2022-2023學(xué)年山東省泰安市高一年級下冊期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年山東省泰安市高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)2=江，則復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()

1+Z

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】首先利用復(fù)數(shù)的除法運算化簡z,再利用復(fù)數(shù)的幾何意義求復(fù)數(shù)對應(yīng)的點.

【詳解】因為z=「2-z=13所以復(fù)數(shù)2="2在-z復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限.

1+z(l+z)(l-z)221+z

故選：D

2.要得到函數(shù)y=sin(2x-()的圖象，只需將函數(shù)y=sin2x的圖象()

A.向左平移二個單位B.向右平移三個單位

1212

C.向左平移!個單位D.向右平移g個單位

66

【答案】D

【詳解】要得到函數(shù)y=sin(2x-q),只需將函數(shù)y=sin2x中的x減去?，即得到y(tǒng)=sin2

=sin(2x/).

3.已知平面向量”，b.c>?=(-1,1),b=(2,3),c=(-2,k),若(a+b)〃c,則實數(shù)k=()

A.4B.-4C.8D.-8

【答案】D

【解析】首先根據(jù)向量加法的坐標運算求出a+〃的坐標，再根據(jù)平面向量共線定理計算可得.

【詳解】解：a=(-1,1).1=(2,3),2=(-2,1)

:.a+b=(1,4),

(a+b)//c,

「.lx攵-4x(-2)=0,

=-8.

故選：D

【點睛】本題考查向量的坐標運算，平面向量共線定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.已知ABC的面積為彳，且b=2,c=<則A=()

A.30°B.60°C.150°D.120°或60°

【答案】D

【分析】由三角形的面積公式求出sinA=3即得解.

2

【詳解】因為S=gbcsinA=|,則有g(shù)x2xgsinA=g,所以sinA=乎，

因為0。<4<180,所以A=60或120.

故選：D.

5.已知z=(4-i)(2i-l),則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【分析】化簡復(fù)數(shù)z和再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷選項.

【詳解】因為z=(4—i)(2i—l)=8i-4+i+2=-2+9i,

故三=-2-9i,

所以z的共輾復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(-2,-9),位于第三象限.

故選：C.

6.已知ABC中，O為3c的中點，且陽=4,河+人牛,八人斗ZACB=^,則向量40在

向量AB上的投影向量為()

A.-ABB.—ABC.—ABD.AB

432

【答案】C

【分析】由向量線性運算可得2k。卜阿，知/640=],根據(jù)投影向量為卜。卜。sNOAB

結(jié)合長度和角度關(guān)系可求得結(jié)果.

【詳解】卜B+AC卜.-.2|AC>|=|CB|,AABAC=^,

c

又忸q=4,NAC8=S二網(wǎng)=2,|AO|=2,為等邊三角形，.?.NQA8=1

二.AO在AB上的投影向量為|4。卜°$/。48

故選：C.

7.在等腰梯形A8CQ中，AB=2DC,E,尸分別為ARBC的中點，G為EF的中點，則AG等于（）

33311313

A.-AB+-ADB.-AB+-ADC.-AB+-ADD.-AB+-AD

84822448

【答案】B

【分析】根據(jù)平面向量的共線定理、平面向量的加法的幾何意義，結(jié)合已知和等腰梯形的性質(zhì)進行

求解即可.

【詳解】因為在等腰梯形A8C。中，AB=2DC,E,尸分別為ARBC的中點，G為1"的中點，

所以可得：AG^AE+EG=-AD+-EF^-AD+-（AB+DC]=-AD+-AB.

故選：B.

8.一船向正北方向勻速航行，看見正西方向有相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，船繼

續(xù)航行一小時后，看見一燈塔在船的南偏西60方向，另一燈塔在船的南偏西75方向，則這艘船的

航行速度是（）

A.5&海里/時B.5海里/時C.10及海里/時D.10海里/時

【答案】B

【分析】計算得出/。=NC4￡>,可得出AC=CD=10,可計算出A8,進而可計算得出這艘船的航

行速度.

