2023-2024學年河北省石家莊高二年級上冊期末聯(lián)考數(shù)學模擬試題（含答案）

2023-2024學年河北省石家莊高二上冊期末聯(lián)考數(shù)學

模擬試題

一、單選題

1.若直線數(shù)+制+6=0在X軸、y軸上的截距分別是-2和3,則4,b的值分別為

A.3,2B.-3,-2C.-3,2D.3,-2

【正確答案】D

【詳解】分析：將(-2,0),(0,3)代入直線方程即可求解.

[-2,a+6=0

詳解：由題意，得LU,

[3?+6=0

a=3

解得

b=-2

點睛：本題考查直線的方程等知識，意在考查學生的基本計算能力和數(shù)學轉(zhuǎn)化能力.

2

2.已知雙曲線r]-y2=l(α>0)的右焦點與拋物線v=8x的焦點重合，則此雙曲線的漸近

線方程是()

A.y=±?f5xB.y=±——X

5

√3

C.y=±Λ∕3Xn+

3

【正確答案】D

【分析】求出雙曲線方程中的。即得解.

【詳解】解：???拋物線T=物的焦點是(2,0),.?.c=2,a2=4—1=3,JQ=百,

.b√3

??—=—.

a3

所以雙曲線的漸近線方程為y=±等x?

故選：D

3.(X-夜)，『的展開式中√>4的系數(shù)是()

A.-840B.840C.210D.-210

【正確答案】B

【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式，即可求得答案.

K

【詳解】由題意可得k-可廣的展開式通項公式為7；M=GOXF-√5y))=0,l,2,,10,

故展開式fyt的系數(shù)為c%(-√5)4=84θ,

故選：B

4.已知由正數(shù)組成的等比數(shù)列｛4｝中，前6項的乘積是64,那么為+4的最小值是

A.2B.4C.8D.16

【正確答案】B

【詳解】分析：先利用題意和等比數(shù)列的性質(zhì)得到“3%=4,再利用基本不等式進行求解.

詳解：由等比數(shù)列的性質(zhì)，得

3

ala2a3a4a5a6=(a3a4)=64,

即α3α4=4,

又因為q>0,

所以的+4≥2屈%=4

(當且僅當%=%=2時取等號).

點睛：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)、基本不等式等知識，意在考查學生的邏輯思維能力和基本

計算能力.

5.2023年元旦假期，小明同學外出去某超市購物，獲得了該超市的一次抽獎機會，需從9

個外觀完全相同的盲盒中，隨機抽取3個.已知這9個盲盒中，其中3個盲盒各裝有1支完

全相同的鋼筆，另外6個盲盒中，各裝有不同的1個小飾品，則拆開選取的3個盲盒后，小

明獲獎的情形為()種

A.84B.42C.41D.35

【正確答案】B

【分析】對抽到鋼筆的情形分4種情況討論，按照分類加法計數(shù)原理計算可得.

【詳解】解：依題意小明抽到1支鋼筆，則抽到2個不同的小飾品，有C；=15利1

小明抽到2支鋼筆，則抽到1個不同的小飾品，有C：=6利I

小明抽到3支鋼筆,則只有1種；

小明抽到0支鋼筆，則抽到3個不同的小飾品，由C：=20種；

綜上可得小明獲獎的情形有15+6+1+20=42種.

故選：B

6.已知圓M：X2+y2=m,圓Mx2+/-6x-6y+16=0,圓N上存在點P,過P作圓M

的兩條切線%PB,若NAPB=9()。，則，"的取值范圍為()

A.[2,4]B.[4,8]C.[2,16]D.[4,16]

【正確答案】D

【分析】根據(jù)NAP8=90。，得到IMH=何，得出點P的軌跡是圓心在原點，半徑為歷

的圓，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系列出不等式組，即可求解.

【詳解】由題意，圓N：/+y2-6x-6y+16=0可化為(x-3)?+(y-3)2=2,

因為NApB=9()。，所以四邊形MAPB是正方形，所以IMH=同，

可得點P的軌跡是圓心在原點，半徑為Y2m的圓，

又因為點尸在圓N上，所以∣萬^-J5∣≤3夜+，解得4≤m≤16,

所以，"的取值范圍為[4,16].

