2024九年級數(shù)學上冊專題3 旋轉(zhuǎn)章末重難點題型（舉一反三）（人教版）含解析

2024九年級數(shù)學上冊專題03旋轉(zhuǎn)章末重難點題型【舉一反三】【人教版】【考點1旋轉(zhuǎn)對稱圖形】【方法點撥】解決此類問題掌握圖形旋轉(zhuǎn)的有關(guān)概念是關(guān)鍵.【例1】（2019?黃石模擬）下列四個圓形圖案中，分別以它們所在圓的圓心為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)，要使這個最小時，旋轉(zhuǎn)后的圖形也能與原圖形完全重合，則這個圖形是A． B． C． D．【變式1-1】（2019春?唐河縣期末）下列各圖形分別繞某個點旋轉(zhuǎn)后不能與自身重合的是A．B． C． D．【變式1-2】（2018秋?寶坻區(qū)期中）下列圖形繞某點旋轉(zhuǎn)后，不能與原來圖形重合的是A．B． C． D．【變式1-3】（2018秋?南開區(qū)期末）分別以正方形的各邊為直徑向其內(nèi)部作半圓得到的圖形如圖所示，將該圖形繞其中心旋轉(zhuǎn)一個合適的角度后會與原圖形重合，則這個旋轉(zhuǎn)角的最小度數(shù)是A． B． C． D．【考點2中心對稱圖形】【方法點撥】中心對稱圖形是把這個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形.【例2】（2019春?鹽城期末）下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是A． B． C． D．【變式2-1】（2019春?濱湖區(qū)期末）下列圖案中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是 B． C． D．【變式2-2】（2019春?新吳區(qū)期末）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是A．正方形 B．等邊三角形 C．平行四邊形 D．正五邊形【變式2-3】（2019春?寧德期末）下面的圖形中，既是中心對稱又是軸對稱的圖形是A．B． C． D．【考點3中心對稱的性質(zhì)】【方法點撥】由中心對稱性質(zhì)不難得出如下性質(zhì):(1)關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行(或在同一條直線上)且相等;(2)如果連接兩個圖形的所有對應點的線段都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形一定關(guān)于這一點成中心對稱.【例3】（2019春?海港區(qū)期末）如圖是一個平行四邊形，要在上面畫兩條相交的直線，把這個平行四邊形分成的四部分面積相等，不同的畫法有A．1種 B．2種 C．4種 D．無數(shù)種【變式3-1】（2019春?宜城市期末）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點在軸上，定點的坐標為，若直線經(jīng)過點，且將平行四邊形分割成面積相等的兩部分，則直線的表達式是A． B． C． D．【變式3-2】（2019?呼和浩特）已知正方形的對稱中心在坐標原點，頂點、、、按逆時針依次排列，若點的坐標為，則點與點的坐標分別為A．， B．，，， C．，， D．，【變式3-3】（2018?定興縣三模）用一條直線將如圖1的直角鐵皮分成面積相等的兩部分．圖2、圖3分別是甲、乙兩同學給出的作法，對于兩人的作法判斷正確的是A．甲正確，乙不正確 B．甲不正確，乙正確 C．甲、乙都正確 D．甲、乙都不正確【考點4利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求角度】【方法點撥】掌握圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是關(guān)鍵：(1)對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;(2)對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角;(3)旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等.【例4】（2019春?宛城區(qū)期末）如圖，把繞頂點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△，當．，時，的度數(shù)為A． B． C． D．【變式4-1】（2019?青白江區(qū)模擬）如圖，中，，在同一平面內(nèi)，將繞點旋轉(zhuǎn)到的位置，使得，則等于A． B． C． D．【變式4-2】（2018秋?大連期末）如圖，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，若點、、在同一直線上，，則的度數(shù)是A． B． C． D．【變式4-3】（2018秋?沙河口區(qū)期末）如圖，中，，線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，過點作射線于點，則的度數(shù)是A． B． C． D．