=BE=6，AC=BC∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB=2∵CD=CE=30，∠DCE=90°∴DE=215∴BD=D∴AB=BD?AD=26∴BC=23【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等角的余角相等等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，運用類比方法解答是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·四川成都·八年級石室中學(xué)校考期末）如圖，在△ABC中，已知AD是BC邊上的高，過點B作BE⊥AC于點E，交AD于點F，且AD=65，BD=25，(1)求BEAB(2)求證：AF=BC；(3)如圖2，在（2）的條件下，在ED的延長線上取一點G，使BG=BE，請猜想DG與DE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)2(2)證明見解析(3)DG=2DE，理由見解析【分析】（1）先利用勾股定理求出AB，AC，再利用三角形面積法求出（2）先求出CE=5，則AE=10=BE，然后證明△AEF≌△BEC即可得到（3））如圖所示，過點B作BT⊥EG于T，過點E作EM⊥AD于M，EN⊥BC于N，則GT=ET，由S△ADES△DCE=12AD?EM12【詳解】（1）解：在Rt△ADC中，由勾股定理得AC=在Rt△ABD中，由勾股定理得AB=∵S△ABC∴BE=BC?AD∴BEAB（2）證明：在Rt△BCE中，由勾股定理得CE=∴AE=AC?CE=10=BE，∵∠BFD=∠AFE，∴∠EAF=∠EBC，在△AEF和△BEC中，∠EAF=∴△AEF≌∴AF=BC；（3）解：DG=2DE，理由如下：如圖所示，過點B作BT⊥EG于T，過點E作EM⊥AD于M，EN⊥BC于N，∵BE=BG，∴GT=ET，∵S△ADE∴12×6∴EM=EN，∴DE平分∠ADC，∴∠CDE=∠BDT=45°，∴BT=DT，∵BT2+D∴BT=DT=2∴GT=ET=B∴DG=GT+DT=410，ED=ET?DT=2∴DG=2DE．【點睛】本題主要考查了勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的判定等等，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·四川成都·八年級石室中學(xué)?？计谀┮阎骸鰽BC是等腰直角三角形，動點P在斜邊AB所在的直線上，以PC為直角邊作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解決下列問題：(1)如圖1，若點P在線段AB上，且AC=6+2，PA=2(2)在（1）的條件下，猜想PA、PB、PQ三者之間的數(shù)量關(guān)系并證明；(3)如圖2，若點P在AB的延長線上，求證：PA【答案】(1)2(2)PA(3)證明見解析【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AB，由PB=AB?PA可求得PB（2）過C作CD⊥AB于點D，則△ADC是等腰直角三角形，則可求得AD=CD=12AB=1+3，進而得出PD的長，在Rt△PCD（3）過C作CD⊥AB于點D，把PA2和PB2都用PC和CD表示出來，在Rt△PCD中，由勾股定理得到PC【詳解】（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，AC=6∴AB=A∵PA=2，∴PB=AB?PA=23（2）解：PA如圖1，過C作CD⊥AB于點D，則△ADC是等腰直角三角形，∴AD=CD=1∴PD=AD?PA=3在Rt△PCD中，PC=∵△PCQ是等腰直角三角形，∠PCQ=90°，∴PC=QC=22∴PQ=P∵PA∴PA（3）證明：如圖2，過C作CD⊥AB于點D，∵△ACB為等腰直角三角形，CD⊥AB，∴CD=AD=DB，∵PAPB∴PA在Rt△PCD中，由勾股定理可得P∴PA∵△PCQ為等腰直角三角形，且∠PCQ=90°，∴PQ∴PA【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·湖北武漢·八年級校聯(lián)考期末）已知△ABC是等腰直角三角形，動點P在斜邊AB所在的直線上，以PC為直角邊在PC右側(cè)作等腰Rt△PCQ，∠PCQ=90°(1)如圖1，若點P在線段AB上，求證：PB⊥BQ；(2)如圖2，若點P在線段AB的延長線上，其它條件不變，畫出圖形，猜想PA2，PB(3)若動點P滿足PAPB=1【答案】(1)證明見解析(2)AP(3)104或【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可證得△APC≌△BQC，∠CBQ=∠A=∠ABC=45°，進而證得結(jié)論；（2）過點C作CD⊥AB，垂足為D，則AP=AD+PD=DC+PD，PB=DP?BD=DP?DC，可證明AP2+BP2（3）根據(jù)點P所在的位置畫出圖形，然后根據(jù)已知用CD表示出PD的長，再結(jié)合勾股定理求出AC和PC的長度即可．