【詳解】如下圖所示，由題意有N8AC=60,ABAD=15,故NCAO=75-60=15,

所以，ZD=ZACB-ZCAD=30-15=15,所以，AC=CD=10,

在Rt_ABC中，ZB=90,所以，AB=ACcosfA)=5,

因此，這艘船的航行速度是v=：=5海里/時.

故選：B.

二、多選題

9.已知向量〃z+〃=(3,l),小一〃=(1,一1),則()

A.(加一〃)B.[tn-n^//n

C.|w|=V2|/71D.M〃)=135。

【答案】AC

【分析】根據(jù)題意可得加=(2,0),〃=(覃)，根據(jù)々"1_〃=。為=%9+%%=0，判斷A正誤；根據(jù)

判斷B正誤；根據(jù)卜卜J'+、,代入計算判斷c正誤；根據(jù)8s卜,今=箭,

代入計算判斷D正誤.

【詳解】?.,，〃+"=(3,1),/n-M=(l,-l),則，“=(2,0),//=(1,1)

(m-njn=lxl+(-l)xl=0,則A正確；

?.?1x1x(-1)x1,優(yōu)_〃與〃不平行，B不正確；

|;M|=>/22+02=2,卜卜正，則|機|=&|〃|,C正確；

/\mn>/21\

8sM”片麗=T，貝M肛")=45°，D不正確;

故選：AC.

10.邊長為2的等邊一ABC中，力為BC的中點.下列正確的是()

A.AB+CA+BC=0

B.AB-AC=BC

C.ABBC=-2

D.AD--AB+-AC

22

【答案】ACD

【分析】由向量加減法法則，可以判斷選項ABD,再由向量數(shù)量積公式可判斷C.

【詳解】根據(jù)向量加法法則可知，AB+CA+BC=CB+BC=O＞故A正確；

根據(jù)向量減法法則可得A8-AC=A8+CA=C8，故B錯誤；

由向量數(shù)量積公式得ABIC=|A8,84COS120=-2,故C正確；

根據(jù)向量加法法則可知，AD=\AB+\AC,所以D正確.

22

故選：ACD.

11.已知復(fù)數(shù)4=1二2(i為虛數(shù)單位)，下列說法正確的是().

A.Z1對應(yīng)的點在第三象限

B.4的虛部為_1

C.z：=4

D.滿足閆=團的復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在以原點為圓心，半徑為2的圓上

【答案】AB

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，化簡得到根據(jù)復(fù)數(shù)的坐標表示，可判定A正確，根據(jù)復(fù)

數(shù)的概念，可判定B正確；根據(jù)復(fù)數(shù)的運算，可判定C不正確；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可判定D不

正確.

22(-1-/)

【詳解】由題意，復(fù)數(shù)4二-^-=I:.\=_1一"

所以復(fù)數(shù)4在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(-LT)位于第三象限，所以A正確；

由可得復(fù)數(shù)的虛部為-1,所以B正確；

由z,4=(-l-z)4=[(-l-j)2]2=(2z)2=-4，所以C不正確；

由㈤=J(-l)2+(-l)2=&,

所以滿足|z|=|zj的復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在以原點為圓心，半徑為灰的圓上，所以D不正確.

故選：AB.

12.如果平面向量。=(2,-4),6=(-6,12),那么下列結(jié)論中正確的是()

A.|*3口B.與”平行的一個單位向量為乎，-竽

\7

C.a與b的夾角為芻D..在Z,方向上的投影為-26

6

【答案】ABD

【分析】A.根據(jù)坐標計算出aW并判斷；B.利用j求解出與“平行的單位向量的坐標表示；C.根據(jù)

向量夾角余弦值的計算公式可求解出結(jié)果；D.根據(jù)投影的計算公式Wcos<〃力〉求解出結(jié)果.

