2023-2024學(xué)年上海市虹口高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年上海市虹口高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、填空題

1.在等差數(shù)列{叫中，已知4=2,a3=-4,則%=一

【正確答案】-7

【分析】利用通項(xiàng)公式的相關(guān)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】設(shè)公差為d,則"=幺二2=-3,

2

所以％=%+d=-7.

故-7

2.等比數(shù)列{%}("eN*)中，若生=L，?=p則/=.

【正確答案】4

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得答案.

【詳解】設(shè)等比數(shù)歹∣J{4}(〃€N*)的公比為“，則的=々'。'=3，解得q'=8,即4=2,

所以4=αsχq3=gχ8=4,

故4?

3.半徑為2的球的表面積為.

【正確答案】16π

2

【分析】代入球的表面積公式:Sii=4πR即可求得.

【詳解】R=2,

???由球的表面積S表=4乃川公式可得，

S球表=4X)X22=16I,

故答案為：16萬(wàn)

本題考查球的表面積公式;屬于基礎(chǔ)題.

4.從甲、乙、丙、丁4名同學(xué)中選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則甲、乙兩人都沒(méi)有被選到的概

率為(用數(shù)字作答).

【正確答案】?

6

先計(jì)算出從4名同學(xué)中選2名同學(xué)的情況，再計(jì)算出甲、乙兩人都沒(méi)有被選到的情況，即可

求出概率.

4×3

【詳解】解：從4名同學(xué)中選2名同學(xué)共有C；二』=6種，

2×1

甲、乙兩人都沒(méi)有被選到有1種，

甲、乙兩人都沒(méi)有被選到的概率為

O

5.已知正項(xiàng)等差數(shù)列｛〃,,｝的前〃項(xiàng)和為S,,,%+%-M=0,則SU=.

【正確答案】22

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得線=2,再根據(jù)求和公式即可求出.

【詳解】正項(xiàng)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為5“.

由4+%-〃；=。得=0，所以％=2,?=0(舍)

S3±41χll=也xll=22

"22

故22

本題考查了等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.如圖，以長(zhǎng)方體ABCO-A耳GA的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)。的三條棱所在的直線為坐

標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若Dq的坐標(biāo)為(4,3,2),則AG的坐標(biāo)為

【正確答案】(T,3,2)

【詳解】如圖所示，以長(zhǎng)方體ABCD-A耳GP的頂點(diǎn)￡)為坐標(biāo)原點(diǎn),

過(guò)。的三條棱所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?。隹的坐?biāo)為(4,3,2),所以A(4,0,0),C(0,3,2),

所以AG=(T,3,2).

7.一次期中考試，小金同學(xué)數(shù)學(xué)超過(guò)90分的概率是0.5,物理超過(guò)90分的概率是0.7,兩

門(mén)課都超過(guò)90分的概率是0.3,則他的數(shù)學(xué)和物理至少有一門(mén)超過(guò)90的概率為.

9

【正確答案】0.9##—

【分析】利用概率加法公式直接求解.

【詳解】一次期中考試，小金同學(xué)數(shù)學(xué)超過(guò)90分的概率是0.5,物理超過(guò)90分的概率是0.7,

兩門(mén)課都超過(guò)90分的概率是0.3,

,他的數(shù)學(xué)和物理至少有一門(mén)超過(guò)90的概率為.P=0.5+0.7-0.3=09

故0.9.

8.如圖，點(diǎn)M為矩形ABCD的邊BC的中點(diǎn)，AB=I,BC=2,將矩形ABCO繞直線A。旋

V

轉(zhuǎn)所得到的幾何體體積記為匕，將△/<%>繞直線8旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體體積記為匕，則才1

V2

的值為_(kāi)_______

【正確答案】6

【分析】分析幾何體的結(jié)構(gòu)，計(jì)算出匕、V2,由此可得出結(jié)果.

【詳解】將矩形ABCf）繞直線Ao旋轉(zhuǎn)所得到的兒何體是以1為底面圓的半徑，母線長(zhǎng)為2的

圓柱，

所以，K=萬(wàn)x∕χ2=2萬(wàn)，

將AMCD繞直線CO旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體是以1為底面圓的半徑，高為1的圓錐，

1冗

所以，?=-×?×l2×1=-.

