2024年初中升學(xué)考試真題卷湖南省長(zhǎng)沙市雨花區(qū)雅禮實(shí)驗(yàn)中學(xué)中考數(shù)學(xué)二模試卷

第1頁（共1頁）2023年湖南省長(zhǎng)沙市雨花區(qū)雅禮實(shí)驗(yàn)中學(xué)中考數(shù)學(xué)二模試卷一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共30分）1．（3分）下列四個(gè)選項(xiàng)中，絕對(duì)值最大的數(shù)是（）A．2022 B．﹣2023 C．﹣2021 D．2．（3分）黨的十八大以來，以習(xí)近平同志為核心的黨中央重視技能人才的培育與發(fā)展，截至2021年底，我國高技能人才超過64800000人，將數(shù)據(jù)64800000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．6.48×106 B．6.48×107 C．6.48×108 D．0.648×1073．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．3a2+a3＝4a6 B．3a2?4a3＝7a5 C．3a6÷a2＝3a3 D．（2ab2）3＝8a3b64．（3分）如圖所示的鋼塊零件的主視圖為（）A． B． C． D．5．（3分）勞動(dòng)教育是學(xué)校貫徹“五育并舉”的重要舉措，某校倡議學(xué)生在家做一些力所能及的家務(wù)勞動(dòng)，李老師為了解學(xué)生每周參加家務(wù)勞動(dòng)的時(shí)間，隨機(jī)調(diào)查了本班6名學(xué)生，收集到如下數(shù)據(jù)：6，3，5，4，3，3，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)是（）A．3和3 B．3和4.5 C．3和3.5 D．4和3.56．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，sin∠B等于（）A． B． C． D．7．（3分）如圖，PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點(diǎn)，連接AO、BO，若∠APB＝70°，則∠AOB的度數(shù)為（）A．100° B．110° C．120° D．105°8．（3分）如圖，小穎按下面方法用尺規(guī)作角平分線：在已知的∠AOB的兩邊上，分別截取OC，OD，使OC＝OD．再分別以點(diǎn)C，D為圓心、大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)P，作射線OP，則射線OP就是∠AOB的平分線．其作圖原理是：△OCP≌△ODP，這樣就有∠AOP＝∠BOP，那么判定這兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS9．（3分）下列函數(shù)圖象中，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)值y隨x增大而增大的是（）A． B． C． D．10．（3分）近期新冠肺炎疫情開始第二輪感染，某市疾控中心對(duì)三名有咳嗽癥狀的市民甲、乙、丙進(jìn)行調(diào)查，與三位市民有如下對(duì)話：甲說：我陽了，需要休息；乙說：我肯定沒有陽，請(qǐng)讓我回去工作；丙說：甲沒有陽，不要被他騙了；若這三人中只有一人說的是真話且只有一名市民陽了，請(qǐng)你判斷誰是真正陽的人（）A．乙 B．丙 C．甲 D．無法判斷二、填空題（每小題3分，共18分）11．（3分）因式分解：x2﹣y2＝．12．（3分）圓錐的側(cè)面積是10πcm2，底面半徑是2cm，則圓錐的母線長(zhǎng)為cm．13．（3分）已知方程x2﹣2x+k＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k＝．14．（3分）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．15．（3分）如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，則∠AOD＝度．16．（3分）已知如圖：DE∥BC，DE＝2，BC＝3，則＝．三、解答題（本大題共9小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題6分，第22、23題每小題6分，第24、25題每小題6分，共72分）17．（6分）計(jì)算：．18．（6分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．19．（6分）如圖，某校校門口安裝了體溫監(jiān)測(cè)儀器，體溫檢測(cè)有識(shí)別區(qū)域即AB的長(zhǎng)，當(dāng)身高為1.5米的學(xué)生進(jìn)入識(shí)別區(qū)域時(shí)，在點(diǎn)D處測(cè)得攝像頭M的仰角為30°，在點(diǎn)C處測(cè)得攝像頭M的仰角為60°，學(xué)校大門的高M(jìn)E是4.5米，則體溫識(shí)別區(qū)域AB的長(zhǎng)為多少米？（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)，）20．