曲線的參數(shù)方程

曲線的參數(shù)方程教學(xué)目標(biāo)：1．通過(guò)分析拋物運(yùn)動(dòng)中時(shí)間與運(yùn)動(dòng)物體位置的關(guān)系，寫出拋物運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程，體會(huì)參數(shù)的意義。2．分析圓的幾何性質(zhì)，選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出它的參數(shù)方程。3．會(huì)進(jìn)行參數(shù)方程和普通方程的互化。教學(xué)重點(diǎn)：根據(jù)問題的條件引進(jìn)適當(dāng)?shù)膮?shù)，寫出參數(shù)方程，體會(huì)參數(shù)的意義。參數(shù)方程和普通方程的互化。教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)幾何性質(zhì)選取恰當(dāng)?shù)膮?shù)，建立曲線的參數(shù)方程。參數(shù)方程和普通方程的等價(jià)互化。教學(xué)過(guò)程一．參數(shù)方程的概念1．探究：如圖，一架救援飛機(jī)在離災(zāi)區(qū)地面500m的高處以100m/s的速度作水平直線飛行，為使投放的救援物資準(zhǔn)確落于災(zāi)區(qū)指定的地面〔不計(jì)空氣阻力〕，飛行員應(yīng)如何確定投放時(shí)機(jī)呢？〔1〕平拋運(yùn)動(dòng)：一、方程組有3個(gè)變量，其中的x,y表示點(diǎn)的坐標(biāo)，變量t叫做參變量，而且x,y分別是t的函數(shù)。二、由物理知識(shí)可知，物體的位置由時(shí)間t唯一決定，從數(shù)學(xué)角度看，這就是點(diǎn)M的坐標(biāo)x,y由t唯一確定，這樣當(dāng)t在允許值范圍內(nèi)連續(xù)變化時(shí)，x,y的值也隨之連續(xù)地變化，于是就可以連續(xù)地描繪出點(diǎn)的軌跡。三、平拋物體運(yùn)動(dòng)軌跡上的點(diǎn)與滿足方程組的有序?qū)崝?shù)對(duì)〔x,y〕之間有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。xyOxyOv=v02．參數(shù)方程的概念一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由方程組〔2〕所確定的點(diǎn)M(x,y)都在這條曲線上，那么方程(2)就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)，相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程。說(shuō)明：〔1〕一般來(lái)說(shuō)，參數(shù)的變化范圍是有限制的?！?〕參數(shù)是聯(lián)系變量x，y的橋梁，可以有實(shí)際意義，也可無(wú)實(shí)際意義。例1．曲線C的參數(shù)方程是(t為參數(shù))〔1〕判斷點(diǎn)M1(0,1),M2(5,4)與曲線C的位置關(guān)系；〔2〕點(diǎn)M3(6,a)在曲線C上，求a的值。A、一個(gè)定點(diǎn)B、一個(gè)橢圓C、一條拋物線D、一條直線xyxyO r M M0 x圓的參數(shù)方程的一般形式說(shuō)明：〔1〕隨著選取的參數(shù)不同，參數(shù)方程形式也有不同，但表示的曲線是相同的?！?〕在建立曲線的參數(shù)方程時(shí)，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。三．參數(shù)方程和普通方程的互化例1、圓方程x2+y2+2x-6y+9=0，將它化為參數(shù)方程。解：x2+y2+2x-6y+9=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程，〔x+1〕2+〔y-3〕2=1，∴參數(shù)方程為(θ為參數(shù))例2如圖，圓O的半徑為2，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，Q(6,0)是x軸上的定點(diǎn)，M是PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P繞O作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程。明確參數(shù)方程和普通方程的互化的方法。注意，在參數(shù)方程和普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致。四．課堂練習(xí)穩(wěn)固與提高1．與普通方程xy=1表示相同曲線的參數(shù)方程〔t為參數(shù)〕是〔D〕A．B．C．D．2．以下哪個(gè)點(diǎn)在曲線上〔C〕A．(2,7)B．C．D．(1,0)3．曲線的軌跡是〔D〕A．一條直線B．一條射線C．一個(gè)圓D．一條線段4．方程表示的曲線是〔D〕A．余弦曲線B．與x軸平行的線段C．直線D．與y軸平行的線段5．曲線上的點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離之和的最大值是〔D〕A．B．C．1D．6．方程(t為參數(shù))所表示的一族圓的圓心軌跡是〔D〕A．一個(gè)定點(diǎn)B．一個(gè)橢圓C．一條拋物線D．一條直線7．直線與圓相切，那么直線的傾斜角為〔A〕A．