2023年北京首都師大附中初二（下）期中數學試卷及答案

第1頁/共1頁2023北京首都師大附中初二（下）期中數學一、選擇題（本題共8小題）1.下列計算正確的是（）A. B. C. D.2.由下列三條線段組成的三角形中，能構成直角三角形的是（）A.1，2，2 B.2，3，4 C.3，4，5 D.5，6，73.某函數圖象經過原點，這個函數解析式可能是（）A. B. C. D.4.如圖，在矩形中，對角線，相交于點，若，則的度數為（）A. B. C. D.5.如圖，將函數的圖象平移至圖中虛線位置，則平移后得到的函數的解析式為（）A. B. C. D.6.如圖，的對角線與相交于點，，若，，則的長是（）A.4 B.5 C.6 D.87.在一次“講文明，樹新風”文明禮儀知識競賽中，6位學生的成績分別為75分，75分，80分，85分，90分，95分，統(tǒng)計時誤將一位學生的成績75分記成了70分，則其中不受影響的統(tǒng)計量是（）A.平均數 B.中位數 C.眾數 D.方差8.如圖1，在正方形中，，交于點．點為線段上的一個動點，連接，．設正方形中某條線段的長為，，若表示與的函數關系的圖象大致如圖2所示，則這條線段可能是圖1中的（）A.線段 B.線段 C.線段 D.線段二、填空題（本題共8小題）9.若二次根式有意義，則x的取值范圍是___．10.如圖，在中，E，F分別是邊AD，BC上的點，連接AF，CE，只需添加一個條件即可證明四邊形AFCE是平行四邊形，這個條件可以是_____________（寫出一個即可）．11.某同學對甲、乙兩個市場四月份每天的蔬菜價格進行了調查，計算后發(fā)現這個月兩個市場的價格平均值相同，方差分別為，．則四月份蔬菜價格最穩(wěn)定的市場是______．12.中，，，，點是的中點，連接，則的長為_____．13.如圖，已知菱形的邊長為，，為的中點，若為對角線上一動點，則的最小值為___________．14.如圖，一次函數（，是常數，）的圖象如圖所示，請你寫出一個的值___，使得不等式成立．15.如圖，直線與軸和軸分別交與A、兩點，射線于點A，若點是射線上的一個動點，點是軸上的一個動點，且以、、A為頂點的三角線與全等，則的長為________．16.某班體育課上組織同學們練習定點投籃，如圖描述了一節(jié)課中甲、乙、丙、丁四名同學的投籃命中個數與投籃總次數之間的關系，則這四位同學在本節(jié)課中投籃命中率最高的是______．（投籃命中率=投籃命中個數÷投籃總次數）．三、解答題（本大題共11小題）17.計算：（1）（2）18.已知直線與直線平行，且直線過點，求直線與軸的交點坐標．19.先化簡，再求值：，其中．20.王老師為了選拔一名學生參加數學比賽，對兩名備賽選手進行了10次測驗，成績如下（單位：分）：甲：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10乙：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10選手平均數中位數眾數方差甲7a6乙b7cd（1）以上成績統(tǒng)計分析表中_______，________，______；（2）d______（填“＞”、＜或“＝”）：（3）根據以上信息，你認為王老師應該選哪位同學參加比賽，請說明理由．21.如圖，四邊形是平行四邊形，平分交于點，交于點，連接，判斷與的位置關系，并證明．（1）補全圖形；（2）與的位置關系：_________；（3）證明：_____________22.已知，都是實數，為整數，若，則稱與是關于的一組“平衡數”．（1）與_________是關于1的“平衡數”；（2）與_________是關于3的“平衡數”；（3）若，，判斷與是否為關于某數的一組“平衡數”，說明理由．23.用描點法畫出一次函數與的圖象，并結合圖象回答問題：（1）繪制函數圖象①列表：下列是與，的幾組對應值，其中_______，_______；②描點：根據表中所給的數值在圖中描點；③連線：畫出函數圖象；（2）探究函數性質①當__________，，所以兩個函數圖象的交點坐標是__________；②當_________，的圖象位于的圖象上方，所以的解集是________；③過點做軸的垂線與，的圖象分別交于，兩點，若，則的取值范圍是_________．24.如圖所示，點為內一點，平分，且交于點，點為邊的中點，點在上，且．（1）證明：四邊形是平行四邊形；（2）請直接寫出線段，，之間的數量關系：______．25.如圖，在平面直角坐標系中，，分別是一次函數，的圖像．（1）直接寫出函數的解析式________；（2）已知點，在上．①比較與的大小，并說明理由；②若，點在上，．求函數的解析式以及，的交點坐標．26.如圖，點是菱形對角線上一動點，．在線段的同側做線段，使得，連接．