2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國版）專題21 等腰三角形【十六大題型】（舉一反三）（原卷版）

專題21等腰三角形【十六大題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1根據(jù)等邊對等角求解或證明】 3【題型2根據(jù)三線合一求解或證明】 4【題型3格點圖中畫等腰三角形】 5【題型4根據(jù)等角對等邊證明或求解】 6【題型5確定構(gòu)成等腰三角形的點】 8【題型6等腰三角形性質(zhì)與判定綜合】 9【題型7利用等邊三角形的性質(zhì)求解】 10【題型8等邊三角形的判定】 12【題型9等腰/等邊三角形有關(guān)的動點問題】 13【題型10探究等腰/等邊三角形中線段間存在的關(guān)系】 14【題型11等腰/等邊三角形有關(guān)的新定義問題】 16【題型12等腰/等邊三角形有關(guān)的折疊問題】 18【題型13等腰/等邊三角形有關(guān)的規(guī)律探究問題】 20【題型14利用等腰/等邊三角形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題】 21【題型15利用垂直平分線的性質(zhì)求解】 23【題型16線段垂直平分線的判定】 25【知識點等腰三角形】等腰三角形1.等腰三角形的概念：有兩邊相等的三角形角等腰三角形．2.等腰三角形性質(zhì)：1）等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）.2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.（簡稱“三線合一”）.3.等腰三角形的判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）.易錯混淆：1.等腰三角形的邊有腰、底之分,角有頂角、底角之分,若題目中的邊沒有明確是底還是腰,角沒有明是頂角還是底角，需要分類討論.2.頂角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的兩個底角都為45°.3.等腰三角形是軸對稱圖形，它有1條或3條對稱軸．4.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）．5.等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長為a，底邊長為b，則b26.等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為∠A，底角為∠B、∠C，則∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=1807.底角為頂角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分線將原等腰三角形分成兩個等腰三角形．（即頂角36°，底角72°）.8.等腰三角形的判定定理是證明兩條線段相等的重要依據(jù)，是把三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)．等邊三角形等邊三角形的概念：三條邊都相等的三角形叫等邊三角形，它是特殊的等腰三角形.等邊三角形的性質(zhì)：1）等邊三角形的三條邊相等.2）三個內(nèi)角都相等，并且每個內(nèi)角都是60°.等邊三角形的判定：1）三邊相等或三個內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形.有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.易錯混淆：1.等邊三角形具有等腰三角形的一切性質(zhì).2.等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸．3．等邊三角形的內(nèi)心、外心、重心和垂心重合．4.在等腰三角形中，只要有一個角是60°，無論這個角是頂角還是底角，這個三角形就是等邊三角形．5.等腰(等邊)三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊，即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合．6.等邊三角形面積的求解方法：S正三角形=3垂直平分線1垂直平分線的概念：經(jīng)過線段的中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（或線段的中垂線）.性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.判定：到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.易錯混淆：對于含有垂直平分線的題目，首先考慮將垂直平分線上的點與線段兩端點連接起來．【題型1根據(jù)等邊對等角求解或證明】【例1】（2023·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A，B，C在⊙O上，若∠C=30°，則∠ABO的度數(shù)為（

）

A．30° B．45° C．60° D．90°【變式1-1】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點F在矩形ABCD邊上，連接OF．若∠ADB=38°，∠BOF=30°【變式1-2】（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AC=BC=16，點D在AB上，點E在BC上，點B關(guān)于直線DE的軸對稱點為點B'，連接DB'，EB'，分別與AC相交于F

【變式1-3】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）已知四邊形ABCD是平行四邊形，點E在對角線BD上，點F在邊BC上，連接AE，EF，DE=

(1)如圖①，求證△AED(2)如圖②，若AB=AD，AE≠ED，過點C作CH∥AE交BE于點【題型2根據(jù)三線合一求解或證明】【例2】（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC與BC相交于點D，點E是AB的中點，點F是DC的中點，連接EF交AD于點P．若△ABC的面積是24，PDA．2.5 B．2 C．3.5 D．3【變式2-1】（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、B、C三點都在格點上，則sin∠ABC

