2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練 95個(gè)專(zhuān)題 524個(gè)題型專(zhuān)題76 拋物線的幾何性質(zhì)-2023一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練（解析版）

專(zhuān)題76拋物線的幾何性質(zhì)題型一拋物線的范圍1．已知拋物線上距離點(diǎn)最近的點(diǎn)恰好是其頂點(diǎn)，則的取值范圍是_____________.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)P（x，y）為拋物線上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P離點(diǎn)A（0，a）的距離的平方為|AP|2=x2+（y﹣a）2=x2+y2﹣2ay+a2，∵x2=2y，∴|AP|2=2y+y2﹣2ay+a2（y≥0）=y2+2（1﹣a）y+a2（y≥0），∴對(duì)稱(chēng)軸為a﹣1，∵離點(diǎn)A（0，a）最近的點(diǎn)恰好是頂點(diǎn)，∴a﹣1≤0解得a≤1，又a＞0，∴0＜a≤1，故答案為：．2．已知為拋物線上的動(dòng)弦，且（是常數(shù)且），為拋物線的焦點(diǎn)，求弦的中點(diǎn)到軸的距離的最小值．【答案】．【解析】設(shè)點(diǎn)，，的縱坐標(biāo)分別為，，，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，，，三點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為，，，分別連接，，，，，如圖所示，由拋物線的定義，知，，所以，，又是線段的中點(diǎn)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，即當(dāng)定長(zhǎng)為的弦過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到軸的距離最小，最小距離為．3．已知拋物線y2＝8x.(1)求出該拋物線的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、對(duì)稱(chēng)軸、變量x的范圍；(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，作拋物線的內(nèi)接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦點(diǎn)F是△OAB的重心，求△OAB的周長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）2＋4.【解析】(1)拋物線y2＝8x的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、對(duì)稱(chēng)軸、變量x的范圍分別為(0,0)，(2,0)，x＝－2，x軸，x≥0.(2)如圖所示．由|OA|＝|OB|可知AB⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，又焦點(diǎn)F是△OAB的重心，則|OF|＝|OM|.因?yàn)镕(2,0)，所以|OM|＝|OF|＝3.所以M(3,0)．故設(shè)A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24.所以m＝2或m＝－2.所以A(3,2)，B(3，－2)．所以|OA|＝|OB|＝.所以△OAB的周長(zhǎng)為2＋4.題型二判斷拋物線的開(kāi)口方向及開(kāi)口大小4．在同一坐標(biāo)系中，方程與的曲線大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，得表示焦點(diǎn)在軸上開(kāi)口向左的拋物線.故選：D.5．下列關(guān)于拋物線的圖象描述正確的是（）A．開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為 B．開(kāi)口向右，焦點(diǎn)為C．開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為 D．開(kāi)口向右，焦點(diǎn)為【答案】A【解析】拋物線，即，可知拋物線的開(kāi)口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：A.6．在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出下列拋物線，觀察它們開(kāi)口的大小，并說(shuō)明拋物線開(kāi)口大小與方程中x的系數(shù)的關(guān)系：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】圖象如圖，x的系數(shù)的絕對(duì)值越大,拋物線的開(kāi)口越大.【解析】解:拋物線如圖,x的系數(shù)的絕對(duì)值越大,拋物線的開(kāi)口越大.題型三拋物線對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用7．已知雙曲線與拋物線（其中）交于A，B兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，設(shè)A在第一象限，B在第四象限，由，知，代入到拋物線方程中，即，解得，則將代入雙曲線方程得，化簡(jiǎn)得，解得離心率為或（舍）故選：D8．一條拋物線把平面劃分為二個(gè)區(qū)域，如果一個(gè)平面圖形完全落在拋物線含有焦點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)，我們就稱(chēng)此平面圖形被該拋物線覆蓋.那么下列命題中，正確的是___________.(填寫(xiě)序號(hào))（1）任意一個(gè)多邊形所圍區(qū)域總能被某一條拋物線覆蓋；（2）與拋物線對(duì)稱(chēng)軸不平行?不共線的射線不能被該拋物線覆蓋；（3）射線繞其端點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)銳角所掃過(guò)的角形區(qū)域可以被某二條拋物線覆蓋；（4）任意有限多條拋物線都不能覆蓋整個(gè)平面.