故選：D.

7.已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,I,2,4,8,16,其中第一項是2°，接

下來的兩項是2°，2l.再接下來的三項是2°，2l.22,依此類推，則該數(shù)列的前94項和是

A.214B.2l4-2C.2l4-4D.2l4-8

【正確答案】D

【詳解】分析：先歸納出2°,2：…,2”的項數(shù)和變化規(guī)律，再確定第94項在第幾組，是第幾

項，再利用等比數(shù)列的前〃項和公式進行求解.

詳解：由題意，得2°,2[??,2"共有〃+1項，

1_)"+1

且20+2∣+???+2M=---------=2π+,-l,

1-2

?_(π+l)(n+2)?.

令1+2H----ι-(zn+1)=--------------<94,

則〃的最大值為12,且1+2+…+13=91,

則該數(shù)列的前94項的和為

I230I2

594=(2-1)+(2-1)+???+(2'-1)+(2+2+2)

=20Z^_13+7

1-2

=2'4-8.

點睛：歸納推理是由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這

些特征的推理，或由個別事實概括出一般結(jié)論的推理，其思維過程如下：

試驗、觀察→概括、推廣→猜測一般性結(jié)論.

8.設q,e2分別為具有公共焦點6與K的橢圓和雙曲線的離心率，P為兩曲線的一個公共

點，且滿足Pg=O,則4e：+e；的最小值為()

95

A.3B.-C.4D.-

23

【正確答案】B

【分析】對橢圓和雙曲線的離心率分別求出，首先根據(jù)橢圓及雙曲線的定義求出

22

?PFf+?PF2f=2a+2m,PE=0可得AEj_尸耳,得IpK『+|「「『=4〉

,就得到了"J%。的關(guān)系，最后利用基本不等式求得最小值.

【詳解】解：由題意設焦距為2c,橢圓的長軸長2“，雙曲線的實軸長為2加，

不妨令尸在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義IP制-1桃I=2加①，

由橢圓的定義IPMl+1陰I=2?②,又尸相PE=0,故歸耳『+|尸國2=4c2③,

①2+②2得IP娟2+∣P∕^∣2=2+2?、?，將④代入③得4+加=

2a2C2,

故選：B.

二、多選題

9.已知數(shù)列｛q｝的前〃項和為S,,(“eN*),且5,,=2(為一。)(其中“為常數(shù))，則下列說法正

確的是()

A.數(shù)列｛%｝一定是等比數(shù)列B.數(shù)列｛4｝可能是等差數(shù)列

C.數(shù)列｛s,,｝可能是等比數(shù)列D.數(shù)列｛s,,｝可能是等差數(shù)列

【正確答案】BD

【分析】由和%的關(guān)系求得%=2%,q=2α,分類討論。是否為0,判斷選項正誤.

【詳解】因為S,=2(%-α),當〃=1時，Sl=al=2(a,-a),得q=2a,

將"+1代入，得Sntl=2(aπ+l-a),aπ+l=Sn+l-Sn=2(an+l-a)-2(an-a),

即4用=2q,,

當α=0時，all=0,｛4｝不是等比數(shù)列，是等差數(shù)列，Sn=O,｛S,,｝也是等差數(shù)列；

當4*0時，｛%｝是以2a為首項，2為公比的等比數(shù)列，S,,=網(wǎng)Wl=24(2"-1)不是等比

數(shù)列；

故BD.

