廣西壯族自治區(qū)南寧市、河池市2024屆高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測二模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣西壯族自治區(qū)南寧市、河池市2024屆高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測二模數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知，若，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意得且，解得．故選：A。2.已知復(fù)數(shù)，且，其中為實(shí)數(shù)，則（）A. B. C. D.4〖答案〗C〖解析〗因?yàn)閺?fù)數(shù)，為實(shí)數(shù)，所以，所以，解得，所以.故選：C3.在倡導(dǎo)“節(jié)能環(huán)?！薄暗吞忌睢钡慕裉欤履茉粗饾u被人們所接受，進(jìn)而青睞，新能源汽車作為新能源中的重要支柱產(chǎn)業(yè)之一取得了長足的發(fā)展．為預(yù)測某省未來新能源汽車的保有量，采用阻滯型模型進(jìn)行估計(jì)．其中y為第t年底新能源汽車的保有量，r為年增長率，M為飽和量，為初始值（單位：萬輛）．若該省2021年底的新能源汽車擁有量為20萬輛，以此作為初始值，若以后每年的增長率為0.12，飽和量為1300萬輛，那么2031年底該省新能源汽車的保有量為（精確到1萬輛）（參考數(shù)據(jù)：，）（）A.62萬 B.63萬 C.64萬 D.65萬〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題中所給阻滯型模型，代入有關(guān)數(shù)據(jù)，注意以2021年的為初始值，則2031年底該省新能源汽車的保有量為，因?yàn)?，所以，所以故選：C。4.有2男2女共4名大學(xué)畢業(yè)生被分配到三個(gè)工廠實(shí)習(xí)，每人必須去一個(gè)工廠且每個(gè)工廠至少去1人，且工廠只接收女生，則不同的分配方法種數(shù)為（）A.12 B.14 C.22 D.24〖答案〗B〖解析〗按工廠接收的女生人數(shù)分類，第一類：工廠僅接收1名女生，從2名女生中選1人，有種選擇，再把剩余的3人分為兩組，和兩工廠進(jìn)行全排列，有種選擇，故有種分配方法；第二類：工廠接收2名女生，則剩余的兩個(gè)男生和兩個(gè)工廠進(jìn)行全排列，有種分配方法．綜上，不同的分配方法有種．故選：。5.已知某棱長為的正四面體的各條棱都與同一球面相切，則該球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖所示，在棱長為2的正方體中構(gòu)造棱長為的正四面體，顯然正四面體的棱切球即為正方體的內(nèi)切球，故球的半徑，則該球的表面積為．故選：A．6.已知函數(shù)，則滿足不等式的的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得的定義域?yàn)椋?，故為偶函?shù)，而當(dāng)時(shí)，易知單調(diào)遞增，而對(duì)于，在上恒成立，所以在上也單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，則由，得，解得或.故選：D.7.如圖，四邊形為正方形，平面，則三棱錐的體積為（）A.12 B.6 C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖所示，連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，因?yàn)槠矫妫云矫?，又因?yàn)椋^作于，可得四邊形為矩形，則，所以，，，由余弦定理得，所以，所以，所以．故選：B．8.已知直線與軸和軸分別交于，兩點(diǎn)，且，動(dòng)點(diǎn)滿足，則當(dāng)，變化時(shí)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，由，得，由，得，設(shè)，則，即，因此點(diǎn)C的軌跡為一動(dòng)圓，設(shè)該動(dòng)圓圓心為，即有，則代入，整理得：，即C軌跡的圓心在圓上（除此圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)外），點(diǎn)與圓上點(diǎn)連線的距離加上圓的半徑即為點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值，所以最大值為.故選：B二、選擇題9.若，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗∵，則，，∴，即，A正確；例如，，，，，顯然，B錯(cuò)誤；由得，，∴，即，C正確；易知，，，，∴，D正確；故選：ACD．10.設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)，分別表示直線的斜率，則（）A.存在點(diǎn)，使得 B.存在點(diǎn)，使得C.存在點(diǎn)，使得 D.存在點(diǎn)，使得〖答案〗ABD〖解析〗由已知得：對(duì)于A，由為橢圓上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)可得，，A正確；對(duì)于B，由，得以為直徑的圓與橢圓有4個(gè)交點(diǎn)，因而存在點(diǎn)使得，B正確；對(duì)于C，由為橢圓上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)可得，又由可得，解得，與矛盾，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由已知，因?yàn)?，而，所以，所以存在點(diǎn)，使得，D正確．故選：ABD．11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期為 B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.在上單調(diào)遞增 D.的值域?yàn)椤即鸢浮紹CD〖解析〗對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)椋圆皇堑淖钚≌芷?，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，由A項(xiàng)知，的一個(gè)周期為，又因?yàn)椋?，所以，所以關(guān)于對(duì)稱，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，由題意知，，當(dāng)時(shí)，，則，即：，所以，所以在上單調(diào)遞增，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，由A項(xiàng)知，的一個(gè)周期為，由C項(xiàng)知，，當(dāng)時(shí)，，則，即：，所以，所以在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，，，所以，，所以的值域?yàn)?