【答案】（1）（2）（4）【解析】解：由拋物線的圖像和性質(zhì)可知，由于任意一個(gè)多邊形所圍區(qū)域沿著拋物線頂點(diǎn)出發(fā)向拋物線對(duì)稱(chēng)軸所在直線平移，總能把有限的區(qū)域放入拋物線內(nèi)部，所以（1）正確；由于過(guò)拋物線內(nèi)部一點(diǎn)的直線（不平行于軸）與拋物線都有兩個(gè)交點(diǎn)，故拋物線無(wú)法覆蓋一條直線，也不能覆蓋與軸不平行、不共線的射線，所以（2）正確；由于銳角是由兩條不平行的射線組成，故拋物線不能覆蓋任何一個(gè)銳角，所以（3）錯(cuò)誤；取一條直線，使它不平行于任一拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，根據(jù)拋物線的圖像和性質(zhì)可知直線上的點(diǎn)不能被完全覆蓋，如圖，因?yàn)橐粭l直線若被拋物線覆蓋，它必須是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，所以任意有限多條拋物線都不能覆蓋整個(gè)平面，所以（4）正確故答案為：（1）（2）（4）9．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與雙曲線有公共焦點(diǎn)，拋物線Ｍ與雙曲線交于，兩點(diǎn)，，，三點(diǎn)共線，則雙曲線的離心率為_(kāi)_____．【答案】【解析】解：由拋物線和雙曲線的對(duì)稱(chēng)性可知，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且，因?yàn)?，所以，代入雙曲線方程有，所以，即，解得．故答案為：.10．若三個(gè)點(diǎn)中恰有兩個(gè)點(diǎn)在拋物線上，則該拋物線的方程為_(kāi)__________.【答案】【解析】由拋物線的對(duì)稱(chēng)性知：在上，∴，可得，即拋物線的方程為.故答案為：.題型四根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性求相關(guān)參數(shù)11．拋物線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若的面積為(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【解析】由拋物線與橢圓的對(duì)稱(chēng)性知：關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，可設(shè)，∵的面積為，∴，而，∴由上整理得：，解得，則.故選：B.12．已知拋物線，以為圓心，半徑為5的圓與拋物線交于兩點(diǎn)，若，則（）A．4 B．8 C．10 D．16【答案】B【解析】以為圓心，半徑為5的圓的方程為,由拋物線，得到拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，又∵上面的圓的圓心在x軸上，∴圓的圖形也關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，∴它們的交點(diǎn)A,B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，因?yàn)閨AB|=8，∴A,B點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值都是4，∵它們?cè)趻佄锞€上，于是A點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值,不妨設(shè)A在x軸上方，則A點(diǎn)的坐標(biāo)為,又∵A在圓上，∴,解得,故選：B.13．已知圓與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線交于C，D兩點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn)O是的中點(diǎn)，則p的值等于_________________.【答案】【解析】因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，所以由對(duì)稱(chēng)性得點(diǎn)，代入圓的方程得，解得.故答案為：14．汽車(chē)前照燈主要由光源?反射鏡?配光片三部分組成，其中經(jīng)過(guò)光源和反射鏡頂點(diǎn)的剖面輪廓為拋物線，而光源恰好位于拋物線的焦點(diǎn)處，這樣光源發(fā)出的每一束光線經(jīng)反射鏡反射后均可沿與拋物線對(duì)稱(chēng)軸平行的方向射出.某汽車(chē)前照燈反射鏡剖面輪廓可表示為拋物線C，已知C的焦點(diǎn)為，焦距為，對(duì)稱(chēng)軸為l.（1）證明：當(dāng)光源位于時(shí)，此時(shí)發(fā)出的一束不與l重合的光線經(jīng)C反射后與l平行；（2）設(shè)P=2，當(dāng)光源位于l上由向C的開(kāi)口方向平移1個(gè)焦距長(zhǎng)度的點(diǎn)時(shí)，此時(shí)發(fā)出的一束不與l重合的光線經(jīng)C上點(diǎn)M反射后又經(jīng)過(guò)l上的點(diǎn)N，若，求.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）以拋物線C的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸l為x軸，開(kāi)口方向?yàn)閤軸正方向建立坐標(biāo)系，則，設(shè)點(diǎn)為x軸上方拋物線C上任意一點(diǎn)，當(dāng)y>0時(shí)，，所以點(diǎn)處切線的斜率為，所以點(diǎn)處法線的斜率為，所以過(guò)點(diǎn)A的法線方程為，與x軸交于點(diǎn)，所以，所以，由對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)光源位于時(shí)，此時(shí)發(fā)出的一束不與l重合的光線經(jīng)C反射后與l平行.（2）設(shè)分別由，發(fā)出的兩束不與l重合的光線均經(jīng)C上點(diǎn)M反射，反射后的光線分別為MP，MN，則由（1）可知MP//x軸，所以∠PMN=∠MNO，又由光線反射后的反射角等于入射角可知，，所以，所以，當(dāng)P=2，時(shí)，，所以軸，為直角三角形又，由勾股定理可知，.15．以拋物線：的頂點(diǎn)為圓心的圓交于，兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于，兩點(diǎn).已知，.（1）求拋物線的方程；（2）過(guò)的直線交拋物線于不同的兩點(diǎn)，，交直線于點(diǎn)(在之間)，直線交直線于點(diǎn).是否存在這樣的直線，使得(為的焦點(diǎn))？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）存在，直線的方程為或.【解析】解：（1