或B．或C．或D．或8．曲線的一個(gè)參數(shù)方程為。9．曲線的普通方程為。10．，那么的最大值是6。11．設(shè)飛機(jī)以勻速v=150m/s作水平飛行，假設(shè)在飛行高度h=588m處投彈〔設(shè)投彈的初速度等于飛機(jī)的速度，且不計(jì)空氣阻力〕。〔1〕求炸彈離開飛機(jī)后的軌跡方程；〔2〕試問飛機(jī)在離目標(biāo)多遠(yuǎn)〔水平距離〕處投彈才能命中目標(biāo)。解：〔1〕?！?〕1643m。12．火炮以為發(fā)射角，為初速度發(fā)射，求炮彈的軌跡方程。解：。13．動(dòng)點(diǎn)M從起點(diǎn)M0(1,2)出發(fā)作等速直線運(yùn)動(dòng)，它在x軸與y軸方向上的分速度分別為6和8，求點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程。解：。14．求直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)。解：把直線的參數(shù)方程代入圓的方程，得(1+t)2+(1-t)2=4,得t=±1,分別代入直線方程,得交點(diǎn)為〔0，2〕和〔2，0〕。圓的參數(shù)方程的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：利用圓的幾何性質(zhì)求最值〔數(shù)形結(jié)合〕過(guò)程與方法：能選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，求圓的參數(shù)方程教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用圓的參數(shù)方程求最值。教學(xué)難點(diǎn)：選擇圓的參數(shù)方程求最值問題.教學(xué)過(guò)程：一、最值問題1.P〔x,y〕圓C：x2+y2－6x－4y+12=0上的點(diǎn)?！?〕求的最小值與最大值〔2〕求x－y的最大值與最小值2.圓x2+y2=1上的點(diǎn)到直線3x+4y-25=0的距離最小值是；2/.圓(x-1)2+(y+2)2=4上的點(diǎn)到直線2x-y+1=0的最短距離是_______；3.過(guò)點(diǎn)(2,1)的直線中,被圓x2+y2-2x+4y=0截得的弦：為最長(zhǎng)的直線方程是_________；為最短的直線方程是__________；4．假設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2-2x+4y=0，那么x-2y的最大值為；二、參數(shù)法求軌跡1)一動(dòng)點(diǎn)在圓x2＋y2=1上移動(dòng),求它與定點(diǎn)(3,0)連線的中點(diǎn)的軌跡方程2)點(diǎn)A(2,0),P是x2+y2=1上任一點(diǎn),的平分線交PA于Q點(diǎn),求Q點(diǎn)的軌跡.C.參數(shù)法解題思想：將要求點(diǎn)的坐標(biāo)x,y分別用同一個(gè)參數(shù)來(lái)表示例題：1)點(diǎn)P(m,n)在圓x2+y2=1上運(yùn)動(dòng),求點(diǎn)Q(m+n,2mn)的軌跡方程2)方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0.假設(shè)該方程表示一個(gè)圓,求m的取值范圍和圓心的軌跡方程圓錐曲線的參數(shù)方程教學(xué)目的：知識(shí)與技能：了解圓錐曲線的參數(shù)方程及參數(shù)的意義過(guò)程與方法：能選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，求簡(jiǎn)單曲線的參數(shù)方程情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過(guò)程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)。教學(xué)重點(diǎn)：圓錐曲線參數(shù)方程的定義及方法教學(xué)難點(diǎn)：選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出曲線的參數(shù)方程.授課類型：新授課教學(xué)模式：?jiǎn)l(fā)、誘導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學(xué).教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入：1．寫出圓方程的標(biāo)準(zhǔn)式和對(duì)應(yīng)的參數(shù)方程。(1)圓參數(shù)方程〔為參數(shù)〕〔2〕圓參數(shù)方程為：〔為參數(shù)〕2．寫出橢圓、雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。3．能模仿圓參數(shù)方程的推導(dǎo)，寫出圓錐曲線的參數(shù)方程嗎？二、講解新課：1.橢圓的推導(dǎo)：橢圓參數(shù)方程〔為參數(shù)〕2.雙曲線的參數(shù)方程：雙曲線參數(shù)方程〔為參數(shù)〕3.拋物線的參數(shù)方程：拋物線參數(shù)方程〔t為參數(shù)〕關(guān)于參數(shù)幾點(diǎn)說(shuō)明：參數(shù)方程中參數(shù)可以是有物理意義，幾何意義，也可以沒有明顯意義。