2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國(guó)版）第30講 投影與視圖（講義）（解析版）

第30講投影與視圖目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知識(shí)建構(gòu)考點(diǎn)一圖形的投影題型01平行投影題型02中心投影題型03正投影考點(diǎn)二幾何體的三視圖題型01判斷簡(jiǎn)單幾何體三視圖題型02判斷簡(jiǎn)單組合體三視圖題型03判斷非實(shí)心幾何體三視圖題型04畫簡(jiǎn)單幾何體的三視圖題型05畫簡(jiǎn)單組合體的三視圖題型06由三視圖還原幾何體題型07已知三視圖求邊長(zhǎng)題型08已知三視圖求側(cè)面積或表面積題型09求小立方塊堆砌圖形的表面積題型10已知三視圖求體積題型11求幾何體視圖的面積題型12由三視圖，判斷小立方體的個(gè)數(shù)考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)圖形的投影通過(guò)豐富的實(shí)例，了解中心投影和平行投影的概念.會(huì)畫直棱柱、圓柱、圓錐、球的主視圖、左視圖、俯視圖，能判斷簡(jiǎn)單物體的視圖，并會(huì)根據(jù)視圖描述簡(jiǎn)單的幾何體.了解直棱柱、圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，能根據(jù)展開(kāi)圖想象和制作模型.通過(guò)實(shí)例，了解上述視圖與展開(kāi)圖在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用.本單元內(nèi)容以考查幾何體的三視圖和正方體的展開(kāi)圖為主，年年都會(huì)考查，是廣大考生的得分點(diǎn)，分值為3分，預(yù)計(jì)2024年各地中考還將出現(xiàn)，并且在選擇題出現(xiàn)的可能性較大，一般只考察基礎(chǔ)應(yīng)用，所以考生在復(fù)習(xí)時(shí)要多注重該考點(diǎn)的概念以及應(yīng)用.幾何體的三視圖考點(diǎn)一圖形的投影投影的定義：一般地，用光線照射物體，在某個(gè)平面(地面、墻壁等)上得到的影子叫做物體的投影.照射光線叫做投影線，投影所在的平面叫做投影面.平行投影的概念：由平行光線形成的投影叫做平行投影.（例如：太陽(yáng)光）平行投影的特征：1）等高的物體垂直地面放置時(shí)（圖1），在太陽(yáng)光下，它們的影子一樣長(zhǎng).

2）等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí)（圖2），它們?cè)谔?yáng)光下的影子一樣長(zhǎng)，且影長(zhǎng)等于物體本身的長(zhǎng)度.圖1圖2【小技巧】1）圖1中，兩個(gè)物體及它們各自的影子及光線構(gòu)成的兩個(gè)直角三角形相似，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例.2）已知物體影子可以確定光線，過(guò)已知物體頂端及影子頂端作直線，過(guò)其他物體頂端作此線的平行線，便可求出同一時(shí)刻其他物體的影子.（理由：同一時(shí)刻光線是平行的光線下行成的）3）在同一時(shí)刻，不同物體的物高與影長(zhǎng)成正比例，即：，利用上面的關(guān)系式可以計(jì)算高大物體的高度，比如：旗桿/樹(shù)/樓房的高度等.

4）在不同時(shí)刻，物體在太陽(yáng)光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚，物體影子的指向是：西→西北→北→東北→東，影子長(zhǎng)度由長(zhǎng)變短再變長(zhǎng).中心投影的概念：由一點(diǎn)發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影.（例如：手電筒、路燈、臺(tái)燈等）

中心投影的特征：1）等高的物體垂直地面放置時(shí)（圖3），在燈光下離點(diǎn)光源近的物體它的影子短，離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體它的影子長(zhǎng).2）等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí)（圖4），一般情況下離點(diǎn)光源越近，影子越長(zhǎng)；離點(diǎn)光源越遠(yuǎn)，影子越短，但不會(huì)比物體本身的長(zhǎng)度還短.

圖3圖4

【小技巧】1）點(diǎn)光源、物體邊緣上的點(diǎn)以及它在影子上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在同一條直線上，根據(jù)其中兩個(gè)點(diǎn)，就可以求出第三個(gè)點(diǎn)的位置.2）如果一個(gè)平面圖形所在的平面與投射面平行，那么中心投影后得到的圖形與原圖形也是平行的，并且中心投影后得到的圖形與原圖形相似.正投影的概念：當(dāng)平行光線垂直投影面時(shí)叫正投影.正投影的分類：1）線段的正投影分為三種情況.如圖所示.

①線段AB平行于投影面P時(shí)，它的正投影是線段A1B1，與線段AB的長(zhǎng)相等；、②線段AB傾斜于投影面P時(shí)，它的正投影是線段A2B2，長(zhǎng)小于線段AB的長(zhǎng)；③線段AB垂直于投影面P時(shí)，它的正投影是一個(gè)點(diǎn).2）平面圖形正投影也分三種情況，如圖所示.

①當(dāng)平面圖形平行于投影面Q時(shí)，它的正投影與這個(gè)平面圖形的形狀、大小完全相同，即正投影與這個(gè)平面圖形全等；②當(dāng)平面圖形傾斜于投影面Q時(shí)，平面圖形的正投影與這個(gè)平面圖形的形狀、大小發(fā)生變化，即會(huì)縮小，是類似圖形但不一定相似.

③當(dāng)平面圖形垂直于投影面Q時(shí)，它的正投影是直線.3）立體圖形的正投影物體的正投影的形狀、大小與物體相對(duì)于投影面的位置有關(guān)，立體圖形的正投影與平行于投影面且過(guò)立體圖形的最大截面全等.投影的判斷方法：1）判斷投影是否為平行投影的方法是看光線是否是平行的，如果光線是平行的，那么所得到的投影就是平行投影．2）判斷投影是否為中心投影的方法是看光線是否相交于一點(diǎn)，如果光線是相交于一點(diǎn)的，那么所得到的投影就是中心投影．題型01平行投影【例1】（2023·河北衡水·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖是嘉淇在室外用手機(jī)拍下大樹(shù)的影子隨太陽(yáng)轉(zhuǎn)動(dòng)情況的照片（上午8時(shí)至下午5時(shí)之間），這五張照片拍攝的時(shí)間先后順序是（

