專題04 二次根式（學生版）

知識點01：二次根式的基本性質(zhì)與化簡【高頻考點精講】1．二次根式有意義的條件（1）二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)；（2）如果所給式子中含有分母，那么除了保證被開方數(shù)為非負數(shù)外，還必須保證分母不為零。2．二次根式的基本性質(zhì)（1）≥0；a≥0（雙重非負性）。（2）（）2＝a（a≥0）（任何一個非負數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式）。（3）＝＝3．二次根式的化簡（1）利用二次根式的基本性質(zhì)進行化簡。（2）利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進行化簡。＝?（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）知識點02：同類二次根式及分母有理化【高頻考點精講】1．同類二次根式（1）一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，那么把這幾個二次根式叫做同類二次根式。（2）合并同類二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變。2．分母有理化（1）分母有理化是指把分母中的根號化去，分母有理化是乘二次根式本身（分母只有一項）或與原分母組成平方差公式。①＝＝；②＝＝．（2）兩個含二次根式的代數(shù)式相乘時，它們的積不含二次根式，這樣的兩個代數(shù)式互為有理化因式。知識點03：二次根式混合運算與化簡求值【高頻考點精講】1．二次根式的混合運算順序：先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的。2．在運算中每個根式可以看做是一個“單項式”，多個不同類的二次根式的和可以看作“多項式”。3．二次根式的運算結(jié)果要化為最簡二次根式。四、二次根式的應(yīng)用【高頻考點精講】二次根式的應(yīng)用主要是在解決實際問題的過程中用到有關(guān)二次根式的概念，性質(zhì)和運算方法。檢測時間：90分鐘試題滿分：100分難度系數(shù)：0.61一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?煙臺）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．2．（2分）（2023?西寧）下列運算正確的是（）A． B． C． D．3．（2分）（2023?通遼）二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍在數(shù)軸上表示為（）A． B． C． D．4．（2分）（2023?巴中）下列運算正確的是（）A．x2+x3＝x5 B．×＝ C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．|m|＝m5．（2分）（2022?廣州）代數(shù)式有意義時，x應(yīng)滿足的條件為（）A．x≠﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣16．（2分）（2023?濟寧）若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（）A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x≥0且x≠27．（2分）（2023?內(nèi)蒙古）不等式x﹣1＜的正整數(shù)解的個數(shù)有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個8．（2分）（2023?內(nèi)蒙古）下列運算正確的是（）A．+2＝2 B．（﹣a2）3＝a6 C．+＝ D．÷＝9．（2分）（2021?荊門）下列運算正確的是（）A．（﹣x3）2＝x5 B．＝x C．（﹣x）2+x＝x3 D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+110．（2分）（2020?呼倫貝爾）已知實數(shù)a在數(shù)軸上的對應(yīng)點位置如圖所示，則化簡|a﹣1|﹣的結(jié)果是（）A．3﹣2a B．﹣1 C．1 D．2a﹣3二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?哈爾濱）計算的結(jié)果是．12．（2分）（2022?濟寧）若二次根式有意義，則x的取值范圍是．13．（2分）（2021?哈爾濱）計算﹣2的結(jié)果是．14．（2分）（2023?綏化模擬）古希臘幾何學家海倫和我國宋代數(shù)學家秦九韶都曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，稱為海倫﹣秦九韶公式：如果一個三角形的三邊長分別是a，b，c，記，那么三角形的面積為．如果在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別記為a，b，c，若a＝5，b＝6，c＝7，則△ABC的面積為．15．（2分）（2023?池州模擬）要使式子有意義，則x的取值范圍為．16．（2分）（2023?內(nèi)蒙古）實數(shù)m在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，化簡：＝．17．（2分）（2023?濰坊）從﹣，，中任意選擇兩個數(shù)，分別填在算式（□+〇）2÷里面的“□”與“〇”中，計算該算式的結(jié)果是．（只需寫出一種結(jié)果）18．（2分）（2023?臨汾模擬）計算：＝．19．（2分）（2023?錦江區(qū)校級模擬）已知實數(shù)m＝﹣1，則代數(shù)式m2+2m+1的值為．20．（2分）（2023?大同模擬）計算（）（）的結(jié)果等于．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023?陜西）計算：．（6分）（2023?金昌）計算：÷×2﹣6．（8分）（2023?龍巖模擬）（1）計算：；解不等式組：．24．（8分）（2023?晉城模擬）高空拋物嚴重威脅著人們的“頭頂安全”，即便是常見小物件，一旦高空落下，也威力驚人，而且用時很短，常常避讓不及．據(jù)研究，高空拋物下落的時間t（單位：s）和高度h（單位：m）近似滿足公式t＝（不考慮風速的影響，g≈10m/s2）．（1）求從60m高空拋物到落地的時間．（結(jié)果保留根號）（2）已知高空墜物動能（單位：J）＝10×物體質(zhì)量（單位：kg）×高度（單位：m），某質(zhì)量為0.2kg的玩具被拋出后經(jīng)過3s后落在地上，這個玩具產(chǎn)生的動能會傷害到樓下的行人嗎？請說明理由．（注：傷害無防護人體只需要65J的動能）25．（8分）（2023?張家界）閱讀下面材料：將邊長分別為a，a+，a+2，a+3的正方形面積分別記為S1，S2，S3，S4．則S2﹣S1＝（a+）2﹣a2＝[（a+）+a]?[（a+）﹣a]＝（2a+）?＝b+2a例如：當a＝1，b＝3時，S2﹣S1＝3+2根據(jù)以上材料解答下列問題：（1）當a＝1，b＝3時，S3﹣S2＝，S4﹣S3＝；（2）當a＝1，b＝3時，把邊長為a+n的正方形面積記作Sn+1，其中n是正整數(shù)，從（1）中的計算結(jié)果，你能猜出Sn+1﹣Sn等于多少嗎？并證明你的猜想；（3）當a＝1，b＝3時，令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，tn＝Sn+1﹣Sn，且T＝t1+t2+t3+…+t50，求T的值．26．（8分）（2023?晉城模擬）閱讀與思考請仔細閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．＝，＝＝＝3+像上述解題過程中，與、﹣與+相乘，積不含有二次根式，我們可將這兩個式子稱為互為有理化因式，上述解題過程被稱為分母有理化．任務(wù)：（1）的有理化因式；﹣2的有理化因式是．（2）寫出下列式子分母有理化的結(jié)果：①＝；②＝