【詳解】（1）如圖①所示：∵△ABC和△PCQ均為等腰直角三角形，∴AC=BC，PC=CQ，∠ACB=∠PCQ，∠A=∠ABC=45°，∴∠ACP=∠BCQ．在△APC和△BQC中，∵AC=BC∠ACP=∠BCQ∴△APC≌△BQC∴∠CBQ=∠A=45°．∴∠ABC+∠CBQ=90°，∴PB⊥BQ．（2）AP如圖②：過點C作CD⊥AB，垂足為D．∵△ACB為等腰直角三角形，CD⊥AB，∴CD=AD=DB．∵APPB∴AP∵CD⊥AB∴PC∴AP∵△CPQ為等腰直角三角形，∴2PC∴AP（3）如圖③：過點C作CD⊥AB，垂足為D．①當(dāng)點P位于點P1∵P1∴P1∴P1在Rt△CP1在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC=∴P1②當(dāng)點P位于點P2∵P2∴P2在Rt△CP2在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC=∴P2綜上所述，PCAC的比值為104或故答案為：104或10【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線，熟練運用勾股定理，構(gòu)造合適的全等三角形是解本題的關(guān)鍵．5．（2022春·山東濟南·八年級?？计谀┤鐖D，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=16，D是AC上的一點，CD=3，點P從B點出發(fā)沿射線BC方向以每秒2個單位的速度向右運動，設(shè)點P的運動時間為t(1)當(dāng)t=3秒時，求AP的長度；(2)當(dāng)△ABP為等腰三角形時，求t的值；(3)過點D作DE⊥AP于點E，連接PD，在點P的運動過程中，當(dāng)PD平分∠APC時，直接寫出t的值．【答案】(1)2(2)當(dāng)△ABP為等腰三角形時，t的值為45(3)當(dāng)t的值為5或11時，PD平分∠APC．【分析】（1）根據(jù)動點的運動速度和時間先求出PC，再根據(jù)勾股定理即可求解；（2）分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)列出等式，即可求解；（3）分兩種情況：①點P在線段BC上時，過點D作DE⊥AP于E，先證△PDE≌△PDC，得出ED=CD=3，PE=PC=16?2t，再由勾股定理求出AE=4，則AP=20?2t，然后在Rt△APC②點P在線段BC的延長線上時，過點D作DE⊥AP于E，同①得△PDE≌△PDC，得出ED=CD=3，PE=PC=2t?20，再由勾股定理得AE=4，則AP=2t?16，然后在Rt△APC【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得BP=2t，∴PC=16?2t=16?2×3=10，在Rt△APC中，AC=8由勾股定理，得AP=A故答案為：241（2）解：在Rt△ABC中，AC=8由勾股定理，得AB=A若BP=BA，則2t=85，解得t=4若AP=AB，則BP=2×16=32，2t=32，解得t=16；若PB=PA，則2t2=16?2t答：當(dāng)△ABP為等腰三角形時，t的值為45（3）解：①點P在線段BC上時，過點D作DE⊥AP于E，如圖1所示：則∠AED=∠PED=90°，∴∠PED=∠ACB=90°，∵PD平分∠APC，∴∠EPD=∠CPD，又∵PD=PD，∴△PDE≌△PDCAAS∴ED=CD=3，PE=PC=16?2t，∴AD=AC?CD=8?3=5，∴AE=A∴AP=AE+PE=4+16?2t=20?2t，在Rt△APC中，由勾股定理得：8解得：t=5；②點P在線段BC的延長線上時，過點D作DE⊥AP于E，如圖2所示：同①得：△PDE≌△PDCAAS∴ED=CD=3，PE=PC=2t?16，∴AD=AC?CD=8?3=5，∴AE=A∴AP=AE+PE=4+2t?16=2t?12，在Rt△APC中，由勾股定理得：8解得：t=11；綜上所述，在點P的運動過程中，當(dāng)t的值為5或11時，PD平分∠APC．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)以及分類討論等知識；本題綜合性強，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，證明三角形全等是解本題的關(guān)鍵．6．（2022秋·浙江杭州·八年級期末）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，點F在邊BC上，過點B作BE⊥AB于點B，交AF的延長線于點E，且BF=BE(1)求證：∠CAF=∠BAF；(2)如圖2，過點E作EM⊥BF于點M，過點F作FG⊥BA于點G．①求證：BM=CF；②若AC=6，AB=10，求AE的長．