）A．①②③④⑤ B．②④①③⑤ C．⑤④①③② D．⑤③①④②【答案】B【分析】太陽(yáng)的位置和高度決定了影子的方向和長(zhǎng)短．一天中，陽(yáng)光下物體的影子變化規(guī)律是上午影子由長(zhǎng)逐漸變短；下午影子由短逐漸變長(zhǎng)．方向由西逐漸轉(zhuǎn)向東．【詳解】解：一天中太陽(yáng)位置的變化規(guī)律是：從東到西．太陽(yáng)的高度變化規(guī)律是：低→高→低．影子位置的變化規(guī)律是：從西到東，影子的長(zhǎng)短變化規(guī)律是：長(zhǎng)→短→長(zhǎng)．根據(jù)影子變化的特點(diǎn)，按時(shí)間順序給這五張照片排序是②④①③⑤故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行投影，了解物體在陽(yáng)光下影子的變化規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2021·河北保定·統(tǒng)考二模）三根等高的木桿豎直立在平地上，其俯視圖如圖所示，在某一時(shí)刻三根木桿在太陽(yáng)光下的影子合理的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】三根等高的木桿豎直立在平地上，在某一時(shí)刻三根木桿在太陽(yáng)光下的影子應(yīng)該同方向、長(zhǎng)度相等且平行，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：A．在某一時(shí)刻三根木桿在太陽(yáng)光下的影子的方向應(yīng)該一致，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．在某一時(shí)刻三根木桿在太陽(yáng)光下的影子合理，故本選項(xiàng)正確；C．在某一時(shí)刻三根等高木桿在太陽(yáng)光下的影子的長(zhǎng)度應(yīng)該相同，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．在某一時(shí)刻三根木桿在太陽(yáng)光下的影子的方向應(yīng)該互相平行，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行投影，由平行光線形成的投影是平行投影，如物體在太陽(yáng)光的照射下形成的影子就是平行投影．【變式1-2】（2023·吉林松原·統(tǒng)考二模）如圖，小明想測(cè)量一棵大樹(shù)AB的高度，他發(fā)現(xiàn)樹(shù)的影子落在地面和墻上，測(cè)得地面上的影子BC的長(zhǎng)為5m，墻上的影子CD的長(zhǎng)為2m．同一時(shí)刻，一根長(zhǎng)為1m垂直與地面標(biāo)桿的影長(zhǎng)為0.5m，則大樹(shù)的高度AB【答案】12【分析】設(shè)地面影長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的樹(shù)高為xm，根據(jù)同時(shí)同地物高與影長(zhǎng)成正比列出比例式求出x，然后加上墻上的影長(zhǎng)CD【詳解】解：設(shè)地面影長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的樹(shù)高為xm由題意得，x5解得x=10∵墻上的影子CD長(zhǎng)為2m∴樹(shù)的高度為10+2=12m故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查利用投影求物高．熟練掌握同時(shí)同地物高與影長(zhǎng)成正比是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2022·浙江溫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）實(shí)驗(yàn)學(xué)校某班開(kāi)展數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”測(cè)量活動(dòng)．有兩座垂直于水平地面且高度不一的圓柱，兩座圓柱后面有一斜坡，且圓柱底部到坡腳水平線MN的距離皆為100cm．王詩(shī)嬑觀測(cè)到高度90cm矮圓柱的影子落在地面上，其長(zhǎng)為72cm；而高圓柱的部分影子落在坡上，如圖所示．已知落在地面上的影子皆與坡腳水平線MN（1）若王詩(shī)嬑的身高為150cm，且此刻她的影子完全落在地面上，則影子長(zhǎng)為多少cm（2）猜想：此刻高圓柱和它的影子與斜坡的某個(gè)橫截面一定同在一個(gè)垂直于地面的平面內(nèi)．請(qǐng)直接回答這個(gè)猜想是否正確？（3）若同一時(shí)間量得高圓柱落在坡面上的影子長(zhǎng)為100cm，則高圓柱的高度為多少cm【答案】（1）120cm；（2）正確；（3）280cm【分析】（1）根據(jù)同一時(shí)刻，物長(zhǎng)與影從成正比，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．（2）根據(jù)落在地面上的影子皆與坡腳水平線MN互相垂直，并視太陽(yáng)光為平行光，結(jié)合橫截面分析可得；（3）過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CE于點(diǎn)G，設(shè)FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AB于點(diǎn)H，再根據(jù)同一時(shí)刻身高與影長(zhǎng)的比例，求出AH的長(zhǎng)度，即可得到AB.【詳解】解：（1）設(shè)王詩(shī)嬑的影長(zhǎng)為xcm，由題意可得：9072解得：x=120，經(jīng)檢驗(yàn)：x=120是分式方程的解，王詩(shī)嬑的的影子長(zhǎng)為120cm；（2）正確，因?yàn)楦邎A柱在地面的影子與MN垂直，所以太陽(yáng)光的光線與MN垂直，則在斜坡上的影子也與MN垂直，則過(guò)斜坡上的影子的橫截面與MN垂直，而橫截面與地面垂直，高圓柱也與地面垂直，∴高圓柱和它的影子與斜坡的某個(gè)橫截面一定同在一個(gè)垂直于地面的平面內(nèi)；（3）如圖，AB為高圓柱，AF為太陽(yáng)光，△CDE為斜坡，CF為圓柱在斜坡上的影子，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CE于點(diǎn)G，由題意可得：BC=100，CF=100，∵斜坡坡度i=1:0.75∴DECE∴設(shè)FG=4m，CG=3m，在△CFG中，4m解得：m=20，∴CG=60，F(xiàn)G=80，∴BG=BC+CG=160，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AB于點(diǎn)H，∵同一時(shí)刻，90cm矮圓柱的影子落在地面上，其長(zhǎng)為72cm，F(xiàn)G⊥BE，AB⊥BE，F(xiàn)H⊥AB，可知四邊形HBGF為矩形，∴9072∴AH=9072×∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280，故高圓柱的高度為280cm.【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，解直角三角形，平行投影，矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解實(shí)際物體與影長(zhǎng)之間的關(guān)系解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．題型02中心投影【例2】（2021·安徽淮南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）下列現(xiàn)象中，屬于中心投影的是（）A．白天旗桿的影子 B．陽(yáng)光下廣告牌的影子C．燈光下演員的影子 D．中午小明跑步的影子【答案】C【分析】根據(jù)平行投影和中心投影的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：A．白天旗桿的影子為平行投影，所以A選項(xiàng)不合題意；B．陽(yáng)光下廣告牌的影子為平行投影，所以B選項(xiàng)不合題意；C．燈光下演員的影子為中心投影，所以C選項(xiàng)符合題意；D．中午小明跑步的影子為平行投影，所以D選項(xiàng)不合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了中心投影：由同一點(diǎn)（點(diǎn)光源）發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影．如物體在燈光的照射下形成的影子就是中心投影．也考查了平行投影．【變式2-1】（2022·北京·一模）如圖，正方形紙板的一條對(duì)角線垂直于地面，紙板上方的燈（看作一個(gè)點(diǎn)）與這條對(duì)角線所確定的平面垂直于紙板，在燈光照射下，正方形紙板在地面上形成的影子的形狀可以是（

