2023-2024學(xué)年江西省高一年級(jí)上冊(cè)階段診斷試卷數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含答案）

2023-2024學(xué)年江西省高一上冊(cè)階段診斷試卷數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1,設(shè)全集0={123,4,5},集合/滿(mǎn)足電"={2,5},則(?

A.IeZB.AC.3e4D.4任4

【正確答案】A

【分析】已知全集。和電工，可求出集合出逐個(gè)驗(yàn)證選項(xiàng).

【詳解】全集U={l,2,3,4,5},?√={2,5},.?.N={1,3,4},只有選項(xiàng)A正確，

故選：A

2.已知M,N都是U的子集,則圖中的陰影部分表示()

A.MUN

B.Cu(MUN)

C.([uM)∩N

D.Cu(M∩N)

【正確答案】B

【分析】觀察圖形可知，圖中非陰影部分所表示的集合是ZuB,從而得出圖中陰影部分

所表示的集合.

【詳解】由題意，圖中非陰影部分所表示的集合是ZD8，

所以圖中陰影部分所表示的集合為NuB的補(bǔ)集，

即圖中陰影部分所表示的集合為CU(NU8),故選B.

本題主要考查集合的venn圖的表示及應(yīng)用，其中venn圖既可以表示一個(gè)獨(dú)立的集合，也

可以表示集合與集合之間的關(guān)系，熟記Venn圖的含義是解答的關(guān)鍵.

3.已知4良。是三個(gè)集合，若AUB=BCC,則一定有()

A.AaCB.C^AC.C≠AD.A=0

【正確答案】A

【分析】

根據(jù)(8CC)G8,以及(BCC)=C,結(jié)合已知條件，即可判斷集合之間的關(guān)系.

【詳解】因?yàn)?8CC)18,又AuB=BcC,

故可得(ZuB)[8,則/口8；

因?yàn)?8CC)qC,又人B=BCC,

故可得(4D8)[C,則BgC；

綜上所述./=BqC

故選：A.

本題考查由集合的運(yùn)算結(jié)果，求集合之間的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.

4.已知命題“*eR,使4χ2+χ+:(4-2)≤0"是假命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

9

A.a<()B.0≤α≤4C.a≥4D.a>-

4

【正確答案】D

【分析】

根據(jù)特稱(chēng)命題的真假關(guān)系即可得到結(jié)論.

【詳解】解：命題”HxeR,使4χ2+χ+:(4-2),,0"是假命題，

命題”VX∈R,使4χ2+χ+:(α-2)>0”是真命題，

1O

即判別式△=0—4*4x75—2)<0,所以α>

故選:D.

本題主要考查含有量詞的命題的真假應(yīng)用，利用一元二次不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵,

基礎(chǔ)題.

5.設(shè)集合Z={x∣一l≤x≤3},8={x∣0<x≤2}則“aeZ”是的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】B

【分析】根據(jù)集合的包含與充分必要條件的關(guān)系判斷.

【詳解】由題意集合5是集合A的真子集，因此“ae4”是“a￠8”的必要不充分條件，

故選：B.

6.已知實(shí)數(shù)X滿(mǎn)足O<x<[,則y=8x+」一的最大值為（）

2,2x-l

A.-4B.OC.4D.8

【正確答案】B

【分析】由已知得到0<1-2x<l,對(duì)題中所給的式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用基本不等式求最大值.

【詳解】由O<χ<g得到一l<2x-l<0,則0<l—2x<l,

y=8x+-1-=4（2x-l）+-1-+4=-[4（l-2x）+-1-]+4

2x-12x-11-2x

≤-2^4（l-2x）?p^-+4=0.

當(dāng)且僅當(dāng)X=L上式取等號(hào)，則y=8x+-?-的最大值為0.

42x—1

故選：B.

7.若不等式a/+2x+c<0的解集是（一09,+°9），則不等式CX②一2x+a≤0的

解集是（）

111「1丁

L23jL32」

C.[-2,3]D.[-3,2]

【正確答案】C

【分析】依題意和g是方程^2+2》+°=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，利用韋達(dá)定理得到方程組，

即可求出。、C,再解一元二次不等式即可.

【詳解】解：因?yàn)椴坏仁絆r2+2X+c<O的解集是(一e,-??u(',+/)，

；和;是方程αx2+2x+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

32

112

——+-=——

由I32",解得：。=一12,c=2,

11c

—X—=—

I32a

故不等式CX2-2x+α40即2/一2%一12?0，

即--χ-6≤0,即(x-3)(x+2)≤0,解得：-2≤x≤3,

所以所求不等式的解集是.[-2,3]

故選：C.

