汽車振動(dòng)學(xué)：基于MATLABSimulink的分析與實(shí)現(xiàn) 習(xí)題及答案

第一章一、簡(jiǎn)答題1.按照系統(tǒng)輸入、響應(yīng)和系統(tǒng)特性等的不同，振動(dòng)系統(tǒng)可怎樣進(jìn)行分類？按照系統(tǒng)輸入的激勵(lì)類型可分為：自由振動(dòng)、強(qiáng)迫振動(dòng)和自激振動(dòng)；按照系統(tǒng)響應(yīng)可以分為：簡(jiǎn)諧振動(dòng)、周期振動(dòng)、瞬態(tài)振動(dòng)和隨機(jī)振動(dòng)；按照系統(tǒng)特性可以分為：線性振動(dòng)、非線性振動(dòng)。2.振動(dòng)系統(tǒng)包括哪些基本要素？振動(dòng)系統(tǒng)主要包括三個(gè)基本要素，分別為質(zhì)量、剛度和阻尼。3.怎樣進(jìn)行振動(dòng)的研究分析？首先，把工程實(shí)際問題簡(jiǎn)化為振動(dòng)分析的力學(xué)模型。其次。根據(jù)力學(xué)模型，運(yùn)用力學(xué)原理導(dǎo)出數(shù)學(xué)模型（即系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程)。然后，求解系統(tǒng)微分方程，得到系統(tǒng)響應(yīng)。此外，對(duì)求解的結(jié)果進(jìn)行討論分析，從中獲得解決工程實(shí)際問題的有用信息。最后，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證上述理論分析結(jié)果。4.根據(jù)系統(tǒng)自由度的概念，系統(tǒng)的自由度和系統(tǒng)的質(zhì)塊數(shù)量總是相同的，對(duì)嗎？不對(duì)，系統(tǒng)的自由度和系統(tǒng)中的質(zhì)塊數(shù)量之間的關(guān)系并不總是相同的，在某些情況下，系統(tǒng)的自由度可能與系統(tǒng)中的質(zhì)塊數(shù)量相同，但在其他情況下可能會(huì)有所不同。系統(tǒng)的自由度是指系統(tǒng)中獨(dú)立運(yùn)動(dòng)的數(shù)量。對(duì)于簡(jiǎn)單的線性系統(tǒng)，例如單自由度彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的自由度通常等于質(zhì)塊（或質(zhì)點(diǎn)）的數(shù)量。但是，在復(fù)雜的多體系統(tǒng)或非線性系統(tǒng)中，情況就會(huì)更加復(fù)雜。舉例來說，考慮一個(gè)包含兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)和一個(gè)剛性桿的系統(tǒng)，桿可以在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)。盡管系統(tǒng)中只有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，但由于桿的旋轉(zhuǎn)可以提供額外的自由度，因此系統(tǒng)的自由度可能會(huì)超過兩個(gè)。因此，系統(tǒng)的自由度與系統(tǒng)中的質(zhì)塊數(shù)量之間的關(guān)系取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和約束條件。5.當(dāng)振動(dòng)系統(tǒng)未受到外力的持續(xù)激勵(lì)時(shí)，會(huì)不會(huì)發(fā)生振動(dòng)？當(dāng)振動(dòng)系統(tǒng)未受到外力的持續(xù)激勵(lì)時(shí)，通常不會(huì)發(fā)生持續(xù)的振動(dòng)。在這種情況下，振動(dòng)系統(tǒng)可能會(huì)經(jīng)歷初始的自由振動(dòng)，但隨著時(shí)間的推移，能量會(huì)逐漸耗盡，振動(dòng)會(huì)逐漸減弱并最終停止。在自由振動(dòng)的初始階段，系統(tǒng)中的初始條件（例如初始位移和速度）會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)內(nèi)部的能量轉(zhuǎn)換和交換，從而引起振動(dòng)。但由于沒有外部激勵(lì)力來持續(xù)地提供能量，振動(dòng)的幅度會(huì)逐漸減小，直到系統(tǒng)最終返回到靜止?fàn)顟B(tài)或穩(wěn)態(tài)。需要注意的是，在沒有外部激勵(lì)力的情況下，振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng)通常會(huì)在某個(gè)時(shí)間點(diǎn)達(dá)到最大振幅，然后逐漸衰減。這個(gè)過程的速度取決于系統(tǒng)的阻尼特性，無阻尼系統(tǒng)會(huì)永遠(yuǎn)持續(xù)振動(dòng)，而有阻尼系統(tǒng)會(huì)漸漸停止振動(dòng)。6.