33

因此,≠=6.

V2

故答案為.6

9.已知直三棱柱的各棱長(zhǎng)都相等，體積等于18(cm).若該三棱柱的所有頂點(diǎn)都在球。的表

面上，則球。的體積等于_(Cm3).

【正確答案】空電π

3

【分析】先由題目條件可得三棱柱的棱長(zhǎng)，后可結(jié)合圖形確定球。的球心，后可得答案.

【詳解】如圖，三棱柱ABC-A4G是直三棱柱，且所有棱長(zhǎng)都相等，

該三棱柱的頂點(diǎn)都在球。的表面上，且三棱柱的體積為18,

設(shè)三棱柱的棱長(zhǎng)為。,則LXaXaXSin60。*“=18，

2

解得〃=26，分別設(shè)上下底面中心為。I、O2,

則OQ2的中點(diǎn)0即為三棱柱外接球的球心，

22

O2A=I√(2√3)-(√3)=2,

所以球的半徑R=M笛+0(V="石=幣，

則球。的體積等于gπx(√7)3=竽π.

10.如圖，一質(zhì)點(diǎn)A從原點(diǎn)。出發(fā)沿向量04=(6,1)到達(dá)點(diǎn)A，再沿y軸正方向從點(diǎn)A前

進(jìn)*叫到達(dá)點(diǎn)A2,再沿OA1的方向從點(diǎn)A?前進(jìn)小闖到達(dá)點(diǎn)A,,再沿??軸正方向從點(diǎn)A3前

進(jìn)到達(dá)點(diǎn)4,L,這樣無(wú)限前進(jìn)下去，則質(zhì)點(diǎn)A最終到達(dá)的點(diǎn)的坐標(biāo)為

【分析】根據(jù)已知前進(jìn)規(guī)律,再應(yīng)用無(wú)窮等比數(shù)列求和公式可得橫縱坐標(biāo).

【詳解】等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式S=q(i"),當(dāng)〃f+8,τ<"i,g≠o,s,,→3

"?-q1-<7

根據(jù)已知前進(jìn)規(guī)律，

111118

探究y軸正方向的規(guī)律，得I+]+而+話+=[Γ=5,

4

AGG_√3-4√3

同理也可發(fā)現(xiàn)X軸正方向變化規(guī)律”"7+而+-Ir-亍，

I——

4

故質(zhì)點(diǎn)A最終到達(dá)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(±f,∣)?

故答案為：(Wg)

二、單選題

11.設(shè)“事件A與事件B互斥”是“事件A的對(duì)立事件是夕'的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】B

【分析】由對(duì)立事件及互斥事件的關(guān)系即可得出結(jié)論.

【詳解】由對(duì)立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對(duì)立事件，

故“事件A與事件B互斥”是“事件A的對(duì)立事件是B”的必要而不充分條件.

故選：B.

12.如圖，正方體AEGR-ABC。中，E、尸分別為棱AA、BC上的點(diǎn)，在平面A。AA

內(nèi)且與平面OEF平行的直線()

A.有一條B.有二條

C.有無(wú)數(shù)條D.不存在

【正確答案】C

［分析】設(shè)/u平面ADD1A1,且IHDE,可證明IH平面DEF,從而可得正確的選項(xiàng).

【詳解】設(shè)/u平面4DRA，RlHDE,又￡）EU平面DEF,/u平面Z）EF,

.??〃/平面OE尸，顯然滿足要求的直線/有無(wú)數(shù)條.

故選：C.

本題考查線面平行的判斷，注意根據(jù)所求直線在定平面中去構(gòu)造與平面平行的直線，本題屬

于容易題.