同一曲線選取的參數(shù)不同，曲線的參數(shù)方程形式也不一樣在實(shí)際問題中要確定參數(shù)的取值范圍參數(shù)方程的意義：參數(shù)方程是曲線點(diǎn)的位置的另一種表示形式，它借助于中間變量把曲線上的動(dòng)點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)間接地聯(lián)系起來(lái)，參數(shù)方程與變通方程同等地描述，了解曲線，參數(shù)方程實(shí)際上是一個(gè)方程組，其中，分別為曲線上點(diǎn)M的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。參數(shù)方程求法〔1〕建立直角坐標(biāo)系，設(shè)曲線上任一點(diǎn)P坐標(biāo)為〔2〕選取適當(dāng)?shù)膮?shù)〔3〕根據(jù)條件和圖形的幾何性質(zhì)，物理意義，建立點(diǎn)P坐標(biāo)與參數(shù)的函數(shù)式〔4〕證明這個(gè)參數(shù)方程就是所由于的曲線的方程關(guān)于參數(shù)方程中參數(shù)的選取選取參數(shù)的原那么是曲線上任一點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)參數(shù)的關(guān)系比擬明顯關(guān)系相對(duì)簡(jiǎn)單。與運(yùn)動(dòng)有關(guān)的問題選取時(shí)間做參數(shù)與旋轉(zhuǎn)的有關(guān)問題選取角做參數(shù)或選取有向線段的數(shù)量、長(zhǎng)度、直線的傾斜斜角、斜率等。典型例題：例1．設(shè)炮彈發(fā)射角為，發(fā)射速度為，〔1〕求子彈彈道曲線的參數(shù)方程〔不計(jì)空氣阻力〕〔2〕假設(shè)，，當(dāng)炮彈發(fā)出2秒時(shí)，求炮彈高度求出炮彈的射程例2．求橢圓的參數(shù)方程〔見教材P.40〕橢圓參數(shù)方程〔為參數(shù)〕變式訓(xùn)練1.橢圓(為參數(shù))求〔1〕時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)〔2〕直線OP的傾斜角變式訓(xùn)練2A點(diǎn)橢圓長(zhǎng)軸一個(gè)端點(diǎn)，假設(shè)橢圓上存在一點(diǎn)P，使∠OPA=90°，其中O為橢圓中心，求橢圓離心率的取值范圍。例3．把圓化為參數(shù)方程用圓上任一點(diǎn)過(guò)原點(diǎn)的弦和軸正半軸夾角為參數(shù)用圓中過(guò)原點(diǎn)的弦長(zhǎng)為參數(shù)三、穩(wěn)固與練習(xí)四、小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：1．選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)表示曲線的方程的方法;2．體會(huì)參數(shù)的意義五、課后作業(yè)：教材P34習(xí)題2.2圓錐曲線參數(shù)方程的應(yīng)用教學(xué)目的：知識(shí)與技能：利用圓錐曲線的參數(shù)方程來(lái)確定最值，解決有關(guān)點(diǎn)的軌跡問題過(guò)程與方法：選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)方程求最值。情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過(guò)程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)。教學(xué)重點(diǎn)：選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)方程求最值。教學(xué)難點(diǎn)：正確使用參數(shù)式來(lái)求解最值問題授課類型：新授課教學(xué)模式：講練結(jié)合教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入：通過(guò)參數(shù)簡(jiǎn)明地表示曲線上任一點(diǎn)坐標(biāo)將解析幾何中以計(jì)算問題化為三角問題，從而運(yùn)用三角性質(zhì)及變換公式幫助求解諸如最值，參數(shù)取值范圍等問題。二、講解新課：例1．求橢圓的內(nèi)接矩形面積的最大值變式訓(xùn)練1橢圓〔〕與軸正向交于點(diǎn)A，假設(shè)這個(gè)橢圓上存在點(diǎn)P，使OP⊥AP，〔O為原點(diǎn)〕，求離心率的范圍。例2．AB為過(guò)橢圓中心的弦，，為焦點(diǎn)，求△ABF1面積的最大值。例3．拋物線的內(nèi)接三角形的一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，其重心恰是拋物線的焦點(diǎn)，求內(nèi)接三角形的周長(zhǎng)。、過(guò)P〔0，1〕到雙曲線最小距離變式訓(xùn)練2：設(shè)P為等軸雙曲線上的一點(diǎn)，，為兩個(gè)焦點(diǎn)，證明例5，在拋物線的頂點(diǎn)，引兩互相垂直的兩條弦OA，OB，求頂點(diǎn)O在AB上射影H的軌跡方程。