10.將四個不同的小球放入三個分別標有1,2,3號的盒子中，不允許有空盒子，下列結(jié)果

正確的有()

A.C?C?C?C'iB.CC.GC:8D.18

【正確答案】BC

【分析】根據(jù)題意，分析可得三個盒子中有1個中放2個球，有2種解法：

(1)分2步進行分析：①、先將四個不同的小球分成3組，②、將分好的3組全排列，對應

放到3個盒子中，由分步計數(shù)原理計算可得答案；

(2)分2步進行分析：①、在4個小球中任選2個，在3個盒子中任選1個，將選出的2個

小球放入選出的小盒中，②、將剩下的2個小球全排列，放入剩下的2個小盒中，由分步計

數(shù)原理計算可得答案，綜合2種解法即可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，四個不同的小球放入三個分別標有1,2,3號的盒子中，且沒有空盒，

則三個盒子中有1個中放2個球，剩下的2個盒子中各放1個，有2種解法：

(1)分2步進行分析：

①、先將四個不同的小球分成3組，有C：種分組方法；

②、將分好的3組全排列，對應放到3個盒子中，有A；種放法；

則沒有空盒的放法有心用種;

(2)分2步進行分析：

①、在4個小球中任選2個，在3個盒子中任選1個，將選出的2個小球放入選出的小盒中,

有種情況：

②、將剩下的2個小球全排列，放入剩下的2個小盒中，有8種放法；

則沒有空盒的放法有C；C：&種；

故選：BC.

11.已知S,,是數(shù)列｛凡｝的前〃項和，且SlM=-S“+〃2,則下列選項中正確的是().

A.al,+a,,+i=2n-l(∏≥2)

B.all+2-al,=2

C.若q=0,則Sm=4950

D.若數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增，則外的取值范圍是卜；，；)

【正確答案】AC

2

【分析】對于A,由S^=-Sn+n,多寫一項，兩式相減即可得出答案.

對于B,由a,,+allfl=2n-l(zj≥2),多遞推一項，兩式相減即可得出答案少了條件NN2.

對于C,由分析知4+2-4,=2,所以｛為｝奇數(shù)項是以q=0為首項，2為公差的等差數(shù)列，

偶數(shù)項是以外=1為首項，2為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列得前”項和公式即可得出答案.

對于D,因為數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增，根據(jù)4<%<%<處<<??.即可求出％的取值范圍.

2

【詳解】對于A,因為Se=-S.+/,當〃≥2,S,,=-Sπ,l+(∕2-l),兩式相減得：

an+an^=2n-l(?>2),所以A正確.

對于B,因為α1,+α,+∣=2〃-1(z2≥2),所以。的+。足=2(〃+1)-1=2〃+1,

兩式相減得：an+2-an=2(n≥2),所以B不正確.

2

對于C,.5,,+l=-Sn+n,令〃=1,則邑=一鳥+1,(zl+α,=-αl+1,因為

?i=0,所以生=1.令〃=2,貝!!$3=-邑+4,a1+α2+α3=-ai-a2+4,所以%=2.

因為%+2-al,=2（n≥2）,U∏a3-al=2,所以=2.

所以｛α,,｝奇數(shù)項是以q=O為首項，2為公差的等差數(shù)列.

偶數(shù)項是以1=1為首項，2為公差的等差數(shù)列.

則：Sla)=q+02+<?++a99+a,00=(a,+a3++a99)+(a2+a4++a,m)

(50x49A(50x49A

=I50x0+^—×21+150×l+-^-×21=4950,所以C正確.

對于D,Se=-&+/,令〃=1,則S2=-S∣+l,A1+a2=-a,+1,則/=-24+1

又因為α,,+∣+4/2=2"+l,令"=1則%+4=3,所以4=3-出=3-(-24]+l)=2α∣+2,

同理：%=5—4=5—+2)=—2∏]+3,

a5-1-a4=7-(-2α1+3)=陰+4,

因為數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增，所以《<4<<??.

1

6<-

3‘

1

4>

i4-

1

q<

4-,

1

4>

-4-

1

4<

4-,

所以卬的取值范圍是（-；，；），所以D不正確.

故選：AC.

本題考查的是等差數(shù)列的知識，解題的關(guān)鍵是利用q+”,+∣=2"-l,得出｛《,｝的奇數(shù)項、偶

數(shù)項分別成等差數(shù)列，考查學生的邏輯推理能力和運算求解能力，屬于難題.

