2024一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練 95個(gè)專題 524個(gè)題型直線和圓的方程-講義

直線和圓的方程——講義第01講直線的傾斜角與斜率【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：直線的傾斜角平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為，則叫做直線的傾斜角.規(guī)定：當(dāng)直線和軸平行或重合時(shí)，直線傾斜角為，所以，傾斜角的范圍是．知識(shí)點(diǎn)詮釋：1.要清楚定義中含有的三個(gè)條件①直線向上方向；②軸正向；③小于的角.2.從運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)來(lái)看，直線的傾斜角是由軸按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到與直線重合時(shí)所成的角.3.傾斜角的范圍是.當(dāng)時(shí)，直線與x軸平行或與x軸重合.4.直線的傾斜角描述了直線的傾斜程度，每一條直線都有唯一的傾斜角和它對(duì)應(yīng).5.已知直線的傾斜角不能確定直線的位置，但是，直線上的一點(diǎn)和這條直線的傾斜角可以唯一確定直線的位置.知識(shí)點(diǎn)二：直線的斜率1．定義：傾斜角不是的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用表示，即．知識(shí)點(diǎn)詮釋：(1)當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，，；(2)直線與x軸垂直時(shí)，，k不存在.由此可知，一條直線的傾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在.2．直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系由斜率的定義可知，當(dāng)在范圍內(nèi)時(shí)，直線的斜率大于零；當(dāng)在范圍內(nèi)時(shí)，直線的斜率小于零；當(dāng)時(shí)，直線的斜率為零；當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在．直線的斜率與直線的傾斜角(除外)為一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，且在和范圍內(nèi)分別與傾斜角的變化方向一致，即傾斜角越大則斜率越大，反之亦然．因此若需在或范圍內(nèi)比較傾斜角的大小只需比較斜率的大小即可，反之亦然．知識(shí)點(diǎn)三：斜率公式已知點(diǎn)、，且與軸不垂直，過(guò)兩點(diǎn)、的直線的斜率公式.知識(shí)點(diǎn)詮釋：1.對(duì)于上面的斜率公式要注意下面五點(diǎn)：(1)當(dāng)時(shí)，公式右邊無(wú)意義，直線的斜率不存在，傾斜角，直線與軸垂直；(2)與、的順序無(wú)關(guān)，即，和，在公式中的前后次序可以同時(shí)交換，但分子與分母不能交換；(3)斜率可以不通過(guò)傾斜角而直接由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)求得；(4)當(dāng)時(shí)，斜率，直線的傾斜角，直線與軸平行或重合；(5)求直線的傾斜角可以由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率而得到．2.斜率公式的用途：由公式可解決下列類型的問(wèn)題：(1)由、點(diǎn)的坐標(biāo)求的值；(2)已知及中的三個(gè)量可求第四個(gè)量；(3)已知及、的橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo))可求；(4)證明三點(diǎn)共線.知識(shí)點(diǎn)四：兩直線平行的條件設(shè)兩條不重合的直線的斜率分別為.若，則與的傾斜角與相等.由，可得，即.因此，若，則.反之，若，則.知識(shí)點(diǎn)詮釋：1.公式成立的前提條件是①兩條直線的斜率存在分別為；②不重合；2.當(dāng)兩條直線的斜率都不存在且不重合時(shí)，的傾斜角都是，則.知識(shí)點(diǎn)五：兩直線垂直的條件設(shè)兩條直線的斜率分別為.若，則.知識(shí)點(diǎn)詮釋：1.公式成立的前提條件是兩條直線的斜率都存在；2.當(dāng)一條垂直直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時(shí)，兩條直線也垂直.第02講直線的方程【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：直線的點(diǎn)斜式方程方程由直線上一定點(diǎn)及其斜率決定，我們把叫做直線的點(diǎn)斜式方程，簡(jiǎn)稱點(diǎn)斜式.知識(shí)點(diǎn)詮釋：1.點(diǎn)斜式方程是由直線上一點(diǎn)和斜率確定的，點(diǎn)斜式的前提是直線的斜率存在.點(diǎn)斜式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線；2.當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，直線方程為；3.當(dāng)直線傾斜角為時(shí)，直線沒(méi)有斜率，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示.這時(shí)直線方程為：.4.表示直線去掉一個(gè)點(diǎn)；表示一條直線.知識(shí)點(diǎn)二：直線的斜截式方程如果直線的斜率為，且與軸的交點(diǎn)為，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程可得，即.