）A．B． C．D．【答案】D【分析】因?yàn)橹行耐队拔矬w的高和影長(zhǎng)成比例，正確的區(qū)分中心投影和平行投影，依次分析選項(xiàng)即可找到符合題意的選項(xiàng)【詳解】因?yàn)檎叫蔚膶?duì)角線互相垂直，且一條對(duì)角線垂直地面，光源與對(duì)角線組成的平面垂直于地面，則有影子的對(duì)角線仍然互相垂直，且由于光源在平板的的上方，則上方的邊長(zhǎng)影子會(huì)更長(zhǎng)一些，故選D【點(diǎn)睛】本題考查了中心投影的概念，應(yīng)用，利用中心投影的特點(diǎn)，理解中心投影物體的高和影長(zhǎng)成比例是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023·廣東深圳·?？家荒＃┫铝惺敲枋鲂∶骱托》f在同一盞路燈下影子的圖片，其中合理的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用“在同一時(shí)刻同一地點(diǎn)陽(yáng)光下的影子的方向應(yīng)該一致，人與影子的比相等”對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：小明和小穎在同一盞路燈下影子與身高比例相等且影子方向相反．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查中心投影的特點(diǎn)是：①等高的物體垂直地面放置時(shí)，在燈光下，離點(diǎn)光源近的物體它的影子短，離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體它的影子長(zhǎng)．②等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí)，在燈光下，離點(diǎn)光源越近，影子越長(zhǎng)；離點(diǎn)光源越遠(yuǎn)，影子越短，但不會(huì)比物體本身的長(zhǎng)度還短．【變式2-3】（2020·重慶南岸·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)光源位于P2,2處，木桿AB兩端的坐標(biāo)分別為0,1，3,1．則木桿AB在x軸上的影長(zhǎng)CD為（

A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】利用中心投影，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥CD于點(diǎn)E交AB于點(diǎn)M，證明△ABP～△CDP【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥CD于點(diǎn)E交AB于點(diǎn)M，根據(jù)題意得：AB∥∴△ABP∵P2,2，A0,1，B3,1∴PE=2，AB=3，ME=1，∴PM=1，∴ABCD=PM解得：CD=6，．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了中心投影：中心投影的光線特點(diǎn)是從一點(diǎn)出發(fā)的投射線．物體與投影面平行時(shí)的投影是放大（即位似變換）的關(guān)系．【變式2-4】（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）手影游戲利用的物理原理是：光是沿直線傳播的．圖中小狗手影就是我們小時(shí)候常玩的游戲．在一次游戲中，小明距離墻壁1米，爸爸拿著的光源與小明的距離為2米．在小明不動(dòng)的情況下，要使小狗手影的高度增加一倍，則光源與小明的距離應(yīng)（

）

A．減少32米 B．增加32米 C．減少53米 D【答案】A【分析】根據(jù)題意作出圖形，然后利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程求解即可．【詳解】解：如圖，點(diǎn)O為光源，AB表示小明的手，CD表示小狗手影，則AB∥CD，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB，延長(zhǎng)OE交CD于

∵AB∥∴△AOB∽△COD∵EF=1米，OE=2米，則∴ABCD設(shè)AB=2k∵在小明不動(dòng)的情況下，要使小狗手影的高度增加一倍，如圖，

即AB=2k，C'D∴ABC則O'∴O'∴光源與小明的距離變化為：OE-故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了中心投影，解題時(shí)關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來(lái)解答問(wèn)題．【變式2-5】（2023·湖北恩施·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，小華在晚上由路燈AC走向路燈BD．當(dāng)他走到點(diǎn)P時(shí)，發(fā)現(xiàn)他身后影子的頂部剛好接觸到路燈AC的底部；當(dāng)他向前再步行12m到達(dá)點(diǎn)Q時(shí)，發(fā)現(xiàn)他身前影子的頂部剛好接觸到路燈BD的底部．已知小華的身高是1.6m，兩個(gè)路燈的高度都是9.6m，且

(1)標(biāo)出小華站在P處時(shí)，在路燈AC下的影子．(2)求兩個(gè)路燈之間的距離．(3)當(dāng)小華走到路燈BD的底部時(shí)，他在路燈AC下的影長(zhǎng)是多少？【答案】(1)畫圖見(jiàn)解析(2)兩路燈的距離為18m(3)當(dāng)他走到路燈BD時(shí)，他在路燈AC下的影長(zhǎng)是3.6m【分析】（1）連接CM并延長(zhǎng)與AB交于點(diǎn)K，從而可得答案；（2）如圖，先證明△APM∽△ABD，利用相似比可得AP=1（3）如圖，他在路燈AC下的影子為BN，證明△NBM∽△NAC，利用相似三角形的性質(zhì)得BN【詳解】（1）解：如圖，連接CM并延長(zhǎng)與AB交于點(diǎn)K，線段PK即為小華站在P處時(shí)，在路燈AC下的影子

（2）如圖，

∵PM∥∴△APM∴APAB=PM∴AP=∵QB=∴BQ=而AP+∴16∴AB=18答：兩路燈的距離為18m（3）如圖，他在路燈AC下的影子為BN，

∵BM∥∴△NBM∴BNAN=BMAC，即答：當(dāng)他走到路燈BD時(shí)，他在路燈AC下的影長(zhǎng)是3.6m【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，投影的含義，要求學(xué)生能根據(jù)題意畫出對(duì)應(yīng)圖形，能判定出相似三角形，以及能利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等的原理解決求線段長(zhǎng)的問(wèn)題等，蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想方法．題型03正投影【例3】（2022·浙江溫州·溫州繡山中學(xué)校聯(lián)考二模）由四個(gè)相同小立方體拼成的幾何體如圖所示，當(dāng)光線由上向下垂直照射時(shí)，該幾何體在水平投影面上的正投影是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】找到從上面看所得到的圖形即可．【詳解】解：從上面看，底層中最右邊一個(gè)小正方形，上層是三個(gè)小正方形，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的知識(shí)，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖．【變式3-1】（2022·江西·模擬預(yù)測(cè)）如圖1所示的是一戶外遮陽(yáng)傘支架張開(kāi)的狀態(tài)，圖1可抽象成圖2，在圖2中，點(diǎn)A可在BD上滑動(dòng)，當(dāng)傘完全折疊成圖3時(shí)，傘的下端點(diǎn)F落在F'處，點(diǎn)C落在C'處，AE=EF，(1)BD的長(zhǎng)為_(kāi)_____．(2)如圖2，當(dāng)AB=54①求∠ACB的度數(shù)；（參考數(shù)據(jù)：sin17.5°≈0.30，tan16.7°≈0.30，sin②求傘能遮雨的面積（傘的正投影可以看作一個(gè)圓）．【答案】(1)250cm(2)①35°；②29484【分析】（1）根據(jù)題意可得BD=BF'+F'D，當(dāng)傘完全折疊成圖3時(shí)，傘的下端點(diǎn)F落在（2）①過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AG，根據(jù)BC=AC，可得AG=②根據(jù)題意可知CG∥AF，則∠EAH=17.5°，根據(jù)EH=【詳解】（1）解：∵BD=BF'+F'D當(dāng)傘完全折疊成圖3時(shí)，傘的下端點(diǎn)F∴BD=BF（2）①如圖，過(guò)點(diǎn)C作CG∵BC=AC∴AG=GBsin∴∠∴∠②如圖，連接AF，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥∵∴根據(jù)題意可知CG∴∠∵∴∴∴傘能遮雨的面積為29484【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正投影，理解題意是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二幾何體的三視圖三視圖的概念：一個(gè)物體在三個(gè)投影面內(nèi)同時(shí)進(jìn)行正投影，①在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖；②在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖；③在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做左視圖.主視圖、左視圖、俯視圖叫做物體的三視圖.