【考點5利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求線段長度】【例5】（2019春?福田區(qū)期末）如圖，將繞點按順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到，點的對應點恰好落在邊上．若，，則的長為A．1 B． C．2 D．【變式5-1】（2019?潮州模擬）如圖，在中，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到△’，連接，則的長為A．6 B． C． D．【變式5-2】（2019春?灞橋區(qū)校級期末）已知等邊的邊長為4，點是邊上的動點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點是邊的中點，連接，則的最小值是A． B． C．2 D．不能確定【變式5-3】（2019?寧波模擬）如圖，在中，，，，將繞上的點順時針旋轉(zhuǎn)，得到△，連結(jié)，若，則的值為A． B．3 C． D．【考點6坐標系中的圖形旋轉(zhuǎn)規(guī)律】【例6】（2019?張家界）如圖，在平面直角坐標系中，將邊長為1的正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)后得到正方形，依此方式，繞點連續(xù)旋轉(zhuǎn)2019次得到正方形，那么點的坐標是A．， B． C．， D．【變式6-1】（2019春?鄧州市期中）如圖，邊長為2的正方形的中心與坐標原點重合，軸，將正方形繞原點順時針旋2019次，每次旋轉(zhuǎn)，則頂點的坐標是A．， B． C． D．【變式6-2】（2019春?鹽湖區(qū)期中）如圖在平面直角坐標系中，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到△的位置，點、分別落在點、處，點在軸上，再將△繞點順時針旋轉(zhuǎn)到△的位置，點在軸上，將△繞點順時針旋轉(zhuǎn)到△的位置，點在軸上，依次進行下去若點，，，則點的坐標為A． B． C． D．【變式6-3】（2019?洛陽三模）如圖，在平面直角坐標系中，將正方形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到正方形，依此方式，繞點連續(xù)旋轉(zhuǎn)2019次得到正方形，如果點的坐標為，那么點的坐標為A． B． C． D．【考點7圖案設(shè)計】【方法點撥】我們可以分別利用各種圖形變換方法設(shè)計圖案，也可以利用它們的組合進行圖案設(shè)計.(1)利用平移設(shè)計圖案:先設(shè)計出基本圖案，然后沿著一定的方向不斷平移進行設(shè)計;(2)利用軸對稱設(shè)計圖案:先設(shè)計出基本圖案，然后通過不斷翻折進行設(shè)計;(3)利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計圖案:先設(shè)計出基本圖案，然后利用旋轉(zhuǎn)知識，將基本圖案繞著某點依次旋轉(zhuǎn)進行設(shè)計;(4)利用圖形變換的組合設(shè)計圖案:綜合利用上面的圖形變換進行圖案設(shè)計.【例7】（2018春?農(nóng)安縣期末）圖①、圖②、圖③是的正方形網(wǎng)格，每個網(wǎng)格圖中有3個小正方形己涂上陰影，請在余下的6個空白小正方形中，按下列要求涂上陰影：（1）在圖①中選取1個空白小正方形涂上陰影，使4個陰影小正方形組成一個軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形．（2）在圖②中選取1個空白小正方形涂上陰影，使4個陰影小正方形組成一個中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形．（3）在圖③中選取2個空白小正方形涂上陰影，使5個陰影小正方形組成一個軸對稱圖形．（請將三個小題依次作答在圖①、圖②、圖③中，均只需畫出符合條件的一種情形）【變式7-1】（2018春?貴陽期末）如圖，網(wǎng)格中的圖形是由五個小正方形組成的，根據(jù)下列要求畫圖（涂上陰影）．（1）在圖①中，添加一塊小正方形，使之成為軸對稱圖形，且只有一條對稱軸；（畫一種情況即可）（2）在圖②中，添加一塊小正方形，使之成為中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形；（3）在圖③中，添加一塊小正方形，使之成為既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形．【變式7-2】（2019春?長春期末）如圖所示，在的正方形網(wǎng)格中，選取14個格點，以其中三個格點為頂點畫出，請你以選取的格點為頂點再畫出一個三角形，且分別滿足下列條件：（1）圖①中所畫的三角形與組成的圖形是軸對稱圖形；（2）圖②中所畫的三角形與組成的圖形是中心對稱圖形．【變式7-3】（2018秋?連云港期末）如圖1，是由2個白色和2個黑色全等正方形組成的“”型圖案，請你分別在圖2，圖3，圖4上按下列要求畫圖：（1）在圖案中，添1個白色或黑色正方形，使它成軸對稱圖案；（2）在圖案中，添1個白色或黑色正方形，使它成中心對稱圖案；（3）在圖案中，先改變1個正方形的位置，再添1個白色或黑色正方形，使它既成中心對稱圖案，又成軸對稱圖案．