2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)?？键c(diǎn)微專題提分精練（人教版）專題18 阿氏圓小題含解析

2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)?？键c(diǎn)微專題提分精練專題18阿氏圓小題1．如圖，在中，，，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，點(diǎn)是以為圓心、以為半徑的圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于A．4 B． C． D．2．如圖，已知菱形的邊長(zhǎng)為8，，圓的半徑為4，點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為．3．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，為的中點(diǎn)，以為圓心，為半徑作，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，則的最小值為．4．如圖，扇形中，，，是的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，，是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．5．如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，，，是第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，連接、，則的最小值是．6．如圖，在中，點(diǎn)、點(diǎn)在上，，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是劣弧上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．7．如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形，內(nèi)切圓記為圓，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．8．如圖，在中，，，，以點(diǎn)為圓心，3為半徑做，分別交，于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．9．如圖，在中，，，，、分別是邊、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，是的中點(diǎn)，連接，，則的最小值為．10．如圖，在中，，，則的最大值為．11．如圖，與軸、軸的正半軸分別相交于點(diǎn)、點(diǎn)，半徑為3，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在弧上移動(dòng)，連接，，則的最小值為．12．【新知探究】新定義：平面內(nèi)兩定點(diǎn)，，所有滿足為定值）的點(diǎn)形成的圖形是圓，我們把這種圓稱之為“阿氏圓”【問題解決】如圖，在中，，，則面積的最大值為．13．如圖所示，，半徑為2的圓內(nèi)切于．為圓上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作、分別垂直于的兩邊，垂足為、，則的取值范圍為．三．解答題（共2小題）14．如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)，，均在格點(diǎn)上，點(diǎn)在上，且點(diǎn)也在格點(diǎn)上．的值為；（Ⅱ）是以點(diǎn)為圓心，2為半徑的一段圓弧．在如圖所示的網(wǎng)格中，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為連接，，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，請(qǐng)用無刻度的直尺畫出點(diǎn)，并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)的位置是如何找到的（不要求證明）．15．閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．已知平面上兩點(diǎn)、，則所有符合且的點(diǎn)會(huì)組成一個(gè)圓．這個(gè)結(jié)論最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓．阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似．【問題】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，在軸，軸上分別有點(diǎn)，，點(diǎn)是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，設(shè)，求的最小值．阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟：第一步：如圖1，在上取點(diǎn)，使得；第二步：證明；第三步：連接，此時(shí)即為所求的最小值．下面是該題的解答過程（部分）解：在上取點(diǎn)，使得，又，．任務(wù)：（1）將以上解答過程補(bǔ)充完整．（2）如圖2，在中，，，，為內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，滿足，利用（1）中的結(jié)論，請(qǐng)直接寫出的最小值．專題18阿氏圓小題1．如圖，在中，，，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，點(diǎn)是以為圓心、以為半徑的圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于A．4 B． C． D．【解答】解：在上截取，連接，，，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，點(diǎn)是以為圓心、以為半徑的圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，，，，，，，，，在中，，，，的最小值，故選：．2．如圖，已知菱形的邊長(zhǎng)為8，，圓的半徑為4，點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為．【解答】解：連接，在上取一點(diǎn)，使得，連接，，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于．，，，，，，，，，四邊形是菱形，，，，在中，，，，，，，的最大值為．3．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，為的中點(diǎn)，以為圓心，為半徑作，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，則的最小值為5．【解答】解：如圖，在上取一點(diǎn)，使得，連接，，．四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，，，，的最小值為5，故答案為：5．4．如圖，扇形中，，，是的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，，是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)使，連接，，，，分別是的中點(diǎn)，，，，，且，，，當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，，，的最小值為13，的值最小值為．故答案為：．5．如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，，，是第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，連接、，則的最小值是．【解答】解：如圖，取點(diǎn)，連接，．，，，，，，，，，，，，，，，，的最小值為．故答案為：．6．如圖，在中，點(diǎn)、點(diǎn)在上，，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是劣弧上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【解答】解：延長(zhǎng)到，使得，連接，．，，，，，，，，，，又在中，，，，，，的最小值為，答案為．7．