2

12.已知入、F?分別為雙曲線V-2v-=1的左、右焦點，過心且傾斜角為。的直線與雙曲線

3

的右支交于A、8兩點，記aAK用的內(nèi)切圓。I的半徑為弓，8的內(nèi)切圓O?的半徑為小

圓01的面積為S一圓。2的面積為邑，則（）

A.，的取值范圍是B.直線與X軸垂直

10π

C.若可+弓=2,則IABI=6D.$+S?的取值范圍是2π,

【正確答案】BCD

【分析】對直線AB的斜率是否存在進行分類討論，利用直線與雙曲線的位置關(guān)系求出。的

取值范圍，可判斷A選項;利用切線長定理以及雙曲線的定義可判斷B選項;求出4=4=1,

分析出ABlX軸，求出∣AB∣,可判斷C選項；求出方的取值范圍，利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性

可判斷D選項.

1

【詳解】對于A選項，在雙曲線/-《=1中，a=↑,b=6,c="/=2，

所以，耳(一2,0)、6(2,0),

若直線ABlX軸，此時A5:x=2與雙曲線χ2-E=ι的右支交于兩點，此時夕=三；

當直線A8的斜率存在時，設直線AB的方程為y=%(x-2),設點A(x,,y)?B(x2,y2),

3χ2_y2=3

聯(lián)立',=M二)可得(3-/產(chǎn)+4以-(4k2+3)=0,

,-X/

3-k2≠O

Δ=16?4+4(3-?2)(3+4?2)>0

由題意可得<X+x_4K,0,解得％<-λ∕J或A>6,

Λ1fΛ2-2'U

因為0≤6l<π,止匕時。W

綜上所述，6的取值范圍是，A錯;

對于B選項，設圓Q分別切A"、A"、耳人于點M、N、T,設點T(f,0),

由切線長定理可得但M=IKTI,I型Vl=ETI,IAM=IANI,

所以，2=2α=∣*∣-M引=(IAM+山M)YAN1+優(yōu)M)=忻閡—優(yōu)Nl=閨7|—內(nèi)7|

=(f+2)-(2-f)=2f,可得r=l,即點7(1,0),故點T為雙曲線的右頂點，

同理可知，圓。2切耳居與點T，且X軸，X軸，故。02,X軸，B對;

對于C選項，連接。]6、O2F2,

則NaKo2=NO∣KT+NaE7=］（4用α+NB5月）=g,即。Kj-Q6，

TT

因為NTaE+NTQK=NTQM+NQKT=5，所以，NToE=NOFJ,

所以，tan/ro?8=tan∕0百T,且|明|=C一〃=1,所以，工=：,則徑=1,

又因為4+4=2,所以，4=4=1,此時，0∣、O?關(guān)于X軸對稱，

TTIT

所以，AOJ再為等腰直角三角形，則Nagr=W,故NAKK=2/。乙7=1,即A32X軸,

X=2f

I?—

此時，直線A8的方程為x=2,聯(lián)立,y2,可得一故∣AB∣=6,C對；

%2--=1[y=±3

所以,AAFJ&故NoEG

則4=I耳TltanNq瑪T=tanZOfζ?！蔊

l則"2（"}

因為函數(shù)y=χ+(1在(；1)上為減函數(shù)，在(1,3)上為增函數(shù),

X

1

由C選項可知，，道=1,則弓=一，

r?

IOπ

所以，S∣+S?=兀（片+4?）=兀+—∈2π,,D對.

故選：BCD.

法點睛：直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷方法：

(1)方程思想的應用：

把直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，通過消元后化為以2+?r+c=0的形式，在“wθ

的情況下考察方程0?+以+c=0的判別式.

①A>0時，直線與雙曲線有兩個不同的公共點；

②A=O時，直線與雙曲線只有一個公共點；

③A<0時，直線與雙曲線沒有公共點.

當α=0時，直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線有一個公共點.

(2)數(shù)形結(jié)合思想的應用

①直線過定點時，根據(jù)定點的位置和雙曲線的漸近線的斜率與直線的斜率的大小關(guān)系可確定

其位置關(guān)系；

②直線斜率一定時，通過平移直線，比較直線斜率與漸近線斜率的關(guān)系來確定其位置關(guān)系.