【考點8格點作圖】【方法點撥】旋轉(zhuǎn)作圖的一般步驟是:(1)明確旋轉(zhuǎn)的三要素:旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度;(2)確定關(guān)鍵點，分別作出這幾個關(guān)鍵點繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)后的位置;(3)按原來位置依次連接各點即得要求的旋轉(zhuǎn)后的圖形.【例8】（2019春?高郵市期中）如圖，已知平面直角坐標系中，的頂點坐標分別，，．（1）將以原點為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)得到△，畫出△；（2）平移，使點的對應點坐標為，畫出平移后的△；（3）若將△繞某一點旋轉(zhuǎn)可得到△，請直接寫出這個點的坐標．【變式8-1】（2019春?普寧市期末）如圖，平面直角坐標系內(nèi)，小正方形網(wǎng)格的邊長為1個單位長度，的三個頂點的坐標分別為，，．，解答下列問題：（1）將向上平移1個單位長度，再向右平移5個單位長度后得到的△，畫出△；（2）繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△，畫出△；（3）如果利用△旋轉(zhuǎn)可以得到△，請直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標【變式8-2】（2019春?昌圖縣期末）如圖所示，將置于平面直角坐標系中，，，（1）畫出向下平移5個單位得到的△．并寫出點的坐標；（2）畫出繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到的△，并寫出點的坐標；（3）畫出以點為對稱中心，與成中心對稱的△，并寫出點的坐標；【變式8-3】（2019春?南海區(qū)期末）如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，每個小正方形的頂點叫格點，的頂點均在格點上．（1）先將向上平移4個單位后得到的△，再將△繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)后所得到的△，在圖中畫出△和△．（2）△能由繞著點旋轉(zhuǎn)得到，請在網(wǎng)格上標出點．九上專題04圓章末重難點題型【舉一反三】【人教版】【考點1圓的相關(guān)概念】【方法點撥】解決此類問題的關(guān)鍵是圓中的半徑所構(gòu)成等腰三角形的靈活應用.【例1】（2019?邗江區(qū)校級一模）如圖，⊙O的直徑BA的延長線與弦DC的延長線交于點E，且CE＝OB，已知∠DOB＝72°，則∠E等于（）A．36° B．30° C．18° D．24°【變式1-1】（2019?陜西模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以C為圓心，CB為半徑的圓交AB于點D，連接CD，則∠ACD＝（）A．10° B．15° C．20° D．25°【變式1-2】（2019秋?蕭山區(qū)期中）如圖，半圓O是一個量角器，△AOB為一紙片，AB交半圓于點D，OB交半圓于點C，若點C、D、A在量角器上對應讀數(shù)分別為45°，70°，160°，則∠B的度數(shù)為（）A．20° B．30° C．45° D．60°【變式1-3】（2018秋?瑞安市期末）如圖，A，B，C是⊙O上的三點，AB，AC的圓心O的兩側(cè)，若∠ABO＝20°，∠ACO＝30°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．100° B．110° C．125° D．130°【考點2垂徑定理求線段】【方法點撥】垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧．【例2】（2019?柯橋區(qū)模擬）如圖，⊙O的直徑CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OC＝4：5，則AB的長為（）A．6 B．7 C．8 D．9【變式2-1】（2019?渝中區(qū)校級三模）如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，連結(jié)AO并延長交⊙O于點E，連結(jié)EB．若AB＝4，CD＝1，則EB的長為（）A．3 B．4 C．5 D．2.5【變式2-2】（2019?廬陽區(qū)二模）如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AC于點E，連接BC過點O作OF⊥BC于點F，若BD＝12cm，AE＝4cm，則OF的長度是（）A． B． C． D．3cm【變式2-3】（2019?梧州）如圖，在半徑為的⊙O中，弦AB與CD交于點E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，則CD的長是（）A．2 B．2 C．2 D．