如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形，內(nèi)切圓記為圓，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【解答】解：設(shè)半徑為，，，取的中點(diǎn)，連接，，，，，是公共角，，，，，當(dāng)、、在一條直線上時(shí)，最小，作于，，，，，最小值，，的最小值是．故答案是．8．如圖，在中，，，，以點(diǎn)為圓心，3為半徑做，分別交，于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【解答】解：在上截取，連接，，，，，，，，，，，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，在中，，，，的最小值，故答案為：．9．如圖，在中，，，，、分別是邊、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，是的中點(diǎn)，連接，，則的最小值為．【解答】解：如圖，在上取一點(diǎn)，使得，連接，．，，，，，，，，，，，，，，，的最小值為，故答案為．10．如圖，在中，，，則的最大值為．【解答】解：，求的最大值就是求的最大值，過作于，延長(zhǎng)到，使得，，，，，，由勾股定理得：，，為定值，是定值，點(diǎn)在的外接圓上，，當(dāng)為直徑時(shí)，最大，即，，解得，，，故答案為：．11．如圖，與軸、軸的正半軸分別相交于點(diǎn)、點(diǎn)，半徑為3，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在弧上移動(dòng)，連接，，則的最小值為．【解答】解：如圖，在軸上取點(diǎn)，連接，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，，，，，，，，，，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，有最小值為的長(zhǎng)，，故答案為：．12．【新知探究】新定義：平面內(nèi)兩定點(diǎn)，，所有滿足為定值）的點(diǎn)形成的圖形是圓，我們把這種圓稱之為“阿氏圓”【問題解決】如圖，在中，，，則面積的最大值為．【解答】解：以為頂點(diǎn)，為邊，在外部作，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，，，，，，，，，，解得：，，，即點(diǎn)為定點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，如圖，過點(diǎn)作的垂線，交圓與點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)到的距離最大，即的面積最大，．故答案為：．13．如圖所示，，半徑為2的圓內(nèi)切于．為圓上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作、分別垂直于的兩邊，垂足為、，則的取值范圍為．【解答】解：作于，作于，，，，，，，，，當(dāng)與相切時(shí)，取得最大和最小，如圖1，連接，，可得：四邊形是正方形，，在中，，，在中，，，，如圖2，由上知：，，，，，．三．解答題（共2小題）14．如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)，，均在格點(diǎn)上，點(diǎn)在上，且點(diǎn)也在格點(diǎn)上．的值為；（Ⅱ）是以點(diǎn)為圓心，2為半徑的一段圓?。谌鐖D所示的網(wǎng)格中，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為連接，，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，請(qǐng)用無刻度的直尺畫出點(diǎn)，并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)的位置是如何找到的（不要求證明）．【解答】解：（1）由題意，，，故答案為：．（2）如圖，取格點(diǎn)，，連接交于，連接交于，連接，點(diǎn)即為所求．故答案為：通過取格點(diǎn)、，使得，構(gòu)造相似三角形將轉(zhuǎn)化為，利用兩點(diǎn)之間線段最短即可解決問題．15．閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．已知平面上兩點(diǎn)、，則所有符合且的點(diǎn)會(huì)組成一個(gè)圓．這個(gè)結(jié)論最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓．阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似．【問題】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，在軸，軸上分別有點(diǎn)，，點(diǎn)是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，設(shè)，求的最小值．阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟：第一步：如圖1，在上取點(diǎn)，使得；第二步：證明；第三步：連接，此時(shí)即為所求的最小值．下面是該題的解答過程（部分）解：在上取點(diǎn)，使得，又，．任務(wù)：（1）將以上解答過程補(bǔ)充完整．（2）如圖2，在中，，，，為內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，滿足，利用（1）中的結(jié)論，請(qǐng)直接寫出的最小值．【解答】解（1）在上取點(diǎn)，使得，又，．，，，當(dāng)取最小值時(shí)，有最小值，即，，三點(diǎn)共線時(shí)有最小值，利用勾股定理得．（2），，在上取一點(diǎn)，使得，的最小值為．專題19瓜豆小題1．如圖，線段為的直徑，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為斜邊在的上方作，且使，連接，則長(zhǎng)的最大值為．2．如圖，，，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作等腰，，則，兩點(diǎn)間距離的最小值為．3．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，為上一點(diǎn)，且，為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為底向右側(cè)作等腰直角，連接，則的最小值為．4．如圖，已知點(diǎn)是第一象限內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，若點(diǎn)是以為圓心，2個(gè)單位長(zhǎng)為半徑的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊向右側(cè)作等邊三角形．當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是．5．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為8，為上一點(diǎn)，且，為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊向右側(cè)作等邊，連接，則的最小值為．6．如圖，菱形的邊長(zhǎng)為4，，是的中點(diǎn)，是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，為點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接，則的最小值為．7．已知邊長(zhǎng)為6的等邊中，是高所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)線段長(zhǎng)度的最小值時(shí)，的長(zhǎng)度為．8．如圖，在矩形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，，點(diǎn)在線段上從點(diǎn)至點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，連接，以為邊作等邊三角形，點(diǎn)和點(diǎn)分別位于兩側(cè)，則點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程長(zhǎng)是．9．