三、填空題

13,直線χ+y+2=0的傾斜角的是.

3兀

【正確答案】V

4

【分析】根據(jù)直線的斜率與傾斜角的關(guān)系即可求解.

【詳解】因為直線x+y+2=。的斜率τ,設直線x+y+2=0的傾斜角為α,

則tano=-1,因為［￡。兀)，所以α=型，

4

W?士”3π

故答A案為

4

23

14.(l+x)+(l+x)++(l+x)”的展開式中/的系數(shù)是.

【正確答案】120

【分析】利用二項式定理得到(l+x)"("≥2)的展開式中爐的系數(shù)為C；,從而得到答案為

C；+C；++C^=120.

【詳解】(l+x)"("≥2)的展開式中爐的系數(shù)為C：,

故(I+可,+。+》)'++(I+》),的展開式中爐的系數(shù)是

C；+C；++C；=1+3+6+10+15+21+28+36=120.

故120

15.在平面直角坐標系Xoy中，過動點P作圓A：(x-1)2+(丫-1)2=1的一條切線「。，其中

。為切點，若∣pg=α∣po∣,則IPQI的最大值為.

【正確答案】2+√6??√6+2

【分析】先求出點P軌跡方程，然后求出IPol的最大值，由IPa=拒IPa可得出答案.

【詳解1IPQl=TlPa=-1=2∣PO∣2,

設P(x,y),則(X-Iy+(y-l)2-l=2(x2+j2),

化簡得"+I)?+(y+l)2=3,

故點P軌跡是以為圓心、力為半徑的圓，

22

所以Ipa的最大值為IPq+√3=λ∕(-l-0)+(-l-0)+λ^=√2+√3

由∣pQ=√ψα,則故IPQl的最大值為(忘+6卜&=2+#

故2+迷

16.已知數(shù)列｛《,｝的前〃項和S,,=:(∕+3"+2),則數(shù)列」一的前八項和(=____

2[anan+?J

41

【正確答案】-——-

9n+2

【分析】根據(jù)遞推公式求出數(shù)列的通項公式，進而得到」一=?rW~∑τ=∣-?一一二

利用裂項相消法即可求解.

【詳解】.?.4=S,,-S,,τ="+1("≥2)

f3(n=l)

又,"SE?F=3∣g2),

，

時a,laιl^(n+l)(n+2)-^n+l?+2)

TJlIIIl1?1

"3445〃+1n+2J,

〃=〔,工-=萩1=§1滿足上式?F=門(j+1vE1i)、=4g-u1τ

41

故答案為

四、解答題

17.已知以點A(-1,2)為圓心的圓與直線4x+2y+7=0相切，過點B(-2,0)的直線/與圓A

相交于M,N兩點，。是MN的中點，IMNI=2M.

(1)求圓A的標準方程；

(2)求直線/的方程.

【正確答案】(I)(X+I)?+(y—2)2=20

⑵χ=-2或3x-4y+6=0

【分析】(1)由圓與直線相切結(jié)合點線距離公式可得半徑，即可求得標準方程；

(2)分別討論直線/與X軸垂直與否，設出直線方程，結(jié)合垂徑定理、點線距離公式列方

程即可解得參數(shù).

【詳解】(1)設圓A半徑為R,由圓與直線4：x+2y+7=0相切得R=N簽+,I=2石’

22

圓A的標準方程為(x+1)+(y-2)=20.

(2)1.當直線/與X軸垂直時，即X=-2,此時IMNl=2，(2小7-(-1+2)2=2√i?,符合題意;

ii.當直線/不與X軸垂直時，設方程為y=Nx+2),即丘-y+2G=0,

?-k-2+2k?_

。是MN的中點，IMNl=2M，ΛAQ=√20-19=1,即AQ=1解得

yJk2+?

.?.直線/為?3x-4y+6=0

直線/的方程為x=—2或3x—4y+6=0.

22

rv

18.已知雙曲線C=-7-'=l(α>0,。>0)交X軸于A,B兩點，實軸長為2,且雙曲線的

a^b'

離心率為2.