三視圖之間的關(guān)系：1）位置關(guān)系：三視圖的位置是有規(guī)定的，主視圖要在左邊，它的下方應(yīng)是俯視圖，左視圖在其右邊，2）大小關(guān)系：三視圖之間的大小是相互聯(lián)系的，遵循主視圖與俯視圖的長(zhǎng)對(duì)正，主視圖與左視圖的高平齊，左視圖與俯視圖的寬相等的原則.

畫幾何體三視圖的基本方法：畫一個(gè)幾何體的三視圖時(shí)，要從三個(gè)方面觀察幾何體

1）確定主視圖的位置，畫出主視圖；

2）在主視圖的正下方畫出俯視圖，注意與主視圖“長(zhǎng)對(duì)正”；

3）在主視圖的正右方畫出左視圖，注意與主視圖“高平齊”，與俯視圖“寬相等”.

【注意】幾何體上被其他部分遮擋而看不見(jiàn)的部分的輪廓線應(yīng)畫成虛線.由三視圖確定幾何體的方法：1）由三視圖想象幾何體的形狀，首先應(yīng)分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀，然后綜合起來(lái)考慮整體形狀．2）由物體的三視圖想象幾何體的形狀是有一定難度的，可以從以下途徑進(jìn)行分析：①根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀，以及幾何體的長(zhǎng)、寬、高；②從實(shí)線和虛線想象幾何體看得見(jiàn)部分和看不見(jiàn)部分的輪廓線；③熟記一些簡(jiǎn)單的幾何體的三視圖對(duì)復(fù)雜幾何體的想象會(huì)有幫助.利用三視圖計(jì)算幾何體面積的方法：利用三視圖先想象出實(shí)物形狀，再進(jìn)一步畫出展開(kāi)圖，然后計(jì)算面積.題型01判斷簡(jiǎn)單幾何體三視圖【例1】（2022·湖北省直轄縣級(jí)單位·?？级＃┫铝袌D形中，主視圖和左視圖一樣的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)各個(gè)幾何體的主視圖和左視圖進(jìn)行判定即可．【詳解】解：A．主視圖和左視圖不相同，故本選項(xiàng)不合題意；B．主視圖和左視圖不相同，故本選項(xiàng)不合題意；C．主視圖和左視圖不相同，故本選項(xiàng)不合題意；D．主視圖和左視圖相同，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，解題的關(guān)鍵是掌握各種幾何體的三視圖的形狀．【變式1-1】（2021·河南駐馬店·校聯(lián)考一模）如圖所示的圓錐，下列說(shuō)法正確的是（

）A．該圓錐的主視圖是軸對(duì)稱圖形B．該圓錐的主視圖是中心對(duì)稱圖形C．該圓錐的主視圖既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形D．該圓錐的主視圖既不是軸對(duì)稱圖形，又不是中心對(duì)稱圖形【答案】A【分析】首先判斷出圓錐的主視圖，再根據(jù)主視圖的形狀判斷是軸對(duì)稱圖形，還是中心對(duì)稱圖形，從而可得答案．【詳解】解：圓錐的主視圖是一個(gè)等腰三角形，所以該圓錐的主視圖是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故A正確，該圓錐的主視圖是中心對(duì)稱圖形，故B錯(cuò)誤，該圓錐的主視圖既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故C錯(cuò)誤，該圓錐的主視圖既不是軸對(duì)稱圖形，又不是中心對(duì)稱圖形，故D錯(cuò)誤，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，同時(shí)考查了軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的識(shí)別，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考一模）下列立體圖形中，主視圖是圓的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別得出棱柱，圓柱，圓錐，球體的主視圖，得出結(jié)論．【詳解】解：棱柱的主視圖是矩形（中間只有一條線段），不符合題意；圓柱的主視圖是矩形，不符合題意；圓錐的主視圖是等腰三角形，不符合題意；球體的主視圖是圓，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的知識(shí)，主視圖是從物體的正面看得到的視圖．【變式1-3】（2023·江西上饒·校聯(lián)考一模）如圖是一個(gè)空心圓柱體，其主視圖是（）A．B．C． D．【答案】B【分析】找到從前面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在主視圖中．【詳解】解：從前面觀察物體可以發(fā)現(xiàn)：它的主視圖應(yīng)為矩形，又因?yàn)樵搸缀误w為空心圓柱體，故中間的兩條棱在主視圖中應(yīng)為虛線，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的知識(shí)，主視圖是從物體的正面看得到的視圖；注意看得到的棱畫實(shí)線，看不到的棱畫虛線．【變式1-4】（2023·河北滄州·校考一模）如圖，是一個(gè)正方體截去一個(gè)角后得到的幾何體，則該幾何體的左視圖是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)左視圖是從左面看到的圖形判定則可．【詳解】解：從左邊看，可得如下圖形：故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三視圖、熟練掌握三視圖的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．題型02判斷簡(jiǎn)單組合體三視圖【例2】（2022·遼寧朝陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖是四個(gè)完全相同的小正方體搭成的幾何體，它的俯視圖為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】從上面觀察該幾何體得到一個(gè)“T”字形的平面圖形，橫著兩個(gè)正方形，中間有一個(gè)正方形，且有兩條垂直的虛線，下方有半個(gè)正方形．畫出圖形即可．【詳解】俯視圖如圖所示．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何體的三視圖，俯視圖是從上面觀察幾何體得出的平面圖形．.注意：能看到的線用實(shí)線，看不到而存在的線用虛線．【變式2-1】（2022·山東德州·統(tǒng)考一模）如圖所示的幾何體是由6個(gè)大小相同的小立方塊搭成，它的俯視圖是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)簡(jiǎn)單幾何體的三視圖中俯視圖從上面看得到的圖形即可求解．【詳解】解：從上面看簡(jiǎn)單組合體可得兩行小正方形，第二行四個(gè)小正方形，第一行一個(gè)小正方形右側(cè)對(duì)齊．故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查三視圖的判斷，解題的關(guān)鍵是熟知三視圖的定義．【變式2-2】（2023·海南三亞·一模）如圖是5個(gè)相同的正方體搭成的立體圖形，則它的主視圖為（

