2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第6章數(shù)列高考大題規(guī)范解答-高考中數(shù)列問題的熱點(diǎn)題型課件

高考大題規(guī)范解答——高考中數(shù)列問題的熱點(diǎn)題型命題動(dòng)向：等差、等比數(shù)列是重要的數(shù)列類型，高考考查的主要知識(shí)點(diǎn)有：等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、前n項(xiàng)和公式.由于數(shù)列的滲透力很強(qiáng)，它和函數(shù)、方程、向量、三角形、不等式等知識(shí)相互聯(lián)系，優(yōu)化組合，無形中加大了綜合的力度.解決此類題目，必須對(duì)蘊(yùn)藏在數(shù)列概念和方法中的數(shù)學(xué)思想有較深的理解.等差、等比數(shù)列的綜合運(yùn)算(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通項(xiàng)公式；(2)若{bn}為等差數(shù)列，且S99－T99＝99，求d.[解析]

(1)第1步：利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到首項(xiàng)與公差的關(guān)系式因?yàn)?a2＝3a1＋a3，所以3(a2－a1)＝a1＋2d，所以3d＝a1＋2d，所以a1＝d，第2步：得an與d的關(guān)系式所以an＝nd.(1分)第3步：利用bn與an的關(guān)系式得到bn與d的關(guān)系式第4步：利用數(shù)列前n項(xiàng)和公式得到d的值因?yàn)镾3＋T3＝21，因?yàn)閐>1，所以d＝3.第5步：得{an}的通項(xiàng)公式所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n.(5分)解得a1＝d或a1＝2d.(7分)第2步：對(duì)a1＝d或a1＝2d分類討論，求bn，利用S99－T99＝99，得到關(guān)于d的方程，解方程得到d的值因?yàn)镾99－T99＝99，即50d2－d－51＝0，因?yàn)镾99－T99＝99，即51d2－d－50＝0，第3步：總結(jié)名師點(diǎn)撥：解決由等差數(shù)列、等比數(shù)列組成的綜合問題，首先要根據(jù)兩數(shù)列的概念，設(shè)出相應(yīng)的基本量，然后充分使用通項(xiàng)公式、求和公式、數(shù)列的性質(zhì)等確定基本量.解綜合題的關(guān)鍵在于審清題目，弄懂來龍去脈，揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件.【變式訓(xùn)練】(2023·廣東省七校聯(lián)考)已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S4＝26，a1，a3，a11成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；又S4＝26，又d≠0，所以a1＝2，d＝3.所以an＝2＋3(n－1)＝3n－1.數(shù)列與不等式的綜合問題(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)n>5時(shí)，Tn>Sn.[解題思路]

(1)要求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，就需求出首項(xiàng)與公差.觀察已知條件知，可利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式建立方程組求出.(2)由于數(shù)列{bn}的通項(xiàng)分n為奇數(shù)與n為偶數(shù)給出，為此在求Tn時(shí)，也需分n為奇數(shù)與n為偶數(shù)求解.而數(shù)列{bn}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成等差數(shù)列，故求和時(shí)選用分組法，然后利用作差法證明不等式.[解析]

(1)第1步：求出{bn}的前3項(xiàng)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.所以b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6.(提示：由于數(shù)列{bn}是一個(gè)奇偶項(xiàng)數(shù)列，因此求項(xiàng)時(shí)需“對(duì)號(hào)入座”)(2分)第2步：結(jié)合已知條件建立方程組求出a1與公差d因?yàn)镾4＝32，T3＝16，(方法技巧：求等差數(shù)列的基本量時(shí)，常根據(jù)已知條件建立方程組求解)第3步：求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋3.(提示：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d)(5分)(2)證明：第1步：結(jié)合(1)求Sn由(1)知an＝2n＋3，第2步：證明n為奇數(shù)時(shí)所證不等式成立當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，所以Tn>Sn.(9分)第3步：證明n為偶數(shù)時(shí)所證不等式成立，得結(jié)果所以Tn>Sn.(11分)綜上可知，當(dāng)n>5時(shí)，Tn>Sn.(12分)名師點(diǎn)撥：求解數(shù)列與不等式綜合問題的步驟1.根據(jù)題目條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；2.根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的特征，選擇合適的方法(公式法、分組轉(zhuǎn)化法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法等)求和；3.利用2中所求得的數(shù)列的和，證明不等式或求參數(shù)的范圍；4.反思解題過程，檢驗(yàn)易錯(cuò)點(diǎn)，規(guī)范解題步驟