(1)求雙曲線C的標準方程；

(2)設直線Ly=丘+，〃(加≠0)與雙曲線交于O,E兩點，。為雙曲線虛軸在)，軸正半軸的端點,

若|。口=|。耳，求實數(shù)機的取值范圍.

【正確答案】⑴入7I

或。＜“＜￥

(2)m<--

3

【分析】(1)根據(jù)離心率和a、b、C之間的關(guān)系即可求出標準方程;

(2)聯(lián)立圓錐曲線和直線方程，以及向量之間的關(guān)系得出k"2+3km-36z+G%3=o,繼而

得出3-二=也n即可求解參數(shù)的取值范圍.

3

【詳解】(D解：由題意得：

22

由題意可知。2=1又/=q=4,得涼=1,墳=3,即雙曲線C的標準方程為V-E=I.

a23

(2)由題意知：。(0,6)，設。(x∕,yι),E(X2,”)，線段0E的中點坐標為G(X3,刈，

√-2i=ι

聯(lián)立彳3，得(3-公)/-2^加-"，_3=0,依題意得

y=kx+m

V*°∫3-fc2≠0

Δ=(-2J?M)2-4(3-?2)(-m2-3)＞0[3+w2-?2＞0

-2km口H+X[+x,km

且rtX'+/=h'即有芻=亍=獲淳

代入直線方程得力=￡?

由|Q。=IQEI知，QG?DE=0,βpfτ^j,?-√3｝(lΛ)=O.

即&m+3?m-3麻+GA=。(?≠O).則3-二=生叵〃2,②

3

且F=3一速加＞o,③由①②③式得，機＜一逑或0＜加＜述.

334

,`—a+n,〃為奇數(shù)

19.已知數(shù)列｛4｝中，4=1,?+∣=3〃為偶數(shù).

(1)證明：數(shù)列32“-1｝是等比數(shù)列；

(2)求。2〃及a2n-?*

【正確答案】(1)見解析；

(2)3K)+1，*=m-6若.

3

【分析】(1)依據(jù)題設條件構(gòu)設數(shù)列2=%「；，然后運用等比數(shù)列的定義進行分析推證；

(2)借助(1)的結(jié)論直接求解出",再依據(jù)數(shù)列通項的遞推關(guān)系式+(2〃-1)求

出a2n-?

33(1A31

【詳解】(1)證明：設d=劭,一9,則4=%-彳=[4+1-7=一2，

2213J26

4(“+廠|g%+ι+(2"+l)-∣∣(?-6n)+(2n+l)-∣?^,,-?

因為行?

=3=3=T3

?^2?^2a2,l~2a2,l~2

所以數(shù)列是以-!為首項'g為公比的等比數(shù)歹U.

3

(2)由(1)的

由4“=g?,,-∣+(2"-1)得知τ=3%“-3(2〃-1)=-g?(g)若.

20.已知等比數(shù)列｛%｝滿足O<%<4+∣,4+4+4=13,且％,%+6,%為等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)若"=",,+∣l0g34,,+∣,Sn=bl+b2++b,l,對任意正整數(shù)”，2S“-(9"+∕")q>()恒成立,

試求機的取值范圍.

【正確答案】(IMG"'

(2)|-∞,-7

【分析】(1)利用等比數(shù)列的通項公式和等差中項求解即可；

⑵由⑴得6-3"=〃-3",利用錯位相減法得25“=加3向-?+|,則原不等式

轉(zhuǎn)化為〃2<7?1Γ-［9對任意正整數(shù)〃恒成立，求力31-39的最小值即可?

2?322,32

【詳解】(1)因為數(shù)列｛q｝是等比數(shù)列，且滿足0<%<an+l,

所以4>0,q>0①,

2

aA+a1+?=?Q+?+?)=13(2),

又因為生，“3+6,%為等差數(shù)列，所以2(6+6)=%+%,即2,1/+6)=44+4/③,

聯(lián)立①②③解得卜二，所以∕=3"τ.