（結(jié)果可以保留根號不化簡）【答案】(1)見解析(2)①見解析；②5【分析】（1）根據(jù)題意，易證∠CAF+∠BEF=90°，又因為∠BAF+∠BEF=90°，即可得到結(jié)論；（2）①先證△BEM?△FBG，得到BM=FG，接著證明CF=FG，即可得到結(jié)論；②先證△ACF?△AGF，然后通過Rt△FBG求出AF，接著通過Rt△EMF求出【詳解】（1）∵∠C=90°∴∠CAF+∠CFA=90°∵∠CFA=∠BFE∴∠CAF+∠BFE=90°∵BF=BE∴∠BEF=∠BFE∴∠CAF+∠BEF=90°∵BE⊥AB∴∠ABE=90°∴∠BAF+∠BEF=90°∴∠CAF=∠BAF；（2）①∵EM⊥BF，F(xiàn)G⊥BA∴∠BME=∠FGB=90°∴∠BEM+∠EBM=90°∵BE⊥AB∴∠ABE=∠EBM+∠FBG=90°∴∠BEM=∠FBG在△BEM和△FBG中∠BME=∠FGB∴△BEM?△FBG∴BM=FG∵∠CAF=∠BAF，∠C=90°，F(xiàn)G⊥AB∴CF=FG∴BM=CF；②∵∠C=90°，AC=6，AB=10∴由勾股定理得BC=∵FG⊥AB∴∠FGA=90°∴∠C=∠FGA=90°在△ACF和△AGF中∠C=∠FGA∴△ACF?△AGF∴AC=AG=6，CF=FG∴BG=AB?AG=10?6=4BF=BC?CF=8?FG∵在Rt△FBGF∴F∴FG=3∴CF=FG=3由勾股定理得AF=∵△BEM?△FBG∴BM=FG=3，EM=BG=4∵BC=8，CF=3∴BF=BC?CF=8?3=5∴MF=BF?BM=5?3=2∵EM⊥BF∴∠EMF=90°由勾股定理得EF=∴AE=AF+EF=35∴AE的長為55【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，同角的余角相等，勾股定理等知識點，熟悉掌握以上知識點是解題關(guān)鍵．7．（2022春·江蘇泰州·八年級?？计谀?）用不同的方法計算圖1中陰影部分的面積得到的等式：________（2）圖2是由兩個邊長分別為a、b、c的直角三角形和一個兩條直角邊都是c的直角三角形拼成，試用不同的方法計算這個圖形的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么？說明理由；（3）根據(jù)上面兩個結(jié)論，解決下面問題：①在直角△ABC中，∠C=90°，三邊分別為a、b、c，a+b=7，ab=12，求c的值：②如圖3,五邊形ABCDE中，線段AC⊥BD，AC=BD=2，四邊形ODAE為長方形，在直角△BOC中，OB=x，OC=y，其周長為n，當(dāng)n為何值時，長方形AODE的面積為定值，并說明理由．【答案】（1）a2+b2=a+b2?2ab；（2）【分析】（1）運用兩個小正方形的面積之和等于大正方形面積減去兩個長方形面積即可；（2）根據(jù)梯形的面積等于12a+ba+b（3）①由（1）得a2+b②由（2）得BC=x2+y2，由直角△BOC中周長為n得BC=n?x?y，則有x2+y2=n?x?y2，整理得2x+y【詳解】解：（1）依題意得圖1中陰影部分的面積為：a2+b∴a故答案為：a2（2）依題意得圖2中梯形的面積為：12a+ba+b∴1整理得：a2（3）①由（1）得a==25，在直角△ABC中，∠C=90°，由（2）得，c2∴c=5；②由（2）得BC∴BC=x因為直角△BOC中周長為n，∴BC=n?x?y，∴x∴x整理得：2nx+y∴2x+y長方形AODE的面積為：OD·OA==4?2=4?n?=4?n+?當(dāng)?2解得n=2，即當(dāng)n=2時，長方形AODE的面積為定值．【點睛】本題考查了整式的的運算，與幾何圖形有關(guān)的乘法公式；解題的關(guān)鍵是利用等積法得到相關(guān)公式并正確運用．8．（2022春·浙江臺州·八年級校考期末）在學(xué)習(xí)完勾股定理這一章后，小夢和小璐進行了如下對話．小夢：如果一個三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=2c2，那我們稱這個三角形為“類勾股三角形”，例如△ABC的三邊長分別是2小璐：那等邊三角形一定是“類勾股三角形”！根據(jù)對話回答問題：(1)判斷：小璐的說法___________（填“正確”或“錯誤”）(2)已知△ABC的其中兩邊長分別為1，7，若△ABC為“類勾股三角形”，則另一邊長為___________；(3)如果Rt△ABC是“類勾股三角形”，它的三邊長分別為x，y，z（x，y為直角邊長且x<y，z為斜邊長），用只含有x【答案】(1)正確(2)2或13(3)周長為：1+2+3【分析】（1）將其三邊長的平方寫出來，看能否寫成兩邊的平方等于第三邊平方的兩倍即可；（2）分三種情況討論求解并進行驗證即可；（3）根據(jù)勾股定理和類勾股三角形的性質(zhì)將y、z用x表示，即可求出結(jié)果．