8.權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個(gè)變化，在求二元變量最值時(shí)有很廣泛的應(yīng)用，其表

述如下：設(shè)α,b,X,y>0,則S+Q≥?fct"-,當(dāng)且僅當(dāng)q=2時(shí)等號(hào)成立.根據(jù)權(quán)

Xyx-^ryxy

291

方和不等式，函數(shù)/(X)=—+-------(0<x<-)的最小值為()

Xl-2x2

A.16B.25C.36D.49

【正確答案】B

【分析】將給定函數(shù)式表示成已知不等式的左邊形式，再利用該不等式求解作答.

【詳解】因α,b,X,y>0,則+,當(dāng)且僅當(dāng)@=2時(shí)等號(hào)成立,

Xyx+yxy

又0<x<1,即l-2x>0,

2

22

23,即X="時(shí)取"=”,

于是得/(X)=——+------≥Gt3)=25,當(dāng)且僅當(dāng)Z=—

Ixl-2x2x+(1—2x)2x1-2X

291

所以函數(shù)/(、)=—+-------(0<x<-)的最小值為25.

X1—2x2

故選：B

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0

分.

9.以下命題中正確的是（）

A.所有正數(shù)組成的集合可表示為｛木>0｝

B.大于2020小于2023的整數(shù)組成的集合為｛x∣2020<x<2023）

C.全部三角形組成的集合可以寫(xiě)成｛全部三角形｝

D.N中的元素比N*中的元素只多一個(gè)元素0,它們都是無(wú)限集

【正確答案】AD

【分析】由集合的概念和集合的表示方法，即可得到答案.

【詳解】正數(shù)均大于0,故所有正數(shù)的集合應(yīng)表示為｛x∣x>0｝,故A正確；

大于2020小于2023的整數(shù)組成的集合應(yīng)表示為｛x∈Z∣2020<x<2023｝或｛2021,2022）,

故B不正確：

全部三角形組成的集合應(yīng)表示為｛三角形｝或｛XIX是三角形｝,故C不正確；

N為自然數(shù)集，N.為正整數(shù)集，故N中的元素比N*中的元素只多一個(gè)元素0,它們都是

無(wú)限集，故D正確.

故選：AD.

10.如圖，三個(gè)圓形區(qū)域分別表示集合/,B,C.則（）

A.I部分表示電（ZnBnC）B.∏部分表示ZCBCC

c.∏ι部分表示Bn｛屯（Znc））D.IV部分表示

^∩5∩?(^∩5∩C)}

【正確答案】BD

【分析】觀察Venn圖，可判斷A、B選項(xiàng)；在HI部分、IV部分各取一個(gè)元素，分析所取元

素與集合48,C的關(guān)系可判斷C、D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由圖可知，1部分表示電(ZUBUC),故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，由圖可知，∏部分表示∕c8cC,故B正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，在HI部分所表示的集合中任取一個(gè)元素X,則xe3且Xe(ZUC),

故∏r部分表示3n{電(力UC)},故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，在IV部分表示的集合中任取一個(gè)元素“，則αe(Zc8)且4e(Zn8∏C),

所以，IV部分表示Z∏8n{?;(Zn8∏C)},故D正確.

故選：BD.

11.設(shè)αbc<O,則函數(shù)y=4χ2+?x+c的圖象可能是()

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，依次分析各選項(xiàng)即可得答案.

【詳解】函數(shù)y=0√+bχ+c的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為χ=-2,與X軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

2a

Oc

(Xl,0)，(X2，。)，則X+%2=----,Xj%2=—'

aa

A中，Q<0,------<0,—<0,—>0,則QV0,b<0jc<0,，αbcv(),符合題意;

2aaa

B札Abc

〃<->0,—>O,-<O,則Gvθ,b>0,c>0,Λabc<O,符合題意；

Qaa

C2α2

札Q>_bc

<0,—<0,—>O,則α>0,b>09c>O,.*.abc>O,不符合題意;

Do,2±ɑ

Qαaa

札>_be

2α>0,—>0,—>O,則a〉0,b<0,c>O,Λabc<O,符合題意，

故選：ABD.