（1）補全圖形，并回答問題：當____________時，；（2）連接，交于點，若，探索與的數量關系，并證明；（3）直接寫出當___________時，將平行．27.在平面直角坐標系中，我們將橫縱坐標都是整數的點叫作整點．以為頂點向右上方作各邊垂直于坐標軸的正方形，若對于直線，此正方形內部（不包括邊）有且僅有個整點在直線上，則稱該正方形為直線關于點的“類正方形”．（1）已知點，，，，則正方形為直線關于點的_____類正方形；（2）已知點是整點且位于直線上．設直線關于點的“3類正方形”的邊長為，求的取值范圍；（3）已知點，位于直線與（，為常數）之間，點，分別位于直線與上．若存在以，，，為頂點的正方形，是某條直線關于點的“3類正方形”，直接寫出的取值范圍．

參考答案一、選擇題（本題共8小題）1.【答案】A【解析】【分析】由二次根式的性質，分別進行判斷，即可得到答案．【詳解】解：，故A正確，C錯誤；，故B、D錯誤；故選：A．【點睛】本題考查了二次根式的性質，解題的關鍵是掌握性質進行判斷．2.【答案】C【解析】【分析】根據兩小邊的平方和與最長邊的平方是否相等即可判定．【詳解】解：A．，∴以1，2，2為邊不能組成直角三角形，故此選項不符合題意；B．，∴以2，3，4為邊不能組成直角三角形，故此選項不符合題意；C．，∴以3，4，5為邊能組成直角三角形，，故此選項符合題意；D．∴以5，6，7為邊能組成直角三角形，故本選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，能熟記勾股定理的逆定理的內容是解此題的關鍵，注意：如果一個三角形的三邊a、b、c滿足，那么這個三角形是直角三角形．3.【答案】B【解析】【分析】根據反比例函數，正比例函數，一次函數圖象的特點可得答案．【詳解】解：為反比例函數，不經過原點，故A不符合題意；為正比例函數，函數圖象過原點，故B符合題意；為一次函數，圖象不過原點，故C不符合題意；為一次函數，圖象不過原點，故D不符合題意；故選B．【點睛】本題考查的是正比例函數，一次函數，反比例函數的圖象，熟記三種函數圖象經過的象限是解本題的關鍵．4.【答案】D【解析】【分析】利用矩形的性質求得，據此求解即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查了矩形的性質，等邊對等角，掌握矩形的性質并準確識圖是解題的關鍵．5.【答案】A【解析】【分析】根據平移的性質“左加右減，上加下減”，即可找出平移后的直線解析式．【詳解】解：由圖像可知，將函數向上平移了2個單位，∴函數的解析式為．故選A．【點睛】本題考查的是一次函數圖象的平移，熟練掌握“左加右減，上加下減”是解答本題的關鍵．6.【答案】D【解析】【分析】根據平行四邊形的性質得出，利用勾股定理得出，進而利用平行四邊形的性質得出即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，，∴，∵，，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，以及勾股定理，熟練掌握平行四邊形的對角線互相平分是解答本題的關鍵．7.【答案】B【解析】【分析】由于中位數體現數據的中間值的大小，75分和70分都不是中間數，不受影響，由此得出答案．【詳解】解：統(tǒng)計時誤將一位學生的成績75分記成了70分，則其中不受影響的統(tǒng)計量是中位數.故選：B．【點睛】此題主要考查統(tǒng)計的有關知識，主要包括平均數、中位數、眾數、方差的意義．8.【答案】D【解析】【分析】由函數圖象可知x的值可以取0，在起點取最小值，即圖2中表示長為x的線段的長度可以為0，由此即可排除B；再根據y隨x增大而增大，在起點取最小值行判斷A、C、D即可．【詳解】解：由圖2函數圖象可知，表示長為x的線段的長度可以為0，∵點E在線段上，∴線段長度不可能為0，故B不符合題意；當該線段為時，∵一開始表示長為x的線段為0，∴一開始點E與點A重合，然后慢慢從點A向點C運動，根據垂線段最短可知當時，此時線段的長度有最小值（即點與點重合時），即此過程y隨x的增大而減小，當點E繼續(xù)運動時，的長度逐漸增大，即y隨x的增大而增大，但圖象中y隨x的增大而增大，在起點取最小值，不符合圖2的函數圖象，故A不符合題意；同理當該線段為時，一開始點E與點C重合，然后慢慢從點C向點A運動，此過程中y隨x的增大而減小，點與點重合時線段的長度有最小值，當點E繼續(xù)運動時，的長度逐漸增大，即y隨x的增大而增大，但圖象中y隨x的增大而增大，在起點取最小值，不符合圖2的函數圖象，故C不符合題意；當該線段為時，∵一開始表示長為x的線段為0，∴一開始點E與點O重合，然后慢慢從點O向點A（或點C）運動，此過程y隨x的增大而增大，符合圖2所示的函數圖象，故D符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查的是動點問題的函數圖象，正方形的性質，根據垂線段最短確定出函數最小值出現的時刻是解題關鍵．