【詳解】（1）解：設(shè)等邊三角形三邊長分別是a，b，c，則a=b=c，∴a2∴等邊三角形是“類勾股三角形”，∴小璐的說法正確，故答案為：正確；（2）解：設(shè)另一邊長為x，①12+7②12+x③x2故答案為：2或13；（3）解：∵x<y<z，∴x2∴y2+z∴x2∵x2∴y2∴x2∴z=3x，∴周長為：1+2面積為：12【點睛】本題考查勾股定理，理解題目中的新定義及掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．9．（2022秋·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”．?dāng)?shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透．某校數(shù)學(xué)興趣小組，在學(xué)習(xí)完勾股定理和實數(shù)后，進行了如下的問題探索與分析【提出問題】已知0<x<1，求1+x【分析問題】由勾股定理，可以通過構(gòu)造直角三角形的方法，來分別表示長度為1+x2和1+1?x【解決問題】(1)如圖，我們可以構(gòu)造邊長為1的正方形ABCD，P為BC邊上的動點．設(shè)BP=x，則PC=1?x．則1+x(2)在（1）的條件下，已知0<x<1，求1+x(3)【應(yīng)用拓展】應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，求x2【答案】(1)AP，DP(2)5(3)2【分析】（1）根據(jù)題意將式子轉(zhuǎn)化為線段長度之和即可；（2）作點D關(guān)于BC的對稱點D′，連接AD′，則AP+PD的最小值即為A（3）構(gòu)造圖形，使得則x2+32?(x?6)2+12=AE?DE，則當(dāng)點A、D、E三點共線時，AE?ED的最大值為AD，延長AD【詳解】（1）解：由題意可得：1+x（2）作點D關(guān)于BC的對稱點D′，連接A則DD則AP+PD的最小值即為AD在Rt△ADD′即1+x2+故答案為：5；（3）x2如圖，AB=3，CD=1，BC=6，AB⊥BC，CD⊥BC，設(shè)BE=x，則x2∴當(dāng)點A、D、E三點共線時，AE?ED的最大值為AD，延長AD，BC交于E，作DH⊥AB于H，可得AH=AB?BH=AB?CD=2，DH=BC=6，由勾股定理得，AD=A∴x2+9?【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了軸對稱?最短路線問題，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)會利用轉(zhuǎn)化思想解決問題．考點3考點3平行四邊形解答期末真題壓軸題1．（2022春·浙江杭州·八年級校聯(lián)考期末）平行四邊形ABCD中，點C關(guān)于AD的對稱點為E，連接DE，BE，BE交AD于點F．(1)如圖1，若∠ADC=90°，試說明點F為BE的中點；(2)如圖2，若∠ABC=α(0°<α<90°)．①試判斷點F是否為BE的中點？并說明理由；②若∠ABC=45°，延長BA，DE交于點H，求【答案】(1)見解析(2)①點F是BE的中點，理由見解析；②DF【分析】1只要證明△AFB≌△DFEAAS2①點F是BE的中點．只要證明∠FBC=∠FCB即可解決問題；②如圖3中，設(shè)OD=a，OF=b，想辦法用a，b表示BH，DF【詳解】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，∵C，E關(guān)于AD對稱，∴DE=CD，EC⊥AD，∴AB=DE，∵AD⊥CD，∴C，D，E共線，∴AB∥CE，∴∠A=∠ADE，∵AB=DE，∠AFB=∠EFD，∴△AFB≌△DFEAAS∴BF=EF，∴點F為BE的中點；（2）①點F是BE的中點．理由如下：如圖2中，連接CF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠EFD=∠EBC，∠DFC=∠FCB，∵E，C關(guān)于AD對稱，∴FE=FC，F(xiàn)O⊥EC，∴∠EFD=∠DFC，∴∠FBC=∠FCB，∴FB=FC，∴BF=EF．②如圖3中，設(shè)OD=a，OF=b．∵∠ABC=45°，AD∥BC，四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠HAD=∠ABC=45°，∵E，C關(guān)于AD對稱，∴∠CDA=∠ADH=45°，∴∠HAD=∠HDA=45°，∴△AHD是等腰直角三角形，∵∠DOC=90°，∠ODC=45°，∴△ODC是等腰直角三角形，∴AB=CD=2∵EF=FB，EO=OC，∴BC=AD=2b，∴AH=2∴BH=2a+2∴BH=2∴DF【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．2．（2022春·甘肅天水·八年級天水市逸夫?qū)嶒炛袑W(xué)?？计谀┮阎?，平行四邊形ABCD中，一動點P在AD邊上，以每秒1cm的速度從點A向點D(1)如圖①，運動過程中，若CP平分∠BCD，且滿足CD=CP，求∠ABC的度數(shù)．