4【考點3圓周角定理】【方法點撥】圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等。推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑?！纠?】（2019?營口）如圖，BC是⊙O的直徑，A，D是⊙O上的兩點，連接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，則∠ABC的度數(shù)是（）A．20° B．70° C．30° D．90°【變式3-1】（2019?相城區(qū)校級二模）如圖，AB是半圓的直徑，O為圓心，C是半圓上的點，D是上的點．若∠BOC＝50°，則∠D的度數(shù)（）A．105° B．115° C．125° D．85°【變式3-2】（2019?碑林區(qū)校級一模）如圖，AD是半圓的直徑，點C是弧BD的中點，∠ADC＝55°，則∠BAD等于（）A．50° B．55° C．65° D．70°【變式3-3】（2019?太原二模）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于點D，若∠ABC＝30°，則∠CAD的度數(shù)為（）A．l00° B．105° C．110° D．120【考點4圓的內(nèi)接四邊形】【方法點撥】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補,且任意一個角的外角都等于其內(nèi)對角.【例4】（2019?藍田縣一模）如圖，點A、B、C、D在⊙O上，，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，則∠ADB＝（）A．30° B．50° C．70° D．80°【變式4-1】（2019?澄海區(qū)一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，它的一個外角∠EBC＝55°，分別連接AC、BD，若AC＝AD，則∠DBC的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．65° D．70°【變式4-2】（2019?嘉祥縣三模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，F(xiàn)是上一點，且＝，連接CF并延長交AD的延長線于點E，連接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，則∠E的度數(shù)為（）A．45° B．50° C．55° D．60°【變式4-3】（2018?南崗區(qū)一模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若⊙O的半徑為4，且∠B＝2∠D，連接AC，則線段AC的長為（）A．4 B．4 C．6 D．8【考點5弧長計算】【方法點撥】n°的圓心角所對的弧長l為：。【例5】（2019?鞍山）如圖，AC是⊙O的直徑，B，D是⊙O上的點，若⊙O的半徑為3，∠ADB＝30°，則的長為．【變式5-1】（2019?廬江縣模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，∠ABC的平分線交⊙O于點D．若AB＝6，∠BAC＝30°，則劣弧的長等于．【變式5-2】（2019?泰順縣模擬）如圖，△ABC的頂點C在半徑為9的⊙O上，∠C＝40°，邊AC，BC分別與⊙O交于D，E兩點，則劣弧DE的長度為．【變式5-3】（2019?瑤海區(qū)二模）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，E為BC的中點，AF＝1，以EF為直徑的半圓與DE交于點G，則劣弧的長為．【考點6正多邊形與圓】【方法點撥】定義：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角，中心正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距?！纠?】（2019?朝陽區(qū)校級四模）如圖，⊙O與正六邊形OABCDE的邊OA、OE分別交丁點F、G，點M在FG上，則圓周角∠FMG的大小為度．【變式6-1】（2019?海南）如圖，⊙O與正五邊形ABCDE的邊AB、DE分別相切于點B、D，則劣弧所對的圓心角∠BOD的大小為度．【變式6-2】（2019?青島）如圖，五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形，AF是⊙O的直徑，則∠BDF的度數(shù)是°．【變式6-3】（2019?江岸區(qū)校級模擬）如圖，⊙O的半徑為2，正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于⊙O，對角線CE、DF相交于點M，則△MEF的面積是．【考點7與圓有關(guān)的求最值】【例7】（2019?清江浦區(qū)一模）正△ABC的邊長為4，⊙A的半徑為2，D是⊙A上動點，E為CD中點，則BE的最大值為．【變式7-1】（2019?亭湖區(qū)校級三模）如圖，在平面直角坐標系中，點P（3，4），⊙P半徑為2，A（2.6，0），B（5.2，0），點M是⊙P上的動點，點C是MB的中點，則AC的最小值為．