12.已知。〉0,/+必=4,則下列結(jié)論一定正確的是()

A.5α+6的最小值為8

B.L+的最小值為1

C.2α2+20b+Z>2的最小值為4

D.3/+/的最小值為8

【正確答案】ABD

【分析】對(duì)于ABD,由4>0,/+而=4，可得α(α+b)=4,a+b>O,然后利用基本

不等式逐個(gè)分析判斷，對(duì)于C,利用已知條件和平方的非負(fù)性判斷即可

【詳解】因?yàn)?〉0,。2+而=4,所以α(α+b)=4,a+b>O,

對(duì)于A,因?yàn)棣?α+b)=4,所以4α(α+b)=16,因?yàn)棣?b>O,α>0>

所以5。+6=4。+(。+6)227^^7^=2而=8,當(dāng)且僅當(dāng)4。=。+6,即。=11=3

時(shí)取等號(hào)，所以A正確，

對(duì)于B,因?yàn)棣?b>O,a>0,

所以L-L=①三=g?"N9巨Ll,當(dāng)且僅當(dāng)α=α+6,即

aa+bα(α+b)44

Q=2,6=0時(shí)取等號(hào)，所以B正確，

對(duì)于C,因?yàn)??！?,/+質(zhì)=4,所以2/+2"=8,所以2/+2曲+〃=8+/≥8,

所以C錯(cuò)誤，

4

對(duì)于D,由4>0,Q2+Q%=4,得b=—a,

a

所以3α?+〃=34?+(3―a]-3α2+-?-8+α2=4a2+?-—8≥2^4a2-?--8=8,

當(dāng)且僅當(dāng)4M=lξ,即α=2,b=0時(shí)取等號(hào)，所以D正確，

a'

故選：ABD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知Λ/=卜卜~—2x—3=θ},N=[卜~+ox+1=0,α∈R.},且NM,則α的取

值范圍為.

【正確答案】{aI-2<a≤2}

【分析】求得集合"={-1,3},根據(jù)NM,分N=0和N≠0兩種情況討論，即可

求解.

【詳解】由題意，集合"={x∣V—2x—3=0}={—1,3},

當(dāng)N=0時(shí)，即△=/_4<0,解得一2<α<2,此時(shí)滿(mǎn)足NM,

當(dāng)N00時(shí)，要使得NM,則一1∈N或3∈N,

當(dāng)一IeN時(shí)，可得(T)2-α+l=0,即α=2,此時(shí)N={T},滿(mǎn)足NM-,

當(dāng)3GN時(shí)，可得32+34+1=0,即4=-當(dāng)，此時(shí)N={3,；},不滿(mǎn)足NM,

綜上可知，實(shí)數(shù)”的取值范圍為{“I-2<a≤2}.

故答案為?{α∣-2<α<2}

14.某班30人，其中17人喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)，10人喜愛(ài)乒乓球運(yùn)動(dòng)，9人對(duì)這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不喜

愛(ài)，則喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)但不喜愛(ài)乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為.

【正確答案】11

【分析】設(shè)喜歡籃球且喜歡乒乓球的人數(shù)為X人，借助Venn圖列出方程，求出x,進(jìn)而求

得喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)但不喜愛(ài)乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)即可.

【詳解】設(shè)喜歡籃球且喜歡乒乓球的人數(shù)為X人，則只喜愛(ài)籃球的有(17—x)人，只喜愛(ài)乒乓

球的有(10—x)人，

由(17—X)+(10-X)+X+9=30,解得x=6,

所以喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)但不喜愛(ài)乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為17-χ=ll人.

15.已知命題"mx°∈R,使∕2+mχo+2加+5<O”是假命題，其實(shí)數(shù)機(jī)的取值為集合/,

設(shè)不等式(》-。+1加-1+2。)<0的解集為集合8,若XeZ是Xe8的充分不必要條件,

則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

【正確答案】f-∞,-?jt<>,(l1,+∞)

【分析】寫(xiě)出命題的否定得VXeR，使χ2+〃?x+2加+5≥0恒成立，求出集合A,又

XeZ是xe8的充分不必要條件，所以集合A是集合8的真子集，分類(lèi)討論列出滿(mǎn)足的不

等式求解即可.