由于阻尼的作用，系統(tǒng)的自由響應(yīng)是否只是在很短的時(shí)間內(nèi)起作用，而強(qiáng)迫激勵(lì)的響應(yīng)與自由響應(yīng)有無關(guān)系？阻尼的作用會(huì)影響系統(tǒng)的自由響應(yīng)和強(qiáng)迫激勵(lì)的響應(yīng)，但并不是僅在很短的時(shí)間內(nèi)起作用。阻尼會(huì)影響振動(dòng)系統(tǒng)的振幅和振動(dòng)頻率，因此在整個(gè)振動(dòng)過程中都會(huì)發(fā)揮作用。系統(tǒng)的自由響應(yīng)是指在沒有外部激勵(lì)的情況下，系統(tǒng)由于初始條件而產(chǎn)生的振動(dòng)響應(yīng)。阻尼會(huì)影響自由響應(yīng)的振幅和振動(dòng)周期，導(dǎo)致振幅逐漸減小并最終趨于穩(wěn)定狀態(tài)。而強(qiáng)迫激勵(lì)的響應(yīng)是指系統(tǒng)受到外部激勵(lì)力作用時(shí)的振動(dòng)響應(yīng)。阻尼同樣會(huì)影響強(qiáng)迫激勵(lì)的響應(yīng)，通過耗散振動(dòng)系統(tǒng)中的能量，減小振動(dòng)幅度并影響系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。因此，阻尼的作用不僅限于很短的時(shí)間段內(nèi)，而是在整個(gè)振動(dòng)過程中都起作用。阻尼會(huì)影響振動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性、振幅和頻率，從而對(duì)自由響應(yīng)和強(qiáng)迫激勵(lì)的響應(yīng)產(chǎn)生影響。7.隔振系統(tǒng)的阻尼越大，隔振效果越好？在一定范圍內(nèi)，隔振系統(tǒng)的阻尼越大，隔振效果通常越好。阻尼可以幫助耗散振動(dòng)系統(tǒng)中的能量，從而減小振動(dòng)的幅度和傳遞到支撐結(jié)構(gòu)的能量。因此，適當(dāng)?shù)淖枘峥梢杂行У靥岣吒粽裣到y(tǒng)的性能。然而，阻尼過大也可能導(dǎo)致不良影響。如果阻尼過大，系統(tǒng)可能會(huì)失去其隔振能力，甚至?xí)绊懴到y(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，需要權(quán)衡阻尼的大小，以確保系統(tǒng)在提供有效隔振效果的同時(shí)不會(huì)引入其他問題?？偟膩碚f，適當(dāng)增加阻尼可以改善隔振系統(tǒng)的性能，但需要根據(jù)具體情況進(jìn)行調(diào)整，以獲得最佳的隔振效果。第二章一、選擇題1.(B)是一種運(yùn)動(dòng)形態(tài)，是指物體在平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。A.噪聲B.振動(dòng)C.頻率D.沖擊2.在振動(dòng)過程中，振系的任一瞬間形態(tài)由一個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)即可確定的系統(tǒng)，稱為(A)。A.單自由度振動(dòng)系統(tǒng)B.多自由度振動(dòng)系統(tǒng)C.隨機(jī)振動(dòng)D.自由振動(dòng)3.振動(dòng)系統(tǒng)的要素包括(ABCD)。A.質(zhì)量B.彈性C.阻尼D.激勵(lì)4.單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動(dòng)的微分方程是一個(gè)(A)微分方程。A.二階常系數(shù)齊次線性B.三階常系數(shù)齊次線性C.三階常系數(shù)齊次非線性D.二階常系數(shù)齊次非線性5.黏性阻尼系數(shù)的單位是(B)。A.N/mB.N·s/mC.N·sD.無單位6.一單自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)，其剛度為640N/mm，質(zhì)量為16kg，粘性阻尼系數(shù)為800N·s/m，則系統(tǒng)的固有圓頻率為(A)。A.198.43rad/sB.6.32rad/sC.200rad/sD.0.2rad/s7.欠阻尼是一種振幅(C)的振動(dòng)。A.交替上升B.逐漸增強(qiáng)C.逐漸衰減D.不變8.汽車減振器是利用(C)的原理制成的。A.大阻尼B.臨界阻尼C.欠阻尼D.過阻尼二、判斷題1.過阻尼是一種按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動(dòng)，沒有振動(dòng)發(fā)生。（√）2.臨界阻尼仍然是按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動(dòng)，但比過阻尼衰減慢。（×）3.系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是等同于激振頻率而相位滯后于激振力的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。