（8分）近幾年，新型冠狀病毒感染的肺炎疫情牽動(dòng)著全國人民的心，為了提高意識(shí)，共克時(shí)艱，共渡難關(guān)，某校開展了“全民行動(dòng)?共同抗疫”的自我防護(hù)知識(shí)網(wǎng)上答題競(jìng)賽，現(xiàn)從該校七、八年級(jí)中各隨機(jī)抽取10名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)（百分制）進(jìn)行整理、描述和分析（成績(jī)得分用x表示，共分成四組：A．80≤x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D．95≤x≤100），下面給出了部分信息：七年級(jí)10名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82八年級(jí)10名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)?cè)贑組中的數(shù)據(jù)是：94，90，94七、八年級(jí)抽取的學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)表年級(jí)七年級(jí)八年級(jí)平均數(shù)9292中位數(shù)93b方差5250.4根據(jù)以上信息，解答下列問題；（1）a＝，b＝；（2）該校七、八年級(jí)共1800人參加了此次網(wǎng)上答題競(jìng)賽活動(dòng)，估計(jì)參加競(jìng)賽活動(dòng)成績(jī)優(yōu)秀（x≥95）的學(xué)生人數(shù)是多少？（3）如果從七年級(jí)99分以上的四名學(xué)生中抽取兩名學(xué)生參加市里的知識(shí)競(jìng)賽，請(qǐng)用列表法或樹狀圖法求恰好抽中100分的學(xué)生參賽的概率是多少？（用A表示100分，B，C，D表示99分）21．（8分）如圖，已知等腰△ABC，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在BC、AB上，且∠BDE＝∠CAD．（1）求證：△BDE∽△CAD；（2）如果BE＝3，BD＝4，DC＝9，求AB的長(zhǎng)．22．（9分）2023年5月11日，長(zhǎng)沙市橘子洲頭舉辦了燃放煙花的活動(dòng)，橘子洲頭當(dāng)天實(shí)行全天閉園，長(zhǎng)沙市地鐵二號(hào)線實(shí)行全天跳站．對(duì)此非常有興趣的數(shù)學(xué)愛好者小李去市場(chǎng)上調(diào)查了解A、B兩種不同型號(hào)煙花的價(jià)格，已知B型號(hào)煙花的價(jià)格比A種煙花價(jià)格每箱貴60元，用3000元購買A型號(hào)的煙花和用4800元購買B種型號(hào)的煙花的箱數(shù)相同．（1）請(qǐng)問A，B兩種煙花每箱的價(jià)格分別是多少元？（2）小李的爸爸所在的公司即將要舉辦周年慶活動(dòng)，計(jì)劃購買A，B兩種型號(hào)的煙花共100箱，要求購買A型號(hào)煙花的數(shù)量2倍不高于B型號(hào)煙花數(shù)量的3倍，爸爸問小李：怎樣設(shè)計(jì)購買方案能使總費(fèi)用最低？總費(fèi)用最低為多少元？23．（9分）如圖，已知四邊形AEBD是平行四邊形，對(duì)角線AB與DE相交于點(diǎn)F，且DE平分∠ADB，延長(zhǎng)EB過點(diǎn)D作DC∥AB，交EB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C．（1）求證：四邊形AEBD是菱形；（2）若DC＝4，BD＝，求四邊形ABCD的面積．24．（10分）若拋物線L：y＝ax2+2bx+3c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與直線l：y＝ax+2b滿足a2+b2＝a（3c﹣b），則稱此直線l與該拋物線L具有“雅禮”關(guān)系，此時(shí)，直線l叫做拋物線L的“雅線”，拋物線L叫做直線l的“禮線”．（1）若直線y＝x﹣2與拋物線y＝ax2+2bx+3c具有“雅禮”關(guān)系，求“禮線”的解析式；（2）若拋物線y＝x2+4mx+3n的“雅線”與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，求m，n的值；（3）已知“禮線”y＝ax2+2bx+3c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與它的“雅線”交于點(diǎn)P，與它的“雅線”的平行l(wèi)'：y＝ax+4a+2b交于點(diǎn)A，B，記△ABP的面積為S，的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．25．（10分）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D是斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑作圓A交AC于點(diǎn)F，設(shè)圓A半徑為r，若滿足，連結(jié)CD并延長(zhǎng)交圓A于點(diǎn)E，連結(jié)AE，DF．（1）如圖1，若AE∥CB，求⊙A半徑；（2）如圖2，點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過程中，∠FDC和∠FAE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)D在斜邊AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求CD?DE的取值范圍．