）A．B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)主視圖的意義，從正面看該組合體所得到的圖形進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：從正面看該組合體，所看到的圖形與選項(xiàng)A中的圖形相同，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單組合體的主視圖，理解視圖的意義，掌握三視圖的畫法是正確判斷的前提．題型03判斷非實(shí)心幾何體三視圖【例3】（2022·遼寧撫順·統(tǒng)考二模）如圖，將一個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)部挖去一個(gè)圓柱，這個(gè)幾何體的主視圖是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在主視圖中．【詳解】解：從正面看易得主視圖為長(zhǎng)方形，中間有兩條垂直地面的虛線．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的知識(shí)，主視圖是從物體的正面看得到的視圖．【變式3-1】（2021·安徽宿州·統(tǒng)考二模）如圖所示，左邊立體圖形的俯視圖為（

）．A．B．C．D．【答案】B【分析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意看見(jiàn)的棱用實(shí)線表示，看不見(jiàn)的用虛線表示．【詳解】解：從上面看，是一個(gè)矩形，矩形的中間有兩條縱向的實(shí)線，兩側(cè)分別有一條縱向的虛線．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的知識(shí)，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖．【變式3-2】（2021·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）如圖的幾何體是一個(gè)空心圓柱，以下給出這個(gè)幾何體的兩種視圖正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正視圖可排除A與C，利用俯視圖可排B，符合要求便可知．【詳解】主視圖是從前向后看，由于幾何體是一個(gè)空心圓柱，看到兩個(gè)實(shí)圓，即圓環(huán)，則A、C不正確，俯視圖是從上向下看是長(zhǎng)方形，空心圓柱有厚度，但看不到用虛線長(zhǎng)方形畫在實(shí)長(zhǎng)方形的里邊，則B不正確，D正確．故選擇：D．【點(diǎn)睛】本題考查正視圖與俯視圖，立體圖形的視圖問(wèn)題，掌握三視圖的概念，會(huì)用視圖選圖是解題關(guān)鍵．【變式3-3】（2023·山東威海·統(tǒng)考一模）如圖，是有一塊馬蹄形磁鐵和一塊條形磁鐵構(gòu)成的幾何體，該幾何體的左視圖是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】左視圖是從左邊看得出的圖形，結(jié)合所給圖形及選項(xiàng)即可得出答案．【詳解】該幾何體的左視圖如圖所示：故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，解答本題的關(guān)鍵是掌握左視圖的觀察位置．注意：被遮擋的線條需要用虛線表示．題型04畫簡(jiǎn)單幾何體的三視圖【例4】（2023·廣東汕頭·校聯(lián)考二模）圖中幾何體的三視圖是（

）A．B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖示確定幾何體的三視圖即可得到答案．【詳解】由幾何體可知，該幾何體的三視圖為故選C【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，掌握三視圖的視圖方位及畫法是解題的關(guān)鍵，注意實(shí)際存在又沒(méi)有被其他棱所擋，在所在方向看不到的棱應(yīng)用虛線表示．【變式4-1】（2022·貴州遵義·統(tǒng)考三模）分別觀察下列幾何體，其中主視圖、左視圖和俯視圖完全相同的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3 D．4【答案】B【分析】分別得出三棱柱、球、圓柱體、正方體的三視圖的形狀，再判斷即可．【詳解】解：三棱柱主視圖、左視圖都是矩形，而俯視圖是三角形，三種視圖不相同，球的主視圖、左視圖都是矩形，俯視圖都是圓，三種視圖相同，圓柱體的主視圖、左視圖都是矩形，而俯視圖是圓形，三種視圖不相同；正方體的三視圖都是形狀、大小相同的正方形，三種視圖相同；所以三種視圖相同的有2種，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，明確球、圓柱、三棱柱、正方體的三視圖的形狀和大小是正確判斷的前提．題型05畫簡(jiǎn)單組合體的三視圖【例5】（2022·山東青島·二模）如圖是由一些棱長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方體組合成的簡(jiǎn)單幾何體．(1)畫該幾何體的主視圖、左視圖：(2)若給該幾何體露在外面的面（不含底圖）都噴上紅漆，則需要噴漆的面積是；(3)如果在這個(gè)幾何體上再添加一些小正方體，并保持主視圖和左視圖不變，則最多可以再添加塊小正方體．【答案】(1)見(jiàn)詳解；(2)27；(3)3．【分析】（1）根據(jù)三視圖的概念求解可得；（2）將主視圖、左視圖分別乘2的面積，加上俯視圖的面積即可得解；（3）若使該幾何體主視圖和左視圖不變，只可在底層添加方塊，可以添加3塊小正方體．【詳解】（1）如圖所示：（2）解：（7×2＋4×2）×（1×1）＋5×（1×1）＝14＋8＋5＝27故答案為：27．（3）若使該幾何體主視圖和左視圖不變，可在最底層從右數(shù)第一至三列的第一行各添加一個(gè)，添加3塊小正方體．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了畫三視圖，解題的關(guān)鍵是掌握在畫圖時(shí)一定要將物體的邊緣、棱、頂點(diǎn)都體現(xiàn)出來(lái)，看得見(jiàn)的輪廓線都化成實(shí)線，看不見(jiàn)的畫成虛線，不能漏掉．本題畫幾何體的三視圖時(shí)應(yīng)注意小正方體的數(shù)目及位置．【變式5-1】（2021·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖的兩個(gè)幾何體分別由7個(gè)和6個(gè)相同的小正方體搭成，比較兩個(gè)幾何體的三視圖，正確的是（

）A．僅主視圖不同 B．僅俯視圖不同C．僅左視圖不同 D．主視圖、左視圖和俯視圖都相同【答案】D【分析】分別畫出所給兩個(gè)幾何體的三視圖，然后比較即可得答案．【詳解】第一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示：第二個(gè)幾何體的三視圖如圖所示：觀察可知這兩個(gè)幾何體的主視圖、左視圖和俯視圖都相同，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖，正確得出各幾何體的三視圖是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023·全國(guó)·一模）如圖是用10個(gè)完全相同的小立方體搭成的幾何體．

(1)已知該幾何體的主視圖如圖所示，請(qǐng)?jiān)诳瞻椎姆礁裰挟嫵鏊淖笠晥D和俯視圖．(2)若保持主視圖和俯視圖不變，最多還可以再搭_______個(gè)小立方體．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)3【分析】（1）根據(jù)物體形狀即可畫出左視圖有三列以及主視圖、俯視圖都有三列，進(jìn)而畫出圖形；（2）可在最左側(cè)前端放兩個(gè)，后面再放一個(gè)，即可得出答案．【詳解】（1）解：畫出圖如圖所示：