我們把直線與軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫做直線在軸上的截距，方程由直線的斜率與它在軸上的截距確定，所以方程叫做直線的斜截式方程，簡(jiǎn)稱斜截式.知識(shí)點(diǎn)詮釋：1.b為直線在y軸上截距，截距可以取一切實(shí)數(shù)，即可以為正數(shù)、零、負(fù)數(shù)；距離必須大于或等于零；2.斜截式方程可由過(guò)點(diǎn)的點(diǎn)斜式方程得到；3.當(dāng)時(shí)，斜截式方程就是一次函數(shù)的表示形式.4.斜截式的前提是直線的斜率存在.斜截式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線.5.斜截式是點(diǎn)斜式的特殊情況，在方程中，是直線的斜率，是直線在軸上的截距.知識(shí)點(diǎn)三：直線的兩點(diǎn)式方程經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(其中)的直線方程為，稱這個(gè)方程為直線的兩點(diǎn)式方程，簡(jiǎn)稱兩點(diǎn)式.知識(shí)點(diǎn)詮釋：1.這個(gè)方程由直線上兩點(diǎn)確定；2.當(dāng)直線沒(méi)有斜率()或斜率為時(shí)，不能用兩點(diǎn)式求出它的方程.3.直線方程的表示與選擇的順序無(wú)關(guān).4．在應(yīng)用兩點(diǎn)式求直線方程時(shí)，往往把分式形式通過(guò)交叉相乘轉(zhuǎn)化為整式形式，從而得到的方程中，包含了或的情況，但此轉(zhuǎn)化過(guò)程不是一個(gè)等價(jià)的轉(zhuǎn)化過(guò)程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的討論．要避免討論，可直接假設(shè)兩點(diǎn)式的整式形式．知識(shí)點(diǎn)四：直線的截距式方程若直線與軸的交點(diǎn)為，與y軸的交點(diǎn)為，其中，則過(guò)AB兩點(diǎn)的直線方程為，這個(gè)方程稱為直線的截距式方程.a叫做直線在x軸上的截距，b叫做直線在y軸上的截距.知識(shí)點(diǎn)詮釋：1.截距式的條件是，即截距式方程不能表示過(guò)原點(diǎn)的直線以及不能表示與坐標(biāo)軸平行的直線.2.求直線在坐標(biāo)軸上的截距的方法：令x=0得直線在y軸上的截距；令y=0得直線在x軸上的截距.知識(shí)點(diǎn)五：直線方程幾種表達(dá)方式的選取在一般情況下，使用斜截式比較方便，這是因?yàn)樾苯厥街恍枰獌蓚€(gè)獨(dú)立變數(shù)，而點(diǎn)斜式需要三個(gè)獨(dú)立變數(shù)．在求直線方程時(shí)，要根據(jù)給出的條件采用適當(dāng)?shù)男问剑话愕?，已知一點(diǎn)的坐標(biāo)，求過(guò)這點(diǎn)的直線，通常采用點(diǎn)斜式，再由其他條件確定斜率；已知直線的斜率，常用斜截式，再由其他條件確定在y軸上的截距；已知截距或兩點(diǎn)選擇截距式或兩點(diǎn)式．從結(jié)論上看，若求直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積或周長(zhǎng)，則選擇截距式求解較方便，但不論選用哪一種形式，都要注意各自的限制條件，以免遺漏．知識(shí)點(diǎn)六：直線方程的一般式關(guān)于x和y的一次方程都表示一條直線．我們把方程寫為，這個(gè)方程(其中A、B不全為零)叫做直線方程的一般式．知識(shí)點(diǎn)詮釋：1．A、B不全為零才能表示一條直線，若A、B全為零則不能表示一條直線.當(dāng)時(shí)，方程可變形為，它表示過(guò)點(diǎn)，斜率為的直線．當(dāng)，時(shí)，方程可變形為，即，它表示一條與軸垂直的直線．由上可知，關(guān)于、的二元一次方程，它都表示一條直線．2．在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)關(guān)于、的二元一次方程對(duì)應(yīng)著唯一的一條直線，反過(guò)來(lái)，一條直線可以對(duì)應(yīng)著無(wú)數(shù)個(gè)關(guān)于、的一次方程.知識(shí)點(diǎn)七：直線方程的不同形式間的關(guān)系名稱方程的形式常數(shù)的幾何意義適用范圍點(diǎn)斜式是直線上一定點(diǎn)，是斜率不垂直于軸斜截式是斜率，是直線在y軸上的截距不垂直于軸兩點(diǎn)式，是直線上兩定點(diǎn)不垂直于軸和軸截距式是直線在x軸上的非零截距，是直線在y軸上的非零截距不垂直于軸和軸，且不過(guò)原點(diǎn)一般式、、為系數(shù)任何位置的直線直線方程的五種形式的比較如下表：知識(shí)點(diǎn)詮釋：在直線方程的各種形式中，點(diǎn)斜式與斜截式是兩種常用的直線方程形式，要注意在這兩種形式中都要求直線存在斜率，兩點(diǎn)式是點(diǎn)斜式的特例，其限制條件更多，應(yīng)用時(shí)若采用的形式，即可消除局限性．截距式是兩點(diǎn)式的特例，在使用截距式時(shí)，首先要判斷是否滿足“直線在兩坐標(biāo)軸上的截距存在且不為零”這一條件．直線方程的一般式包含了平面上的所有直線形式．一般式?；癁樾苯厥脚c截距式．若一般式化為點(diǎn)斜式，兩點(diǎn)式，由于取點(diǎn)不同，得到的方程也不同．知識(shí)點(diǎn)八：直線方程的綜合應(yīng)用1．已知所求曲線是直線時(shí)，用待定系數(shù)法求．2．根據(jù)題目所給條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，求出直線方程．對(duì)于兩直線的平行與垂直，直線方程的形式不同，考慮的方向也不同．