(2)如圖②，在（1）問的條件下，連接BP并延長，與CD的延長線交于點F，連接AF，若△PCD的面積等于S，求△APF的面積．（用含S的式子表示）(3)如圖③，另一動點Q在BC邊上，以每秒4cm的速度從點C出發(fā)，在BC間往返運動，兩個點同時出發(fā)，當(dāng)點P到達點D時停止運動（同時Q點也停止），若AD=12cm，則t為何值時，以P，D，Q，【答案】(1)60°(2)S(3)4.8秒或8秒或9.6秒【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，角平分線平分角，易得∠DPC=∠DCP，得到DP=DC，進而得到CP=DP=DC，得到△PCD為等邊三角形，得到∠D=60°，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到S△PBC=S△FAB=（3）分0<t≤3，3<t≤6，6<t≤9，9<t≤12四種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DPC=∠PCB，∵PC平分∠BCD，∴∠DCP=∠PCB，∴∠DPC=∠DCP，∴DP=DC，∵CD=CP，∴PC=CD=PD，∴△PDC是等邊三角形，∴∠D=∠B=60°，即∠ABC=60°．（2）如圖②中，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，BC∥AD，∴S∴∴S∴S（3）解：∵PD∥∴當(dāng)PD=BQ時，四邊形是平行四邊形，由題意，得：P點運動的總時間為：12÷1=12s，Q點從點C到點B需要的時間為12÷4=3①當(dāng)0<t≤3時，PD=12?t，BQ=12?4t，∴12?t=12?4t，解得：t=0（不合題意，舍去）；②當(dāng)3<t≤6時，PD=12?t，BQ=4t?12，∴12?t=4t?12，解得：t=4.8；③當(dāng)6<t≤9時，PD=12?t，BQ=36?4t，∴12?t=36?4t，解得：t=8；④當(dāng)9<t≤12時，PD=12?t，BQ=4t?36，∴12?t=4t?36，解得：t=9.6；綜上所述，當(dāng)運動時間為4.8秒或8秒或9.6秒時，以P，D，Q，B四點組成的四邊形是平行四邊形．【點睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．3．（2022春·貴州黔東南·八年級校聯(lián)考期末）小紅根據(jù)學(xué)習(xí)平行四邊形的經(jīng)驗，對平行四邊形進行了拓展探究．【問題探究】如圖1，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點均在格點上，請按要求完成下列各題：(1)在網(wǎng)格中找一點D，畫線段CD∥BA且使CD=BA，連接(2)在括號內(nèi)填寫根據(jù)：∵CD∥BA且CD＝∴四邊形ABCD是平行四邊形（____________）【拓展延伸】(3)如圖2，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC=8厘米，AD=9厘米，點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，點P以2厘米/秒的速度由點A向點D運動，點Q以1厘米/秒的速度由點C向點B運動．當(dāng)其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動．請問：經(jīng)過幾秒，直線PQ將四邊形【答案】(1)見解析(2)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形(3)經(jīng)過1秒或83秒或3秒，直線PQ將四邊形ABCD截出一個平行四邊形【分析】（1）根據(jù)相關(guān)要求作圖即可；（2）直接運用平行線四邊形的判定性質(zhì)即可解答；（3）經(jīng)過x秒，直線PQ將四邊形ABCD截出一個平行四邊形平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的判定分情況分析求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示；（2）解：由平行四邊形的判定定理可得判定四邊形ABCD是平行四邊形的依據(jù)是：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．（3）解：經(jīng)過x秒，直線PQ將四邊形ABCD截出一個平行四邊形平行四邊形，則：AP=2x米，DP=9?2x米，CQ=x米，BQ=∵AD∥∴只需AP=BQ或AP=CQ或PD=BQ或PD=CQ，即得四邊形是平行四邊形．①由AP=BQ，得：2x=8?x，解得：x=8②由AP=CQ，得：2x=x，解得：x=0，不合題意，舍去；③由PD=BQ，得：9?2x=8?x，解得：x=1；④由PD=CQ，得：9?2x=x，解得：x=3．