初三上專題四點共圓

四點共圓專題講義例1．如圖，E、F、G、H分別是菱形ABCD各邊的中點．求證：E、F、G、H四點共圓．例2．（1）如圖，在△ABC中，BD、CE是AC、AB上的高，∠A=60°．求證：ED=（2）已知：點O是△ABC的外心，BE，CD是高．求證：AO⊥DE例3．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC．求證：B、E、F、C四點共圓．總結(jié)：四點共圓的方法：OA=OB=OC∠ADC=∠ABC=90°∠ACD=∠ABD=90°∠B+∠D=180°或∠A+∠BCD=180°或∠A=∠DCE∠A=∠D或∠B=∠C1．__________________________________________________________2．__________________________________________________________3．__________________________________________________________4．__________________________________________________________例4．求證：圓內(nèi)接四邊形對邊乘積的和等于對角線的乘積，即圖中AB·CD+BC·AD=AC·BD．練習1．在中，，M是AC的中點，P是線段BM上的動點，將線段PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)得到線段PQ．（1）若且點P與點M重合（如圖1），線段CQ的延長線交射線BM于點D，請補全圖形，并寫出∠CDB的度數(shù)；（2）在圖2中，點P不與點B，M重合，線段CQ的延長線與射線BM交于點D，猜想∠CDB的大?。ㄓ煤拇鷶?shù)式表示），并加以證明；（3）對于適當大小的，當點P在線段BM上運動到某一位置（不與點B，M重合）時，能使得線段CQ的延長線與射線BM交于點D，且PQ=QD，請直接寫出的范圍．練習2．在△ABC中，∠A=30°，AB=2，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)（0°<<90°），得到△DBE，其中點A的對應點是點D，點C的對應點是點E，AC、DE相交于點F，連接BF.（1）如圖1，若=60°，線段BA繞點B旋轉(zhuǎn)得到線段BD.請補全△DBE，并直接寫出∠AFB的度數(shù)；（2）如圖2，若=90°，求∠AFB的度數(shù)和BF的長；（3）如圖3，若旋轉(zhuǎn)（0°<<90°），請直接寫出∠AFB的度數(shù)及BF的長（用含的代數(shù)式表示）.圖3圖3圖1圖2練習3．已知，點P是∠MON的平分線上的一動點，射線PA交射線OM于點A，將射線PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)交射線ON于點B，且使∠APB+∠MON=180°．

（1）利用圖1，求證：PA=PB；

（2）如圖2，若點C是AB與OP的交點，當S△POB=3S△PCB時，求PB與PC的比值；

（3）若∠MON=60°，OB=2，射線AP交ON于點D，且滿足且∠PBD=∠ABO，請借助圖3補全圖形，并求OP長．

練習4．已知，在△ABC中，AB=AC．過A點的直線a從與邊AC重合的位置開始繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)角θ，直線a交BC邊于點P（點P不與點B、點C重合），△BMN的邊MN始終在直線a上（點M在點N的上方），且BM=BN，連接CN．

（1）當∠BAC=∠MBN=90°時，

①如圖a，當θ=45°時，∠ANC的度數(shù)為________；

②如圖b，當θ≠45°時，①中的結(jié)論是否發(fā)生變化？說明理由；

（2）如圖c，當∠BAC=∠MBN≠90°時，請直接寫出∠ANC與∠BAC之間的數(shù)量關系，不必證明．

練習5．已知：Rt△和

Rt△ABC重合，=∠ACB=90°，=∠BAC=30°，現(xiàn)將Rt△

繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α（60°≤α≤90°），設旋轉(zhuǎn)過程中射線和線段相交于點D,連接BD．（1）當α=60°時，過點C，如圖1所示，判斷BD和之間的位置關系，不必證明；（2）當α=90°時，在圖2中依題意補全圖形，并猜想（1）中的結(jié)論是否仍然成立，不必證明；（3）如圖3，對旋轉(zhuǎn)角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的結(jié)論是否仍然成立；若成立，請證明你的結(jié)論；若不成立，請說明理由．圖1圖2圖3分析：連KM，由∠DAM=∠CBK，得到A，B，M，K四點共圓，則∠DAB=∠CMK，∠AKB=∠AMB，而∠DAB+∠ADC=180°，得到∠CMK+∠KDC=180°，因此C，D，K，M四點共圓，所以∠CMD=∠DKC，即可得到∠DMA=∠CKB．解答：解：連KM，

∵∠DAM=∠CBK，

∴A，B，M，K四點共圓，

∴∠DAB=∠CMK，∠AKB=∠AMB，

又∵AB∥DC