二、填空題（本題共8小題）9.【答案】【解析】【詳解】解：根據題意，使二次根式有意義，即x﹣2≥0，解得：x≥2．故答案為：x≥2．【點睛】本題主要考查使二次根式有意義的條件，理解二次根式有意義的條件是解題關鍵．10.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據的性質得到，然后由“對邊相等且平行的四邊形是平行四邊形”添加條件即可．【詳解】解：如圖，在中，，則．當添加時，根據“對邊相等且平行的四邊形是平行四邊形”可以判定四邊形是平行四邊形，故答案是：（答案不唯一）．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，解題的關鍵是能夠靈活應用平行四邊形的判定解決問題．11.【答案】乙【解析】【分析】根據方差的定義，方差越小數據越穩(wěn)定，即可得出答案．【詳解】解：∵方差分別為，．∴，∴四月份蔬菜價格最穩(wěn)定的市場是乙，故答案為：乙．【點睛】本題考查了方差的含義，方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，數據越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩(wěn)定．12.【答案】6.5【解析】【分析】先利用勾股定理求出的長，然后根據直角三角形斜邊上的中線與斜邊的數量關系求解即可．【詳解】解：∵中，，，，∴．∵點D為的中點，連接，∴線段是斜邊上的中線，∴．故答案是：6.5．【點睛】本題考查了勾股定理，以及直角三角形斜邊上的中線，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．13.【答案】【解析】【分析】連接，，，交于，依據，可得，依據是等邊三角形，即可得到，當點，，在同一直線上時，即點在點處時，的最小值為的長，的最小值為【詳解】解：如圖，連接，，，交于，四邊形是菱形，，，，，，，，，是等邊三角形，又是的中點，菱形的邊長為，，，，中，，當點，，在同一直線上時，即點在點處時，的最小值為的長，的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查軸對稱—最短問題、菱形的性質，等邊三角形的判定與性質、勾股定理，軸對稱求線段和的最值問題，解題的關鍵是學會添加常用輔助線．14.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據函數圖象得出不等式的解集為，然后寫出一個在此范圍內的x的值即可．【詳解】解：根據圖象可知，不等式的解集為，∴使得不等式成立的x值可以是．故答案為：．（答案不唯一）【點睛】本題主要考查了一次函數和不等式的關系，解題的關鍵是根據函數圖象求出不等式的解集為．15.【答案】3或【解析】【分析】根據一次函數解析式可求出A點和B點坐標，從而求出的兩條直角邊，并運用勾股定理求出．根據已知可得，分別從或時，即當時，，或時，，分別求得的值，即可得出結論．【詳解】解：∵直線與x軸和y軸分別交與A、B兩點，當時，即，解得：．當時，，∴．∴．∴．∵，點C在射線上，∴，即．∵，∴．若以C、D、A為頂點的三角形與全等，則或，即或．如圖1所示，當時，，∴；如圖2所示，當時，，∴．綜上所述，的長為3或．故答案為：3或．【點睛】此題考查了一次函數的應用、全等三角形的判定和性質以及勾股定理等知識，掌握一次函數的圖象與性質是解題的關鍵．16.【答案】乙【解析】【分析】根據斜率的大小來判斷投籃命中率即可解答．【詳解】解：根據題意棵得圖形，依圖形可得命中率的大小為乙甲丙丁，故答案為乙．【點睛】本題考查了考查了直線的斜率及斜率的大小比較，掌握斜率的大小是解題的關鍵．三、解答題（本大題共11小題）17.【答案】（1）（2）11【解析】【分析】（1）先化簡二次根式，然后計算加減法．（2）先去括號，然后計算加減法．【小問1詳解】【小問2詳解】【點睛】本題主要考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的運算順序是解此題的關鍵．18.【答案】【解析】【分析】根據題意設直線的解析式為，將點代入，待定系數法求解析式，進而令，即可求解．【詳解】解：依題意，設直線的解析式為，將點代入得，解得：∴直線的解析式為，當時，∴直線與軸的交點坐標為．【點睛】本題考查了一次函數的平移，待定系數法求解析式，求一次函數與坐標軸的交點，熟練掌握一次函數的性質是解題的關鍵．19.【答案】；【解析】【分析】首先計算括號里的，然后把除法化為乘法，化簡，再將代入計算即可．【詳解】解：，∵，∴原式．