2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第5章平面向量與復(fù)數(shù)第5講復(fù)數(shù)課件

第五講復(fù)數(shù)知識梳理·雙基自測知

識

梳

理知識點一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念2．復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)?a＝c且b＝d.

a－bi|z||a＋bi|知識點二復(fù)數(shù)的幾何意義1．復(fù)平面的概念：建立平面直角坐標系來表示復(fù)數(shù)的平面，叫做復(fù)平面，x軸叫做________，y軸叫做________.2．實軸上的點都表示________；除了原點外，虛軸上的點都表示__________.實軸虛軸實數(shù)純虛數(shù)知識點三復(fù)數(shù)的運算1．復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝_______________________；(2)減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝_______________________；(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝__________________________；(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i(ac－bd)＋(ad＋bc)i2．復(fù)數(shù)的運算律：復(fù)數(shù)加法滿足交換律、結(jié)合律(1)交換律：z1＋z2＝__________；(2)結(jié)合律：(z1＋z2)＋z3＝__________________.z2＋z1z1＋(z2＋z3)歸

納

拓

展1．兩個虛數(shù)不能比較大小，但虛數(shù)的?？梢员容^大?。p

基

自

測題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)方程x2－x＋1＝0沒有解．()(2)原點是實軸與虛軸的交點．()(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，當(dāng)a＝0時，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)．()(4)復(fù)數(shù)z＝3－2i中，虛部為－2i.()(5)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小，如4＋3i>3＋3i,3＋4i>3＋3i等．()(6)若a∈C，則|a|2＝a2.()×√××××題組二走進教材2．(必修2P73T2改編)已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足iz－5為純虛數(shù)，則z的虛部為()A．5 B．5iC．－5i D．－5DCA．E B．F

C．G D．HD題組三走向高考A．－i B．iC．0 D．1A6．(2023·新課標Ⅱ，1,5分)在復(fù)平面內(nèi)，(1＋3i)·(3－i)對應(yīng)的點位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限

D．第四象限[解析]

(1＋3i)(3－i)＝6＋8i，對應(yīng)的點(6,8)位于第一象限，故選A.A7．(2022·北京卷)若復(fù)數(shù)z滿足i·z＝3－4i，則|z|＝()A．1 B．5C．7 D．25B考點突破·互動探究復(fù)數(shù)的基本概念——自主練透1.(2020·浙江)已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i為虛數(shù)單位)是實數(shù)，則a＝()A．1

B．－1

C．2

D．－2[解析]

因為a－1＋(a－2)i為實數(shù)，a∈R，所以a－2＝0.解得a＝2，故選C.C2．(2020·江蘇)已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z＝(1＋i)(2－i)的實部是______.[解析]

z＝(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i＋1＝3＋i，∴z的實部為3.3A．第一象限 B．第二象限C．第三象限

D．第四象限A4．(2023·全國乙文，1,5分)|2＋i2＋2i3|＝()A．1 B．2C5．(2023·全國甲理，2,5分)設(shè)a∈R，(a＋i)(1－ai)＝2，則a＝()A．－2 B．－1C．1 D．2C復(fù)數(shù)的運算——多維探究角度1復(fù)數(shù)的乘法運算1.(2020·課標Ⅱ)(1－i)4＝()A．－4

B．4

C．－4i

D．4i[解析]

(1－i)4＝[(1－i)2]2＝(－2i)2＝4i2＝－4，故選A.ADA．－2 B．－1C．1 D．2D角度2復(fù)數(shù)的除法運算A．－1

B．1

C．1－i

D．1＋iC－2角度3復(fù)數(shù)的綜合運算1.(2021·全國甲)已知(1－i)2z＝3＋2i，則z＝()B解法二：設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)．由(1－i)2z＝3＋2i得(1－i)2(a＋bi)＝3＋2i，∴－2i(a＋bi)＝2b－2ai＝3＋2i，A．4 B．5C．6 D．8B3．已知z是復(fù)數(shù)，z＋2i，z(1＋i)均為實數(shù)(i為虛數(shù)單位)，且復(fù)數(shù)z2＋t在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第一，三象限角平分線上，則實數(shù)t的值是_______.[解析]

設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)∴z＋2i＝x＋(y＋2)i，由題意知y＝－2，z(1＋i)＝(x－2i)(1＋i)＝(x＋2)＋(x－2)i，由題意得x＝2，所以z＝2－2i，所以z2＋t＝(2－2i)2＋t＝t－8i，因為復(fù)數(shù)z2＋t在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第一，三象限角平分線上，所以t＝－8.－8名師點撥：復(fù)數(shù)運算的技巧1．復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運算可以類比多項式運算，除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，注意要把i的冪寫成最簡形式．2．記住以下結(jié)論，可提高運算速度．簡單的復(fù)數(shù)方程的解法1．利用復(fù)數(shù)的四則運算求解即可．2．待定系數(shù)法：設(shè)z＝a＋bi(a、b∈R)代入方程，利用復(fù)數(shù)相等的條件、列出關(guān)于a、b的方程組(復(fù)數(shù)問題實數(shù)化)求解．【變式訓(xùn)練】1．(角度1)(2022·全國新高考Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)＝()A．－2＋4i B．－2－4iC．6＋2i D．6－2i[解析]

(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i＋4＝6－2i，故選D.DA．1－2i B．1＋2iC．2－i D．2＋iBA．i B．1＋iC．3－i D．3＋iD復(fù)數(shù)的幾何意義——師生共研1.0,3＋2i，－2＋4i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為平行四邊形OABC的頂點O，A，C.試求：(3)B點對應(yīng)的復(fù)數(shù)．即B點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1＋6i.名師點撥：復(fù)數(shù)幾何意義及應(yīng)用2．|z|表示復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點到原點的距離；|z1－z2|表示復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z1、z2對應(yīng)的兩點間的距離．3．由于復(fù)數(shù)、點、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀．【變式訓(xùn)練】1．(2019·全國卷Ⅰ)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z－i|＝1，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x，y)則()A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1[解析]

解法一：∵z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x，y)，∴z＝x＋yi(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故選C.解法二：∵|z－i|＝1表示復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(x，y)到點(0,1)的距離為1，∴x2＋(y－1)2＝1.故選C.CA.3－4i B．－4－3iC．－4＋3i D．－3－4iB名師講壇·素養(yǎng)提升與復(fù)數(shù)模有關(guān)問題的解法1.若復(fù)數(shù)z滿足|z|＝1，則|z－3＋4i|的最大值為______.[解析]