2023年湖南省長(zhǎng)沙市雨花區(qū)雅禮實(shí)驗(yàn)中學(xué)中考數(shù)學(xué)二模試卷參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共30分）1．（3分）下列四個(gè)選項(xiàng)中，絕對(duì)值最大的數(shù)是（）A．2022 B．﹣2023 C．﹣2021 D．【答案】B【分析】先求得各數(shù)的絕對(duì)值，然后比較大小即可．【解答】解：∵|﹣2021|＝2021，|﹣2023|＝2023，|2022|＝2022，||＝，∴＜2021＜2022＜2023，則絕對(duì)值最大的數(shù)為：﹣2023，故選：B．2．（3分）黨的十八大以來，以習(xí)近平同志為核心的黨中央重視技能人才的培育與發(fā)展，截至2021年底，我國高技能人才超過64800000人，將數(shù)據(jù)64800000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．6.48×106 B．6.48×107 C．6.48×108 D．0.648×107【答案】B【分析】將一個(gè)數(shù)表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法．【解答】解：64800000＝6.48×107，故選：B．3．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．3a2+a3＝4a6 B．3a2?4a3＝7a5 C．3a6÷a2＝3a3 D．（2ab2）3＝8a3b6【答案】D【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)，積的乘方與冪的乘方法則，單項(xiàng)式乘除法則，逐項(xiàng)判斷可得答案．【解答】解：3a2與a3不能合并，故A錯(cuò)誤，不符合題意；3a2?4a3＝12a5，故B錯(cuò)誤，不符合題意；3a6÷a2＝3a4，故C錯(cuò)誤，不符合題意；（2ab2）3＝8a3b6，故D正確，符合題意；故選：D．4．（3分）如圖所示的鋼塊零件的主視圖為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)從正面看得到的視圖是主視圖，可得答案．【解答】解：從正面看是一個(gè)“凹”字形，故選：A．5．（3分）勞動(dòng)教育是學(xué)校貫徹“五育并舉”的重要舉措，某校倡議學(xué)生在家做一些力所能及的家務(wù)勞動(dòng)，李老師為了解學(xué)生每周參加家務(wù)勞動(dòng)的時(shí)間，隨機(jī)調(diào)查了本班6名學(xué)生，收集到如下數(shù)據(jù)：6，3，5，4，3，3，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)是（）A．3和3 B．3和4.5 C．3和3.5 D．4和3.5【答案】C【分析】根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可．【解答】解：將這組數(shù)據(jù)重新排列為3，3，3，4，5，6，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為3，中位數(shù)為＝3.5，故選：C．6．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，sin∠B等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義解答即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝＝8，∴sin∠B＝＝＝．故選：D．7．（3分）如圖，PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點(diǎn)，連接AO、BO，若∠APB＝70°，則∠AOB的度數(shù)為（）A．100° B．110° C．120° D．105°【答案】B【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)可以證得∠OAP＝∠OBP＝90°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理求解．【解答】解：∵PA，PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠APB＝70°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°；故選：B．8．（3分）如圖，小穎按下面方法用尺規(guī)作角平分線：在已知的∠AOB的兩邊上，分別截取OC，OD，使OC＝OD．再分別以點(diǎn)C，D為圓心、大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)P，作射線OP，則射線OP就是∠AOB的平分線．