答：經(jīng)過1秒或83秒或3秒，直線PQ將四邊形ABCD【點睛】本題主要考查了作平行四邊形、平行四邊形的判定等知識點，掌握平行四邊形的判定定理是解答本題的關(guān)鍵．4．（2022春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點O，A，C的坐標(biāo)分別為O0,0，A4,0，C0,c，動點P從A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿射線AB方向移動，作△PAO關(guān)于直線PO的對稱△PA′(1)當(dāng)c=x?2①矩形的頂點B的坐標(biāo)是；②如圖2．當(dāng)點A′落在OB上時，顯然△PA′(2)若直線PA′與直線BC相交于點M，且t<3時，∠POM=45°．問：當(dāng)t>3時，【答案】(1)①4,3；②A(2)不變，理由見解析【分析】（1）①根據(jù)二次根式有意義的條件，得出c=3，即可得出點B的坐標(biāo)；②根據(jù)勾股定理求出OB=5，設(shè)AP=A′P=x，則BP=AB?x=3?x，根據(jù)勾股定理求出x=43，再用等面積法求出A（2）連接OM，證明△OMC≌△OMA′AAS，得出四邊形OABC②當(dāng)t>4時，證明Rt△OMA′≌Rt△OMCHL，根據(jù)∠1+∠2+∠3+∠4=90°【詳解】（1）解：①∵c=x?2∴x?2=0，∴c=3，∴C0,3∵A4,0∴B4,3故答案為：4,3；②過點A'作A'Q⊥AB∵A4,0，B∴OA=3,AB=3，根據(jù)勾股定理可得：OB=O∵△PAO和△PA′O∴OA′=OA=4則A′設(shè)AP=A′P=x在Rt△A′即12解得：x=4∴BP=AB?AP=3?4∵∠PA∴S△即1×43=∴點A′的橫坐標(biāo)為4?設(shè)直線OB的函數(shù)表達式為y=kx，將點B4,3代入得：3=4k，解得：k=∴直線OB的函數(shù)表達式為y=3將x=165代入得：∴A′（2）解：連接OM，∵∠POM=45°，∠AOC=90°，∴∠1+∠4=45°，∠2+∠3=45°，∵△PAO和△PA′O∴∠3=∠4，∴∠1=∠2，在△OMC和△OMA∠1=∠2∠OCM=∠O∴△OMC≌△OMA∴OC=OA′=OA①當(dāng)3<t≤4時，∵△OMC≌△OMA′，∴∠POM=1②當(dāng)t>4時，在Rt△OMA′OA∴Rt△OM∴∠1=∠2，∵OC∥∴∠3=∠OPA，由折疊的性質(zhì)可得：∠4=∠OPA，∠A∴∠3=∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4=90°，∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=45°，即∠POM=45°．綜上：不會改變．【點睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，勾股定理，三角形全等是判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)內(nèi)容，正確畫出圖形和輔助線，構(gòu)造全等三角形求解．5．（2022春·江蘇·八年級姜堰區(qū)實驗初中?？计谀┤鐖D，已知正方形ABCD，將它繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°<α<90°）得正方形AEFG，EF交BC于H，AB=2．(1)求證：AH平分∠BHE；(2)當(dāng)A、E、C在同一條直線上時，①求證：A、B、F共線；②求BH長．(3)當(dāng)D、B、F在同一直線上時直接寫出∠FAB的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②(3)15°【分析】（1）根據(jù)題意可得AB=AE，∠B=∠AEH=90°，通過證明Rt△ABH≌Rt△AEHHL可得到∠BHA=∠EHA（2）①根據(jù)題意可得∠HEA=90°，∠ABC=90°，∠BAC=∠BCA=45°，從而可得到∠FHB=45°，∠BFH=45°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠FBH=90°，由∠FBH+∠ABH=180°即可得證；②連接AH，同（1）可證明Rt△ABH≌Rt△AEHHL得到BH=EH，設(shè)BH=x，則HE=BH=x（3）連接AC、CE、CF，通過證明△FAB≌△CAESAS和△ABF≌△FECSAS，可以得到△ACF為等邊三角形，從而即可得到【詳解】（1）證明：連接AH，根據(jù)題意可得：AB=AE，∠B=∠AEH=90°，在Rt△ABH和Rt△AEH中，AB=AEAH=AH∴Rt△ABH≌Rt△AEHHL∴∠BHA=∠EHA，∴AH平分∠BHE；（2）解：根據(jù)題意畫出圖如圖所示：①證明：根據(jù)題意可得：∠HEA=90°，∴∠FHB=∠CHE=90°?∠BCA=90°?45°=45°，∠AFE=90°?