（√）4.當(dāng)強(qiáng)迫振動(dòng)外部激勵(lì)頻率與系統(tǒng)的固有頻率之比小于1時(shí)，系統(tǒng)的振幅主要由彈簧的剛度控制。（√）5.當(dāng)強(qiáng)迫振動(dòng)外部激勵(lì)頻率與系統(tǒng)的固有頻率之比為無窮大時(shí)，系統(tǒng)的振幅主要取決于系統(tǒng)的慣性。（√）三、簡(jiǎn)答題1.振動(dòng)問題的研究方法包括哪些？答：理論分析法、試驗(yàn)分析法、理論與試驗(yàn)結(jié)合法。2.何為單自由度振動(dòng)系統(tǒng)？答：?jiǎn)巫杂烧駝?dòng)系統(tǒng)是指在振動(dòng)過程中，振動(dòng)系統(tǒng)的任意瞬間形態(tài)由一個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)即可確定的系統(tǒng)。3.簡(jiǎn)述欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼的特點(diǎn)。答：（1）欠阻尼（ξ<1）是一種振幅逐漸衰減的振動(dòng)。（2）過阻尼（ξ>1）是一種按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動(dòng)，沒有振動(dòng)。（3）臨界阻（ξ=1）尼也是只衰減不振動(dòng)，衰減稍快。4.何為剛度？答：使系統(tǒng)的某點(diǎn)沿指定方向產(chǎn)生單位位移（線位移或角位移）時(shí)，在該點(diǎn)沿同一方向施加的力（力矩），稱為系統(tǒng)在該點(diǎn)沿指定方向的剛度。5.何為等效剛度？答：在分析系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問題時(shí)，需要將若干個(gè)彈簧折算成一個(gè)等效彈簧來處理，這種等效彈簧的剛度與原系統(tǒng)組合彈簧的剛度相等，稱為等效剛度，也稱為組合剛度。6.何為黏性阻尼？答：所謂黏性阻尼是指在流體中低速運(yùn)動(dòng)或沿潤滑表面滑動(dòng)的物體所受到的阻尼。7.簡(jiǎn)述汽車減振器的阻尼值如何選擇？答：減振器是汽車懸架內(nèi)部的減振元件，其作用主要為加速車架與車身振動(dòng)的衰減，改善汽車的行駛平順性和乘坐舒適行。汽車減振器阻尼值必須合適，太小則不能衰減共振振幅，太大則會(huì)導(dǎo)致懸架被“鎖死”，路面振動(dòng)可能直接傳遞給車身，大大影響乘坐舒適性。8.何為強(qiáng)迫振動(dòng)？其激勵(lì)來源主要包括哪些？答：存在持續(xù)激勵(lì)時(shí)振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)稱為強(qiáng)迫振動(dòng)。主要來源：直接的力激勵(lì)（如汽車發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)對(duì)車身的振動(dòng)激勵(lì)）；支座位移激勵(lì)（如路面不平度對(duì)汽車懸架的振動(dòng)激勵(lì)）。四、解答題1.已知m=2.5kg，，時(shí)，求圖1-1所示系統(tǒng)的等效剛度系數(shù)及固有頻率。圖1-1解：由于和并聯(lián)，然后再與串聯(lián)，所以和并聯(lián)后的等效剛度系數(shù)為再與串聯(lián)后整個(gè)系統(tǒng)的等效剛度系數(shù)為所以此系統(tǒng)的固有頻率為2.求圖1-2所示系統(tǒng)的固有頻率，懸臂梁端點(diǎn)的剛度系數(shù)分別是和，懸臂梁的質(zhì)量忽略不計(jì)。圖1-2解：懸臂梁可看成剛度系數(shù)分別為和的彈簧，因此，與串聯(lián)，設(shè)總剛度系數(shù)為。與并聯(lián)，設(shè)總剛度系數(shù)為。與串聯(lián)，設(shè)總剛度系數(shù)為。即為則由公式可得系統(tǒng)的固有頻率為3.如圖1-3所示，質(zhì)量為2000kg的重物以3cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，與彈簧及阻尼器相撞后一起做自由振動(dòng)。已知k=48020N/m，c=1960N·s/m，問重物在碰撞后多少時(shí)間達(dá)到最大振幅？最大振幅是多少？圖1-3解：以系統(tǒng)平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向左為正方向，碰撞后的運(yùn)動(dòng)微分方程為所以令，，故上式可改寫為解得代入初始條件，得得物體達(dá)到最大振幅時(shí)，有即得t=0.30s時(shí)，物體最大振幅為4.如圖1-4所示的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)中，兩個(gè)彈簧的連接處有一激振力，求質(zhì)量塊的振幅。圖1-4解：設(shè)彈簧1,2的伸長分別為和，則有通過受力分析，得到聯(lián)立并整理得所以，，得5.