13.實(shí)數(shù)小人滿足“坊>0且“Kb,由。、氏學(xué)、而按一定順序構(gòu)成的數(shù)列（）

A.可能是等差數(shù)列，也可能是等比數(shù)列

B.可能是等差數(shù)列，但不可能是等比數(shù)列

C.不可能是等差數(shù)列，但可能是等比數(shù)列

D.不可能是等差數(shù)列，也不可能是等比數(shù)列

【正確答案】B

【分析】由實(shí)數(shù)a,b滿足a?b>0且arb,分a,b>0和a,b<0,兩種情況分析根據(jù)等差

數(shù)列的定義和等比數(shù)列的定義，討論a、b、學(xué)、，區(qū)按一定順序構(gòu)成等差（比）數(shù)列時(shí),

是否有滿足條件的a,b的值，最后綜合討論結(jié)果，可得答案.

【詳解】（1）若a>b>O

則有a>學(xué)>√^>b

若能構(gòu)成等差數(shù)列，則a+b=若+而，得審=2強(qiáng),

解得a=b（舍），即此時(shí)無(wú)法構(gòu)成等差數(shù)列

若能構(gòu)成等比數(shù)列，則a?b=冬?疝，得空2=2而，

22

解得a=b（舍），即此時(shí)無(wú)法構(gòu)成等比數(shù)列

（2）若b<a<O,

則有?∕ab>a>"+">b

2

若能構(gòu)成等差數(shù)列，貝IJ向+6=α+等，得2而=3a-b

于是b<3a

4ab=9a2-6ab+b2

得b=9a,或b=a（舍）

當(dāng)b=9a時(shí)這四個(gè)數(shù)為-3a,a,5a,9a,成等差數(shù)列.

于是b=9a<0,滿足題意

但此時(shí)癡?b<0,a?學(xué)>0,不可能相等，故仍無(wú)法構(gòu)成等比數(shù)列

故選B

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等差數(shù)列的確定和等比數(shù)列的確定，熟練掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的定

義和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

14.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛叫滿足叼=4+2%，若存在兩項(xiàng)%,，,使得瘋T=4q,則5+：

的最小值為（）

3425

A.-B.-C.-?D.不存在

236

【正確答案】A

【分析】根據(jù)為=4+2%求出公比4=2,再利用瘋］=仞得到〃?+”=6,結(jié)合松〃均為

正整數(shù)，得到五組值，代入求出最小值.

【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列伍“｝的公比為4>0,

因?yàn)?=6+2%,所以=%q+2%，

化為q2_q_2=Q,q>0,解得<7=2.

因?yàn)榇嬖趦身?xiàng)%，%,使得JaM=4q,所以荷^F^F7=4α∣,

化為∕%+〃=6?

則）%=1,n=5；m=2f〃=4；4z=3,n=3；機(jī)=4,n=2↑m=5fn=?,

1449

則當(dāng)機(jī)=1,〃=5時(shí)，一+—=1+—=—,

mn55

1413

當(dāng)相=2,〃=4時(shí)，一+—=—+1=—,

mn22

eC…14145

當(dāng)m=3,〃=3時(shí)，一+-=-+—=—,

mn333

1419

當(dāng)機(jī)=4,〃=2時(shí)，—F—=-÷2=-,

mn44

當(dāng)m=5,"=1時(shí)，'+—='+4=」，

mn55

故最小值為∣3?.

故選：A.

15.已知函數(shù)"x)是定義在R上的嚴(yán)格增函數(shù)且為奇函數(shù)，數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，4°u>0,

則/(《)+/(%)+/(%)+?"?≡)+∕(%02j的值()

A.恒為正數(shù)B.恒為負(fù)數(shù)C.恒為0D.可正可負(fù)

【正確答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)f(x)的性質(zhì)可判斷函數(shù)值正負(fù)，從而結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)推出

/(?,)+〃/必)>0，進(jìn)而將/(4)+/3)+/3)+/(出回)+/(?)2J結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即

可判斷答案.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/O)是R上的奇函數(shù)且是嚴(yán)格增函數(shù)，

所以7(0)=0,且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0;當(dāng)x<0時(shí)，/(%)<0.

因?yàn)閿?shù)列｛““｝是等差數(shù)列，?ll>0,i?∕(a,on)>O.

再根據(jù)?,+?2.=2α∣o∣∣>。，所以4>~a202l,貝∣J/(q)>/(~‰∣)=-∕(?∣)，

所以/(4)+f(∕⑼)>0?

