2024一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練 95個(gè)專題 524個(gè)題型專題16 指數(shù)函數(shù)-2024一輪數(shù)學(xué)講義+題型細(xì)分與精練（解析版）

專題16指數(shù)函數(shù)題型一指數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用1．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與在上的圖象可能是（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】為冪函數(shù)，為指數(shù)函數(shù)A.過定點(diǎn)，可知，，的圖象符合，故可能.B.過定點(diǎn)，可知，，的圖象不符合，故不可能.C.過定點(diǎn)，可知，，的圖象不符合，故不可能.D.圖象中無冪函數(shù)圖象，故不可能.故選：A2．如圖是指數(shù)函數(shù)①y=；②y=；③y=cx；④y=dx的圖象，則，b，c，d與1的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a(chǎn)<b<1<d<c【答案】B【解析】根據(jù)函數(shù)圖象可知函數(shù)①y=；②y=為減函數(shù)，且時(shí)，②y=①y=，所以，根據(jù)函數(shù)圖象可知函數(shù)③y=cx；④y=dx為增函數(shù)，且時(shí)，③y=c1④y=d1，所以故選：B3．當(dāng)且時(shí)，函數(shù)的圖象一定過點(diǎn)A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)，當(dāng)時(shí)，故函數(shù)圖像過點(diǎn)故選4．已知冪函數(shù)的圖象過函數(shù)的圖象所經(jīng)過的定點(diǎn)，則的值等于A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)為冪函數(shù)，則：，函數(shù)的解析式為：，冪函數(shù)過定點(diǎn)，函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，函數(shù)過定點(diǎn)，據(jù)此可得：.本題選擇A選項(xiàng).5．函數(shù)y=2x與y=（）x關(guān)于對(duì)稱A．x軸 B．y軸C．y=x D．原點(diǎn)【答案】B【解析】函數(shù)y=（）x=2–x，與函數(shù)y=2x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故選B．6．函數(shù)與，其中，且，它們的大致圖象在同一直角坐標(biāo)系中有可能是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】，則單調(diào)遞增，故排除AC；對(duì)于BD，單調(diào)遞減，則，與y軸交于0和1之間，故排除B.故選：D.7．如圖所示，面積為8的平行四邊形OABC的對(duì)角線AC⊥CO，AC與BO交于點(diǎn)E.若指數(shù)函數(shù)且的圖象經(jīng)過點(diǎn)E，B，則a等于（）A． B． C．2 D．3【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)，則由已知可得，又因?yàn)辄c(diǎn)E，B在指數(shù)函數(shù)的圖象上，所以，式兩邊平方得，聯(lián)立，得，所以(舍去)或，所以.故選：A.8．若關(guān)于的不等式（，且）對(duì)于任意的恒成立，則的取值范圍為________.【答案】【解析】不等式等價(jià)于，令，，當(dāng)時(shí)，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，如圖1所示，由圖知不滿足條件；當(dāng)時(shí)，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，如圖2所示，則，即，，故的取值范圍是，故答案為：.9．已知函數(shù).（1）試求函數(shù)，的最大值；（2）若存在，使成立，試求的取值范圍；（3）當(dāng)，且時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2），或；（3）.【解析】解：（1），，令，，即有，當(dāng)時(shí)，有最大值為1；當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為，討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，若，即，；若，即，；若，即，.綜上可得，.（2）令，則存在使得，所以存在使得，或.即存在使得，，或；（3）由得恒成立因?yàn)?，且，所以問題即為恒成立，.設(shè)令，.所以，當(dāng)時(shí)，，.題型二指數(shù)函數(shù)的定義域與值域1．函數(shù)的值域是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，因?yàn)椋瑒t，所以，，此時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，因?yàn)?，則.所以，，此時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?綜上所述，函數(shù)的值域是.故選：D.2．已知（，為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則，所以，，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即.故選：C.3．已知.（1）求函數(shù)的定義域；（2）判斷的奇偶性，并說明理由；（3）證明.【答案】（1）；（2）為偶函數(shù)，理由見解析；（3）證明見解析.【解析】（1）由，得，即.函數(shù)的定義域是；（2）函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，，所以，函數(shù)為偶函數(shù)；（3）當(dāng)時(shí)，，，則；由于函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則.綜上所述，.4．求函數(shù)的定義域?值域：【答案】答案見詳解【解析】函數(shù)定義域?yàn)镽∵x2-2x–3=(x-1)2–4≥-4∴又∵∴函數(shù)的值域?yàn)?0，16]綜上，知：函數(shù)定義域、值域分別為R、(0，16]