如圖1-5所示系統(tǒng)中，彈簧剛度k=5N/m，阻尼系數(shù)c=1N?s/m，質(zhì)量塊的重力mg=1.96N。若系統(tǒng)的初始條件為x0=0.05m，v0=0.05m/s，試確定系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。圖1-5解：系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為其中故，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為第三章一、判斷題1、在多自由系統(tǒng)中，各個(gè)自由度彼此相互聯(lián)系，某一自由度的運(yùn)動(dòng)往往導(dǎo)致其他自由度隨動(dòng)。（√）2、在多自由度振動(dòng)系統(tǒng)中，通常把振動(dòng)微分方程寫成矩陣形式。（√）3、二自由度振動(dòng)系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣都是二階方陣，但方陣的階數(shù)與自由度個(gè)數(shù)不一定相等。（×）更正：方陣的階數(shù)與自由度個(gè)數(shù)相等。4、在各個(gè)離散質(zhì)量上建立的坐標(biāo)系為描述系統(tǒng)的物理坐標(biāo)系，在物理坐標(biāo)系下的系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣為系統(tǒng)的物理參數(shù)。（√）5、振動(dòng)系統(tǒng)的性質(zhì)不能由質(zhì)量矩陣、剛度矩陣及阻尼矩陣來完全確定。（×）更正：完全可以由m、k、c決定。6、二自由度振動(dòng)系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣均是對(duì)稱矩陣,但阻尼矩陣可能為非對(duì)稱矩陣。（×）更正：阻尼也是對(duì)稱矩陣。7、二自由度振動(dòng)系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣均是正定矩陣。（×）更正：均是正定或半正定矩陣。8、如果振動(dòng)系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣是非對(duì)角矩陣,則該振動(dòng)系統(tǒng)存在剛性耦合。（×）更正：慣性耦合9、如果運(yùn)動(dòng)微分方程的阻尼矩陣是非對(duì)角矩陣，則該振動(dòng)系統(tǒng)存在慣性耦合。（×）更正：阻尼耦合10、如果運(yùn)動(dòng)微分方程的剛度矩陣為非對(duì)角矩陣，則方程存在彈性耦合。（√）11、通常意義上方程是否存在耦合和存在什么種類的耦合取決于系統(tǒng)本身，而不是取決于所選取的描述系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。（×）更正：取決于描述系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，而不是取決于系統(tǒng)本身。12、系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的具體形式與所選取的描述系統(tǒng)振動(dòng)的廣義坐標(biāo)有關(guān)，合適的廣義坐標(biāo)能夠使二自由度振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程解耦。（√）13、要使多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的方程解耦，就需要尋找合適的描述系統(tǒng)振動(dòng)的廣義坐標(biāo)系，使得系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣在這個(gè)廣義坐標(biāo)系下為對(duì)角矩陣。（√）14、二自由度系統(tǒng)存在兩種頻率的固有振動(dòng)，因此有兩個(gè)固有頻率，兩個(gè)振型。（√）二、填空題1、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三要素是（振幅）、（頻率）、（初相位）。2、機(jī)械振動(dòng)是一種特殊形式的運(yùn)動(dòng)，在這種運(yùn)動(dòng)過程中，機(jī)械系統(tǒng)將圍繞（靜平衡）作（往復(fù)）運(yùn)動(dòng)。3、（臨界）阻尼的性質(zhì)有許多實(shí)際應(yīng)用，比如在大型火炮中。4、簡(jiǎn)諧激勵(lì)下振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)由（瞬態(tài)響應(yīng)）和（穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）組成。5、系統(tǒng)的自由度是表明能夠描述系統(tǒng)各部分在任一瞬時(shí)位置的獨(dú)立（廣義坐標(biāo)）的最小數(shù)目。6、機(jī)械式鐘表是（單）擺的例子。