【變式2-2】（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，點E是邊BC上一點，且BE=CD，

(1)求證：∠EAD(2)若∠C=60°，DE=4【變式2-3】（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）已知矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O，點E是邊AD上一點，連接BE,(1)如圖1，求證：△BEO(2)如圖2，設(shè)BE與AC相交于點F，CE與BD相交于點H，過點D作AC的平行線交BE的延長線于點G，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中的四個三角形（△AEF除外），使寫出的每個三角形的面積都與△【題型3格點圖中畫等腰三角形】【例3】（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）圖①、圖2均是4×4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，小正方形的邊長為1，點A，點B均在格點上，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點均在格點上．（1）在圖①中，以點A，B，C為頂點畫一個等腰三角形；（2）在圖②中，以點A，B，D，E為頂點畫一個面積為3的平行四邊形．【變式3-1】（2023·廣東云浮·統(tǒng)考二模）如圖，點A，B是4×4網(wǎng)格中的格點，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長為1，如果以A，B，C為頂點的三角形是等腰三角形，則滿足條件的所有格點C有（

）個．

A．6 B．7 C．8 D．9【變式3-2】（2023·浙江麗水·統(tǒng)考二模）如圖，是由邊長為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個小等邊三角形的頂點叫作格點．線段AB的端點均在網(wǎng)格上，分別按要求作圖，每小題各畫出一個即可．

(1)在圖1中畫出以AB為邊的平行四邊形ABCD，且點C，D在格點上；(2)在圖2中畫出等腰三角形ABE，且點E在格點上；(3)在圖3中畫出直角三角形ABF，且點F在格點上．【變式3-3】（2023·浙江寧波·統(tǒng)考二模）在4×6的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點，分別按要求畫出圖形（僅用無刻度直尺，并保留畫圖痕跡）．(1)在圖1中，已知線段AB的端點均在格點上，畫出一個以AB為腰的等腰△ABC，且C(2)在圖2中，已知△ABC為格點三角形，作出△ABC的內(nèi)心點【題型4根據(jù)等角對等邊證明或求解】【例4】（2023·山西大同·校聯(lián)考一模）如圖，AB=CD=3，∠A=15°，∠C=15°

【變式4-1】（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，點D，E在△ABC的邊BC上，∠B=∠C，BD=CE，求證：△ABD≌△ACE【變式4-2】（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，D，E是△ABC邊上的點，ED∥BC，BE

(1)求證：BD=(2)若BD:BC=2:3【變式4-3】（2023·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）折疊問題是我們常見的數(shù)學(xué)問題，它是利用圖形變化的軸對稱性質(zhì)解決的相關(guān)問題．?dāng)?shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展了數(shù)學(xué)活動．【操作】如圖1，在矩形ABCD中，點M在邊AD上，將矩形紙片ABCD沿MC所在的直線折疊，使點D落在點D'處，MD'與BC交于點

【猜想】】【驗證】請將下列證明過程補充完整：∵矩形紙片ABCD沿MC所在的直線折疊∴∠CMD=∵四邊形ABCD是矩形∴AD∥∴∠CMD=（∴=（等量代換）∴MN=CN（【應(yīng)用】如圖2，繼續(xù)將矩形紙片ABCD折疊，使AM恰好落在直線MD'上，點A落在點A'處，點B落在點B（1）猜想MN與EC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）若CD=2，MD=4，求【題型5確定構(gòu)成等腰三角形的點】【例5】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，M，N是∠AOB的邊OA上的兩個點(OM＜ON)，∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若邊OB上有且只有1個點P，滿足△PMN是等腰三角形，則a的取值范圍是．【變式5-1】（2023·福建·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（0，2），B（0，6），動點C在直線y=x上．若以A、B、C三點為頂點的三角形是等腰三角形，則點C的個數(shù)是A．2 B．3 C．4 D．5【變式5-2】（2023·江蘇·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AD=4，點P是直線AD上一動點，若滿足△PBC是等腰三角形的點P有且只有3個，則AB的長為．【變式5-3】（2023·江西南昌·三模）如圖，點A是直線y=-2x+3上的動點，過點A作AB垂直x軸于點B，y軸上存在點C，能使以A、B、C為頂點的三角形是等腰直角三角形．請寫出所有符合條件的點C【題型6等腰三角形性質(zhì)與判定綜合】【例6】（2023·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點P，Q分別在AB和AC上，PQ∥BC，M為PQ上一點，且滿足PM=2MQ．連接AM、DM，若