【點睛】本題考查了分式的化簡求值，分母有理化，解本題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．20.【答案】（1）6，7，7（2）（3）乙同學，理由見解析【解析】【分析】（1）根據平均數、眾數、中位數的定義即可求出結果；（2）根據平均數和方差的計算結果求出答案；（3）比較出甲、乙兩位同學的中位數、眾數和方差即可．【小問1詳解】解：甲數據從小到大排列，第5、6位都是6，故中位數為；乙的平均數，乙的數據中7最多有4個，所以眾數，故答案為：6，7，7；【小問2詳解】，，故答案為：；【小問3詳解】選擇乙同學，理由：乙同學的中位數和眾數都比甲的大，并且乙的方差比甲小，成績比較穩(wěn)定．【點睛】本題主要考查了平均數、眾數、方差的有關概念，在解題時要能根據方差的計算公式求出一組數據的方差是本題的關鍵．21.【答案】（1）見解析（2）（3）見解析【解析】【分析】（1）根據題意作出的角平分線交于點，過點作，交于點；（2）根據作圖得出四邊形為菱形，可得，（3）由角平分線的定義及平行線的性質可得AB=AF=BE，得出四邊形為菱形，即可得出【小問1詳解】解：如圖所示，【小問2詳解】與的位置關系：【小問3詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴，∵AE平分∠BAD，∴，∴，∴，同理可得，∴，∵，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∵，∴四邊形ABEF是菱形，∴．【點睛】本題主要考查菱形的判定、平行四邊形的性質及角平分線的定義，熟練掌握菱形的判定、平行四邊形的性質是解題的關鍵．22.【答案】（1）（2）（3）是，見解析【解析】【分析】（1）根據“平衡數”的定義列方程求解；（2）根據“平衡數”的定義列方程求解；（3）根據二次根式的運算法則計算出，再根據“平衡數”的定義判斷．【小問1詳解】解：設與x是關于1的“平衡數”，則，解得，故答案為：；【小問2詳解】解：設與y是關于3的“平衡數”，則，解得，故答案為：；【小問3詳解】解：與是關于19的一組“平衡數”，理由如下：，，，，與是關于19的一組“平衡數”．【點睛】本題考查新定義的實數運算、二次根式的運算等，解題的關鍵是理解“平衡數”的定義．23.【答案】（1）①，；②見解析；③見解析（2）①2；；②，；③或【解析】【分析】（1）①根據將表格中的求出的值；②③根據表格描點連線；（2）①根據題意列出方程求出未知數即可解答；②根據圖象求出不等式的解集．③根據題意得到關于的取值范圍．【小問1詳解】解：①∵，，∴，∵，，∴，故答案為：；②③如圖所示：【小問2詳解】解：①∵，∴，∴，∴交點坐標為：故答案為：，；②由圖象可知：當時，，故答案為：；③根據題意設，，∵，∴或，∴或，故答案為：或，【點睛】本題考查了一次函數的圖象的畫法，一次函數的性質，一次函數的的與一元一次方程，一次函數與一元一次不等式，掌握一次函數的性質是解題的關鍵．24.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）先證明，可得．結合點為邊的中點，可得為的中位線，則．再結合已知條件可得結論；（2）由D、E分別是、的中點，可得．由，可得，結合，可得答案．【小問1詳解】解：四邊形是平行四邊形，理由如下：∵，∴，∵平分，∴，∴．∴．∵點為邊的中點，∴為的中位線，∴．∵，∴四邊形是平行四邊形；【小問2詳解】如圖，由（1）得：．∵D、E分別是、的中點，∴．∵，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，三角形中位線定理，證明四邊形是平行四邊形是解題的關鍵．25.【答案】（1）（2）①，見解析；②，【解析】【分析】（1）根據圖示，過，，根據待定系數法即可求解；（2）直線中，函數值隨自變量的增大而減小，由此即解①；【小問1詳解】解：直線過，，設，∴，解得，，∴函數的解析式為，故答案為：．【小問2詳解】解：①直線過第一、二、四象限，函數值隨自變量的增大而減小，點，在上，∵，∴；②設線的解析式為，點，在上，∴，∴，∴，解得，，∵點在上，且的解析式為，∴，則把代入，得，，，∵，∴，解得，或，根據圖形的對稱性，可知當時，在的下方，∴，∴，∵，∴，解得，，∴，且，∴函數的解析式為，把點代入得，，∴函數的解析式為，∴聯立方程組得，解得，，∴，的交點坐標是．【點睛】本題主要考查一次函數圖像的性質，理解圖示，掌握一次函數，正比例函數圖像的性質，待定系數法求解析式，聯立方程組求交點坐標是解題的關鍵．26.【答案】（1）圖形見解析，6（2），見解析（3）4【解析】【分析】（1）根據題意補全圖形即可；過點C作交于點G，連接，證明四邊形為平行四邊形，得出，即，得出當時，，當，四邊形為菱形，得出，，得出當點E在對角線的交點O上時，符合題意，此時；（2）連接、，證明，得出，證明，得出，，證