5．設(shè)函數(shù)（1）若函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)，求滿足的的值；（2）若函數(shù)在的最大值為，求實(shí)數(shù)a的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）∵的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴，∴，即，所以；令，則，∴，又，∴，所以滿足的的值為.（2），，令，，對(duì)稱軸，①當(dāng)，即時(shí)，，∴；②當(dāng)，即時(shí)，，∴（舍）；綜上：實(shí)數(shù)a的值為.題型三指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性1．若函數(shù)單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A． B． C．? D．【答案】B【解析】解：函數(shù)單調(diào)遞增，解得所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：．2．對(duì)于函數(shù)的定義域中任意的，有如下結(jié)論:當(dāng)時(shí)，上述結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】對(duì)于A，，，，正確；對(duì)于B，，，，錯(cuò)誤；對(duì)于C，在定義域中單調(diào)遞增，，正確；對(duì)于D，，又，則，正確；故選：ACD3．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù).（1）求a的值；（2）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性，并利用結(jié)論解不等式：；（3）是否存在實(shí)數(shù)k，使得函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍是？若存在，求出實(shí)數(shù)k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）是R上的增函數(shù)，證明見解析；；（3）存在；實(shí)數(shù)k的取值范圍是.【解析】解：（1）是定義在R上的奇函數(shù)，，從而得出，時(shí)，，；（2）是R上的增函數(shù)，證明如下：設(shè)任意，且，，，，，，，是在上是單調(diào)增函數(shù).，又是定義在R上的奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增，，，；（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使之滿足題意，由（2）可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，n為方程的兩個(gè)根，即方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，令，即方程有兩個(gè)不等的正根，于是有且且，解得：.存在實(shí)數(shù)k，使得函數(shù)在上的取值范圍是，并且實(shí)數(shù)k的取值范圍是.4．已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2）若有最大值3，求a的值（3）若的值域是，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；；（2）1；（3）0.【解析】解：當(dāng)時(shí)，，令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而在R上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；令，，由于有最大值3，所以有最小值，因此必有，解得，即當(dāng)有最大值3時(shí)，實(shí)數(shù)a的值為1；在（2）基礎(chǔ)上，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，要使的值域?yàn)?，?yīng)使的值域?yàn)镽，因?yàn)槎魏瘮?shù)的值域不可能為R，所以．題型四指數(shù)函數(shù)的最值問題1．若指數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值的和為，則的值可能是（）.A．2 B． C．3 D．【答案】AB【解析】設(shè)，當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上的最大值，最小值.所以，求得或者（舍）；當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上的最大值，最小值，所以，求得（舍）或者.綜上所述：或者.故選：AB2．已知函數(shù)，且在區(qū)間上的最大值比最小值大．（1）求的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間的最小值是，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則該函數(shù)的最大值為，最小值為，由題意得，解得，或（舍去）；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則該函數(shù)的最大值為，最小值為，由題意得，即，該方程無實(shí)數(shù)解．綜上；（2）函數(shù)，令，，任取，因，，所以，有，，所以．則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故．令，因此，，所以問題轉(zhuǎn)化為：函數(shù)在上有最小值，求實(shí)數(shù)的值．因，對(duì)稱軸方程為，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，由，解得與矛盾；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，由，解得或（舍去）.綜上，．3．已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)在上的單增區(qū)間；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值【答案】（1）單增區(qū)間為；（2），.【解析】（1）因?yàn)?，設(shè)，，則，所以是開口向上，對(duì)稱軸為的二次函數(shù)，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，又是增函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，又是增函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；因此，函數(shù)在上的單增區(qū)間為；（2）由（1）知：函數(shù)在上單減，在上單增；所以，當(dāng)時(shí)，；又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以.4．函數(shù)是奇函數(shù)．（1）求的解析式；（2）當(dāng)時(shí)