【變式7-2】（2018?周村區(qū)二模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，點D是以點A為圓心4為半徑的圓上一點，連接BD，點M為BD中點，線段CM長度的最大值為．【變式7-3】（2018秋?邗江區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分別是AC、BC上的一點，且DE＝3，若以DE為直徑的圓與斜邊AB相交于M、N，則MN的最大值為．【考點8垂徑定理的應用】【例8】（2018秋?朝陽區(qū)期末）一些不便于直接測量的圓形孔道的直徑可以用如下方法測量．如圖，把一個直徑為10mm的小鋼球緊貼在孔道邊緣，測得鋼球頂端離孔道外端的距離為8mm，求這個孔道的直徑AB．【變式8-1】（2018秋?丹江口市期末）在我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用現(xiàn)代語言表述為：如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直徑AB的長．請你解答這個問題．【變式8-2】（2018秋?興化市期中）在直徑為1000毫米的圓柱形油罐內(nèi)裝進一些油．其橫截面如圖．油面寬AB＝600毫米．（1）求油的最大深度；（2）如果再注入一些油后，油面寬變?yōu)?00毫米，此時油面上升了多少毫米？【變式8-3】（2018秋?云安區(qū)期末）如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圓弧所在的圓的半徑r的長；（2）當洪水泛濫到跨度只有30米時，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4米，即PE＝4米時，是否要采取緊急措施？【考點9切線的性質(zhì)與判定】【方法點撥】切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點的半徑。經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間線段的長，叫做這點到圓的切線長?！纠?】（2019?白銀）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點D在BC邊上，⊙D經(jīng)過點A和點B且與BC邊相交于點E．（1）求證：AC是⊙D的切線；（2）若CE＝2，求⊙D的半徑．【變式9-1】（2019?涼山州）如圖，點D是以AB為直徑的⊙O上一點，過點B作⊙O的切線，交AD的延長線于點C，E是BC的中點，連接DE并延長與AB的延長線交于點F．（1）求證：DF是⊙O的切線；（2）若OB＝BF，EF＝4，求AD的長．【變式9-2】（2019?臨沂）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點O作OD⊥AB，交BC的延長線于D，交AC于點E，F(xiàn)是DE的中點，連接CF．（1）求證：CF是⊙O的切線．（2）若∠A＝22.5°，求證：AC＝DC．【變式9-3】（2019?朝陽）如圖，四邊形ABCD為菱形，以AD為直徑作⊙O交AB于點F，連接DB交⊙O于點H，E是BC上的一點，且BE＝BF，連接DE．（1）求證：DE是⊙O的切線．（2）若BF＝2，DH＝，求⊙O的半徑．【考點10圓中陰影面積計算】【方法點撥】圓心角為n°的扇形面積S為：；【例10】（2018秋?柯橋區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的圓，交AC于E點，交BC于D點．（1）若AB＝8，∠C＝60°，求陰影部分的面積；（2）當∠A為銳角時，試說明∠A與∠CBE的關(guān)系．【變式10-1】（2018秋?吳興區(qū)期末）如圖，已知AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點，OC∥BD，交AD于點E，連結(jié)BC．（1）求證：AE＝ED；（2）若AB＝8，∠CBD＝30°，求圖中陰影部分的面積．【變式10-2】（2019?長春一模）如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，點E為BC的中點，連接OD、DE．（1）求證：OD⊥DE．（2）若∠BAC＝30°，AB＝8，求陰影部分的面積．【變式10-3】（2018秋?富陽區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，E在AC上，經(jīng)過A，B，E三點的圓O交BC于點D，且D點是弧BE的中點，（1）求證AB是圓的直徑；（2）若AB＝8，∠C＝60°，求陰影部分的面積；（3）當∠A為銳角時，試說明∠A與∠CBE的關(guān)系．專題3旋轉(zhuǎn)章末重難點題型【舉一反三】【人教版】【考點1旋轉(zhuǎn)對稱圖形】【方法點撥】解決此類問題掌握圖形旋轉(zhuǎn)的有關(guān)概念是關(guān)鍵.【例1】（2019?