【變式6-1】（2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在?ABCD中，AB=6，AD=4，以A為圓心，AD的長為半徑畫弧交AB于點E，連接DE，分別以D，E為圓心，以大于12DE的長為半徑畫弧，兩弧交于點F，作射線AF，交DE于點M，過點M作MN∥AB

【變式6-2】（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點E是AD的中點，將矩形ABCD沿BE所在的直線折疊，C，D的對應(yīng)點分別為C'，D'，連接AD

(1)若∠DED'(2)連接EF，試判斷四邊形C'【變式6-3】（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=6，BC=6．點E為邊BC的中點，點F為邊AD上一點，將四邊形ABEF沿EF折疊，點A的對應(yīng)點為點A'，點B的對應(yīng)點為點B'，過點B'作B'H⊥

【題型7利用等邊三角形的性質(zhì)求解】【例7】（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O是坐標(biāo)原點，已知點A3,0，B0,4，點C在x軸負(fù)半軸上，連接AB，BC，若tan∠ABC=2，以BC為邊作等邊三角形BCD，則點C的坐標(biāo)為

【變式7-1】（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，△BPC是等邊三角形，則陰影部分的面積為

【變式7-2】（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）△ABC是等邊三角形，點E是射線BC上的一點（不與點B，C重合），連接AE，在AE的左側(cè)作等邊三角形AED，將線段EC繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段EF,連接BF．交DE于點M

(1)如圖1，當(dāng)點E為BC中點時，請直接寫出線段DM與EM的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2．當(dāng)點E在線段BC的延長線上時，請判斷（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；(3)當(dāng)BC=6，CE=2時，請直接寫出【變式7-3】（2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖1，點G為等邊△ABC的重心，點D為BC邊的中點，連接GD并延長至點O，使得DO=DG，連接GB，GC，

(1)求證：四邊形BOCG為菱形．(2)如圖2，以O(shè)點為圓心，OG為半徑作⊙①判斷直線AB與⊙O②點M為劣弧BC上一動點（與點B、點C不重合），連接BM并延長交AC于點E，連接CM并延長交AB于點F，求證：AE+【題型8等邊三角形的判定】【例8】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AD上一動點（不與點A，D重合）．邊BC關(guān)于BE對稱的線段為BF，連接AF．

(1)若∠ABE=15°，求證：(2)延長FA，交射線BE于點G；①△BGF能否為等腰三角形？如果能，求此時∠②若AB=3+6，求【變式8-1】（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分線分別交AB

(1)求證：AE=2(2)連接CD，請判斷△BCD【變式8-2】（2023·廣西·模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，(1)請用尺規(guī)作圖法，在AB邊上求作一點P，使得PC=(2)連接CP，若∠ABC=30°，證明【變式8-3】（2023·河北承德·校聯(lián)考一模）如圖，已知在⊙O中，弦AB垂直平分半徑ON，NO的延長線交⊙O于P，連接AP，過點A，

(1)求證：△ABM(2)若⊙O的半徑為2，求AP【題型9等腰/等邊三角形有關(guān)的動點問題】【例9】（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，線段AB=8，點C是線段AB上的動點，將線段BC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段BD，連接CD，在AB的上方作RtΔDCE，使∠DCE=90°,∠E=30°，點

【變式9-1】（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，E為AB邊上一點，以AE為直徑的半圓O與BC相切于點D，連接AD，BE=3,BD=35．P是

【變式9-2】（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，點E為高BD上的動點．連接CE，將CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到CF．連接AF，EF，DF，則△CDF周長的最小值是

【變式9-3】（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點B的坐標(biāo)為-8，6，過點B分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為點C、點A，直線y=-2x-6與AB交于點D．與y軸交于點E．動點M在線段BC上，動點N在直線y=-2

