空間角的計(jì)算

關(guān)于空間角的計(jì)算

空間向量的引入為代數(shù)方法處理立體幾何問(wèn)題提供了一種重要的工具和方法，解題時(shí)，可用定量的計(jì)算代替定性的分析，從而避免了一些繁瑣的推理論證。求空間角與距離是立體幾何的一類(lèi)重要的問(wèn)題，也是高考的熱點(diǎn)之一。我們主要研究怎么樣用向量的辦法解決空間角的問(wèn)題。第2頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天空間的角：空間的角常見(jiàn)的有：線(xiàn)線(xiàn)角、線(xiàn)面角、面面角。

空間兩條異面直線(xiàn)所成的角可轉(zhuǎn)化為兩條相交直線(xiàn)所成的銳角或直角。故我們研究線(xiàn)線(xiàn)角時(shí)，就主要求范圍內(nèi)的角；

斜線(xiàn)與平面所成的角是指斜線(xiàn)與它在面內(nèi)的射影所成銳角，再結(jié)合與面垂直、平行或在面內(nèi)這些特殊情況，線(xiàn)面角的范圍也是；

兩個(gè)平面所成的角是用二面角的平面角來(lái)度量。它的范圍是?？傊?，空間的角最終都可以轉(zhuǎn)化為兩相交直線(xiàn)所成的角。因此我們可以考慮通過(guò)兩個(gè)向量的夾角去求這些空間角。第3頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天異面直線(xiàn)所成角的范圍：

思考：結(jié)論：一、線(xiàn)線(xiàn)角：第4頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天所以與所成角的余弦值為解：以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示，設(shè)則：

所以：例一：第5頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)：在長(zhǎng)方體

中，簡(jiǎn)解：第6頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天直線(xiàn)與平面所成角的范圍：

思考：結(jié)論：二、線(xiàn)面角：第7頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天例二：在長(zhǎng)方體中，簡(jiǎn)解：所以~~~~第8頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天練習(xí)：

的棱長(zhǎng)為1.正方體xyz設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，第9頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天l將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個(gè)面的方向向量（在二面角的面內(nèi)且垂直于二面角的棱）的夾角。如圖，設(shè)二面角的大小為，其中DCBA三、面面角：①方向向量法：二面角的范圍：第10頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天

例三：如圖3，甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)A處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)B處。從A，B到直線(xiàn)（庫(kù)底與水壩的交線(xiàn)）的距離AC和BD分別為和,CD的長(zhǎng)為,AB的長(zhǎng)為。求庫(kù)底與水壩所成二面角的余弦值。解：如圖，化為向量問(wèn)題根據(jù)向量的加法法則有于是，得設(shè)向量與的夾角為，就是庫(kù)底與水壩所成的二面角。因此ABCD所以所以庫(kù)底與水壩所成二面角的余弦值為第11頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天ll三、面面角：二面角的范圍：②法向量法注意法向量的方向：一進(jìn)一出，二面角等于法向量夾角；同進(jìn)同出，二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角第12頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天設(shè)平面

方向朝面外，方向朝面內(nèi)，屬于“一進(jìn)一出”的情況，二面角等于法向量夾角第13頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天小結(jié)：1.異面直線(xiàn)所成角：

2.直線(xiàn)與平面所成角：

第14頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天lDCBA3.二面角：ll一進(jìn)一出，二面角等于法向量的夾角；同進(jìn)同出，二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角。第15頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天2、如果平面的一條斜線(xiàn)與它在這個(gè)平面上的射影的方向向量分別是n1=（1，0，1），n2=（0，1，1），那么這條斜線(xiàn)與平面所成的角是______.1、已知=(2,2,1),=(4,5,3),則平面ABC的一個(gè)法向量是______.3.三棱錐P-ABCPA⊥ABC,PA=AB=AC,E為PC中點(diǎn),,則PA與BE所成角的余弦值為_(kāi)________.