三、穩(wěn)固與練習(xí)四、小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：適當(dāng)使用參數(shù)表示曲線上的點(diǎn)用以求最值問題五、課后作業(yè)：直線的參數(shù)方程教學(xué)目的：知識(shí)與技能：了解直線參數(shù)方程的條件及參數(shù)的意義過(guò)程與方法：能根據(jù)直線的幾何條件,寫出直線的參數(shù)方程及參數(shù)的意義情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過(guò)程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)。教學(xué)重點(diǎn)：曲線參數(shù)方程的定義及方法教學(xué)難點(diǎn)：選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出曲線的參數(shù)方程.授課類型：新授課教學(xué)模式：?jiǎn)l(fā)、誘導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學(xué).一、復(fù)習(xí)引入：1．寫出圓方程的標(biāo)準(zhǔn)式和對(duì)應(yīng)的參數(shù)方程。圓參數(shù)方程〔為參數(shù)〕〔2〕圓參數(shù)方程為：〔為參數(shù)〕2．寫出橢圓參數(shù)方程.3．復(fù)習(xí)方向向量的概念.提出問題:直線的一個(gè)點(diǎn)和傾斜角,如何表示直線的參數(shù)方程?二、講解新課：教師引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)直線的參數(shù)方程：過(guò)定點(diǎn)傾斜角為的直線的參數(shù)方程〔為參數(shù)〕辨析直線的參數(shù)方程：T的幾何意義是指它表示點(diǎn)P0P的長(zhǎng),帶符號(hào).三、直線的參數(shù)方程應(yīng)用：課本例題,此略.四、小結(jié)：〔1〕直線參數(shù)方程求法〔2〕直線參數(shù)方程的特點(diǎn)〔3〕根據(jù)條件和圖形的幾何性質(zhì)，注意參數(shù)的意義五、作業(yè)：課本P39習(xí)題2.3參數(shù)方程與普通方程互化教學(xué)目的：知識(shí)與技能：掌握參數(shù)方程化為普通方程幾種根本方法過(guò)程與方法：選取適當(dāng)?shù)膮?shù)化普通方程為參數(shù)方程情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過(guò)程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)。教學(xué)重點(diǎn)：參數(shù)方程與普通方程的互化教學(xué)難點(diǎn)：參數(shù)方程與普通方程的等價(jià)性授課類型：新授課教學(xué)模式：?jiǎn)l(fā)、誘導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學(xué).教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入：〔1〕圓的參數(shù)方程〔2〕橢圓的參數(shù)方程二、講解新課：1、參數(shù)方程化為普通方程的過(guò)程就是消參過(guò)程常見方法有三種：代入法：利用解方程的技巧求出參數(shù)t，然后代入消去參數(shù)三角法：利用三角恒等式消去參數(shù)整體消元法：根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征，從整體上消去?；瘏?shù)方程為普通方程為：在消參過(guò)程中注意變量、取值范圍的一致性，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定和值域得、的取值范圍。2、常見曲線的參數(shù)方程〔1〕圓參數(shù)方程〔為參數(shù)〕〔2〕圓參數(shù)方程為：〔為參數(shù)〕〔3〕橢圓參數(shù)方程〔為參數(shù)〕〔4〕雙曲線參數(shù)方程〔為參數(shù)〕〔5〕拋物線參數(shù)方程〔t為參數(shù)〕〔6〕過(guò)定點(diǎn)傾斜角為的直線的參數(shù)方程〔為參數(shù)〕典型例題將以下參數(shù)方程化為普通方程〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕變式訓(xùn)練12、〔1〕方程表示的曲線A、一條直線B、兩條射線C、一條線段D、拋物線的一局部〔2〕以下方程中，當(dāng)方程表示同一曲線的點(diǎn)A、B、C、D、例2化以下曲線的參數(shù)方程為普通方程，并指出它是什么曲線?！?〕〔t是參數(shù)〕〔2〕〔是參數(shù)〕〔3〕〔t是參數(shù)〕變式訓(xùn)練2。P是雙曲線〔t是參數(shù)〕上任一點(diǎn)，，是該焦點(diǎn)：求△F1F2例3、圓O半徑為1，P是圓上動(dòng)點(diǎn)，Q〔4，0〕是軸上的定點(diǎn)，M是PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P繞O作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程。變式訓(xùn)練3：為圓上任意一點(diǎn)，求的最大值和最小值。三、穩(wěn)固與練習(xí)四、小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：熟練記憶把參數(shù)方程化為普通方程的幾種方法。五、課后作業(yè)：見教材53頁(yè).5圓的漸開線與擺線教學(xué)目的：知識(shí)與技能：了解圓的漸開線的參數(shù)方程,了解擺線的生成過(guò)程及它的參數(shù)方