黃石模擬）下列四個圓形圖案中，分別以它們所在圓的圓心為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)，要使這個最小時，旋轉(zhuǎn)后的圖形也能與原圖形完全重合，則這個圖形是A． B． C． D．【分析】求出各旋轉(zhuǎn)對稱圖形的最小旋轉(zhuǎn)角度，繼而可作出判斷．【答案】解：、最小旋轉(zhuǎn)角度；、最小旋轉(zhuǎn)角度；、最小旋轉(zhuǎn)角度；、最小旋轉(zhuǎn)角度；綜上可得：旋轉(zhuǎn)一定角度后，能與原圖形完全重合，且旋轉(zhuǎn)角度最小的是．故選：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)對稱圖形的知識，求出各圖形的最小旋轉(zhuǎn)角度是解題關(guān)鍵．【變式1-1】（2019春?唐河縣期末）下列各圖形分別繞某個點旋轉(zhuǎn)后不能與自身重合的是A．B． C． D．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)分別求出各選項圖形的最小旋轉(zhuǎn)角，然后解答即可．【答案】解：、，所以，繞某個點旋轉(zhuǎn)后能與自身重合，故本選項不符合題意；、，，所以，繞某個點旋轉(zhuǎn)4個，即后能與自身重合，故本選項不符合題意；、，，所以，繞某個點旋轉(zhuǎn)2個，即后能與自身重合，故本選項不符合題意；、，所以，繞某個點旋轉(zhuǎn)后不能與自身重合，故本選項符合題意．故選：．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)對稱圖形的概念：把一個圖形繞著一個定點旋轉(zhuǎn)一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角．【變式1-2】（2018秋?寶坻區(qū)期中）下列圖形繞某點旋轉(zhuǎn)后，不能與原來圖形重合的是A．B． C． D．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)對稱圖形的概念作答．【答案】解：、繞它的中心旋轉(zhuǎn)能與原圖形重合，故本選項不合題意；、繞它的中心旋轉(zhuǎn)能與原圖形重合，故本選項不合題意；、繞它的中心旋轉(zhuǎn)能與原圖形重合，故本選項不合題意；、繞它的中心旋轉(zhuǎn)才能與原圖形重合，故本選項符合題意．故選：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)對稱圖形的知識，如果某一個圖形圍繞某一點旋轉(zhuǎn)一定的角度（小于后能與原圖形重合，那么這個圖形就叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形．【變式1-3】（2018秋?南開區(qū)期末）分別以正方形的各邊為直徑向其內(nèi)部作半圓得到的圖形如圖所示，將該圖形繞其中心旋轉(zhuǎn)一個合適的角度后會與原圖形重合，則這個旋轉(zhuǎn)角的最小度數(shù)是A． B． C． D．【分析】觀察圖形可得，圖形有四個形狀相同的部分組成，從而能計算出旋轉(zhuǎn)角度．【答案】解：圖形可看作由一個基本圖形每次旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)4次所組成，故最小旋轉(zhuǎn)角為．故選：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)對稱圖形，根據(jù)已知圖形得出最小旋轉(zhuǎn)角度數(shù)是解題關(guān)鍵．【考點2中心對稱圖形】【方法點撥】中心對稱圖形是把這個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形.【例2】（2019春?鹽城期末）下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念進行判斷即可．【答案】解：、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項正確；、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤．故選：．【點睛】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．【變式2-1】（2019春?濱湖區(qū)期末）下列圖案中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是 B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念判斷．【答案】解：、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形；、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形；、是軸對稱圖形，是中心對稱圖形．故選：．【點睛】本題主要考查中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．【變式2-2】（2019春?新吳區(qū)期末）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是A．