北京市海淀區(qū)2024屆高三下學(xué)期期中練習(xí)（一模）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市海淀區(qū)2024屆高三下學(xué)期期中練習(xí)（一模）數(shù)學(xué)試題第一部分（選擇題）一、選擇題1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗全集，集合，所以.故選：D.2.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的共軛復(fù)數(shù)是A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，所以．所以的共軛復(fù)數(shù)是．故選：B．3.已知為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和.若，公差，則m的值為（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗B〖解析〗由已知，得，又，又，所以，解得或（舍去）故選：B.4.已知向量滿(mǎn)足，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知，所以，得，又，所以.故選：C.5.若雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離比到焦點(diǎn)的距離大，則該雙曲線(xiàn)的方程為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題知，根據(jù)題意，由雙曲線(xiàn)的定義知，又，所以，得到，所以雙曲線(xiàn)的方程為，故選：D.6.設(shè)是兩個(gè)不同的平面，是兩條直線(xiàn)，且.則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗，且，所以，又，所以，充分性滿(mǎn)足，如圖：滿(mǎn)足，，但不成立，故必要性不滿(mǎn)足，所以“”是“”的充分而不必要條件.故選：A.7.已知，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，過(guò)點(diǎn)與曲線(xiàn)相切的直線(xiàn)的條數(shù)為，則的值分別為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，即時(shí)，，解得，時(shí)，，無(wú)解，故，設(shè)過(guò)點(diǎn)與曲線(xiàn)相切的直線(xiàn)的切點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，則有，有，整理可得，即，即當(dāng)時(shí)，有一條切線(xiàn)，當(dāng)時(shí)，，則有，有，整理可得，令，則，令，可得，故當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，由，，故在上沒(méi)有零點(diǎn)，又，故在上必有唯一零點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，亦可有一條切線(xiàn)符合要求，故.故選：B.8.在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，終邊在第三象限.則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可得、，，對(duì)A：當(dāng)時(shí)，，則，，此時(shí)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)C、D：，由，故，則，即，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C.9.函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，其圖象如圖所示，.設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，則關(guān)于x的不等式的解集是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，且為偶函數(shù)，故，由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)結(jié)合圖象可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即，則由，有，解得，亦可得，或，或，或，由可得或，即，由可得，即，由，可得，即或（舍去，不在定義域內(nèi)），由，可得，綜上所述，關(guān)于x的不等式的解集為.故選：D.10.某生物興趣小組在顯微鏡下拍攝到一種黏菌的繁殖軌跡，如圖1.通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，該黏菌繁殖符合如下規(guī)律：①黏菌沿直線(xiàn)繁殖一段距離后，就會(huì)以該直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸分叉（分叉的角度約為），再沿直線(xiàn)繁殖，…；②每次分叉后沿直線(xiàn)繁殖的距離約為前一段沿直線(xiàn)繁殖的距離的一半.于是,該組同學(xué)將整個(gè)繁殖過(guò)程抽象為如圖2所示的一個(gè)數(shù)學(xué)模型：黏菌從圓形培養(yǎng)皿的中心O開(kāi)始,沿直線(xiàn)繁殖到,然后分叉向與方向繼續(xù)繁殖，其中,且與關(guān)于所在直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),….若，為保證黏菌在繁殖過(guò)程中不會(huì)碰到培養(yǎng)皿壁，則培養(yǎng)皿的半徑r（，單位：）至少為（）A.6 B.7 C.8 D.9〖答案〗C〖解析〗由題意可知，，只要計(jì)算出黏菌沿直線(xiàn)一直繁殖下去，在方向上的距離的范圍，即可確定培養(yǎng)皿的半徑的范圍，依題意可知黏菌的繁殖規(guī)律，由此可得每次繁殖在方向上前進(jìn)的距離依次為：，則，黏菌無(wú)限繁殖下去，每次繁殖在方向上前進(jìn)的距離和即為兩個(gè)無(wú)窮等比遞縮數(shù)列的和，即，綜合可得培養(yǎng)皿的半徑r（，單位：）至少為8cm，故選：C第二部分（非選擇題）二、填空題11.已知，則_______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所?故〖答案〗為：.12.已知，線(xiàn)段是過(guò)點(diǎn)的弦，則的最小值為_(kāi)______.〖答案〗〖解析〗由，故點(diǎn)在圓的內(nèi)部，且該圓圓心為，半徑為，設(shè)圓心到直線(xiàn)的距離為，由垂徑定理可得，即，故當(dāng)取最大值時(shí)，有最小值，又，故.故〖答案〗為：.13.若，則_______；_______.〖答案〗〖解析〗令，可得，即，令，可得，即，令，可得，即，則，即，則，故.故〖答案〗為：；.14.已知函數(shù)，則_________；函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)為_(kāi)______.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗因?yàn)椋?，因定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，下證是的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，在上任取點(diǎn)，其關(guān)于對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，又，所以函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)為，故〖答案〗為：；（〖答案〗不唯一）15.已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)是奇函數(shù)；②，且，關(guān)于x的方程恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；③已知是曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，，則；④設(shè)為曲線(xiàn)上一點(diǎn)，為曲線(xiàn)上一點(diǎn).若，則.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_________.