其作圖原理是：△OCP≌△ODP，這樣就有∠AOP＝∠BOP，那么判定這兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【答案】D【分析】根據(jù)SSS證明三角形全等即可．【解答】解：由作圖可知OC＝OD，CP＝DP，在△POC和△POD中，，∴△POC≌△POD（SSS），∴∠POC＝∠POD，即線OP就是∠AOB的平分線．故選：D．9．（3分）下列函數(shù)圖象中，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)值y隨x增大而增大的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】當(dāng)x＞0時(shí)，分析每個(gè)選項(xiàng)的圖象即可得出結(jié)論．【解答】解：根據(jù)題意得知，當(dāng)x＞0時(shí)，A選項(xiàng)中函數(shù)值y隨x增大而減小，B選項(xiàng)中函數(shù)值y隨x增大而增大，C選項(xiàng)中函數(shù)值y隨x增大而減小，D選項(xiàng)中函數(shù)值y隨x增大先減小再增大，故選：B．10．（3分）近期新冠肺炎疫情開始第二輪感染，某市疾控中心對(duì)三名有咳嗽癥狀的市民甲、乙、丙進(jìn)行調(diào)查，與三位市民有如下對(duì)話：甲說：我陽了，需要休息；乙說：我肯定沒有陽，請(qǐng)讓我回去工作；丙說：甲沒有陽，不要被他騙了；若這三人中只有一人說的是真話且只有一名市民陽了，請(qǐng)你判斷誰是真正陽的人（）A．乙 B．丙 C．甲 D．無法判斷【答案】A【分析】分別假設(shè)甲、乙、丙說的是真話，結(jié)合題意推論，得出結(jié)論．【解答】解：假設(shè)甲說的是真話，則甲陽了，所以乙說的是真話，不合題意，假設(shè)乙說的是真話，甲說的是假話，則丙乙說的是真話，不合題意，假設(shè)丙說的是真話，則甲、乙說的是假話，符合題意，所以真正陽的人是乙．故選：A．二、填空題（每小題3分，共18分）11．（3分）因式分解：x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y）．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．【解答】解：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）．故答案為：（x+y）（x﹣y）．12．（3分）圓錐的側(cè)面積是10πcm2，底面半徑是2cm，則圓錐的母線長(zhǎng)為5cm．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】底面半徑是2cm，則扇形的弧長(zhǎng)是4π，根據(jù)扇形的面積公式即可求得扇形的半徑，即圓錐的母線長(zhǎng)．【解答】解：底面半徑是2cm，則扇形的弧長(zhǎng)是4π．設(shè)母線長(zhǎng)是l，則×4πl(wèi)＝10π，解得：l＝5．故答案為：5．13．（3分）已知方程x2﹣2x+k＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k＝1．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，得到根的判別式等于0，列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．【解答】解：∵方程x2﹣2x+k＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4k＝0，解得：k＝1．故答案為：114．（3分）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣5，8）．【答案】（﹣5，8）【分析】利用二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出頂點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：由題可知拋物線，當(dāng)二次函數(shù)的解析式為頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式為（h，k），∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣5，8）．故答案為：（﹣5，8）．15．（3分）如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，則∠AOD＝120度．【答案】120．【分析】由矩形的性質(zhì)得∠BAD＝90°，OA＝OB＝OD，由tan∠BDA＝＝＝，得∠BDA＝30°，進(jìn)而可得∠AOD＝120°．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，∴∠BAD＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∴OA＝OD，∵AB＝1，AD＝，∴tan∠BDA＝＝＝，∴∠BDA＝30°，∴∠OAD＝30°，∴∠AOD＝180°﹣2×30°＝120°，故答案為：120．