2023年浙江省杭州市中國美院附中中考數(shù)學沖刺模擬試卷（一）+

2023年沖刺美院附中數(shù)學模擬試卷（一）總分：150，考試時間：150分鐘一、選擇題：本大題有12個小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．下列運算正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a5 B．（a2）3＝a8 C．（a2b）3＝a2b3 D．a(chǎn)6÷a3＝a22．如圖是戰(zhàn)機在空中展示的軸對稱隊形．以飛機B，C所在直線為x軸、隊形的對稱軸為y軸，建立平面直角坐標系．若飛機E的坐標為（40，a），則飛機D的坐標為（）A．（40，﹣a） B．（﹣40，a） C．（﹣40，﹣a） D．（a，﹣40）3．如圖，點的坐標為，點是軸正半軸上的一點，將線段繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段．若點的坐標為，則的值為A． B． C． D．4．在“探索函數(shù)y＝ax2+bx+c的系數(shù)a，b，c與圖象的關(guān)系”活動中，老師給出了直角坐標系中的四個點：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．同學們探索了經(jīng)過這四個點中的三個點的二次函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)這些圖象對應的函數(shù)表達式各不相同，其中a的值最大為（）A． B． C． D．5．已知線段AB，按如下步驟作圖：①作射線AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分線AD；③以點A為圓心，AB長為半徑作弧，交AD于點E；④過點E作EP⊥AB于點P，則AP：AB＝（）A．1： B．1：2 C．1： D．1：6．已知y1和y2均是以x為自變量的函數(shù)，當x＝m時，函數(shù)值分別是M1和M2，若存在實數(shù)m，使得M1+M2＝0，則稱函數(shù)y1和y2具有性質(zhì)P．以下函數(shù)y1和y2具有性質(zhì)P的是（）A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1 B．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1 C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1 D．y1＝﹣和y2＝﹣x+17．下表是某校樂團的年齡分布，其中一個數(shù)據(jù)被遮蓋了，下面對于中位數(shù)的說法正確的是（）年齡13141516頻數(shù)5713■A．中位數(shù)是14 B．中位數(shù)可能是14.5 C．中位數(shù)是15或15.5 D．中位數(shù)可能是168．拋擲兩枚均勻的硬幣，當拋擲次數(shù)很多以后，兩個硬幣出現(xiàn)一個正面朝上一個反面朝上的頻率值大約穩(wěn)定在（）A．25% B．50% C．75% D．33.3%9．如圖，△ABC是等邊三角形，P是∠ABC的平分線BD上一點，PE⊥AB于點E，線段BP的垂直平分線交BC于點F，垂足為點Q．若BF＝2，則PE的長為（）A．2 B．2 C． D．310．從下列4個函數(shù)：①y＝3x﹣2；②y＝﹣；③y＝（x＞0）；④y＝﹣x2中任取一個，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大的是（）A．① B．①② C．③ D．①③11．若不等式組的解為x＞2，則函數(shù)圖象與x軸的交點是（）A．相交于兩點 B．沒有交點 C．相交于一點 D．沒有交點或相交于一點12．如圖1，正方形紙片ABCD邊長為2，折疊∠B和∠D，使兩個直角的頂點重合于對角線BD上的一點P，EF、GH分別是折痕（圖2）．設(shè)AE＝x（0＜x＜2），給出下列判斷：①x＝時，EF+GH＝AC；②六邊形AEFCHG面積的最大值是3.5；③六邊形AEFCHG周長的值為定值．其中正確的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空題：本大題有7個小題，每小題3分，共21分。