；（2）解：保持主視圖和俯視圖不變，可在最左側(cè)前端放兩個(gè)，后面再放一個(gè)，最多還可以再搭3塊小正方體，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單組合體的三視圖，理解視圖的意義，掌握簡(jiǎn)單組合體三視圖的畫法是正確解答的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考三模）如圖1，某游樂(lè)園門口需要修建一個(gè)由正方體和圓柱組合面成的立體圖形，已知正方體的棱長(zhǎng)與圓柱的底面直徑及高相等，都是2m

(1)圖2是這個(gè)立體圖形主視圖、左視圖和俯視圖的一部分，請(qǐng)將它們補(bǔ)充完整；(2)為了防腐，需要在這個(gè)立體圖形表面刷一層油漆．已知油漆每平方米50元，那么一共需要花費(fèi)多少元？（π取3.14）（說(shuō)明：正方體一底面立于地上，不刷油漆；圓柱一底面立于正方體上，重合部分不刷油漆．）【答案】(1)見(jiàn)解析(2)1628元【分析】（1）根據(jù)三視圖的畫法分別得出左視圖、主視圖和俯視圖即可；（2）首先求出其表面積進(jìn)而得出所需的費(fèi)用．【詳解】（1）如圖，

（2）5×2×2+2×2×π32.56×50=1628（元）答：需要花費(fèi)1628元．【點(diǎn)睛】此題主要考查了作三視圖以及組合體的表面積求法，注意觀察角度得出視圖是解題關(guān)鍵．【變式5-4】（2020浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖1是一種包裝盒的表面展開(kāi)圖，將它圍起來(lái)可得到一個(gè)幾何體的模型．（1）這個(gè)幾何體模型的名稱是．（2）如圖2是根據(jù)a，b，h的取值畫出的幾何體的主視圖和俯視圖（圖中實(shí)線表示的長(zhǎng)方形），請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫出該幾何體的左視圖．（3）若h=a+b，且a，b滿足14a2+b2﹣a﹣6b+10=0【答案】（1）長(zhǎng)方體或底面為長(zhǎng)方形的直棱柱；（2）圖形略；（3）62．【詳解】試題分析：（1）觀察平面展開(kāi)圖，側(cè)面四個(gè)面是長(zhǎng)方形，且上下兩個(gè)底面也是長(zhǎng)方形，所以折疊后能圍成長(zhǎng)方體．（2）根據(jù)圖1所標(biāo)注的相關(guān)線段的長(zhǎng)度畫出長(zhǎng)方體，根據(jù)立體圖形和相關(guān)線段的長(zhǎng)度畫出其左視圖；（3）將給出的式子中10拆分成1+9，則所給式子寫成兩個(gè)完全平方式，因式分解后能求出a、b的值，則h的值就能求出，然后由長(zhǎng)方體的表面積計(jì)算公式求解．試題解析：（1）由平面展開(kāi)圖得知，側(cè)面四個(gè)面是長(zhǎng)方形，且上下兩個(gè)底面也是長(zhǎng)方形，∴折疊后能圍成長(zhǎng)方體．（2）根據(jù)圖1所標(biāo)注的相關(guān)線段的長(zhǎng)度和給出的視圖畫出長(zhǎng)方體，是長(zhǎng)寬高分別為4,5,2的長(zhǎng)方體，則左視圖是長(zhǎng)為5，寬為2的長(zhǎng)方形；畫出圖形，如圖：（3）將給出的式子中10拆分成1+9，則所給式子寫成兩個(gè)完全平方式，（12a﹣1）2+（b﹣3）2=0，則12a﹣1=0，b﹣3=0，∴a=2，b=3，所以h=a+b=2+3=5．所以此長(zhǎng)方體的表面積為六個(gè)面的面積和：2（2×3+5×2+3×5）考點(diǎn)：1．因式分解的應(yīng)用；2．由三視圖判斷幾何體；3．作圖-三視圖．題型06由三視圖還原幾何體【例6】（2023·廣東珠?！ぶ楹Ｊ芯胖拗袑W(xué)?？家荒＃┤鐖D是某幾何體的三視圖，該幾何體是（

）A．圓柱 B．球 C．圓錐 D．正四棱柱【答案】A【分析】由主視圖和左視圖確定是柱體，錐體還是球體，再由俯視圖確定具體形狀．【詳解】解：主視圖和左視圖都是長(zhǎng)方形，那么此幾何體為柱體，由俯視圖為圓，可得此幾何體是圓柱．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了由三視圖判斷幾何體，主視圖和左視圖的大致輪廓為三角形的幾何體為錐體．【變式6-1】（2023·山東菏澤·統(tǒng)考二模）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體是（

）

A．圓錐 B．三棱錐 C．三棱柱 D．四棱柱【答案】C【分析】由主視圖和左視圖得出該幾何體是柱體，再結(jié)合俯視圖可得答案．【詳解】解：由三視圖知，該幾何體是三棱柱，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖判斷幾何體，由三視圖想象幾何體的形狀，首先，應(yīng)分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀，然后綜合起來(lái)考慮整體形狀．【變式6-2】（2022·河南鄭州·一模）幾何體的三視圖如圖所示，這個(gè)幾何體是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三視圖，該幾何體的主視圖可確定該幾何體的形狀，據(jù)此求解即可．【詳解】解：根據(jù)A，B，C，D三個(gè)選項(xiàng)的物體的主視圖可知，與題圖有吻合的只有C選項(xiàng)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體的知識(shí)，熟練掌握三視圖并能靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023·山東日照·日照市新?tīng)I(yíng)中學(xué)校考一模）如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由主視圖和左視圖確定是柱體，錐體還是球體，再由俯視圖確定具體形狀．【詳解】解：主視圖和左視圖都是等腰三角形，那么此幾何體為錐體，由俯視圖為圓，可得此幾何體是圓錐．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體，主視圖和左視圖的大致輪廓為三角形的幾何體為錐體．題型07已知三視圖求邊長(zhǎng)【例7】（2022·廣東珠?！ば？家荒＃┤鐖D，圓錐的左視圖是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則此圓錐的高是（

）A．2 B．3 C．2 D．3【答案】D【分析】如圖所示，等邊三角形ABC，BC邊上的高AD即為所求．【詳解】解：如圖所示等邊三角形ABC，AD是BC邊上的高，由題意可知AD的長(zhǎng)即為所求，AB=2，∠B=60°，∴AD=故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，三視圖，解直角三角形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．【變式7-1】（2022·北京·?？家荒＃┤鐖D，是一個(gè)正六棱柱的主視圖和左視圖，則圖中x的值為（