（1）從斜截式考慮已知直線,,；于是與直線平行的直線可以設(shè)為；垂直的直線可以設(shè)為．（2）從一般式考慮：且或，記憶式（）與重合，，，于是與直線平行的直線可以設(shè)為；垂直的直線可以設(shè)為.第03講直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：直線的交點(diǎn)求兩直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)，只需求兩直線方程聯(lián)立所得方程組的解即可.若有，則方程組有無(wú)窮多個(gè)解，此時(shí)兩直線重合；若有，則方程組無(wú)解，此時(shí)兩直線平行；若有，則方程組有唯一解，此時(shí)兩直線相交，此解即兩直線交點(diǎn)的坐標(biāo).知識(shí)點(diǎn)詮釋：求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)實(shí)際上就是解方程組，看方程組解的個(gè)數(shù).知識(shí)點(diǎn)二：過(guò)兩條直線交點(diǎn)的直線系方程一般地，具有某種共同屬性的一類直線的集合稱為直線系，它的方程叫做直線系方程，直線系方程中除含有以外，還有根據(jù)具體條件取不同值的變量，稱為參變量，簡(jiǎn)稱參數(shù)．由于參數(shù)取法不同，從而得到不同的直線系．過(guò)兩直線的交點(diǎn)的直線系方程：經(jīng)過(guò)兩直線，交點(diǎn)的直線方程為，其中是待定系數(shù)．在這個(gè)方程中，無(wú)論取什么實(shí)數(shù)，都得不到，因此它不能表示直線．知識(shí)點(diǎn)三：兩點(diǎn)間的距離公式兩點(diǎn)間的距離公式為.知識(shí)點(diǎn)詮釋：此公式可以用來(lái)求解平面上任意兩點(diǎn)之間的距離，它是所有求距離問(wèn)題的基礎(chǔ)，點(diǎn)到直線的距離和兩平行直線之間的距離均可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離來(lái)解決.另外在下一章圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的判斷等內(nèi)容中都有廣泛應(yīng)用，需熟練掌握.知識(shí)點(diǎn)四：點(diǎn)到直線的距離公式點(diǎn)到直線的距離為.知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）點(diǎn)到直線的距離為直線上所有的點(diǎn)到已知點(diǎn)的距離中最小距離；（2）使用點(diǎn)到直線的距離公式的前提條件是：把直線方程先化為一般式方程；（3）此公式常用于求三角形的高、兩平行線間的距離及下一章中直線與圓的位置關(guān)系的判斷等.知識(shí)點(diǎn)五：兩平行線間的距離本類問(wèn)題常見(jiàn)的有兩種解法：①轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題，在任一條直線上任取一點(diǎn)，此點(diǎn)到另一條直線的距離即為兩直線之間的距離；②距離公式：直線與直線的距離為.知識(shí)點(diǎn)詮釋：(1)兩條平行線間的距離，可以看作在其中一條直線上任取一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到另一條直線的距離，此點(diǎn)一般可以取直線上的特殊點(diǎn)，也可以看作是兩條直線上各取一點(diǎn)，這兩點(diǎn)間的最短距離；(2)利用兩條平行直線間的距離公式時(shí)，一定先將兩直線方程化為一般形式，且兩條直線中，的系數(shù)分別是相同的以后，才能使用此公式.第04講圓的方程【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中為圓心，為半徑.知識(shí)點(diǎn)詮釋：(1)如果圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，這時(shí)，圓的方程就是.有關(guān)圖形特征與方程的轉(zhuǎn)化：如：圓心在x軸上：；圓與y軸相切時(shí)：；圓與x軸相切時(shí)：；與坐標(biāo)軸相切時(shí)：；過(guò)原點(diǎn)：(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓心為，半徑為，它顯現(xiàn)了圓的幾何特點(diǎn).(3)標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)在于明確指出了圓心和半徑.由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，確定一個(gè)圓的方程，只需要a、b、r這三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，因此，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程常用定義法和待定系數(shù)法.知識(shí)點(diǎn)二：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系如果圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，則有(1)若點(diǎn)在圓上(2)若點(diǎn)在圓外(3)若點(diǎn)在圓內(nèi)知識(shí)點(diǎn)三：圓的一般方程當(dāng)時(shí)，方程叫做圓的一般方程.為圓心，為半徑.知識(shí)點(diǎn)詮釋：由方程得(1)當(dāng)時(shí)，方程只有實(shí)數(shù)解.它表示一個(gè)點(diǎn).(2)當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形．