13．68°42′24″的余角是．14．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一點，若tan∠DBA＝，則AD的長是．15．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC+BC＝16，點O是斜邊AB上一點，以O(shè)為圓心的⊙O分別與AC，BC相切于點D，E．（1）當AC＝2時，求⊙O的半徑；（2）設(shè)AC＝x，⊙O的半徑為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式是．第15題第16題16．如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6．折疊該菱形，使點A落在邊BC上的點M處，折痕分別與邊AB，AD交于點E，F(xiàn)．當點M與點B重合時，EF的長為；當點M的位置變化時，DF長的最大值為．17．定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍長三角形”．若等腰是“倍長三角形”，底邊的長為3，則腰的長為．15．（3分）一個裝有進水管和出水管的容器，開始時，先打開進水管注水，3分鐘時，再打開出水管排水，8分鐘時，關(guān)閉進水管，直至容器中的水全部排完．在整個過程中，容器中的水量（升與時間（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則圖中的值為．18．如下左圖，在矩形中，．動點從點出發(fā)，沿邊向點勻速運動，動點從點出發(fā)，沿邊向點勻速運動，連接．動點，同時出發(fā)，點運動的速度為，點運動的速度為，且．當點到達點時，，兩點同時停止運動．在運動過程中，將四邊形沿翻折，得到四邊形．若在某一時刻，點的對應點恰好與的中點重合，則的值為．第18題第19題19．如上右圖是一張矩形紙片ABCD，點M是對角線AC的中點，點E在BC邊上，把△DCE沿直線DE折疊，使點C落在對角線AC上的點F處，連接DF，EF．若MF＝AB，則∠DAF＝度．三、解答題：本大題有10個小題，共93分。解答應寫出文字說明、證明過程或驗算步驟。20．（6分）已知，求的值．21．（6分）一只不透明的袋子中裝有1個白球，3個紅球，這些球除顏色外都相同．（1）攪勻后從中任意摸出1個球，這個球是白球的概率為；（2）攪勻后從中任意摸出1個球，記錄顏色后放回，攪勻，再從中任意摸出1個球，求2次摸到的球恰好是1個白球和1個紅球的概率．（請用畫樹狀圖或列表等方法說明理由）22．（9分）某校九年級640名學生在“信息素養(yǎng)提升”培訓前、后各參加了一次水平相同的測試，并以同一標準折算成“6分”、“7分”、“8分”、“9分”、“10分”5個成績．為了解培訓效果，用抽樣調(diào)查的方式從中抽取了32名學生的2次測試成績，并用劃記法制成了如表表格：培訓前成績（分678910劃記正正正正人數(shù)（人124754培訓后成績（分678910劃記一正正正正人數(shù)（人413915（1）這32名學生2次測試成績中，培訓前測試成績的中位數(shù)是，培訓后測試成績的中位數(shù)是，則；（填“”、“”或“”（2）這32名學生經(jīng)過培訓，測試成績?yōu)椤?分”的百分比比培訓前減少了多少？（3）估計該校九年級640名學生經(jīng)過培訓，測試成績?yōu)椤?0分”的學生增加了多少人？23．（8分）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點，與軸交于點，與軸交于點．（1）求與的值；（2）為軸上的一動點，當?shù)拿娣e為時，求的值．24．（8分）如圖，是的直徑，是弦，是的中點，與交于點．是延長線上的一點，且．（1）求證：為的切線；（2）連接，取的中點，連接．若，，求的長．25．（10分）某水果店經(jīng)銷甲、乙兩種水果，兩次購進水果的情況如表所示：進貨批次甲種水果質(zhì)量（單位：千克）乙種水果質(zhì)量（單位：千克）總費用（單位：元）第一次60401520第二次30501360（1）求甲、乙兩種水果的進價；（2）銷售完前兩次購進的水果后，該水果店決定回饋顧客，開展促銷活動．第三次購進甲、乙兩種水果共200千克，且投入的資金不超過3360元．