【詳解】解：由命題“m/eR，使/2+加4+2m+5<0”是假命題，

知命題“VxeR,使命+Wix+2加+5≥0”是真命題,

所以A=,∕-4(2w+5)≤0,解得-2≤W≤10,

所以Z={〃?I-2≤a≤10},

因?yàn)閄eN是xe8的充分不必要條件，所以集合A是集合8的真子集,

/(-2)<0

設(shè)/(x)=(x-α+l)(x-l+2α),貝卜

/(10)<0

(-l-a)(-3+2ɑ)<09

即<[-4)(9+27?！獾胊〉"或〃<一相

所以實(shí)數(shù)α的取值范圍為1—8,—g)u(ll,+oo).

故，。°,一?∣)U

(ll,+∞).

22

X2V

16.己知xy≠0,則—-7^l—?--------的最大值為

X2+y2x2+2y2

【正確答案】4-2√2

22V2=1+-----------------------=1+-----------------

【分析】通分化簡(jiǎn)整理一?~τ+τJ?γx4+3x2y2+2y4x22y2,,再

√+y2X2+2y2J-y+-÷+3

yX

利用基本不等式求得最大值.

fV2

【詳解】因?yàn)閷O*0,則F>0,J>0,

yX

X22y2_X4+4x1y2+2y4_x4+4x1y2+2y4

所以777+7=(1+/)(,+2y2)=/+3/T+2/

X+

+3

當(dāng)且僅當(dāng)f=αy2時(shí)，等號(hào)成立,

?22/

則的最大值為4-2√L

X2+y2X2+2y^

故答案為.4-2√2

四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步

驟.

17.已知集合4={2,6}.

(1)若集合8={a+l,∕-23},且/=8,求。的值；

(2)如集合C={x,χ2-χ+6=θ},且A與C有包含關(guān)系，求。的取值范圍.

【正確答案】(1)5；(2){α∣α=O或α>(

【分析】(1)根據(jù)α+l=2或α+l=6,求出α=1或α=5,再驗(yàn)證/=3是否成立即可;

(2)若2lC,可得C={-3,2},A與C沒(méi)有包含關(guān)系，則只能是Cq",討論C≠0,

C=0兩種情況，進(jìn)而可得答案.

【詳解】(1)因?yàn)榧蟌={2,6},集合B={"+l,∕-23},且/=6，

所以α+l=2或α+l=6,

當(dāng)α+l=2,即α=l時(shí)，8={-22,2},此時(shí)/N8；

當(dāng)α+l=6,即α=5時(shí)，8={2,6},此時(shí)Z=8.

故4的值為5

(2)若2lC,則4α+4=0,a=—1.此時(shí)C={-3,2},A與C沒(méi)有包含關(guān)系.

因?yàn)锳與C有包含關(guān)系，

所以只能是C=/,

當(dāng)CN0時(shí)，6∈C,則a=0,此時(shí)C={6},滿(mǎn)足C=/.

l-24a<0解得4>」-

當(dāng)C=0時(shí),

a≠024.

綜上，0的取值范圍為{a∣a=0或a>g).

易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：解答有關(guān)集合子集的習(xí)題過(guò)程中，一定要注意空集的討論，這是同學(xué)們?cè)诮忸}

過(guò)程中容易疏忽的地方，一定不等掉以輕心.

18.已知全集U=R,集合N={x∣∣x-2∣N2},B={x∣a<集-l<2a-2}.

(1)若臧)f(UB)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若(6Z)c3x8,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【正確答案】(1)(-∞,2]u[3,^o)

5

(2)a<-

2

【分析】(1)先求出集合48,由(電/)=(68),可得出8=/,討論8=0和8/0,

即可求出答案.

(2)求出q/,由(電力)c8=6,得出討論討論8=0和8/0,求實(shí)

數(shù)。的取值范圍，運(yùn)用補(bǔ)集思想即可得出答案.

【小問(wèn)1詳解】

由題意，得集合N={x∣xW0或x≥4},5=∣x∣α+l<x<2α-l∣.

V(M)(M-?B^A.

當(dāng)3=0,即α+l≥2α-1,即α≤2時(shí)，符合題意；

當(dāng)6/0,即α>2時(shí)，由8=/,得α+124或2α-l≤0,得a≥3.

綜上，實(shí)數(shù)α的取值范圍為(一。。,2]U[3,+8).

【小問(wèn)2詳解】

電∕={x∣0<x<4},若(?7∕)C6=8,則6q(?√).

當(dāng)3=0,即a≤2時(shí)，符合題意；

'a+l≥O

當(dāng)8X0時(shí)，需滿(mǎn)足12a-1≤4,解得2<α<2.