7、做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)叫做（彈簧）振子。8、無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)反映了（動(dòng)）能和（勢(shì)）能不斷轉(zhuǎn)換。9、共振表明系統(tǒng)（固有）頻率與外部激勵(lì)頻率是一致的。10、如果系統(tǒng)的振動(dòng)取決于外部激勵(lì)，則稱為（強(qiáng)迫）振動(dòng)。11、如果系統(tǒng)的振動(dòng)僅取決于初始擾動(dòng)，則稱為（自由）振動(dòng)。12、兩簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)達(dá)到某一相似位置時(shí)對(duì)應(yīng)的角度差稱為（相位差）。13、沒有（能量）損失的振動(dòng)稱為非衰減振動(dòng)。14、當(dāng)系統(tǒng)的兩個(gè)固有頻率接近時(shí)，系統(tǒng)自由振動(dòng)的振幅會(huì)出現(xiàn)周期性的（拍振）現(xiàn)象。三、簡(jiǎn)答題1、簡(jiǎn)述振動(dòng)系統(tǒng)的實(shí)際阻尼、臨界阻尼、阻尼比的聯(lián)系與區(qū)別。答:實(shí)際阻尼是指振動(dòng)系統(tǒng)的真實(shí)阻尼值，用于度量系統(tǒng)自身消耗振動(dòng)能量的能力;臨界阻尼是概念阻尼，是指一個(gè)特定的阻尼值，大于或等于該阻尼值，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)不是振動(dòng)，而是一個(gè)指數(shù)衰運(yùn)動(dòng);阻尼比等于實(shí)際阻尼與臨界阻尼之比。2、機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率與哪些因素有關(guān)?關(guān)系如何?答:機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率和系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼有關(guān)。質(zhì)量越大，固有頻率越低;剛度越大，固有頻率越高;阻尼越大，固有頻率越低。3、二自由度無阻尼系統(tǒng)的固有振動(dòng)有何特點(diǎn)？答：二自由度無阻尼系統(tǒng)在某些特定的初始條件下的自由振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，此振動(dòng)的特點(diǎn)是:系統(tǒng)的兩個(gè)自由度以相同的頻率振動(dòng)，同時(shí)達(dá)到極值，同時(shí)為0，它們之間的相位差為0或π，它們的坐標(biāo)之比是與系統(tǒng)的物理參數(shù)有關(guān)而與時(shí)間無關(guān)的常數(shù)。這類振動(dòng)稱為系統(tǒng)的固有振動(dòng)。4、多自由度系統(tǒng)振動(dòng)的振型指的是什么?答：機(jī)械系統(tǒng)某一給定振動(dòng)模態(tài)的振型，指在某一固有頻率下，由中性面或中性軸上的點(diǎn)偏離其平衡位置的最大位移值所描述的圖形。5、兩個(gè)自由度系統(tǒng)的固有頻率、振型（振幅比）和共振的物理意義？答：固有振動(dòng)時(shí)的頻率稱為系統(tǒng)的固有頻率，坐標(biāo)之比稱為固有振型，簡(jiǎn)稱振型，與固有頻率一一對(duì)應(yīng)。由于二自由度系統(tǒng)存在兩種頻率的固有振動(dòng)，因此有兩個(gè)固有頻率，兩個(gè)固有振型。二自由度系統(tǒng)在任意初始條件下的無阻尼自由振動(dòng)是這兩個(gè)固有振動(dòng)的線性組合。共振：當(dāng)系統(tǒng)的外加激勵(lì)與系統(tǒng)的固有頻率接近時(shí)候，系統(tǒng)發(fā)生共振:共振過程中，外加激勵(lì)的能量被系統(tǒng)吸收，系統(tǒng)的振幅逐漸加大。6、簡(jiǎn)述確定性振動(dòng)和隨機(jī)振動(dòng)的區(qū)別？答：確定性振動(dòng)的物理描述量可以預(yù)測(cè);隨機(jī)振動(dòng)的物理描述量不能預(yù)測(cè)。比如:單擺振動(dòng)是確定性振動(dòng)，汽車在路面行駛時(shí)的上下振動(dòng)是隨機(jī)振動(dòng)。7、簡(jiǎn)述線性系統(tǒng)在振動(dòng)過程中動(dòng)能和勢(shì)能之間的關(guān)系。答：線性系統(tǒng)在振動(dòng)過程中動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)換，如果沒有阻尼，系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能之和為常數(shù)。8、簡(jiǎn)述線性多自由度系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)分析方法。