將其中的千克甲種水果和千克乙種水果按進價銷售，剩余的甲種水果以每千克17元、乙種水果以每千克30元的價格銷售．若第三次購進的200千克水果全部售出后，獲得的最大利潤不低于800元，求正整數(shù)的最大值．26．（10分）如圖，二次函數(shù)是常數(shù)，且的圖象與軸交于，兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，頂點為．其對稱軸與線段交于點，與軸交于點．連接，．（1）求，，三點的坐標（用數(shù)字或含的式子表示），并求的度數(shù)；（2）若，求的值；（3）若在第四象限內(nèi)二次函數(shù)是常數(shù)，且的圖象上，始終存在一點，使得，請結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出的取值范圍．27．（12分）（1）如圖1，在中，，平分，交于點，，交于點．①若，，求的長；②試探究是否為定值．如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．（2）如圖2，和是的2個外角，，平分，交的延長線于點，，交的延長線于點．記的面積為，的面積為，的面積為．若，求的值．28．（12分）在直角坐標系中，設(shè)函數(shù)y＝ax2+bx+1（a，b是常數(shù)，a≠0）．（1）若該函數(shù)的圖象經(jīng)過（1，0）和（2，1）兩點，求函數(shù)的表達式，并寫出函數(shù)圖象的頂點坐標；（2）寫出一組a，b的值，使函數(shù)y＝ax2+bx+1的圖象與x軸有兩個不同的交點，并說明理由．（3）已知a＝b＝1，當x＝p，q（p，q是實數(shù)，p≠q）時，該函數(shù)對應的函數(shù)值分別為P，Q．若p+q＝2，求證：P+Q＞6．29．（12分）如圖，銳角三角形ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC的平分線AG交⊙O于點G，交BC邊于點F，連接BG．（1）求證：△ABG∽△AFC．（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求線段FG的長（用含a，b的代數(shù)式表示）．（3）已知點E在線段AF上（不與點A，點F重合），點D在線段AE上（不與點A，點E重合），∠ABD＝∠CBE，求證：BG2＝GE?GD．2023年沖刺美院附中數(shù)學模擬試卷（一）一、選擇題：1．下列運算正確的是（）A．a(chǎn)2?a3＝a5 B．（a2）3＝a8 C．（a2b）3＝a2b3 D．a(chǎn)6÷a3＝a2【分析】根據(jù)同底數(shù)的冪的乘除，冪的乘方與積的乘方法則逐項判斷．【解答】解：a2?a3＝a5，故A正確，符合題意；（a2）3＝a6，故B錯誤，不符合題意；（a2b）3＝a6b3，故C錯誤，不符合題意；a6÷a3＝a3，故D錯誤，不符合題意；故選：A．【點評】本題考查同底數(shù)的冪的乘除，冪的乘方與積的乘方，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)運算的法則．2．如圖是戰(zhàn)機在空中展示的軸對稱隊形．以飛機B，C所在直線為x軸、隊形的對稱軸為y軸，建立平面直角坐標系．若飛機E的坐標為（40，a），則飛機D的坐標為（）A．（40，﹣a） B．（﹣40，a） C．（﹣40，﹣a） D．（a，﹣40）【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵飛機E（40，a）與飛機D關(guān)于y軸對稱，∴飛機D的坐標為（﹣40，a），故選：B．【點評】本題考查了坐標與圖形變化﹣對稱，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．如圖，點的坐標為，點是軸正半軸上的一點，將線段繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段．若點的坐標為，則的值為A． B． C． D．【解答】解：過作軸于點，軸于點，如圖：軸，軸，，四邊形是矩形，將線段繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，，，是等邊三角形，，，，，，，，，在中，，在中，，，，化簡變形得：，解得或（舍去），，故選：．