如圖，在中，，，，點(diǎn)在以為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，由點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則點(diǎn)經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為．10．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，為上一點(diǎn)，且，為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則的最小值為．11．如圖，已知點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)在線段上，點(diǎn)、、按逆時(shí)針順序排列，且，，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為．12．如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，，，點(diǎn)是邊所在直線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，則的最小值為．13．如圖，的直徑，為上動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連結(jié)，則的最大值為．14．如圖，矩形中，，，點(diǎn)為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，，，于點(diǎn)，連接，當(dāng)最小時(shí)，的長(zhǎng)為．二．解答題（共4小題）15．如圖，在等邊中，，，垂足為，點(diǎn)為邊上中點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)從中點(diǎn)沿射線運(yùn)動(dòng)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，當(dāng)最小時(shí)，直接寫出的面積．16．若，以點(diǎn)為圓心，2為半徑作圓，點(diǎn)為該圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接．（1）如圖1，取點(diǎn)，使為等腰直角三角形，，將點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．①點(diǎn)的軌跡是（填“線段”或者“圓”；②的最小值是；（2）如圖2，以為邊作等邊（點(diǎn)、、按照順時(shí)針方向排列），在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，求的最大值．（3）如圖3，將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)，連接，則的最小值為．17．如圖，的半徑為2，到定點(diǎn)的距離為5，點(diǎn)在上，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，若在上運(yùn)動(dòng)一周．（1）點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是一個(gè)圓；（2）始終是一個(gè)等邊三角形，直接寫出長(zhǎng)的取值范圍．（1）思路引導(dǎo)要證點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑是一個(gè)圓，只要證點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)，由圖中的定點(diǎn)、定長(zhǎng)可以發(fā)現(xiàn)，．18．如圖①，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式．（2）當(dāng)點(diǎn)不與點(diǎn)、重合時(shí)，作直線，交直線于點(diǎn)，若的面積是面積的4倍，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．（3）如圖②，當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，連接，交線段于點(diǎn)，以為斜邊向外作等腰直角三角形，連接，的面積是否變化？如果不變，請(qǐng)求出的面積；如果變化，請(qǐng)說明理由．專題19瓜豆小題1．如圖，線段為的直徑，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為斜邊在的上方作，且使，連接，則長(zhǎng)的最大值為．【解答】解：如圖，作，使得，，則，，，，，，，，，即（定長(zhǎng)），點(diǎn)是定點(diǎn)，是定長(zhǎng)，點(diǎn)在半徑為1的上，，的最大值為，故答案為．2．如圖，，，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作等腰，，則，兩點(diǎn)間距離的最小值為．【解答】解：，，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，，為主動(dòng)點(diǎn)，為從動(dòng)點(diǎn)，為定點(diǎn)，由“瓜豆原理”，在上運(yùn)動(dòng)，則在垂直的直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，如答圖：過作于，交于，則直線即為的運(yùn)動(dòng)軌跡，的長(zhǎng)為，兩點(diǎn)間距離的最小值，，，，，，，，，而，，，在中可得，，中可得，故答案為：．3．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，為上一點(diǎn)，且，為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為底向右側(cè)作等腰直角，連接，則的最小值為．【解答】解：如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，根據(jù)題意知，，．．．又是等腰直角三角形，且，．在與中，，．，．點(diǎn)在所在的直線上運(yùn)動(dòng)．為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如圖2，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)的位置如圖所示．當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，記點(diǎn)的位置為．點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段．過點(diǎn)作于點(diǎn)．．正方形的邊長(zhǎng)為2，．．故答案是：．4．如圖，已知點(diǎn)是第一象限內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，若點(diǎn)是以為圓心，2個(gè)單位長(zhǎng)為半徑的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊向右側(cè)作等邊三角形．當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是．【解答】解：如圖，連接、，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得線段，連接、，，，為正三角形，為正三角形，，，，，在與中，，，，即為動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是，5．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為8，為上一點(diǎn)，且，為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊向右側(cè)作等邊，連接，則的最小值為5．【解答】解：如圖，以為邊作等邊三角形，連接，過點(diǎn)作于，于，又，四邊形是矩形，，，，是等邊三角形，，，，，，是等邊三角形，，，，在和中，，，，當(dāng)時(shí)，有最小值，即有最小值，點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，故答案為5．6．如圖，菱形的邊長(zhǎng)為4，，是的中點(diǎn)，是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，為點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接，則的最小值為．【解答】解：如圖取的中點(diǎn)，連接，，，延長(zhǎng)交于，作于．