(3)當(dāng)時(shí)，可以看出方程表示以為圓心，為半徑的圓.知識(shí)點(diǎn)四：用待定系數(shù)法求圓的方程的步驟求圓的方程常用“待定系數(shù)法”.用“待定系數(shù)法”求圓的方程的大致步驟是：(1)根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.(2)根據(jù)已知條件，建立關(guān)于或的方程組.(3)解方程組，求出或的值，并把它們代入所設(shè)的方程中去，就得到所求圓的方程.知識(shí)點(diǎn)五：軌跡方程求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，實(shí)質(zhì)上就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過(guò)“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量之間的方程．1．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件易于“坐標(biāo)化”時(shí)，常采用直接法；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足的條件符合某一基本曲線的定義（如圓）時(shí)，常采用定義法；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)隨著另一個(gè)在已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，可采用代入法（或稱相關(guān)點(diǎn)法）．2．求軌跡方程時(shí)，一要區(qū)分“軌跡”與“軌跡方程”；二要注意檢驗(yàn)，去掉不合題設(shè)條件的點(diǎn)或線等．3．求軌跡方程的步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用表示軌跡（曲線）上任一點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）列出關(guān)于的方程；（3）把方程化為最簡(jiǎn)形式；（4）除去方程中的瑕點(diǎn)（即不符合題意的點(diǎn)）；（5）作答．第05講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：直線與圓的位置關(guān)系1.直線與圓的位置關(guān)系：(1)直線與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)直線與圓相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)直線與圓相離，沒(méi)有公共點(diǎn).2.直線與圓的位置關(guān)系的判定：(1)代數(shù)法：判斷直線與圓C的方程組成的方程組是否有解.如果有解，直線與圓C有公共點(diǎn).有兩組實(shí)數(shù)解時(shí)，直線與圓C相交；有一組實(shí)數(shù)解時(shí)，直線與圓C相切；無(wú)實(shí)數(shù)解時(shí)，直線與圓C相離.(2)幾何法：由圓C的圓心到直線的距離與圓的半徑的關(guān)系判斷：當(dāng)時(shí)，直線與圓C相交；當(dāng)時(shí)，直線與圓C相切；當(dāng)時(shí)，直線與圓C相離.知識(shí)點(diǎn)詮釋：(1)當(dāng)直線和圓相切時(shí)，求切線方程，一般要用到圓心到直線的距離等于半徑，記住常見(jiàn)切線方程，可提高解題速度；求切線長(zhǎng)，一般要用到切線長(zhǎng)、圓的半徑、圓外點(diǎn)與圓心連線構(gòu)成的直角三角形，由勾股定理解得.(2)當(dāng)直線和圓相交時(shí)，有關(guān)弦長(zhǎng)的問(wèn)題，要用到弦心距、半徑和半弦構(gòu)成的直角三角形，也是通過(guò)勾股定理解得，有時(shí)還用到垂徑定理.(3)當(dāng)直線和圓相離時(shí)，常討論圓上的點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題，通常畫圖，利用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決.知識(shí)點(diǎn)二：圓的切線方程的求法1．點(diǎn)在圓上，如圖．法一：利用切線的斜率與圓心和該點(diǎn)連線的斜率的乘積等于，即．法二：圓心到直線的距離等于半徑．2．點(diǎn)在圓外，則設(shè)切線方程：，變成一般式：，因?yàn)榕c圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出．知識(shí)點(diǎn)詮釋：因?yàn)榇藭r(shí)點(diǎn)在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個(gè)根，若方程只有一個(gè)根，則還有一條切線的斜率不存在，務(wù)必要把這條切線補(bǔ)上．常見(jiàn)圓的切線方程：（1）過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程是；（2）過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程是.知識(shí)點(diǎn)三：求直線被圓截得的弦長(zhǎng)的方法1．應(yīng)用圓中直角三角形：半徑，圓心到直線的距離，弦長(zhǎng)具有的關(guān)系，這也是求弦長(zhǎng)最常用的方法．2．利用交點(diǎn)坐標(biāo)：若直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)易求出，求出交點(diǎn)坐標(biāo)后，直接用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算弦長(zhǎng)