4．在“探索函數(shù)y＝ax2+bx+c的系數(shù)a，b，c與圖象的關(guān)系”活動中，老師給出了直角坐標系中的四個點：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．同學們探索了經(jīng)過這四個點中的三個點的二次函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)這些圖象對應的函數(shù)表達式各不相同，其中a的值最大為（）A． B． C． D．【分析】比較任意三個點組成的二次函數(shù)，比較開口方向，開口向下，則a＜0，只需把開口向上的二次函數(shù)解析式求出即可．【解答】解：由圖象知，A、B、D組成的點開口向上，a＞0；A、B、C組成的二次函數(shù)開口向上，a＞0；B、C、D三點組成的二次函數(shù)開口向下，a＜0；A、D、C三點組成的二次函數(shù)開口向下，a＜0；即只需比較A、B、D組成的二次函數(shù)和A、B、C組成的二次函數(shù)即可．設(shè)A、B、C組成的二次函數(shù)為y1＝a1x2+b1x+c1，把A（0，2），B（1，0），C（3，1）代入上式得，，解得a1＝；設(shè)A、B、D組成的二次函數(shù)為y＝ax2+bx+c，把A（0，2），B（1，0），D（2，3）代入上式得，，解得a＝，即a最大的值為，故選：A．5．已知線段AB，按如下步驟作圖：①作射線AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分線AD；③以點A為圓心，AB長為半徑作弧，交AD于點E；④過點E作EP⊥AB于點P，則AP：AB＝（）A．1： B．1：2 C．1： D．1：【分析】直接利用基本作圖方法得出AP＝PE，再結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)表示出AE，AP的長，即可得出答案．【解答】解：∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠EAB＝×90°＝45°，∵EP⊥AB，∴∠APE＝90°，∴∠EAP＝∠AEP＝45°，∴AP＝PE，∴設(shè)AP＝PE＝x，故AE＝AB＝x，∴AP：AB＝x：x＝1：．故選：D．6．已知y1和y2均是以x為自變量的函數(shù)，當x＝m時，函數(shù)值分別是M1和M2，若存在實數(shù)m，使得M1+M2＝0，則稱函數(shù)y1和y2具有性質(zhì)P．以下函數(shù)y1和y2具有性質(zhì)P的是（）A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1 B．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1 C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1 D．y1＝﹣和y2＝﹣x+1【分析】根據(jù)題干信息可知，直接令y1+y2＝0，若方程有解，則具有性質(zhì)P，若無解，則不具有性質(zhì)P．【解答】解：A．令y1+y2＝0，則x2+2x﹣x﹣1＝0，解得x＝或x＝，即函數(shù)y1和y2具有性質(zhì)P，符合題意；B．令y1+y2＝0，則x2+2x﹣x+1＝0，整理得，x2+x+1＝0，方程無解，即函數(shù)y1和y2不具有性質(zhì)P，不符合題意；C．令y1+y2＝0，則﹣﹣x﹣1＝0，整理得，x2+x+1＝0，方程無解，即函數(shù)y1和y2不具有性質(zhì)P，不符合題意；D．令y1+y2＝0，則﹣﹣x+1＝0，整理得，x2﹣x+1＝0，方程無解，即函數(shù)y1和y2不具有性質(zhì)P，不符合題意；故選：A．7．下表是某校樂團的年齡分布，其中一個數(shù)據(jù)被遮蓋了，下面對于中位數(shù)的說法正確的是（）年齡13141516頻數(shù)5713■A．中位數(shù)是14 B．中位數(shù)可能是14.5 C．中位數(shù)是15或15.5 D．中位數(shù)可能是16【分析】根據(jù)列表，由中位數(shù)的概念計算即可．【解答】解：5+7+13＝25，由列表可知，人數(shù)大于25人，則中位數(shù)是15或（15+16）÷2＝15.5或16．