同理可得〃4)+/(%)>0,f(a3)+f(a20l9)>0,L,

所以“2+/3)+/3)++/(?2o)+∕(‰)

>0

=[/(O1)+/(?2l)]+[/(?2)+/(?20)]++l∕(?θ)+/(?1012)]+/(?1011)>

故選：A.

三、解答題

16.在高中學(xué)生軍訓(xùn)表演中，學(xué)生甲的命中率為0.4,學(xué)生乙的命中率為0.3,甲乙兩人的擊

互不影響，求：

(1)甲乙同時(shí)射中目標(biāo)的概率：

(2)甲乙中至少有一人擊中目標(biāo)的概率.

【正確答案】(1)0.12

⑵058

【分析】(1)設(shè)出相應(yīng)的事件，找出對(duì)應(yīng)事件的概率，利用相互獨(dú)立事件的概率求解即可,

(2)利用對(duì)立事件性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)設(shè)“甲擊中目標(biāo)”為事件A,“乙擊中目標(biāo)”為事件6,

則P(4)=0.4,P(B)=0.3,且事件A,8相互獨(dú)立，

所以甲乙同時(shí)射中目標(biāo)的概率為P(AB)=P(A).P(B)=O.4x0.3=0.12.

(2)設(shè)“甲乙中至少有一人擊中目標(biāo)”為事件C,

則它的對(duì)立事件為“甲乙都沒(méi)有擊中目標(biāo)“記為：AB'

則尸(C=I-P(Z萬(wàn))=l-p(?)p(互)=l-(-0?4)(l-0.3)=058.

17.如圖，已知431平面8C0,BCVBD,直線Ao與平面8C3所成的角為30。，且

AB=BC=2.

(1)求三棱錐A-BCD的體積；

(2)設(shè)M為BO的中點(diǎn)，求異面直線A。與CM所成角的大小.(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)

【分析】(1)由題目條件可得B。，后可由三棱錐體積公式得答案;

（2）取AB中點(diǎn)N,連接CN,MN,則MN∕∕AD,/CW/V即為異面直線A。與CM所成

角，后可由余弦定理得答案.

【詳解】（1）因?yàn)锳Bl平面BC0,所以-458即為直線AD與平面BC短所成的角，

Afir-

所以NAD8=30",所以8O=fλ7=2√5,

tan30

所以三棱錐A-88的體積匕-BCZ)=Ls88?4B=，BC?BD?AB=!x!x2x2gx2=g√5;

36323

(2)取AB中點(diǎn)N,連接CN,MN,則MN〃A￡>,

所以NCMN即為異面直線A。與CM所成角，

又ABI平面BCD,8￡>U平面BCr>,則他_1_%>,

得AO=-JAB2+BD2=4,MN=-AD=2.

2

CN=√CB2+NB2=瓜CM=yJCB2+BM2=√7?

則在CMN中，MN=2,CN=BCM=√7,

.U-八,CM-+MN1-CN-3√7

所RC以COSNCMN=-------------------------=

ICMMN14

所以異面直線AD與CM所成角的大小為arccos哼.

⑴令a=%+3,求證:｛4｝是等比數(shù)列;

⑵求數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式%及數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和.

【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2M=2Λ+I-3,數(shù)列｛α,,｝的前“項(xiàng)和為2*2-3〃—4

【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列定義運(yùn)算分析;

(2)根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得%=2"τ-3,再利用分組求和以及等比數(shù)列的

求和公式運(yùn)算求解.

【詳解】(1)因?yàn)?,+ι=2af,+3,所以α,,+∣+3=2(a,,+3),

又=2=4+3,則加=2?,且4=4,

所以他J是以首項(xiàng)4=4,公比4=2的等比數(shù)列.

(2)由(1)得2=4?2"T=2"T,所以q,=2"+'-3,

所以S,,=(2?-3)+(2'-3)+...+(2,,+l-3)=(22+23+24+...+2,,+l)-3π

=4(1-2)-3〃=2n+2-3n-4?