【題型10探究等腰/等邊三角形中線段間存在的關(guān)系】【例10】（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）我們可以通過面積運算的方法，得到等腰三角形底邊上的任意一點到兩腰的距離之和與一腰上的高之間的數(shù)量關(guān)系，并利用這個關(guān)系解決相關(guān)問題．(1)如圖一，在等腰△ABC中，AB=AC，BC邊上有一點D，過點D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，過點C作(2)如圖二，將矩形ABCD沿著EF折疊，使點A與點C重合，點B落在B'處，點G為折痕EF上一點，過點G作GM⊥FC于M，GN⊥BC于N.若BC(3)如圖三，在四邊形ABCD中，E為線段BC上的一點，EA⊥AB，ED⊥CD，連接BD，且ABCD=AEDE，【變式10-1】（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a，b分別表示∠A，∠B的對邊，a>b．記△ABC的面積為(1)如圖1，分別以AC，CB為邊向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．記正方形ACDE的面積為S1，正方形BGFC的面積為S①若S1=9，S2②延長EA交GB的延長線于點N，連結(jié)FN，交BC于點M，交AB于點H．若FH⊥AB（如圖2所示），求證：S2(2)如圖3，分別以AC，CB為邊向形外作等邊三角形ACD和等邊三角形CBE，記等邊三角形ACD的面積為S1，等邊三角形CBE的面積為S2．以AB為邊向上作等邊三角形ABF（點C在△ABF內(nèi)），連結(jié)EF，CF．若EF⊥CF，試探索S2【變式10-2】（2023·湖北十堰·統(tǒng)考一模）在Rt△ABC中，AB=AC,D為BC邊上一點（不與點B、C重合），將線段

(1)如圖1，連接EC，則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是_________，位置關(guān)系是________；(2)如圖2，當(dāng)點D在BC的延長線上時，連接EC，寫出此時線段AD,(3)如圖3，在四邊形ABCF中，∠ABC=∠ACB=∠AFC【變式10-3】（2023·安徽滁州·?？寄M預(yù)測）在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA=OB，OC=OD，連接(1)如圖1．若∠AOB=∠COD=40°，則AC與BD的數(shù)量關(guān)系為___________(2)如圖2，若∠AOB=∠COD=90°，判斷(3)在（2）的條件下，當(dāng)∠ABC=60°，且點C與點M重合時，請直接寫出OD與【題型11等腰/等邊三角形有關(guān)的新定義問題】【例11】（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）定義：如圖1，在△ABC中，點P在BC邊上，連接AP，若AP的長恰好為整數(shù)，則稱點P為BC邊上的“整點”如圖2，已知等腰三角形的腰長為10，底邊長為6，則底邊上的“整點”個數(shù)為；如圖3，在△ABC中，AB=25，AC=29，且BC邊上有6個“整點”【變式11-1】（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考模擬預(yù)測）定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的3倍，這樣的三角形叫做“3倍長三角形”．若等腰△ABC是“3倍長三角形”，底邊BC的長為3，則等腰△ABC的周長為【變式11-2】（2023·浙江湖州·統(tǒng)考二模）定義：如果四邊形的一條對角線把該四邊形分割成兩個等腰三角形，且這條對角線是這兩個等腰三角形的腰，那么我們稱這個四邊形為雙等腰四邊形．

(1)如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，連結(jié)BD，點E是BD的中點，連結(jié)①試判斷四邊形ABCE是否是雙等腰四邊形，并說明理由；②若∠AEC=90°，求(2)如圖2，點E是矩形ABCD內(nèi)一點，點F是邊CD上一點，四邊形AEFD是雙等腰四邊形，且AD=DE．延長AE交BC于點G，連結(jié)FG．若AD=5，∠EFG=90°【變式11-3】（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考二模）給出一個新定義：有兩個等腰三角形，如果它們的頂角相等、頂角頂點互相重合且其中一個等腰三角形的一個底角頂點在另一個等腰三角形的底邊上，那么這兩個等腰三角形互為“友好三角形”．

(1)如圖①，△ABC和△ADE互為“友好三角形”，點D是BC邊上一點（異于B點），AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=m°，連接CE，則CE______BD（填“<”(2)如圖②，△ABC和△ADE互為“友好三角形”，點D是BC邊上一點，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，M、(3)如圖③，△ABC和△ADE互為“友好三角形”，點D是BC邊上一動點，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，BC=6，過D點作DF⊥AD，交直線【題型12等腰/等邊三角形有關(guān)的折疊問題】【例12】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）如圖，DE平分等邊△ABC的面積，折疊△BDE得到△FDE,AC分別與DF,EF相交于G,H

【變式12-1】（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐問題背景數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)國旗上五角星的五個角都是頂角為36°的等腰三角形，對此三角形產(chǎn)生了極大興趣并展開探究．