故選：D．8．拋擲兩枚均勻的硬幣，當拋擲次數(shù)很多以后，兩個硬幣出現(xiàn)一個正面朝上一個反面朝上的頻率值大約穩(wěn)定在（）A．25% B．50% C．75% D．33.3%【分析】拋擲兩枚均勻的硬幣，可能會出現(xiàn)四種情況，而出現(xiàn)出現(xiàn)一個正面朝上一個反面朝上的機會為二分之一，據(jù)此可估計拋擲次數(shù)足夠大時，兩個硬幣出現(xiàn)一個正面朝上一個反面朝上的頻率值．【解答】解：拋擲2枚硬幣時，所有可能情況列表如下：正反正（正，正）（反，正）反（正，反）（反，反）由表知所有等可能的情況有4種，其中一個正面朝上，一個反面朝上的情況有2種，所以兩個硬幣出現(xiàn)一個正面朝上一個反面朝上的概率為＝，當拋擲次數(shù)足夠大時，兩個硬幣出現(xiàn)一個正面朝上一個反面朝上的頻率值大約穩(wěn)定在＝50%，故選：B．9．如圖，△ABC是等邊三角形，P是∠ABC的平分線BD上一點，PE⊥AB于點E，線段BP的垂直平分線交BC于點F，垂足為點Q．若BF＝2，則PE的長為（）A．2 B．2 C． D．3【分析】先根據(jù)△ABC是等邊三角形P是∠ABC的平分線可知∠EBP＝∠QBF＝30°，再根據(jù)BF＝2，F(xiàn)Q⊥BP可得出BQ的長，再由BP＝2BQ可求出BP的長，在Rt△BEF中，根據(jù)∠EBP＝30°即可求出PE的長．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形P是∠ABC的平分線，∴∠EBP＝∠QBF＝30°，∵BF＝2，QF為線段BP的垂直平分線，∴∠FQB＝90°，∴BQ＝BF?cos30°＝2×＝，∴BP＝2BQ＝2，在Rt△BEP中，∵∠EBP＝30°，∴PE＝BP＝．故選：C．10．從下列4個函數(shù)：①y＝3x﹣2；②y＝﹣；③y＝（x＞0）；④y＝﹣x2中任取一個，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大的是（）A．① B．①② C．③ D．①③【分析】利用一次、二次函數(shù)，以及反比例函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：①y＝3x﹣2，y隨著x的增大而增大；②y＝﹣，在每一象限內(nèi)，y隨著x的增大而增大；③y＝（x＞0），y隨著x的增大而減?。虎躽＝﹣x2，當x＜0時，y隨著x的增大而增大，則函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大的是①，故選：A．11．若不等式組的解為x＞2，則函數(shù)圖象與x軸的交點是（）A．相交于兩點 B．沒有交點 C．相交于一點 D．沒有交點或相交于一點【分析】根據(jù)不等式組的解集求得a的取值范圍，并令＝0，通過解該方程的根的判別式的符號即可判斷二次函數(shù)與x軸的交點的個數(shù)．【解答】解：解不等式組，得；∵不等式組的解為x＞2，∴a≤2，∴a﹣2≤0；令＝0，則△＝1﹣4×（6﹣2a）×＝a﹣2≤0；∴二次函數(shù)圖象與x軸沒有交點或相交于一點．故選：D．12．如圖1，正方形紙片ABCD邊長為2，折疊∠B和∠D，使兩個直角的頂點重合于對角線BD上的一點P，EF、GH分別是折痕（圖2）．設(shè)AE＝x（0＜x＜2），給出下列判斷：①x＝時，EF+GH＝AC；②六邊形AEFCHG面積的最大值是3.5；③六邊形AEFCHG周長的值為定值．其中正確的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】由△BEF∽△BAC，得出EF＝AC，同理得GH＝AC，得結(jié)論①，由六邊形AEFCHG面積＝正方形ABCD的面積﹣△EBF的面積﹣△GDH的面積，得出函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)性質(zhì)求最大值即可判斷②，根據(jù)六邊形AEFCHG周長＝AE+EF+FC+CH+FG+AG＝（AE+CH）+（FC+AC）+（EF+GH）得出定值即可得證結(jié)論③．