答：多自由度系統(tǒng)在外部激勵(lì)作用下的響應(yīng)分析稱為動(dòng)力響應(yīng)分析;常用的動(dòng)力響應(yīng)分析方法有振型疊加法和變換方法(傅里葉變換或拉普拉斯變換);當(dāng)系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣可以同時(shí)對(duì)角化的時(shí)候，可以把系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程解藕，得到一組彼此獨(dú)立的單自由度運(yùn)動(dòng)微分方程，求出這些單自由度運(yùn)動(dòng)微分方程的解后，采用振型疊加，即可得到系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng);傅里葉變換或拉普拉斯變換就是對(duì)各向量做傅里葉變換和拉普拉斯變換，得到的系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣或傳遞函數(shù)矩陣，然后進(jìn)行傅里葉逆變換或拉普拉斯逆變換得到系統(tǒng)的響應(yīng)。四、解答題1.如圖1所示的系統(tǒng)，若運(yùn)動(dòng)的初始條件：，，，試求解系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)。圖1解：系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為mm質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為M=帶入頻率方程|k-p2p兩個(gè)主振型為A設(shè)系統(tǒng)響應(yīng)的通解為x將初始條件代入上式xxxx解得A所以xx2.試求如圖2所示系統(tǒng)的固有頻率和主振型。已知m1圖2解：分別研究m1、從而有mm整理得2mm質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為M=由頻率方程|k-p2k因此可得到頻率方程p固有圓頻率為f特征矩陣B=K-adj將p1A主振型矩陣為A=3.圖3所示電車由兩節(jié)質(zhì)量均為2.28×10圖3解：圖示系統(tǒng)的振動(dòng)方程為m設(shè)方程的解為x=A代數(shù)齊次方程組為K頻率方程為K解得固有頻率為f振型為A4.試求圖4-4a所示兩自由度系統(tǒng)的固有頻率和主振型。已知各彈簧的剛度系數(shù)k1=k2圖4解：（1）建立運(yùn)動(dòng)微分方程分別以兩物體的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，取兩物體離開其平衡位置的距離x1、x運(yùn)動(dòng)微分方程分別為m2m或m質(zhì)量矩陣和剛度矩陣分別為M=（2）解頻率方程，求p將M和K帶入頻率方程式得2k-2展開為2k解出，p1因此，系統(tǒng)的第一階和第二階固有頻率分別為f（3）求主振型將p12、pvv主振型還可表示為A1第一階主振型中兩個(gè)物體得振動(dòng)方向是相同的，振型圖如下所示第二階主振型中二者的振動(dòng)方向是反相的，并且彈簧上的A點(diǎn)是不動(dòng)的，這樣的點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)，振型圖如下所示5.在圖4所示系統(tǒng)中，已知m1=m2=m，k1=解：系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為M=將M、K代入頻率方程得p對(duì)應(yīng)得兩個(gè)主振型和振幅比為Av將初始條件（1）代入式（3-15），解得xxxx因此，可解得A1xx這表明，其響應(yīng)為與圓頻率p1、p再將初始條件（2）代入式（3-15），解得A所以xx這表明，由于初始位移之比等于該系統(tǒng)的第二階主振型對(duì)應(yīng)的振幅比，因此，系統(tǒng)按第二階主振型以固有圓頻率p2第四章一、解答題1.如圖1所示的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)，若m1=m2=m3，k1=k2=k3=k4，求其各階固有頻率和固有振型。圖1解：分別建立、、的動(dòng)力學(xué)方程 整理得 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為 設(shè)微分方程的特解為 代入方程得 、頻率方程為 展開得 固有頻率為 將固有圓頻率分別代入有關(guān)方程得相應(yīng)振型為 2.求如圖2所示的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)的固有圓頻率及固有振型。設(shè)k1=6k，k2=k，M=4m。圖2建立坐標(biāo)（見圖4-3），系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程為 式中 設(shè)，有振型方程