〖答案〗②③④〖解析〗對(duì)①：令，即有，即，故函數(shù)不是奇函數(shù)，故①錯(cuò)誤；對(duì)②：，即，當(dāng)時(shí)，有，故是該方程的一個(gè)根；當(dāng)，時(shí)，由，故，結(jié)合定義域可得，有，即，令，，有或（負(fù)值舍去），則，故必有一個(gè)大于的正根，即必有一個(gè)大于的正根；當(dāng)，時(shí)，由，故，結(jié)合定義域有，有，即，令，，有或（正值舍去），令，即，則，即，故在定義域內(nèi)亦必有一根，綜上所述，，且，關(guān)于x的方程恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故②正確；對(duì)③：令，則有，，令，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，故恒成立，即，故，故③正確；對(duì)④：當(dāng)時(shí)，由，，故，此時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，由與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，不妨設(shè)，則有或，、當(dāng)時(shí)，由，有，故成立；當(dāng)時(shí)，即有，即有、關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，由③知，點(diǎn)到的距離，同理點(diǎn)，故；綜上所述，恒成立，故④正確.故〖答案〗為：②③④.三、解答題16.在中，.（1）求；（2）若，求的面積.解：（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，又，所以，得到，即，所以，又因?yàn)椋?，得?（2）由（1）知，所以，又，得到①，又，得到代入①式，得到，所以面積為.17.如圖，在四棱錐中，為的中點(diǎn)，平面.（1）求證：；（2）若，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使四棱錐存在且唯一確定.（i）求證：平面；（ⅱ）設(shè)平面平面，求二面角的余弦值.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，第（1）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，所以四點(diǎn)共面，因?yàn)槠矫?，平面平面，平面，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以；?）（i）證明：取的中點(diǎn)，連接，由（1）知，所以，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，選條件①：，因?yàn)?，所以與全等，所以，因?yàn)椋?，所以，即，又因?yàn)?，、平面，所以平面；（ⅱ）解：由（i）知平面，而平面，所以，因?yàn)?，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為,則，即，令，則，于是，因?yàn)闉槠矫娴姆ㄏ蛄?且,所以二面角的余弦值為.選條件③：，(i)因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以與全等，所以，即，因?yàn)椋忠驗(yàn)?，、平面，所以平面?ii)同選條件①.不可選條件②，理由如下：由（i）可得，又，，、平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，即是由已知條件可推出的條件，故不可選條件②.18.某學(xué)校為提升學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，要求所有學(xué)生在學(xué)年中完成規(guī)定的學(xué)習(xí)任務(wù)，并獲得相應(yīng)過(guò)程性積分.現(xiàn)從該校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，獲得其科普測(cè)試成績(jī)（百分制，且均為整數(shù)）及相應(yīng)過(guò)程性積分?jǐn)?shù)據(jù)，整理如下表：科普測(cè)試成績(jī)x科普過(guò)程性積分人數(shù)4103a2b12302（1）當(dāng)時(shí)，（i）從該校隨機(jī)抽取一名學(xué)生，估計(jì)這名學(xué)生的科普過(guò)程性積分不少于3分的概率；（ⅱ）從該?？破諟y(cè)試成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，記X為這2名學(xué)生的科普過(guò)程性積分之和，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望；（2）從該?？破者^(guò)程性積分不高于1分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，其科普測(cè)試成績(jī)記為，上述100名學(xué)生科普測(cè)試成績(jī)的平均值記為.若根據(jù)表中信息能推斷恒成立，直接寫(xiě)出a的最小值.解：（1）當(dāng)時(shí)，（i）由表知，科普過(guò)程性積分不少于3分的學(xué)生人數(shù)為，則從該校隨機(jī)抽取一名學(xué)生，這名學(xué)生的科普過(guò)程性積分不少于3分的頻率為，所以從該校隨機(jī)抽取一名學(xué)生，這名學(xué)生科普過(guò)程性積分不少于3分的概率估計(jì)為.（ⅱ）依題意，從樣本中成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，這名學(xué)生的科普過(guò)程性積分為3分的頻率為，所以從該校學(xué)生科普測(cè)試成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，這名學(xué)生的科普過(guò)程性積分為3分的概率估計(jì)為，同理，從該校學(xué)生科普測(cè)試成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，這名學(xué)生的科普過(guò)程性積分為4分的概率估計(jì)為，的所有可能值為6，7，8，，，，所以的數(shù)學(xué)期望.（2）由表知，，則，從該?？破者^(guò)程性積分不高于1分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，其科普測(cè)試成績(jī)記為，則的最大值為69，100名學(xué)生科普測(cè)試成績(jī)的平均值記為，要恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，顯然的最小值為各分?jǐn)?shù)段取最小值求得的平均分，因此，則，解得，所以根據(jù)表中信息能推斷恒成立的a的最小值是7.19.已知橢圓的離心率為分別是G的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)是G的右焦點(diǎn).（1）求m的值及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)P是橢圓G上異于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線(xiàn)上，且，直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)M.比較與的大小.解：（1）由，即，由題意可得，故，解得，故，則，故；（2）設(shè)，，，有，由，則有，即，由，故有，即有，由可得、，則，，則，由，故，即.20.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)存在最大值，求的取值范圍.解：（1）易知定義域?yàn)?，因?yàn)椋裕?，得到，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）令，則，由（1）知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以在時(shí)取得最大值，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在存在最大值的充要條件是，即，令，則恒成立，所以是增函數(shù)，又因?yàn)?，所以的充要條件是，所以的取值范圍為.21.已知：為有窮正整數(shù)數(shù)列，其最大項(xiàng)的值為，且當(dāng)時(shí)，均有.設(shè)，對(duì)于，定義，其中，表示數(shù)集M中最小的數(shù).（1）若，寫(xiě)出的值；（2）若存在滿(mǎn)足：，求的最小值；（3）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)所有.（1）解：由，，則，故，則，故，則，故；（2）解：由題意可知，，當(dāng)時(shí)，由，，故，則，由題意可得，故、總有一個(gè)大于，即或