）A．2 B．3 C．3 D．3【答案】D【分析】先畫出俯視圖，利用主視圖與左視圖，求出邊長(zhǎng)AB，構(gòu)造三角形ABC與三角形ABE，利用三角函數(shù)解直角三角形即可【詳解】由正六棱柱的主視圖和左視圖，得俯視圖如圖，標(biāo)注字母如圖，由主視圖可得到正六棱柱的最長(zhǎng)的對(duì)角線長(zhǎng)BD是6，BF=12BD=3，則邊長(zhǎng)AB為連AC交BD于E，則AC⊥BD，由左視圖得AE=CE=x，在△ABC中，AB=BC=3，∠ABC=120°，∴在Rt△ABE中，∠BAE=30°，AB=3，∴BE=32，AE=AB?cos30°=3即x=33故選擇：D.【點(diǎn)睛】本題考查了正六棱柱的三視圖，掌握三視圖中俯視圖的畫法，利用主視圖與左視圖畫出準(zhǔn)確的俯視圖，注意題目中的隱含條件及左視圖的特點(diǎn)，可將其轉(zhuǎn)化到直角三角形中解答．培養(yǎng)了學(xué)生的空間想象能力．【變式7-2】（2020·山東聊城·統(tǒng)考一模）如圖放置的一個(gè)圓錐，它的主視圖是直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，則該圓錐側(cè)面展開(kāi)扇形的弧長(zhǎng)為.（結(jié)果保留π）【答案】2【分析】先求出圓錐底面半徑，然后根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)為圓錐底面的圓周長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算即可解答.【詳解】解：因?yàn)閳A錐的主視圖是直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，所以圓錐底面半徑為：R＝1圓錐側(cè)面展開(kāi)扇形的弧長(zhǎng)為圓錐底面的圓周長(zhǎng)，所以，弧長(zhǎng)為：2故答案為2【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形和圓錐三視圖，熟練掌握是解題的關(guān)鍵.【變式7-3】（2022·山東青島·統(tǒng)考一模）三棱柱的三視圖如圖所示，在俯視圖△EFG中，F(xiàn)G=18cm，EG=14cm，∠EGF=30°，則左視圖中AB的長(zhǎng)為cm．【答案】7【分析】根據(jù)三視圖的對(duì)應(yīng)情況可得出，△EFG中FG上的高即為AB的長(zhǎng)，進(jìn)而求出即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥FG于點(diǎn)Q，由題意可得出：EQ=AB，∵EG=14cm，∠EGF=30°，∴EQ=AB=12×14=7（cm故答案為：7．【點(diǎn)睛】此題主要考查了由三視圖解決實(shí)際問(wèn)題，根據(jù)已知得出EQ=AB是解題關(guān)鍵．題型08已知三視圖求側(cè)面積或表面積【例8】（2021·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖是一個(gè)幾體何的三視圖（圖中尺寸單位：cm），則這個(gè)幾何體的側(cè)面積為（）A．48πcm2 B．24πcm2 C．12πcm2 D．9πcm2【答案】B【分析】先判斷這個(gè)幾何體為圓錐，同時(shí)得到圓錐的母線長(zhǎng)為8，底面圓的直徑為6，然后利用扇形的面積公式計(jì)算這個(gè)圓錐的側(cè)面積．【詳解】解：由三視圖得這個(gè)幾何體為圓錐，圓錐的母線長(zhǎng)為8，底面圓的直徑為6，所以這個(gè)幾何體的側(cè)面積＝12×π×6×8＝24π（cm2故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．也考查了三視圖．【變式8-1】（2020·廣東茂名·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）圖2是圖1中長(zhǎng)方體的三視圖，用S表示面積，S主=xA．x2+3x+2 B．x2+2【答案】C【分析】由主視圖和左視圖的寬為c，結(jié)合兩者的面積得出俯視圖的長(zhǎng)和寬，從而得出答案．【詳解】解：∵S主=x∴俯視圖的長(zhǎng)為x+3，寬為x∴S俯故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖判斷幾何體，整式乘法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀，以及幾何體的長(zhǎng)、寬、高．【變式8-2】（2021·寧夏吳忠·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為．【答案】3π+4【分析】首先根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀，然后計(jì)算其表面積即可．【詳解】解：觀察該幾何體的三視圖發(fā)現(xiàn)其為半個(gè)圓柱，半圓柱的直徑為2，高為1，故其表面積為：π×12+（π+2）×2=3π+4，故答案為：3π+4．【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是首先根據(jù)三視圖得到幾何體的形狀，難度不大．題型09求小立方塊堆砌圖形的表面積【例9】（2020·江蘇南京·統(tǒng)考一模）用若干個(gè)相同的小正方體搭一個(gè)幾何體，該幾何體的主視圖、俯視圖如圖所示．若小正方體的棱長(zhǎng)為1，則搭成的幾何體的表面積是．【答案】28或30【分析】由俯視圖可得第一層正方體的個(gè)數(shù)，由主視圖可得第二層和第三層最少或最多的正方體的個(gè)數(shù)，相加解答即可．【詳解】解：搭這樣的幾何體最少需要4+1+2＝7個(gè)小正方體，最多需要4+2+2＝8個(gè)小正方體，所以搭成的幾何體的表面積是4×7＝28或4×8﹣2＝30，故答案為：28或30．【點(diǎn)睛】考查學(xué)生對(duì)三視圖掌握程度和靈活運(yùn)用能力，同時(shí)也體現(xiàn)了對(duì)空間想象能力方面的考查．如果掌握口訣“俯視圖打地基，主視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”就更容易得到答案．【變式9-1】（2021·山東青島·統(tǒng)考一模）如圖，棱長(zhǎng)為5cm的正方體，無(wú)論從哪一個(gè)面看，都有三個(gè)穿透的邊長(zhǎng)為1cm的正方形孔（陰影部分），則這個(gè)幾何體的表面積（含孔內(nèi)各面）是cm2．【答案】252【分析】根據(jù)正方體6個(gè)外表面的面積、9個(gè)內(nèi)孔內(nèi)壁的面積和，減去“孔”在外表面的面積即可．【詳解】解：由正方體的6個(gè)外表面的面積為5×5×6﹣1×1×3×6＝132（cm2），9個(gè)內(nèi)孔的內(nèi)壁的面積為1×1×4×4×9﹣1×1×4×6＝120（cm2），因此這個(gè)有孔的正方體的表面積（含孔內(nèi)各面）為132+120＝252（cm2），故答案為：252．【點(diǎn)睛】本題考查正方體的表面積，求出“內(nèi)孔”的內(nèi)壁面積是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖是由10個(gè)邊長(zhǎng)為2cm的小正方體組合成的簡(jiǎn)單幾何體．(1)畫出該幾何體從三個(gè)方向看到的形狀圖；(2)該幾何體的表面積（含底面）是______．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)152【分析】（1）根據(jù)三視圖的畫法畫出相應(yīng)的圖形即可；（2）根據(jù)三視圖求解幾何體表面積即可．【詳解】（1）該幾何體的主視圖、左視圖和俯視圖如圖所示：（2）該幾何體的表面積為6×2+6×2+6×2+1+1×4=152故答案為：152cm【點(diǎn)睛】本題考查三視圖的畫法、求簡(jiǎn)單幾何體的表面積，熟練掌握三視圖的畫法，解答的關(guān)鍵是注意不要遺漏中間兩個(gè)正方形的面積．【變式9-3】（2024·河南平頂山·統(tǒng)考一模）把邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的6個(gè)相同正方體擺成如圖的形式．