四邊形是菱形，，，，，，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，在中，，，，，的最小值為，故答案為．7．已知邊長(zhǎng)為6的等邊中，是高所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)線段長(zhǎng)度的最小值時(shí)，的長(zhǎng)度為．【解答】解：連接，等邊，，線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，最小，，，，，，故答案為．8．如圖，在矩形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，，點(diǎn)在線段上從點(diǎn)至點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，連接，以為邊作等邊三角形，點(diǎn)和點(diǎn)分別位于兩側(cè)，則點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程長(zhǎng)是．【解答】解：連接，四邊形是矩形，，，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，又，，，，，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，且，當(dāng)點(diǎn)在線段上從點(diǎn)至點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程是，在中，設(shè)，則，，解得（負(fù)值舍去），，即點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程為，故答案為：．9．如圖，在中，，，，點(diǎn)在以為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，由點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則點(diǎn)經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為．【解答】解：，，，，連接，，是直徑，，即，取，的中點(diǎn)和，連接，，，在中，，為、的中點(diǎn)，，，在中，點(diǎn)、為、的中點(diǎn)，，，，即，點(diǎn)在以為直徑的半圓上，，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為，故答案為：．10．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，為上一點(diǎn)，且，為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則的最小值為．【解答】解：將線段繞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，過作于，過作于，如圖：，，在和中，，，，在射線上運(yùn)動(dòng)，，的長(zhǎng)度即是的最小值，，，，四邊形為矩形，，中，，，，，故答案為：．11．如圖，已知點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)在線段上，點(diǎn)、、按逆時(shí)針順序排列，且，，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為6．【解答】解：點(diǎn)，，，，動(dòng)點(diǎn)在線段上，，，，為主動(dòng)點(diǎn)，為從動(dòng)點(diǎn)，為定點(diǎn)，由“瓜豆原理”得運(yùn)動(dòng)路徑與運(yùn)動(dòng)路徑之比等于，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為，故答案為：6．12．如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，，，點(diǎn)是邊所在直線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，則的最小值為．【解答】解：如圖，以為邊作等邊三角形，連接，過點(diǎn)作于，，，，是等邊三角形，，，，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，，，，，在和中，，，，當(dāng)有最小值時(shí)，有最小值，由垂線段最短可得：當(dāng)時(shí)，有最小值，此時(shí)，，，，四邊形是矩形，，故答案為：．13．如圖，的直徑，為上動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連結(jié)，則的最大值為．【解答】解：如圖，以為邊在的下方作等腰直角三角形，連接，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，又，，，，當(dāng)有最大值時(shí)，有最大值，當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值為，的最大值為，故答案為：14．如圖，矩形中，，，點(diǎn)為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，，，于點(diǎn)，連接，當(dāng)最小時(shí)，的長(zhǎng)為．【解答】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，，，，，，，，，，，，即在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，的大小不變且等于，當(dāng)時(shí)，最小，設(shè)此時(shí)，，，，，，代入，解得，，，．，故答案為：．二．解答題（共4小題）15．如圖，在等邊中，，，垂足為，點(diǎn)為邊上中點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)從中點(diǎn)沿射線運(yùn)動(dòng)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，當(dāng)最小時(shí)，直接寫出的面積．【解答】解：以為頂點(diǎn)，為一邊，作，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，如圖，中，，最小即最小，此時(shí)、、共線，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，在射線上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)“瓜豆原理”，為主動(dòng)點(diǎn)，是從動(dòng)點(diǎn)，為定點(diǎn)，，則、軌跡的夾角，，，，，，，，，，，四邊形為矩形，，等邊中，，，，又，等邊中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，，，中，，，，，中，，，．16．若，以點(diǎn)為圓心，2為半徑作圓，點(diǎn)為該圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接．（1）如圖1，取點(diǎn)，使為等腰直角三角形，，將點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．①點(diǎn)的軌跡是圓（填“線段”或者“圓”；②的最小值是；（2）如圖2，以為邊作等邊（點(diǎn)、、按照順時(shí)針方向排列），在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，求的最大值．（3）如圖3，將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)，連接，則的最小值為．【解答】解：（1）①連接、，如圖1所示：是等腰直角三角形，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，，在和中，，，，即點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓；故答案為：圓；②是等腰直角三角形，，，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，最??；故答案為：；（2）以為邊長(zhǎng)作等邊，連接、，如圖2所示：和是等邊三角形，，，，，在和中，，，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值；（3）如圖3所示：點(diǎn)的軌跡是以為直徑的一