16．（3分）已知如圖：DE∥BC，DE＝2，BC＝3，則＝4：5．【答案】4：5．【分析】因?yàn)镈E∥BC，所以可得△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵D、E分別是△ABC的AB、AC邊上的點(diǎn)，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE＝2，BC＝3，∴S△ADE：S△ABC＝（DE：BC）2＝4：9，∴S△ADE：S四邊形DBCE＝4：5，故答案為：4：5．三、解答題（本大題共9小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題6分，第22、23題每小題6分，第24、25題每小題6分，共72分）17．（6分）計(jì)算：．【答案】1．【分析】先計(jì)算立方、零次冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和特殊角的三角函數(shù)值，再計(jì)算加減．【解答】解：．＝﹣8+1﹣1+9＝1．18．（6分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】2a，2023．【分析】先算括號(hào)內(nèi)的式子，再算括號(hào)外的除法，然后將a的值代入化簡(jiǎn)后的式子計(jì)算即可．【解答】解：＝?＝?＝2a，當(dāng)a＝時(shí)，原式＝2×＝2023．19．（6分）如圖，某校校門口安裝了體溫監(jiān)測(cè)儀器，體溫檢測(cè)有識(shí)別區(qū)域即AB的長(zhǎng)，當(dāng)身高為1.5米的學(xué)生進(jìn)入識(shí)別區(qū)域時(shí)，在點(diǎn)D處測(cè)得攝像頭M的仰角為30°，在點(diǎn)C處測(cè)得攝像頭M的仰角為60°，學(xué)校大門的高M(jìn)E是4.5米，則體溫識(shí)別區(qū)域AB的長(zhǎng)為多少米？（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)，）【答案】體溫識(shí)別區(qū)域AB的長(zhǎng)約為3.5米．【分析】根據(jù)題意可得：EF＝AC＝BD＝1.5米，CD＝AB，DF⊥ME，從而可得MF＝3米，然后在Rt△MFC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出MC的長(zhǎng)，再利用三角形外角的性質(zhì)可得∠CMD＝∠MDC＝30°，從而可得CM＝CD＝2米，即可解答．【解答】解：由題意得：EF＝AC＝BD＝1.5米，CD＝AB，DF⊥ME，∵M(jìn)E＝4.5米，∴MF＝ME﹣EF＝4.5﹣1.5＝3（米），在Rt△MFC中，∠MCF＝60°，∴MC＝＝＝2（米），∵∠MCF是△CMD的一個(gè)外角，∠MDC＝30°，∴∠CMD＝∠MCF﹣∠MDF＝30°，∴∠CMD＝∠MDC＝30°，∴CM＝CD＝2（米），∴AB＝CD＝2≈3.5（米），∴體溫識(shí)別區(qū)域AB的長(zhǎng)約為3.5米．20．（8分）近幾年，新型冠狀病毒感染的肺炎疫情牽動(dòng)著全國人民的心，為了提高意識(shí)，共克時(shí)艱，共渡難關(guān)，某校開展了“全民行動(dòng)?共同抗疫”的自我防護(hù)知識(shí)網(wǎng)上答題競(jìng)賽，現(xiàn)從該校七、八年級(jí)中各隨機(jī)抽取10名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)（百分制）進(jìn)行整理、描述和分析（成績(jī)得分用x表示，共分成四組：A．80≤x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D．95≤x≤100），下面給出了部分信息：七年級(jí)10名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82八年級(jí)10名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)?cè)贑組中的數(shù)據(jù)是：94，90，94七、八年級(jí)抽取的學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)表年級(jí)七年級(jí)八年級(jí)平均數(shù)9292中位數(shù)93b方差5250.4根據(jù)以上信息，解答下列問題；（1）a＝40，b＝94；（2）該校七、八年級(jí)共1800人參加了此次網(wǎng)上答題競(jìng)賽活動(dòng)，估計(jì)參加競(jìng)賽活動(dòng)成績(jī)優(yōu)秀（x≥95）的學(xué)生人數(shù)是多少？（3）如果從七年級(jí)99分以上的四名學(xué)生中抽取兩名學(xué)生參加市里的知識(shí)競(jìng)賽，請(qǐng)用列表法或樹狀圖法求恰好抽中100分的學(xué)生參賽的概率是多少？（用A表示100分，B，C，D表示99分）【答案】（1）40，92；（2）810；（3）．