4.直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=2,AB=AC=1,則AC1與截面BB1CC1所成角的余弦值為_(kāi)________.

第16頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天2、如果平面的一條斜線(xiàn)與它在這個(gè)平面上的射影的方向向量分別是=（1，0，1），=（0，1，1），那么這條斜線(xiàn)與平面所成的角是______.3、已知兩平面的法向量分別m=(0,1,0),n=(0,1,1)，則兩平面所成的鈍二面角為_(kāi)_____.練習(xí):1、已知=(2,2,1),=(4,5,3),則平面ABC的一個(gè)法向量是______.6001350第17頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天4.三棱錐P-ABCPA⊥ABC,PA=AB=AC,,E為PC中點(diǎn),則PA與BE所成角的余弦值為_(kāi)________.

5.直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=2,AB=AC=1,則AC1與截面BB1CC1所成角的余弦值為_(kāi)________.6.正方體中ABCD-A1B1C1D1中E為A1D1的中點(diǎn),則二面角E-BC-A的大小是________第18頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天7.正三棱柱中，D是AC的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值。CADBC1B1A18.已知正方體的邊長(zhǎng)為2，

O為AC和BD的交點(diǎn)，M為的中點(diǎn)（1）求證：直線(xiàn)面MAC;

（2）求二面角的余弦值.B1A1C1D1DCBAOM第19頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天

解法一：如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz。設(shè)底面三角形的邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為b,則C(0,0,0)故則可設(shè)=1，，則B(0,1,0)yxzCADBC1B1A1FE作于E,于F，則〈〉即為二面角的大小在中，即E分有向線(xiàn)段的比為第20頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天由于且，所以在中，同理可求∴cos〈〉=

∴即二面角的余弦值為yxzCADBC1B1A1FE第21頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天解法二：同法一，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz

在坐標(biāo)平面yoz中

設(shè)面的一個(gè)法向量為同法一，可求B(0,1,0)∴可?。?1,0,0)為面的法向量

∴yxzCADBC1B1A1由得解得

所以，可取

二面角的大小等于〈〉

∴∴cos〈〉=

即二面角的余弦值為

方向朝面外，方向朝面內(nèi)，屬于“一進(jìn)一出”的情況，二面角等于法向量夾角第22頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天8.①證明：以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系如圖。則可得8.已知正方體的邊長(zhǎng)為2，

O為AC和BD的交點(diǎn)，M為的中點(diǎn)（1）求證：直線(xiàn)面MAC;

（2）求二面角的余弦值.B1A1C1D1DCBAOMxyz第23頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天②B1A1C1D1DCBAOMxyz第24頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天習(xí)題課例1如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.(1)求證：PA//平面EDB(2)求證：PB⊥平面EFD(3)求二面角C-PB-D的大小。ABDPEFC例2、如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC底面ABCD。已知AB=2，BC=2，SA=SB=.(1)求證(2)求直線(xiàn)SD與平面SAB所成角的正弦值。SABDO第25頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3如圖,在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD=，在線(xiàn)段BC上是否存在一點(diǎn)E,使PA與平面PDE所成角的大小為450?若存在，確定點(diǎn)E的位置；若不存在說(shuō)明理由。DBACEP例4（2006年福建卷）如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，（I）求證：AO⊥平面BCD；（II）求異面直線(xiàn)AB與CD所成角的大??；（III）求點(diǎn)E到平面ACD的距離。第26頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天1.正三棱柱中，D是AC的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值。CADBC1B1A12.已知正方體的邊長(zhǎng)為2，

O為AC和BD的交點(diǎn)，M為的中點(diǎn)（1）求證：直線(xiàn)面MAC;

（2）求二面角的余弦值.B1A1C1D1DCBAOM練習(xí)：第27頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天

解法一：如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz。設(shè)底面三角形的邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為b,則C(0,0,0)故則可設(shè)=1，，則B(0,1,0)yxzCADBC1B1A1FE作于E,于F，則〈〉即為二面角的大小在中，即E分有向線(xiàn)段的比為第28頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天由于且，所以在中，同理可求∴cos〈〉=