∠BAC=90°?45°=45°，∵∠BFH+∠FHB+∠FBH=180°，∴∠FBH=90°，∵∠FBH+∠ABH=180°，∴A、B、F三點共線；②連接AH，根據(jù)題意可得：AB=AE，∠B=∠AEH=90°，在Rt△ABH和Rt△AEH中，AB=AEAH=AH∴Rt△ABH≌Rt△AEHHL∴BH=EH，∵AB=2，∴AC=22設(shè)BH=x，則HE=BH=x，CH=2?x，∵HE∴x解得：x=22∴BH=22（3）解：根據(jù)題意畫出圖如圖所示：連接AC、CE、CF，由題意可得：AC=AF，AB=AE=EF，∴∠ABF=180°?∠ABD=180°?45°=135°，∵∠FAB+∠BAE=45°，∴∠FAB=∠CAE，在△FAB和△CAE中，AF=AC∠FAB=∠CAE∴△FAB≌△CAESAS∴∠AEC=∠ABF=135°，∵∠AEC+∠FEC+∠AEF=360°，∴∠FEC=135°，在△ABF和△FEC中，AB=BC∠ABF=∠FEC∴△ABF≌△FECSAS∴FC=AF=AC，∴△ACF為等邊三角形，∴∠CAF=60°，∴∠FAB=∠CAF?∠CAB=60°?45°=15°．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．6．（2022春·江蘇揚州·八年級校考期末）如圖1，在?ABCD中，∠ADC的平分線交AB于點E，交CB的延長線于F，以BE、BF為鄰邊作?EBFH．(1)證明：平行四邊形EBFH是菱形；(2)如圖2，若∠ABC=60°，連接HA、HB、HC、AC，求證：△ACH是等邊三角形．(3)如圖3，若∠ABC=90°．①直接寫出四邊形EBHF的形狀；②已知AB=10，AD=6，M是EF的中點，求CMCF【答案】(1)見解析(2)見解析(3)①菱形EBFH為正方形；②CMCF【分析】（1）證明∠HEF=∠HFE，則EH=FH，即可求解；（2）證明四邊形DCFG為菱形，則△DGC、△CGF均為等邊三角形；證明△CAG≌△CHFSAS，則CA=CH，再證明∠ACH=60°（3）①∠ABC=90°，則平行四邊形ABCD為矩形，菱形EBFH為正方形；②MN=2=BN，CN=BC+NB，則CM=C【詳解】（1）證明：∵DE是∠ADC的平分線，∴∠CDE=∠ADE，∵CD∥AB，∴∠CDE=∠AED=∠HFE，∵AD∥∴∠EDA=∠FEH，∴∠HEF=∠HFE，∴EH=FH，∴?EBFH為菱形；（2）證明：延長DA交FH的延長線于點G，連接CG，∵四邊形ABCD為平行四邊形，故CD∥AB，而四邊形EBFH為菱形，故EB∥∴DG∥CF，∴四邊形DCFG為平行四邊形，∵DE是∠ADC的角平分線，∵∠CDF=∠GDF，∴CD∥∴∠CDF=∠GFD=∠GDF，∴DG=GF，∴平行四邊形DCFG為菱形，∵∠ABC=60°，∴△DGC、△CGF均為等邊三角形，∴∠CGD=∠CGF=60°，CG=CF，同理可得：四邊形AEHG為平行四邊形，故AG=EH=HF，在△CAG和△CHF中，CG=CF，AG=HF，∠CGD=∠CGF=60°，∴△CAG≌△CHFSAS∴CA=CH，∠ACG=∠HCF，∵∠ACH=∠ACG+∠GCH=∠GCH+∠HCF=60°，∴△ACH是等邊三角形；（3）解：①∠ABC=90°，則平行四邊形ABCD為矩形，∴菱形EBFH為正方形；②由（1）知△ADE為等腰直角三角形，故AE=AD=6，則BE=10?6=4，連接BH，過點M作MN⊥BF于點N，∵M是EF的中點，故點M時正方形EBFH對角線的交點，則MN=1則CN=BC+NB=6+2=8，CF=BC+BF=6+4=10∴CM=C∴CMCF【點睛】本題是幾何綜合題，考查了勾股定理、等邊三角形、三角形全等、平行四邊形和特殊四邊形的判定與性質(zhì)等知識點，涉及考點較多，有一定的難度．7．（2022春·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）已知等邊三角形ABC的邊長為12，D為射線BC上一動點（點D不與B，C重合），以AD為邊作菱形ADEF，使∠DAF=60°，連接BF．(1)如圖，當(dāng)點D在BC邊上時，求證：△ACD≌△ABF，(2)在點D的移動過程中，當(dāng)BF=3時，求BD的長度(3)設(shè)△ABC與菱形ADEF的面積分別為S1，S2，直接寫出【答案】(1)見解析(2)當(dāng)BF=3時，求BD的長度為9或15；(3)2【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)得出AD=AF，∠DAF=∠BAC=60°，進而得出∠BAF=∠CAD，根據(jù)SAS證明△ACD≌△ABF，即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出.CD=BF=3，分當(dāng)點D在線段BC上時，當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，分類討論即可求解；（3）連接DF，過點A作AG⊥DF于點G，依題意得出△ADF是等邊三角形，則S2=2S△ADF，設(shè)AD=m，則DF=m，勾股定理得出AG=32m，進而得出S1=【詳解】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°∵四邊形ADEF是菱形，∠DAF=60°，∴AD=AF，∠DAF=∠BAC=60°，∴∠DAF?