【解答】解：由題知，正方形紙片ABCD邊長為2，折疊∠B和∠D，使兩個直角的頂點重合于對角線BD上的一點P，EF、GH分別是折痕，∴△BEF∽△BAC，∵x＝，∴BE＝2﹣＝，∴＝＝＝，∴EF＝AC，同理，GH＝AC，∴EF+GH＝AC，故①正確；六邊形AEFCHG面積＝正方形ABCD的面積﹣△EBF的面積﹣△GDH的面積，∵AE＝x，∴六邊形AEFCHG面積＝22﹣BE?BF﹣GD?DH＝4﹣＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，∴六邊形AEFCHG面積最大值為3，故②不正確；∵EF+GH＝AC，∴六邊形AEFCHG周長＝AE+EF+FC+CH+FG+AG＝（AE+CH）+（FC+AC）+（EF+GH）＝2+2+2＝4，故③正確；故選：B．二、填空題：13．68°42′24″的余角是21°17′36″．【分析】根據(jù)互為余角的兩個角的和為90°作答．【解答】解：根據(jù)余角的定義可知，68°42′24″的余角是：90°﹣68°42′24″＝21°17′36″．故答案為：21°17′36″．14．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一點，若tan∠DBA＝，則AD的長是2．【分析】過D作DH⊥AB于H，由tan∠DBA＝，設(shè)DH＝m，則BH＝5m，AB＝6m，根據(jù)三角形ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝6，可得AB＝6，從而可得6m＝6，解得m，即可得到答案．【解答】解：過D作DH⊥AB于H，如圖：Rt△BDH中，tan∠DBA＝，∴＝，設(shè)DH＝m，則BH＝5m，∵三角形ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝6，∴∠A＝45°，AB＝AC＝6，∴△AHD是等腰直角三角形，∴AH＝m，AD＝m，∴AB＝AH+BH＝6m，∴6m＝6，解得m＝，∴AD＝m＝2．故答案為：2．15．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC+BC＝16，點O是斜邊AB上一點，以O(shè)為圓心的⊙O分別與AC，BC相切于點D，E．（1）當AC＝2時，求⊙O的半徑；（2）設(shè)AC＝x，⊙O的半徑為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式是y＝﹣x2+x（0＜x＜16）．【分析】（1）連接OE，OD，根據(jù)切線的性質(zhì)、正方形的判定定理得到四邊形OECD是正方形，進而得到DC＝OD，證明△ADO∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式計算即可；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，把含x、y的式子代入，化簡即可．【解答】解：（1）連接OE，OD，在△ABC中，∠C＝90°，AC+BC＝16，∵AC＝2，∴BC＝14，∵以O(shè)為圓心的⊙O分別與AC，BC相切于點D，E，∴∠ODC＝∠OEC＝90°，∵∠C＝90°，OD＝OE，∴四邊形OECD是正方形，∴DC＝OD，∵OD∥BC，∴△ADO∽△ACB，∴＝，即＝，解得，OD＝，即⊙O的半徑為；（2）∵AC+BC＝16，AC＝x，∴BC＝16﹣x，由（1）可知，＝，即＝，整理得，y＝﹣x2+x（0＜x＜16），故答案為：y＝﹣x2+x（0＜x＜16）．16．如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6．折疊該菱形，使點A落在邊BC上的點M處，折痕分別與邊AB，AD交于點E，F(xiàn)．當點M與點B重合時，EF的長為3；當點M的位置變化時，DF長的最大值為6﹣3．【分析】如圖1中，求出等邊△ADB的高DE即可．如圖2中，連接AM交EF于點O，過點O作OK⊥AD于點K，交BC于點T，過點A作AG⊥CB交CB的延長線于點G，取AD的中點R，連接OR．證明OK＝，求出AF的最小值，可得結(jié)論．【解答】解：如圖1中，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝BC＝CD，∠A＝∠C＝60°，∴△ADB，△BDC都是等邊三角形，當點M與B重合時，EF是等邊△ADB的高，EF＝AD?sin60°＝6×＝3．