∴即二面角的余弦值為yxzCADBC1B1A1FE第29頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天解法二：同法一，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz

在坐標(biāo)平面yoz中

設(shè)面的一個(gè)法向量為同法一，可求B(0,1,0)∴可?。?1,0,0)為面的法向量

∴yxzCADBC1B1A1由得解得

所以，可取

二面角的大小等于〈〉

∴∴cos〈〉=

即二面角的余弦值為

方向朝面外，方向朝面內(nèi)，屬于“一進(jìn)一出”的情況，二面角等于法向量夾角第30頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天8.①證明：以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系如圖。則可得8.已知正方體的邊長(zhǎng)為2，

O為AC和BD的交點(diǎn)，M為的中點(diǎn)（1）求證：直線(xiàn)面MAC;

（2）求二面角的余弦值.B1A1C1D1DCBAOMxyz第31頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天②B1A1C1D1DCBAOMxyz第32頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.(1)求證：PA//平面EDB(2)求證：PB⊥平面EFD(3)求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEF第33頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天ABCDPEFXYZG解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=1(1)證明：連結(jié)AC,AC交BD于點(diǎn)G,連結(jié)EG第34頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天ABCDPEFXYZG(2)求證：PB⊥平面EFD第35頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天ABCDPEFXYZ(3)求二面角C-PB-D的大小。第36頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天ABCDPEFXYZ第37頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天第38頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2、如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC底面ABCD。已知AB=2，BC=2，SA=SB=.(1)求證(2)求直線(xiàn)SD與平面SAB所成角的正弦值。SABCDOxyz第39頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天SABDOC證明：(1)取BC中點(diǎn)O，連接OA、OS。第40頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天(2)求直線(xiàn)SD與平面SAB所成角的正弦值。SABCOxyzD所以直線(xiàn)SD與平面SAB所成角的正弦值為第41頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3如圖,在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD=，在線(xiàn)段BC上是否存在一點(diǎn)E,使PA與平面PDE所成角的大小為450?若存在，確定點(diǎn)E的位置；若不存在說(shuō)明理由。

DBACEPxzy第42頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天解：以A為原點(diǎn)，AD、AB、AP所在的直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BE=m，則第43頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天例4（2006年福建卷）如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，（I）求證：AO⊥平面BCD；（II）求異面直線(xiàn)AB與CD所成角的大?。唬↖II）求點(diǎn)E到平面ACD的距離。第44頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天解：（I）略（II）解：以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，所以異面直線(xiàn)AB與CD所成角的余弦值為

第45頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天（III）解：設(shè)平面ACD的法向量為則令得是平面ACD的一個(gè)法向量，又所以點(diǎn)E到平面ACD的距離第46頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天例5、(2004，天津)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)。(1)證明：PA//平面EDB；(2)求EB與底面ABCD所成的角的正切值。ABCDPEGxyz第47頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天ABCDPEGxyz(1)證明：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，則PD=DC=DA=1.連AC、BD交于G點(diǎn)第48頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天(2)求EB與底面ABCD所成的角的正切值。ABCDPEGxyz所以EB與底面ABCD所成的角的正弦值為所以EB與底面ABCD所成的角的正切值為第49頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天

方向朝面內(nèi)，方向朝面外，屬于“一進(jìn)一出”的情況，二面角等于法向量夾角第50頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天1、如圖，已知：直角梯形OABC中，

OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：(1)異面直線(xiàn)SA和OB所成的角的余弦值

(2)OS與面SAB所成角的余弦值

(3)二面角B－AS－O的余弦值OABCSxyz【練習(xí)】

第51頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天OABCSxyz1、如圖，已知：直角梯形OABC中，

OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：(1)異面直線(xiàn)SA和OB所成的角的余弦值第52頁(yè),共59頁(yè)，2024年2月25日，星期天OABCSxyz1、如圖，已知