，故D項(xiàng)正確.故選：BCD.三、填空題12.已知向量滿足，則在上的投影向量的坐標(biāo)為______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋傻?，又因?yàn)?，可得，解得，所以在上的投影向量為．故〖答案〗為?13.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且，平分交于，，則面積的最小值為______；若，則的面積為______．〖答案〗〖解析〗由題意，平分交于且，可得，即，整理得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以面積的最小值，因?yàn)?，即，又因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋獾?，因此．故〖答案〗為：?14.已知，分別為雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，若的最小值為2c，，則該雙曲線的離心率是______．〖答案〗〖解析〗設(shè)，則，由雙曲線的定義知，∴，，當(dāng)，即時(shí)，，不符合題意；當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)取得最小值，故，化簡得，即，解得（舍）或，滿足.綜上所述，該雙曲線的離心率是.故〖答案〗為:.四、解答題15.記為公比不為1等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，若由與的公共項(xiàng)從小到大組成數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋?，即，所以，又，即，解得，所?（2）解：由（1）可得，則數(shù)列為、、、、，偶數(shù)組成的數(shù)列，又，令，則為正偶數(shù)，所以，，，，，所以為以為首項(xiàng)，為公比等比數(shù)列，所以.16.如圖，在三棱錐中，與都為等邊三角形，平面平面分別為的中點(diǎn)，且在棱上，且滿足，連接．（1）求證：平面；（2）設(shè)，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：連接，如圖所示．在中，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，，所以為的重心，所以，又，所以，又平面平面，所以平面．（2）解：連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以．因?yàn)闉榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，所以．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．則，所以．設(shè)平面的法向量，則令，解得，所以平面的一個(gè)法向量，．設(shè)直線與平面所成角的大小為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．17.為降低工廠廢氣排放量，某廠生產(chǎn)甲、乙兩種不同型號(hào)的減排器，現(xiàn)分別從甲、乙兩種減排器中各抽取100件進(jìn)行性能質(zhì)量評(píng)估檢測，綜合得分的頻率分布直方圖如圖所示：減排器等級(jí)及利潤率如下表，其中．綜合得分的范圍減排器等級(jí)減排器利潤率一級(jí)品二級(jí)品三級(jí)品（1）若從這100件甲型號(hào)減排器中按等級(jí)用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取10件，再從這10件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取5件，求抽取的5件中至少有3件一級(jí)品的概率；（2）將頻率分布直方圖中的頻率近似地看作概率，用樣本估計(jì)總體，則：①若從乙型號(hào)減排器中隨機(jī)抽取4件，記為其中二級(jí)品的個(gè)數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；②從數(shù)學(xué)期望來看，投資哪種型號(hào)的減排器利潤率較大？解：（1）由已知及頻率分布直方圖中的信息知，甲型號(hào)減排器中的一級(jí)品的頻率為，按等級(jí)用分層抽樣的方法抽取10件，則抽取一級(jí)品為（件），記“抽取的5件中至少有3件一級(jí)品”為事件，則．（2）①由已知及頻率分布直方圖中的信息知，乙型號(hào)減排器中的一級(jí)品的概率為，二級(jí)品的概率為，三級(jí)品的概率為，由題意，的所有可能的取值為，所以，，，，分布列如下表：01234所以；②由題意知，甲型號(hào)減排器的利潤率的平均值：；乙型號(hào)減排器的利潤率的平均值：；，又，則，所以投資乙型號(hào)減排器的平均利潤率較大．18.已知拋物線，是軸下方一點(diǎn)，為上不同兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)均在上.（1）若的中點(diǎn)為，證明：軸；（2）若在曲線上運(yùn)動(dòng)，求面積的最大值.（1）證明：設(shè)，，，則的中點(diǎn)在拋物線上，所以，化簡得，同理由的中點(diǎn)在拋物線上可得，因?yàn)椋允顷P(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)不等實(shí)根，所以，，所以的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，它與的橫坐標(biāo)相同，所以軸.（2）解：不妨設(shè)，則，由軸，得，因?yàn)樵谇€上運(yùn)動(dòng)，是軸下方一點(diǎn)，所以，且，所以，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以，又，所以，令，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，取最大值.19.記函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為,若（其中）恒成立，則稱在上具有性質(zhì)．（1）判斷函數(shù)（且）在區(qū)間上是否具有性質(zhì)？并說明理由；（2）設(shè)均為實(shí)常數(shù)，若奇函數(shù)在處取得極值，是否存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間上具有性質(zhì)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）設(shè)且，對(duì)于任意的，不等式成立，求的最大值．（1）解：令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上不具有性質(zhì)．（2）解：因?yàn)椋裕驗(yàn)樵谔幦〉脴O值，且為奇函數(shù)，所以在處也取得極值，