【詳解】A.因為a=(2,-4),所以小AT話=2不，因為〃=(-6,12),所以忖=J36+144=6后,

所以忖=3何，故正確;

B.與°平行的一個單位向量為百，且卜|=26,所以與°平行的單位向量為白，-半，故正確;

.a?b—12—48

C-因為8S-=雨=訴法"1，所以<9>=*故錯誤；

D.因為“在6方向上的投影為^cosva力>=一忖=-2萬，故正確；

故選：ABD.

三、填空題

13.平面向量4,/7滿足4=(-1,a)，忖=&，|。-可=石，則&與6的夾角為.

【答案】￡/45

【分析】根據(jù)〃=卜1,血)，得出同，將卜-司=6兩邊同時平方，列式求出cosa,再求出夾角的

值.

【詳解】設(shè)a與b的夾角為a,

由”=(一1,0),得回=J(_iy+(播『=6.

因為卜卜布，

所以(q-b)=k『-2a/+W=3,

即3-2xQxCxcosa+6=3,

解得cosa=孝，因為。€[0,可，所以a=:.

故答案為：---

4

14.已知單位向量q,6的夾角為60。，則.

【答案】1

【分析】由題可得/卜M=l,a-b=g,先求出口-力（，即可得出答案.

【詳解】因為單位向量a，b的夾角為60°,所以口卜忖=1,?-/7=lxlxl=l,

所以卜-0=a-2a-b+h=l-2x^+l=l,所以k-b|=l.

故答案為：1.

15.若ae（0,]）,且cos2a+cos（,—2a）=而，則tan2a=_

【答案】-:3

4

【分析】利用誘導(dǎo)公式、二倍角正弦公式，將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為"2tan：=>,結(jié)合角的范圍求tana

tarra+110

值，再應(yīng)用二倍角正切公式求tan2a即可.

(兀八、.ccos2a+2sinacosa1+2tantz7

【詳解】Vcos~2a+cos----2a=cos-2a+sin2a=--------；------------------9-，

V2)sin-a+cos'atan~a+l10

工tana=3或tana=4,又aw(0,7T

?-EI-2tana3

??tana=3,則tan2a=-------；-=—

1-tana4

3

故答案為：-二

4

16.若向量〃=3i—=5i+4),貝1](：〃一6)—3(〃+17，+(26—〃)=.

32

【答案】-16/+yj

【解析】首先計算出(ga-/7)-3(a+|/，)+(26-”)=一號〃一6再代入計算可得.

【詳解]解：++(2h-a)=—h—3a—2h2h—a=-^-a—h

a=3i—4j,b=5i+4j

故答案為：-16，+耳）

【點睛】本題考查向量的線性運算，屬于基礎(chǔ)題.

四、解答題

J

17.已知cosa

3

⑴求tana的值；

⑵求cos(a+g)的直

【答案】(1)2后；

（2）］-2瓜

6

【分析】(1)根據(jù)已知可求出sina=2互，進而即可得出答案;

3

(2)根據(jù)兩角和的余弦公式，即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)因為ae(0,]),所以sina>0,

2V2

所以tana=包色=—3—=2>/2.

cosaI

3

（2）由（1）得，cosa=:，sina=—,

33

milred+兀1一CCSCCS7twinaGn"11A&'-2a

貝IJcosctH——cosoc,cos—sin（X-sin—=—x----2--/2-x—=-------.

I373332326

18.如圖，在AA3C中，ZBAC=120，AB=AC=3,點。在線段8c上，且

2

(1)求AD的長；

(2)求NO4c的大小.

【答案】(1)由；(2)90.

【解析】(1)利用AB和4c表示AO,然后利用平面向量數(shù)量積的運算律可計算出AO的長;

(2)利用平面向量數(shù)量積計算出cosNZMC的值，即可得出—D4C的值.

【詳解】⑴設(shè)AB=a，AC=h，

uinnnmuinminiminumi/uunuun、oULK1umn2r1r

則AO=A3+3￡>=A3+—3C=A8+—4C—A3=—A3+—AC=—Q+—Z?,

33、)3333

IUUD.2uum(21*4r2?rr1r2421

/.AZ)=AD2=—a+-b=—a+2x—ab+—b=—x9+2x-x3x3xcosl20°4--x9=3,

II(331999999

故A。=5

（2）設(shè)/ZMC=e,則。為向量AO與AC的夾角.