[q=3

(2)由(1)得H=3"log,3"="?3",

所以S“=1X3+2X3?+3X33++〃x3"④,

3S,=l×32+2×33+3×34+???+(n-l)×3n+n×3,,tl(g),

⑤一④得2S,,=-3-32-33------3"+n-3"+'

,,+l

-3°二3)+n.3"+∣2Sz,=n?3--+->

1-322

由題意2S“-(9〃+加)α,,>0即“?3"+∣--+--n-y,+'-m-3,H>0對任意正整數(shù)n恒成立,

22

1O1

所以在<23'T一萬恒成立，則即可,

2?3,,^2

1999

又因為--≥--所以機≤?-z，即加的取值范圍是

2?3,,^222f21-∞,-g

21.設拋物線爐=2Py(P>0)的焦點為F,其準線與N軸交于M,拋物線上一點的縱坐標

為4,且該點到焦點廠的距離為5.

(1)求拋物線的方程;

(2)自M引直線交拋物線于RQ兩個不同的點，設MP=%MQ.若IPQIe(O,孚］

,求實數(shù)

，的取值范圍.

g,ι卜(1,3]

【正確答案】⑴V=";(2)

(I)根據(jù)拋物線定義：拋物線線上一點到焦點距離等于到準線距離，得4+5=5化簡即可;

(2)設尸Q：y=履-1,聯(lián)立直線與拋物線方程設P(AM),。(々，％)，用弦長公式表示∣PQ∣,

e(θ,殍］解不

由MP=/IMQ及韋達定理將女用2表示出來，此時仍。用/1表示，結(jié)合歸0

等式.

【詳解】解：（I）根據(jù)題意作圖如下：

因為拋物線上一點的縱坐標為4,且該點到焦點F的距離為5,

又拋物線線上一點到焦點距離等于到準線距離，

所以4+^=5np=2,故拋物線的方程為r=4y.

[X+x=4?…

設始則。1;9=4,①

222

所以PQ=Jl+公卜-x2∣=Jl+"?√16?-16=√4?+4?√4?-4,

因為MP=,所以(%,y+1)=4*2,%+1)="=心2代入①化簡得Ak2=('土1)-

令,…苧,

則PQ=+4?小—4=V/2—16

因為IPQl

BP0<∕2-16≤-^16<r2≤-^4<r≤-,

993

uu—(2+1)/16Λ2—2Λ+1>0幾≠]

所以4<?^--------≤—=>?=><1

λ3322-10Λ+3≤0-≤λ≤3

[3

g,ι)(1,3]

即4∈

在運用圓錐曲線問題中的設而不求方法技巧時，需要做到：

①凡是不必直接計算就能更簡潔地解決問題的，都盡可能實施“設而不求”；

②“設而不求”不可避免地要設參、消參，而設參的原則是宜少不宜多.

22.設圓/+-21=0的圓心為尸，點。(-G,θ),點H為圓上動點，線段，Q的垂

直平分線與線段”產(chǎn)交于點E,設點E的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)若直線/與曲線C交于點A,B,與圓0：/+V=2切于點〃，問：I是否為

定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，說明理由.

【正確答案】(1)?+4=l;(2)是定值，定值為2.

63

⑴由垂直平分線的定義知IEQI=I四|,證明∣EQ∣+∣EP∣為定值即可根據(jù)橢圓的定義寫出點E

的軌跡方程；(2)分類討論，當直線斜率不存在時，求出直線方程及其與橢圓的交點，利用

向量證明Q4_LO8,則IMAH仞8∣=∣OM「=2；當直線斜率存在時，設出直線方程并與橢圓

聯(lián)立，利用直線與圓相切的性質(zhì)、韋達定理及向量證明OALO8,則IM4HM8∣=∣OM∣2=2.

【詳解】⑴由條件可得PM,0),半徑|四=2

又線段HQ的垂直平分線與線段”產(chǎn)交于點E,所以IEa=IE.

則有|國+1S=IEHl+∣"I=IHH=2&>∣P0=2√L

所以點E的軌跡為以P,。為焦點，實軸長2指