1-2

19.如圖，在圓柱。。中，AB是圓柱的母線，BC是圓柱的底面。的直徑，。是底面圓

周上異于B、C的點(diǎn).

D

⑴求證：CZ)J■平面43。；

(2)若BE>=2,CD=4,AC=6,求圓柱。?的側(cè)面積.

【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)8?[5π

【分析】(1)由圓柱的性質(zhì)可得Afi1底面38,即可得出再由直線與平面垂

直的判定得出結(jié)論；

(2)由已知解直角三角形求出圓柱的底面半徑及母線長(zhǎng)，即可求出答案.

【詳解】(1)證明：QAe，底面BCD,且CZ)U底面58,

.?.ABVCD,

又［CDLBD,且ABBD=B,A3、Br)U平面ABD,

?CD^平面ABD；

（2）在RtΔBCD中，BD=2,Cr）=4,

.?.BC=√22+42=2√5>

又「在RtAABC中，AC=6,

.?.ΛB=√62-（2√5）2=4.

???圓柱的底面半徑為石，母線長(zhǎng)為4,

???圓柱。。1的側(cè)面積為2萬(wàn)X逐X4=84萬(wàn).

20.若數(shù)列｛%｝滿足“對(duì)任意正整數(shù)i,j,i≠j,都存在正整數(shù)上,使得4=《?%”，則稱

數(shù)列｛q｝具有“性質(zhì)戶”.

（1）判斷各項(xiàng)均等于。的常數(shù)列是否具有“性質(zhì)P”，并說(shuō)明理由；

（2）若公比為2的無(wú)窮等比數(shù)列｛q｝具有“性質(zhì)尸”，求首項(xiàng)外的值；

（3）若首項(xiàng)4=2的無(wú)窮等差數(shù)列｛4｝具有“性質(zhì)戶”，求公差d的值.

【正確答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）4=2"',m≥7且∕n∈Z;（3）d=l或d=2.

【分析】（1）根據(jù)性質(zhì)P計(jì)算，由。臼=/=4=。解得a=0或。=1,可得結(jié)論；

（2）通項(xiàng)公式4=4?2"τ,然后由4=6?為求出力,由機(jī)=k+l-i-j的范圍可得為的值

的形式；

2

（3）由4=aa得d=---,由對(duì)于任意的正整數(shù)〃,存在整數(shù)占和k,使得氣=q?cι,

xnκ-2n+ι1tl

?=β2??.兩式相減得而“=（&-勺）”.首先確定dwθ,得〃“=%-仁是整數(shù)，因此d也是

整數(shù)，然后說(shuō)明d<0不合題意（取較大的機(jī)，使得%%>4即可得），d>0時(shí)只有4=1或

2,并說(shuō)明符合題意.

【詳解】解：（1）若數(shù)列｛%｝具有“性質(zhì)P”，由已知對(duì)于任意正整數(shù)i,j,i≠j,都存在

正整數(shù)上,使得4=α,??"八所以α=α2,解得α=0或α=l.

所以當(dāng)α=0或α=l時(shí)，常數(shù)數(shù)列滿足“性質(zhì)P”的所有條件，數(shù)列具有“性質(zhì)P”；當(dāng)且

awl時(shí)，數(shù)列｛叫不具有“性質(zhì)P”.

對(duì)于任意正整數(shù)i,j,i≠j,存在正整數(shù)%,使得a=〃，即lw2j-',

(2)kq?2*^=α1?2?01?

k+i

al=2'--',令k+I-j=mwZ,則4=2"'.

當(dāng)w≥T且時(shí),則4=4?2"τ=2n?+?τ,對(duì)任意正整數(shù)i,j,i≠j,由得

^k=i+j+m-,而機(jī)-是正整數(shù)，所以存在正整數(shù)

2m÷*-l≡2m+i-I.2m÷y-Ij?，+1/+1

k=i+j+m-i使得ak=ai?aj成立，數(shù)列具有“性質(zhì)P

mm+m+

若w≤-2,取i=l,j=2,ala2=2×2'=^',2m+l<m,2?"用不是｛4｝中的