2r[1I-r?rr12

uuuuuu-a+-b\-b-bj2+-a-b-x9+—x3x3x

AD-AC-33_33=0>...6=90,即

LttfflMUUM?=

AD]\AC\&33G3G

"AC=90.

【點睛】本題考查利用平面向量的數(shù)量積求模和夾角，解題的關(guān)鍵就是選擇合適的基底來表示向量,

考查計算能力，屬于中等題.

19.復(fù)數(shù)Znd+iy+M，其中i為虛數(shù)單位.

1-1

⑴求Z及卜

⑵若z?+應(yīng)+b=2+3i,求實數(shù)。，匕的值.

【答案】⑴z=-l+3i,1=亞

【分析】（1）首先根據(jù)復(fù)數(shù)的運算求解出復(fù)數(shù)z,進而根據(jù)復(fù)數(shù)的模長公式求解|z|；

（2）首先將z=-l+3i代入等式，然后根據(jù)等式關(guān)系構(gòu)造方程組，解方程組即可得到實數(shù)”，匕的

值.

【詳解】（1）?.?z=（l+i>+L=l+2i+i2+714=2i+i1+i=-l+3i,

.-.|z|=V（-l）2+32=Vio.

（2）由（1）可知z=-l+3i,z=-l-3i

由z?+應(yīng)+。=2+3i,得：（一l+3i）~+a（-l-3i）+b=2+3i,

[-8-a+b=2,ft?=-3,

即（—8—a+Z0+（-6—3a）i=2+3i,,解得1~

[一6—3〃=3.[0=7.

20.在二ABC中內(nèi)角A、B、。所對的邊分別為〃、b、c,KccosB+ftcosC=—^—.

2cosA

⑴求角A.

(2)若a=2&,h+c=6,求45c的面積.

【答案】(1)A=?；

⑵26.

【分析】(1)根據(jù)正弦定理，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式進行求解即可;

(2)根據(jù)余弦定理，結(jié)合三角形面積公式進行求解即可.

【詳解】(1)cosA(ccos￡?+/>'cosC)=y,

sinA

由正弦定理知,cosA?(sinC?cosB+sin3cosC)=------,

BPcosA-sin(^+C)=.

又B+C=兀一A,且sinAwO.所以cosA=1,

2

由于所以A=

(2)由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA,

12=+/一力。=(b+c)2-3b。

又b+c=6,所以bc=8

所以=—Z?c-sinA=—x8x=2>/3.

4nt>\,222?

21.已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+2Gsin2x-G.

⑴求函數(shù)fW的單調(diào)遞增區(qū)間；

TT7兀

⑵求函數(shù)/(X)在區(qū)間上的最大值和最小值；

⑶若0為銳角，+=p求cos。的值.

7T5兀

【答案】⑴kn--,kn+—,kwZ；

(2)最大值為2,最小值為-1；

⑶cos。=—.

10

【分析】(1)化簡函數(shù)解析式，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性求其單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)利用不等式的性質(zhì)和正弦函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最大值和最小值；

(3)由條件可求sin(e_w),利用同角關(guān)系求cos[e_：J,然后利用cose=cos[(e_；]+；算出答案

即可.

【詳解】(1)由已知/(x)=sin2x+26x^^^_G=sin2x-Gcos2x=2sin(2x-5).

令2fat--<2x~—<2kit+—,keZ,解得E—<x<kn+—,keZ

2321212

TT57r

故函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為kTt-—,kn+—?eZ

,_.]7u,7兀/口幾?！?兀

(2)由一<x<—,可r得——<2x——<—

1212636

所以-g4sin(2x-])41,故一14f(x)42,

所以函數(shù)/(x)在區(qū)間奈得上的最大值為2,此時2x-1