如圖2中，連接AM交EF于點O，過點O作OK⊥AD于點K，交BC于點T，過點A作AG⊥CB交CB的延長線于點G，取AD的中點R，連接OR．∵AD∥CG，OK⊥AD，∴OK⊥CG，∴∠G＝∠AKT＝∠GTK＝90°，∴四邊形AGTK是矩形，∴AG＝TK＝AB?sin60°＝3，∵OA＝OM，∥AOK＝∠MOT，∠AKO＝∠MTO＝90°，∴△AOK≌△MOT（AAS），∴OK＝OT＝，∵OK⊥AD，∴OR≥OK＝，∵∠AOF＝90°，AR＝RF，∴AF＝2OR≥3，∴AF的最小值為3，∴DF的最大值為6﹣3．故答案為：3，6﹣3．【點評】本題考查菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學會填空常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．12．（3分）定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍長三角形”．若等腰是“倍長三角形”，底邊的長為3，則腰的長為6．【解答】解：等腰是“倍長三角形”，或，若，則三邊分別是6，6，3，符合題意，腰的長為6；若，則，三邊分別是1.5，1.5，3，，此時不能構(gòu)成三角形，這種情況不存在；綜上所述，腰的長是6，故答案為：6．17．一個裝有進水管和出水管的容器，開始時，先打開進水管注水，3分鐘時，再打開出水管排水，8分鐘時，關(guān)閉進水管，直至容器中的水全部排完．在整個過程中，容器中的水量（升與時間（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則圖中的值為．【解答】解：設(shè)出水管每分鐘排水升．由題意進水管每分鐘進水10升，則有，，分鐘后的放水時間，，，故答案為：．18．如圖，在矩形中，．動點從點出發(fā)，沿邊向點勻速運動，動點從點出發(fā)，沿邊向點勻速運動，連接．動點，同時出發(fā)，點運動的速度為，點運動的速度為，且．當點到達點時，，兩點同時停止運動．在運動過程中，將四邊形沿翻折，得到四邊形．若在某一時刻，點的對應點恰好與的中點重合，則的值為．【解答】解：如圖，設(shè)交于點．設(shè)．，可以假設(shè)，，四邊形是矩形，，，，在中，，，，，，由翻折的性質(zhì)可知，，，，，△，，，，，，△，，設(shè)，則，，，，，解法二：連接，過點作于點．設(shè)，，設(shè)，則，，，由△，可得，，，故答案為：．19．如圖是一張矩形紙片ABCD，點M是對角線AC的中點，點E在BC邊上，把△DCE沿直線DE折疊，使點C落在對角線AC上的點F處，連接DF，EF．若MF＝AB，則∠DAF＝18度．【分析】連接DM，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半可得△AMD和△MCD為等腰三角形，∠DAF＝∠MDA，∠MCD＝∠MDC；由折疊可知DF＝DC，可得∠DFC＝∠DCF；由MF＝AB，AB＝CD，DF＝DC，可得FM＝FD，進而得到∠FMD＝∠FDM；利用三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，可得∠DFC＝2∠FMD；最后在△MDC中，利用三角形的內(nèi)角和定理列出方程，結(jié)論可得．【解答】解：連接DM，如圖：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°．∵M是AC的中點，∴DM＝AM＝CM，∴∠FAD＝∠MDA，∠MDC＝∠MCD．∵DC，DF關(guān)于DE對稱，∴DF＝DC，∴∠DFC＝∠DCF．∵MF＝AB，AB＝CD，DF＝DC，∴MF＝FD．∴∠FMD＝∠FDM．∵∠DFC＝∠FMD+∠FDM，∴∠DFC＝2∠FMD．∵∠DMC＝∠FAD+∠ADM，∴∠DMC＝2∠FAD．設(shè)∠FAD＝x°，則∠DFC＝4x°，∴∠MCD＝∠MDC＝4x°．∵∠DMC+∠MCD+∠MDC＝180°，∴2x+4x+4x＝180．∴x＝18．故答案為：18．三、解答題：20．已知，求的值．【解答】解：原式，，，原式．21．一只不透明的袋子中裝有1個白球，3個紅球，這些球除顏色外都相同．（1）攪勻后從中任意摸出1個球，這個球是白球的概率為；（2）攪勻后從中任意摸出1個球，記錄顏色后放回，攪勻，再從中任意摸出1個球，求2次摸到的球恰好是1個白球和1個紅球的概率．