2

a>2

當(dāng)(d%)c8=8時(shí)，α≤∣.

.?.當(dāng)(電4)c8W8時(shí)，i∕>∣,即實(shí)數(shù)0的取值范圍為(∣?,+oo).

19.已知命題p:Vl≤x≤2,χ≤α2+l,命題q：31≤X≤2,一次函數(shù)V=x+α的圖象在

X軸下方.

(1)若命題尸的否定為真命題，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)若命題P為真命題，命題4的否定也為真命題，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【正確答案】(1)-l<α<l

(2)[l,+∞)u{-l}

【分析】(1)由全稱(chēng)命題的否定與真假判斷求解即可；

(2)由全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題的真假判斷求解即可

【小問(wèn)1詳解】

；命題P的否定為真命題，

命題P的否定為：31≤%≤2,X>ɑ2+1,

.?.a2+l<2,

?'?—1<。<1.

【小問(wèn)2詳解】

若命題P為真命題，則/+122,即αNl或α≤-l.

：命題夕的否定為真命題，

.?."Wl≤x≤2,一次函數(shù)V=x+α的圖象在X軸及X軸上方”為真命題.

?*-1÷6z≥O,即4≥—1.

實(shí)數(shù)a的取值范圍為［l,+α>)u{T}.

20.軒軒計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為1500m2的矩形溫室大棚，并在溫室大棚內(nèi)建兩個(gè)大小、

形狀完全相同的矩形養(yǎng)殖池，其中沿溫室大棚的前、后、左、右內(nèi)墻各保留1.5m寬的通道,

兩養(yǎng)殖池之間保留2m寬的通道.設(shè)溫室的一邊長(zhǎng)為xm,兩個(gè)養(yǎng)殖地的總面積為yr!?,如

圖所示.

(1)將y表示為X的函數(shù)；

(2)當(dāng)取X取何值時(shí)，y取最大值？最大值是多少？

【正確答案】(1)y=1515-5x-”竺，%∈(3,300)

X

(2)x=30時(shí),N有最大值為1215

【分析】(1)另外一邊長(zhǎng)為?",則N=(X—1.5x2〉早—1.5x2—2),化簡(jiǎn)得到答

X

案.

(2)根據(jù)均值不等式計(jì)算得到答案.

【小問(wèn)1詳解】

溫室的一邊長(zhǎng)為X,則另外一邊長(zhǎng)為空”，

X

/一「「1500"CCC4500

Oy=(X-1.5X2),[-----1.5x2-2)=1515-5x-----,

x—1.5x2>0且^^—1.5x2—2〉0,解得x∈(3,300).

X

故夕=1515—5x—竺四，%∈(3,300)

X

【小問(wèn)2詳解】

歹=1515—(5%+^^卜1515—2,^^=1215,

當(dāng)且僅當(dāng)5x=絲四，即X=30時(shí)等號(hào)成立.

X

故x=30時(shí)，V有最大值為1215.

21.設(shè)α,b,C為正實(shí)數(shù)，且α+b+c=L證明:

11、9

(1)+^^+^^≥-;

a+bh+cc+a2

,、3,33、ab+bc+Ca-3abc

(2)a+b+c≥---------

2

【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)利用α+b+c=l進(jìn)行代換，再利用基本不等式即可證明；

(2)利用立方和公式將Y+3+cO進(jìn)行變式，再利用基本不等式即可證明.

【小問(wèn)1詳解】

,1111/CC,CJ111、

證明r：----+-----1-----=—(2?+26+2c)-----+-----1-----

a+bb+cc+a2?a+bb+cc+a)

…+S+c)+(c+"S+自+1

c-?-a

Q+6b+cC+Qb+Cc+a八9

i+------+-------+-------+-------+-------+-------)≥-(3+6)=-,

b-?-ca+bb+CC+Qa-?-bc+a22

（當(dāng)且僅當(dāng)α=b=c=?!■時(shí)，等號(hào)成立）

3

【小問(wèn)2詳解】

證明：o'+3=(a+b)(^a2+h1-ab)≥(l-c)ab

e3÷c3=(6+c)(?2+c2-be)≥(1-d)bc

c3+α3=(c+α)(c2+α2-cαj≥(?-b)ca

三式相加得2(/+b+/)≥ab+be+Cd—3cιhc

3,33ab+bc+ca-3abc

n即na+h+c≥