【分析】（1）先計(jì)算出八年級(jí)10名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)C組人數(shù)所占的百分比，然后用1分別減去A、B、C組的百分比可得到a的值，接著利用中位數(shù)的定義得到b的值；（2）先計(jì)算八年級(jí)10名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)為4人，然后用1800乘以樣本中七、八年級(jí)優(yōu)秀人數(shù)所占的百分比即可；（3）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果，再找出抽中100分的學(xué)生參賽的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計(jì)算．【解答】解：（1）八年級(jí)10名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)C組所占的百分比為×100%＝30%，∴a%＝1﹣10%﹣20%﹣30%＝40%，即a＝40；八年級(jí)10名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)A組的人數(shù)為10×10%＝1（人），B組的人數(shù)20×10%＝2（人），所以八年級(jí)10名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)為×（94+94）＝94，即b＝94；故答案為：40，94；（2）八年級(jí)10名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)為10×40%＝4（人）1800×＝810（人），所以估計(jì)參加競(jìng)賽活動(dòng)成績(jī)優(yōu)秀（x≥95）的學(xué)生人數(shù)是810人；（3）畫樹狀圖為：共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好抽中100分的學(xué)生參賽的結(jié)果數(shù)為6，所以恰好抽中100分的學(xué)生參賽的概率＝＝．21．（8分）如圖，已知等腰△ABC，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在BC、AB上，且∠BDE＝∠CAD．（1）求證：△BDE∽△CAD；（2）如果BE＝3，BD＝4，DC＝9，求AB的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析；（2）12．【分析】（1）先利用等腰三角形的性質(zhì)得出∠B＝∠C，再由∠BDE＝∠CAD可證得△BDE∽△CAD；（2）由相似三角形的性質(zhì)可得出答案．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵∠BDE＝∠CAD，∴△BDE∽△CAD；（2）解：∵△BDE∽△CAD，∴，∴，∴AC＝12，∴AB＝12．22．（9分）2023年5月11日，長(zhǎng)沙市橘子洲頭舉辦了燃放煙花的活動(dòng)，橘子洲頭當(dāng)天實(shí)行全天閉園，長(zhǎng)沙市地鐵二號(hào)線實(shí)行全天跳站．對(duì)此非常有興趣的數(shù)學(xué)愛好者小李去市場(chǎng)上調(diào)查了解A、B兩種不同型號(hào)煙花的價(jià)格，已知B型號(hào)煙花的價(jià)格比A種煙花價(jià)格每箱貴60元，用3000元購買A型號(hào)的煙花和用4800元購買B種型號(hào)的煙花的箱數(shù)相同．（1）請(qǐng)問A，B兩種煙花每箱的價(jià)格分別是多少元？（2）小李的爸爸所在的公司即將要舉辦周年慶活動(dòng)，計(jì)劃購買A，B兩種型號(hào)的煙花共100箱，要求購買A型號(hào)煙花的數(shù)量2倍不高于B型號(hào)煙花數(shù)量的3倍，爸爸問小李：怎樣設(shè)計(jì)購買方案能使總費(fèi)用最低？總費(fèi)用最低為多少元？【答案】（1）A種煙花每箱的價(jià)格為100元，B種煙花每箱的價(jià)格為160元；（2）A種煙花購買60箱，B種煙花購買40箱時(shí)，費(fèi)用最小，最小費(fèi)用為12400元．【分析】（1）設(shè)A種煙花每箱的價(jià)格是x元，則B種煙花每箱的價(jià)格是（x+60）元，根據(jù)題意列出分式方程即可，最后檢驗(yàn)；（2）設(shè)購買A種煙花m箱，則B種煙花購買（100﹣m）箱，總費(fèi)用為w元，由題意列出不等式求解可求得m的取值范圍，然后列出w關(guān)于m的一次函數(shù)式即可求解．【解答】解：（1）設(shè)A種煙花每箱的價(jià)格為x元，則B種煙花每箱的價(jià)格為（x+60）元，根據(jù)題意得：＝，解得x＝100，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝100是原方程的根，此時(shí)x+60＝160，答：A種煙花每箱的價(jià)格為100元，B種煙花每箱的價(jià)格為160元；（2）設(shè)購買A種煙花m箱，則B種煙花購買（100﹣m）箱，總費(fèi)用為w元，依題意得：2m≤3（100﹣m），解得：m≤60，w＝100m+160（100﹣m）＝﹣60m+16000．∵﹣60＜0，∴隨m的增大而減小，∴當(dāng)m＝60時(shí)，w有最小值，最小值為﹣60×60+16000＝12400（元）．