探究發(fā)現(xiàn)如圖1，在△ABC中，∠A=36°

（1）操作發(fā)現(xiàn)：將△ABC折疊，使邊BC落在邊BA上，點C的對應(yīng)點是點E，折痕交AC于點D，連接DE，DB，則∠BDE=_______°，設(shè)AC=1，BC=x（2）進一步探究發(fā)現(xiàn)：底BC腰AC=5-拓展應(yīng)用：當(dāng)?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時，這個三角形叫黃金三角形．例如，圖1中的△ABC是黃金三角形．如圖2，在菱形ABCD中，∠BAD=72°

【變式12-2】（2023·安徽蚌埠·一模）如圖，△ABC中，CA=CB，∠ACB=50°，點E是BC上一點，沿DE折疊得△PDE，點P落在∠ACB的平分線上，PF垂直平分AC，F(xiàn)為垂足，則【變式12-3】（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）問題情境：如圖1，在△ABC中，AB=AC=17，BC=30，AD是BC邊上的中線．如圖2，將△ABC的兩個頂點B，C分別沿EF,GH折疊后均與點D重合，折痕分別交

猜想證明：(1)如圖2，試判斷四邊形AEDG的形狀，并說明理由．問題解決；(2)如圖3，將圖2中左側(cè)折疊的三角形展開后，重新沿MN折疊，使得頂點B與點H重合，折痕分別交AB,BC于點M，N，BM的對應(yīng)線段交DG于點K，求四邊形【題型13等腰/等邊三角形有關(guān)的規(guī)律探究問題】【例13】（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）已知，△OA1A2,△A3A4A5,△

【變式13-1】（2023·山東棗莊·校考一模）如圖△OA1B1、△A1A2B2、△A2A3B3都是等腰直角三角形，直角頂點B1、B2【變式13-2】（2023·湖南婁底·校聯(lián)考一模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，一個圖形先向右平移a個單位，再繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)θ角度，這樣的圖形運動叫作圖形的γa,θ變換．如圖，等邊△ABC的邊長為1，點A在第一象限，點B與原點O重合，點C在x軸的正半軸上，△A1B1C1就是△ABC經(jīng)γ1,180°變換后所得的圖形，若△ABC經(jīng)γ1,180°變換后得到△A1B1C1，△A1B

【變式13-3】（2023·湖北黃岡·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC為等腰三角形，AC=AB=5，BC=8，點A與坐標(biāo)原點重合，點C在x軸正半軸上，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度后得到△A1B1C，使得點B對應(yīng)點B1在x軸上，記為第一次旋轉(zhuǎn)，再將△A1B【題型14利用等腰/等邊三角形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題】【例14】（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°．以點B為圓心，任意長為半徑作弧，交AB于點F，交BC于點G，分別以點F和點G為圓心，大于12FG的長為半徑作弧，兩弧相交于點H，作射線BH交AC于點D；分別以點B和點D為圓心，大于12BD的長為半徑作弧，兩孤相交于M、N兩點，作直線MN交AB于點E，連接DE．下列四個結(jié)論：①∠AED=∠ABC；

A．1 B．2 C．3 D．4【變式14-1】（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，△BAC,△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DEB=∠AEF=90°，點E在△ABC內(nèi)，BE>AE，連接DF交AE于點G,DE交AB于點H，連接CF【變式14-2】（2023·四川·中考真題）如圖，點D為ΔABC的AB邊上的中點，點前E為AD的中點，ΔADC為正三角形，給出下列結(jié)論，①CB=2CE,②tan∠B=34，③∠ECD=∠DCB，④若AC=2，點P是AB上一動點，點P到AC、BC【變式14-3】（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，等邊ΔABC的邊長為3，點D在邊AC上，AD=12，線段PQ在邊BA①CP與QD可能相等；②ΔAQD與ΔBCP可能相似；③四邊形PCDQ面積的最大值為31316；④四邊形PCDQ周長的最小值為3+37A．①④ B．②④ C．①③ D．②③【題型15利用垂直平分線的性質(zhì)求解】【例15】（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，為制作角度尺，將長為10，寬為4的矩形OABC分割成4×10的小正方形網(wǎng)格．在該矩形邊上取點P，來表示∠POA

（答題卷用）作法（如圖）結(jié)論

①在CB上取點P1，使C∠P1OA=45°，點