∠BAD=∠BAC?∠BAD即∠BAF=∠CAD在△ACD和△ABF中AC=AB∴△ACD≌△ABFSAS（2）解：∵等邊三角形ABC的邊長為12，∴BC=12，∵△ACD≌△ABF∴.CD=BF=3當(dāng)點D在線段BC上時，如圖所示，此時BD=BC?CD=12?3=9，當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，如圖所示，此時BD=BC+CD=12+3=1，綜上所述，當(dāng)BF=3時，求BD的長度為9或15；（3）如圖所示，連接DF，過點A作AG⊥DF于點G，∵四邊形ADEF是菱形，∠DAF=60°，∴△ADF是等邊三角形，S2設(shè)AD=m，則DF=m，∵AG=DF，∴DG=FG=1∴AG=A∴S同理S1∴S當(dāng)m取得最小值時，S1∴當(dāng)AD⊥BC時，m取得最小值，此時m=AD=3∴S即S1S【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2022春·浙江杭州·八年級?？计谀┤鐖D，有一張矩形紙條ABCD，AB=5cm，BC=2cm，點M，N分別在邊AB，CD上，CN=1cm．現(xiàn)將四邊形BCNM沿MN折疊，使點B，C分別落在點B(1)當(dāng)點B′恰好落在邊CD①證明：△B②求線段BM的長；(2)點M從點A向點B運動的過程中，若邊線段MB′與邊CD交于點①求此運動過程中，DE的最大值；②請直接寫出點E相應(yīng)運動的路徑長．【答案】(1)①證明見解析；②5(2)①DE的最大值2cm；②5【分析】（1）①證明：如下圖，由將四邊形BCNM沿MN折疊，使點B，C分別落在點B′，C′上，得CN=C′N，∠1=∠2，再由四邊形ABCD是矩形，得AB∥CD，從而有（2）①如圖3中，當(dāng)點M運動到MB′⊥AB時，由垂線段最短，得當(dāng)點M運動到MB'⊥AB時，EM=【詳解】（1）①證明：如圖1，∵將四邊形BCNM沿MN折疊，使點B，C分別落在點B′，C∴CN=C'N，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠1=∴∠2=∴BM=B′M，∴△B②解：在Rt△B′∴BM=B′M=B′N=5（2）解：如圖2，當(dāng)點M與點A重合時，AE=EN，設(shè)AE=EN=xcm，則DE=CD?DE?CN=4?x（cm在Rt△ADE中，有AE2=AD∴DE=4?5①如圖3中，當(dāng)點M運動到MB∵垂線段最短，∴當(dāng)點M運動到MB′⊥AB∴此時DE′=4?②如圖4中，當(dāng)點M運動到點B落在CD時，DB′（即DE∴點E的運動軌跡E→E′→E″，運動路徑=EE【點睛】本題考查矩形為背景的折疊問題，翻折變換，矩形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．9．（2022春·浙江溫州·八年級校聯(lián)考期末）如圖，等邊△ABC中，AB=6，動點D，E分別是邊BC，AC上的兩個點，且滿足CD=CE+1，以CD，CE為鄰邊構(gòu)造?DCEF，記CE的長為m(1)EF=______（含m的代數(shù)式表示）；(2)當(dāng)點F分別落在∠A，∠B的角平分線上時，求對應(yīng)的m的值；(3)作∠B的角平分線，交AC于H，當(dāng)BH恰好平分?DCEF的面積時，m=_____．（請直接寫出答案）【答案】(1)m+1(2)43和(3)11【分析】（1）由CD=CE+1，CE=m，得CD=m+1，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得EF=CD=m+1，于是得到問題的答案；（2）作∠BAC的平分線交BC于點G，由等邊三角形的性質(zhì)得BC=AB=6，∠BAC=60°，AG⊥BC，則CG=BG=3，∠AGC=90°，∠CAG=∠BAG=30°，因為DF∥AC，且點F在AG上，所以∠DFG=∠CAG=30°，則DG=12DF，所以3?m+1=12m；作∠ABC的平分線交AC于點H，則∠BHC=90°，（3）連接DE交BH于點O，作DL⊥AC于點H，因為BH平分?DCEF的面積，所以BH經(jīng)過?DCEF的對稱中心，可證明△OID≌△OHE，得DI=EH=m?3，再證明四邊形DIHL是矩形，則HL=DI=m?3，所以CL=3?m?3=6?m，由CL=12CD【詳解】（1）解：∵CD=CE+1，CE=m，∴CD=m+1，∵四邊形DCEF是平行四邊形，∴EF=CD=m+1，故答案為：m+1．（2）當(dāng)點F落在∠BAC的平分線上時，如圖1，作∠BAC的平分線交BC于點G，∵△ABC是等邊三角形，