（1）畫出該幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖；（2）直接寫出該幾何體的表面積為_(kāi)_____；（3）如果在這個(gè)幾何體上再添加一些相同的小正方體，并保持這個(gè)幾何體的左視圖和俯視圖不變，那么最多可以再添加______個(gè)小正方體．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）21；（3）2．【分析】（1）利用三視圖的畫法解題；（2）利用幾何體的形狀計(jì)算其表面積；（3）利用左視圖和俯視圖不變，得出可以添加的位置．【詳解】(1)如圖，(2)幾何體的表面積：4+3+3+4+5+2=21故答案為：21；(3)最多可以再添加2個(gè)正方體，如圖，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查作圖—三視圖、幾何體的表面積等知識(shí)，是常見(jiàn)考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．題型10已知三視圖求體積【例10】（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中所標(biāo)數(shù)據(jù)計(jì)算這個(gè)幾何體的體積為（

）A．12π B．18π C．24π【答案】B【分析】根據(jù)三視圖可以確定該幾何體是空心圓柱體，再利用已知數(shù)據(jù)計(jì)算空心圓柱體的體積．【詳解】解：先由三視圖確定該幾何體是空心圓柱體，底面外圓直徑是4，內(nèi)圓直徑是2，高是6．空心圓柱體的體積為π×(42)2×6-π×(故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖確定幾何體和求圓柱體的體積，考查學(xué)生的空間想象．【變式10-1】（2021·內(nèi)蒙古包頭·統(tǒng)考二模）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A．1 B．2 C．2 D．4【答案】B【分析】由三視圖易得此幾何體為底面是一個(gè)等腰直角三角形的直三棱柱，根據(jù)體積=底面積×高，把相關(guān)數(shù)值代入即可求解．【詳解】解：由三視圖可確定此幾何體為底面是一個(gè)等腰直角三角形的直三棱柱，等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為1，高為2，則，等腰直角三角形的底面積=1體積=底面積×高=1×2=2，故選：B【點(diǎn)睛】此題主要考查了由三視圖判斷幾何體，以及求三棱柱的體積，讀懂題意，得出該幾何體的形狀是解決本題的關(guān)鍵．【變式10-2】（2022·河北石家莊·統(tǒng)考二模）如圖是由若干個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體搭成的一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體的體積是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】利用主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形，進(jìn)而判斷圖形形狀，即可得出小正方體的個(gè)數(shù)．【詳解】解：綜合三視圖，我們可以得出，這個(gè)幾何模型的底層有3+1＝4個(gè)小正方體，第二層有1個(gè)小正方體，因此搭成這個(gè)幾何體模型所用的小正方體的個(gè)數(shù)是4+1＝5個(gè)．∴這個(gè)幾何體的體積是5×13＝5，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)三視圖掌握程度和靈活運(yùn)用能力，同時(shí)也體現(xiàn)了對(duì)空間想象能力方面的考查．掌握口訣“俯視圖打地基，正視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”是解題的關(guān)鍵．【變式10-3】（2022·山東青島·統(tǒng)考一模）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為．【答案】48-3【分析】根據(jù)三視圖確定幾何體的形狀為一個(gè)正方體中間去掉一個(gè)圓柱體，根據(jù)三視圖數(shù)據(jù)計(jì)算體積．【詳解】解：由三視圖可知，原幾何體是一個(gè)正方體中間去掉一個(gè)圓柱體，正方體的邊長(zhǎng)為1+2+1=4，圓柱體的直徑為2，兩者的高度都為3，∴該幾何體的體積為42×3-π故答案為：48-3π【點(diǎn)睛】此題考查了幾何體的三視圖，計(jì)算幾何體的體積，正確掌握幾何體的三視圖的理解是解題的關(guān)鍵．【變式10-4】（2022·云南德宏·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，圖形是某幾何體的三視圖（其中主視圖也稱正視圖，左視圖也稱側(cè)視圖）．已知主視圖和左視圖是兩個(gè)全等的等腰三角形．若主視圖腰長(zhǎng)為6，俯視圖是直徑等于4的圓，則這個(gè)幾何體的體積為．【答案】16【分析】先由三視圖判定幾何體是圓錐，再根據(jù)勾股定理求出圓錐的高，最后由圓錐的體積公式計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)三視圖可知這個(gè)幾何體是圓錐，圓錐的高為：6∴V=13故答案為：162【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖判定幾何體，圓錐的計(jì)算，由三視圖判定幾何體是圓錐，根據(jù)三視圖求出圓錐的高是解題的關(guān)鍵題型11求幾何體視圖的面積【例11】（2022·江蘇無(wú)錫·無(wú)錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)長(zhǎng)方體的左視圖、俯視圖及相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，則其主視圖的面積為（

）A．12 B．15 C．20 D．60【答案】B【分析】根據(jù)左視圖與主視圖寬相等，主視圖與俯視圖長(zhǎng)相等，確定主視圖的長(zhǎng)、寬，即可求解．【詳解】由左視圖和俯視圖可得：主視圖的長(zhǎng)為5，寬為3，∴主視圖的面積為3×5=15，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖及其之間的數(shù)量關(guān)系，熟練掌握三視圖的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式11-1】（2021·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考一模）如圖，這是一個(gè)底面為等邊三角形的正三棱柱和它的主視圖、俯視圖，則它的左視圖的面積是（

）A．4 B．2 C．3 D．2【答案】D【分析】根據(jù)三視圖確定底面等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，該幾何體的高為2，再確定該幾何體的三視圖利用面積公式計(jì)算即可．【詳解】由三視圖可知：底面等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，該幾何體的高為2，該幾何體的左視圖為長(zhǎng)方形，該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為該幾何體的高2，寬為底面等邊三角形的高，∵底面等邊三角形的高=2×sin∴它的左視圖的面積是23故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，能根據(jù)幾何體會(huì)畫幾何體的三視圖，能依據(jù)三視圖判斷幾何體的長(zhǎng)、寬、高的數(shù)量，掌握簡(jiǎn)單幾何體的三視圖是解題的關(guān)鍵．【變式11-2】（2022·山西·三模）如圖所示的是由6個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方體組成的幾何體，其俯視圖的面積是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】首先根據(jù)組合體畫出它的俯視圖，再求俯視圖的面積即可求得．【詳解】解：該組合體的俯視圖為：故該組合體的俯視圖的面積為：1×1×3=故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了組合體的俯視圖，熟練掌握和運(yùn)用畫組合體的俯視圖的方法是解決本題的關(guān)鍵．【變式11-3】（2020·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考一模