（請用畫樹狀圖或列表等方法說明理由）【解答】解：（1）一只不透明的袋子中裝有1個白球和3個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個球，則摸出白球的概率為：．故答案為：；（2）畫樹狀圖如圖所示：共有16種不同的結(jié)果數(shù)，其中兩個球顏色不同的有6種，次摸到的球恰好是1個白球和1個紅球的概率為．22．某校九年級640名學生在“信息素養(yǎng)提升”培訓前、后各參加了一次水平相同的測試，并以同一標準折算成“6分”、“7分”、“8分”、“9分”、“10分”5個成績．為了解培訓效果，用抽樣調(diào)查的方式從中抽取了32名學生的2次測試成績，并用劃記法制成了如表表格：訓前成績（分678910劃記正正正正人數(shù)（人124754培訓后成績（分678910劃記一正正正正人數(shù)（人413915（1）這32名學生2次測試成績中，培訓前測試成績的中位數(shù)是，培訓后測試成績的中位數(shù)是，則；（填“”、“”或“”（2）這32名學生經(jīng)過培訓，測試成績?yōu)椤?分”的百分比比培訓前減少了多少？（3）估計該校九年級640名學生經(jīng)過培訓，測試成績?yōu)椤?0分”的學生增加了多少人？【解答】解：培訓前測試成績的中位數(shù)，培訓后測試成績的中位數(shù)，；故答案為：；（2）培訓前：，培訓后：，，答：測試成績?yōu)椤?分”的百分比比培訓前減少了；（3）培訓前：，培訓后：，，答：測試成績?yōu)椤?0分”的學生增加了220人．23．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點，與軸交于點，與軸交于點．（1）求與的值；（2）為軸上的一動點，當?shù)拿娣e為時，求的值．【解答】解：（1）把代入，得，，把代入，得，，把代入，得，，；（2）當時，，，為軸上的動點，，，，，，或．24．如圖，是的直徑，是弦，是的中點，與交于點．是延長線上的一點，且．（1）求證：為的切線；（2）連接，取的中點，連接．若，，求的長．【解答】（1）證明：如圖，連接，，，，，，，是直徑，是的中點，，，，即，是半徑，是的切線．（2）解：過點作于點．設(shè)，則，在中，，，，，，，，，為的中點，，，，，．25．某水果店經(jīng)銷甲、乙兩種水果，兩次購進水果的情況如表所示：進貨批次甲種水果質(zhì)量（單位：千克）乙種水果質(zhì)量（單位：千克）總費用（單位：元）第一次60401520第二次30501360（1）求甲、乙兩種水果的進價；（2）銷售完前兩次購進的水果后，該水果店決定回饋顧客，開展促銷活動．第三次購進甲、乙兩種水果共200千克，且投入的資金不超過3360元．將其中的千克甲種水果和千克乙種水果按進價銷售，剩余的甲種水果以每千克17元、乙種水果以每千克30元的價格銷售．若第三次購進的200千克水果全部售出后，獲得的最大利潤不低于800元，求正整數(shù)的最大值．【解答】解：（1）設(shè)甲兩種水果的進價為每千克元，乙兩種水果的進價為每千克元．由題意，得，解得，答：甲種水果的進價為每千克12元，乙種水果的進價為每千克20元．（2）設(shè)第三次購進千克甲種水果，則購進千克乙種水果．由題意，得，解得．設(shè)獲得的利潤為元，由題意，得，，隨的增大而減小，時，的值最大，最大值為，由題意，得，解得，的最大整數(shù)值為22．26．如圖，二次函數(shù)是常數(shù)，且的圖象與軸交于，兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，頂點為．其對稱軸與線段交于點，與軸交于點．連接，．（1）求，，三點的坐標（用數(shù)字或含的式子表示），并求的度數(shù)；（2）若，求的值；（3）若在第四象限內(nèi)二次函數(shù)是常數(shù)，且的圖象上，始終存在一點，使得，請結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出的取值范圍．【解答】解：（1）當時，，解方程，得，，點在點的左側(cè)，且，，，當時，，，，，；（2）如圖1中，連接．，，，，，，，，關(guān)于對稱軸對稱，，，，，，即，，，，或，，；（3）如圖，設(shè)交軸于點．當點