答：A種煙花購買60箱，B種煙花購買40箱時(shí)，費(fèi)用最小，最小費(fèi)用為12400元．23．（9分）如圖，已知四邊形AEBD是平行四邊形，對(duì)角線AB與DE相交于點(diǎn)F，且DE平分∠ADB，延長(zhǎng)EB過點(diǎn)D作DC∥AB，交EB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C．（1）求證：四邊形AEBD是菱形；（2）若DC＝4，BD＝，求四邊形ABCD的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）24．【分析】（1）證∠BED＝∠BDE，得BD＝BE，再由菱形的判定即可得出結(jié)論；（2）證四邊形ABCD是平行四邊形，得AB＝DC＝4，S平行四邊形ABCD＝2S△ABD＝S菱形AEBD，再由勾股定理得由勾股定理得DF＝6，則DE＝2DF＝12，即可解決問題．【解答】（1）證明：∵四邊形AEBD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠BED，∵DE平分∠ADB，∴∠ADE＝∠BDE，∴∠BED＝∠BDE，∴BD＝BE，∴平行四邊形AEBD是菱形；（2）解：∵四邊形AEBD是菱形，∴AD＝BE，AD∥BE，AB⊥DE，AF＝BF，DF＝EF，∵DC∥AB，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝DC＝4，S平行四邊形ABCD＝2S△ABD＝S菱形AEBD，∴BF＝AB＝2，在Rt△BDF中，由勾股定理得：DF＝＝＝6，∴DE＝2DF＝12，∴S平行四邊形ABCD＝S菱形AEBD＝AB?DE＝×4×12＝24．24．（10分）若拋物線L：y＝ax2+2bx+3c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與直線l：y＝ax+2b滿足a2+b2＝a（3c﹣b），則稱此直線l與該拋物線L具有“雅禮”關(guān)系，此時(shí)，直線l叫做拋物線L的“雅線”，拋物線L叫做直線l的“禮線”．（1）若直線y＝x﹣2與拋物線y＝ax2+2bx+3c具有“雅禮”關(guān)系，求“禮線”的解析式；（2）若拋物線y＝x2+4mx+3n的“雅線”與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，求m，n的值；（3）已知“禮線”y＝ax2+2bx+3c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與它的“雅線”交于點(diǎn)P，與它的“雅線”的平行l(wèi)'：y＝ax+4a+2b交于點(diǎn)A，B，記△ABP的面積為S，的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）y＝x2﹣2x+1；（2）m＝﹣1，n＝1；（3）的值是定值，定值為2．【分析】（1）根據(jù)“雅禮”關(guān)系的定義，求出a、b、c的值即可；（2）由題意a＝1，1+（2m）2＝3n﹣2m①，可得拋物線y＝x2+4mx+3n的“雅線”為y＝x+2m，由，消去y得到x2+2mx+n＝0，由拋物線y＝x2+4mx+3n的“雅線”與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，可知Δ＝0，得（2m）2﹣4n＝0②，由①②解方程組即可求得m、n；（3）的值是定值．不妨設(shè)a＞0，“禮線”y＝ax2+2bx+3c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的“雅線”y＝ax+2b交y軸于C（0，2b），直線y＝ax+4a+2b與y軸交于點(diǎn)D（0，4a+2b），A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去y得到ax2+（2b﹣a）x+3c﹣4a﹣2b＝0，推出x1+x2＝，x1x2＝，得到|x1﹣x2|＝＝＝＝，把a(bǔ)2+b2＝a（3c﹣b）代入上式化簡(jiǎn)得到|x1﹣x2|＝，由AB∥PC，可得S＝S△PAB＝S△CAB＝S△CDB﹣S△CDA＝?CD?|Bx﹣Ax|＝?|4a|?＝2?|a|，由此即可解決問題．【解答】解：（1）由題意a＝1，b＝﹣1，12+（﹣1）2＝3c+1，解得c＝，∴“禮線”的解析式為y＝x2﹣2x+1；（2）由題意a＝1，1+（2m）2＝3n﹣2m①，∴拋物線y＝x2+4mx+3n的“雅線”為y＝x+2m，由，消去y得到x2+2mx+n＝0，∵拋物線y＝x2+4mx+3n的“雅線”與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，∴Δ＝0，∴（2m）2﹣4n＝0②，由①②可得m＝﹣1，n＝1；（3）的值是定值．理由如下：不妨設(shè)a＞0，如圖所示，“禮線”y＝ax2+2bx+3c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的“雅線”y＝ax+2b交y軸于C（0，2b），直線y＝ax+4a+2b與y軸交于點(diǎn)D（0，4a+2b），A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去y得到ax2+（2b﹣a）x+3c﹣4a﹣2b＝0，∴x1+x2＝，x1x2＝，∴|x1﹣