立體幾何接切截及軌跡問題課件高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

專題四立體幾何玩轉(zhuǎn)小題第14講接、切、截及軌跡問題

考點梳理考情回顧高考預(yù)測截面問題2023新高考Ⅱ卷第14題熱點：考查球的接、切

問題，研究截面、探求

軌跡問題，以選擇題，

填空題的形式呈現(xiàn).球的接、切問題2023新高考Ⅰ卷第12題2022新高考Ⅰ卷第8題2022新高考Ⅱ卷第7題

A.100πB.128πC.144πD.192πA2.（2022·全國乙卷）已知球

O

的半徑為1，四棱錐的頂點為

O

，底面的

四個頂點均在球

O

的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時，其高為

（

C

）A.B.C.D.C3.（2023·全國甲卷）在正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AB

＝4，

O

為

AC

1的中點.若該正方體的棱與球

O

的球面有公共點，則球

O

的半徑的取

值范圍是

?.

1.“截面、交線”問題，一是與解三角形、多邊形的面積、扇形的弧長

與面積等相結(jié)合求解，二是利用空間向量的坐標(biāo)運算求解.2.空間幾何體的外接球、內(nèi)切球是高中數(shù)學(xué)的重點，也是高考命題的熱

點，一般是通過對幾何體的割補(bǔ)或?qū)ふ規(guī)缀误w外接球的球心求解外接球

問題，利用等體積法求內(nèi)切球的半徑.3.“軌跡”問題，添加了一些“動態(tài)”的點、線、面等元素，給靜態(tài)的

立體幾何題賦予了活力，題型新穎，將立體幾何問題與平面幾何中的解

三角形問題、多邊形面積問題以及解析幾何問題之間建立聯(lián)系，使得它

們之間靈活轉(zhuǎn)化.

熱點1

截面問題[典例設(shè)計]例1（1）

（多選）如圖，正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1的棱長為2，

E

為

A

1

D

1的中點，

F

為

CC

1上的一個動點，設(shè)由點

A

，

E

，

F

構(gòu)成的平面

為α，則下列說法中，正確的是（

BCD

）A.平面α截正方體的截面可能為三角形B.當(dāng)F為CC1的中點時，平面α截正方體的截面為五邊形C.當(dāng)點F與點C1重合時，平面α截正方體的截面面積為2D.點D到平面α的距離的最大值為答案：BCD

總結(jié)提煉

作幾何體截面的方法（1）

利用平行直線找截面；（2）

利用相交直線找截面.[對點訓(xùn)練]1.（多選）（2022·江蘇六校聯(lián)考）如圖，直四棱柱

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1

的底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱長為3，

E

，

F

分別是

AB

，

BC

的中

點，過點

D

1，

E

，

F

的平面記為α，則下列說法中，正確的是（

BC

）A.平面α截直四棱柱ABCD－A1B1C1D1所得截面的形狀為四邊形B.平面α截直四棱柱ABCD－A1B1C1D1所得截面的面積為

平面α將直四棱柱分割成的上、下兩部分的體積之比為47∶25D.點A1到平面α的距離是點B到平面α的距離的BC123456789101112131415161718192021222324

2.（2022·蕪湖模擬）已知正三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1的所有棱長均為2，

D

為棱

AB

的中點，則過點

D

的平面截該三棱柱外接球所得截面面積的

取值范圍是

?.解：如圖，設(shè)正三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1的上、下底面的外接圓圓心分別為點

O

1，

O

2，連接

O

1

O

2，取

O

1

O

2的中點

O

，則點

O

為正三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1的外接球的球心.連接

AO

2，

AO

，

OD

.

設(shè)正三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1的外接球的半徑為

R

.

熱點2

球的接、切問題[典例設(shè)計]例2

（2022·保定模擬）已知在三棱錐

P

－

ABC

中，

PA

⊥平面

ABC

，

∠

BAC

＝120°，

PA

＝

AB

＝

AC

＝2，則該三棱錐外接球的表面積為

（

C

）A.12πB.16πC.20πD.24πC解：因為

PA

⊥平面

ABC

，所以把三棱錐

P

－

ABC

補(bǔ)成直三棱柱

PB

'

C

'

－

ABC

，如圖，三棱錐

P

－

ABC

與直三棱柱

PB

'

C

'－

ABC

的外接球是同

一個球.設(shè)點

E

，

F

分別為上、下底面三角形的外心，連接

EF

，取

EF

的

中點

O

，則點

O

為直三棱柱

PB

'

C

'－

ABC

的外接球的球心.連接

AF

，

AO

.

總結(jié)提煉

求空間幾何體的外接球半徑的常用方法（1）

模型法：把幾何體嵌入長方體中，使幾何體的頂點和長方體的若

干個頂點重合，則幾何體的外接球和長方體的外接球重合，長方體外

接球的半徑就是幾何體外接球的半徑.如果已知圖形中有多個垂直關(guān)

系，那么便可以考慮用此種方法.（2）

解三角形法：找到球心

O

和截面圓的圓心

O

'，找到

OO

'、球的

半徑

OA

、截面圓的半徑

O

'

A

，確定Rt△

OO

'

A

，解Rt△

OO

'

A

，得到

球的半徑

OA

.

6π

[典例設(shè)計]

A.B.C.D.D

（2）

已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐的內(nèi)切球的體積

為

.

總結(jié)提煉

解決空間幾何體的內(nèi)切球問題的常用方法（1）

等體積法：以三棱錐為例，利用內(nèi)切球的球心與四個頂點的連線

分割成的四個小三棱錐的體積之和與原三棱錐的體積相等求解.（2）

截面法：處理旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球問題時，利用軸截面，將原問題轉(zhuǎn)

化為平面幾何圖形的內(nèi)切圓問題求解.[對點訓(xùn)練]5.（2022·西安模擬）六氟化硫，化學(xué)式為SF6，在常溫常壓下是一種無

色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面

具有廣泛用途.如圖，六氟化硫的分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體

的每個面都是正三角形）.若此正八面體的棱長為2，則它的內(nèi)切球的表

面積為（

C

）A.B.C.D.C

熱點3

軌跡問題[典例設(shè)計]例4（1）

（多選）在長方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

M

是棱

AD

的中

點，

AA

1＝

AD

＝4，

AB

＝5，點

P

在側(cè)面

BCC

1

B

1上（包括邊界）運

動，則下列說法中，正確的是（

ACD

）A.直線MP與直線DD1所成角的最大度數(shù)為90°B.若∠D1MP＝60°，則點P的軌跡為橢圓C.不存在點P，使得AC∥平面D1PMD.若平面D1PM與平面ABCD所成的銳二面角和平面D1PM與平面

BCC1B1所成的銳二面角相等，則點P的軌跡長為ACD

總結(jié)提煉

空間幾何體表面的動點問題（1）

定性分析動點的軌跡多利用幾何法.（2）

定量計算與動點的軌跡可利用空間向量法，一般步驟是：①

觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；②

寫出相應(yīng)點的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量、相應(yīng)平面的法向

量；③

將空間位置關(guān)系問