正方形 B．等邊三角形 C．平行四邊形 D．正五邊形【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【答案】解：、正方形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項正確；、等邊三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；、平行四邊形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；、正五邊形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤．故選：．【點睛】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．【變式2-3】（2019春?寧德期末）下面的圖形中，既是中心對稱又是軸對稱的圖形是A．B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．【答案】解：、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故本選項錯誤；、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；、既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，故本選項正確．故選：．【點睛】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．【考點3中心對稱的性質(zhì)】【方法點撥】由中心對稱性質(zhì)不難得出如下性質(zhì):(1)關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行(或在同一條直線上)且相等;(2)如果連接兩個圖形的所有對應點的線段都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形一定關(guān)于這一點成中心對稱.【例3】（2019春?海港區(qū)期末）如圖是一個平行四邊形，要在上面畫兩條相交的直線，把這個平行四邊形分成的四部分面積相等，不同的畫法有A．1種 B．2種 C．4種 D．無數(shù)種【分析】利用平行四邊形為中心對稱圖形進行判斷．【答案】解：平行四邊形為中心對稱圖形，經(jīng)過平行四邊形的對稱中心的任意一條直線可把這個平行四邊形分成的四部分面積相等．故選：．【點睛】本題考查的是中心對稱，掌握平行四邊形是中心對稱圖形以及中心對稱圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2019春?宜城市期末）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點在軸上，定點的坐標為，若直線經(jīng)過點，且將平行四邊形分割成面積相等的兩部分，則直線的表達式是A． B． C． D．【分析】過平行四邊形的對稱中心的直線把平行四邊形分成面積相等的兩部分，先求出平行四邊形對稱中心的坐標，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答即可．【答案】解：點的坐標為，平行四邊形的對稱中心坐標為，設(shè)直線的函數(shù)解析式為，則，解得，直線的解析式為．故選：．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握過平行四邊形的中心的直線把平行四邊形分成面積相等的兩部分是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2019?呼和浩特）已知正方形的對稱中心在坐標原點，頂點、、、按逆時針依次排列，若點的坐標為，則點與點的坐標分別為A．， B．，，， C．，， D．，【分析】連接、，過點作軸于點，過點作軸于點，易證，則，，，，因為、關(guān)于原點對稱，所以，．【答案】解：如圖，連接、，過點作軸于點，過點作軸于點，易證，，，，，、關(guān)于原點對稱，，，故選：．【點睛】本題考查了正方形，熟練運用正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)以及中心對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2018?定興縣三模）用一條直線將如圖1的直角鐵皮分成面積相等的兩部分．圖2、圖3分別是甲、乙兩同學給出的作法，對于兩人的作法判斷正確的是A．甲正確，乙不正確 B．甲不正確，乙正確 C．甲、乙都正確 D．甲、乙都不正確【分析】根據(jù)圖形中所畫出的虛線，可以利用圖形中的長方形、梯形的面積比較得出直線兩旁的面積的大小關(guān)系．【答案】解：如圖：圖形2中，直線經(jīng)過了大長方形和小長方形的對角線的交點，所以兩旁的圖形的面積都是大長方形和小長方形面積的一半，所以這條直線把這個圖形分成了面積相等的兩部分，即甲做法正確；圖形3中，經(jīng)過大正方形和圖形外不添補的長方形的對角線的交點，直線兩旁的面積都是大正方形面積的一半添補的長方形面積的一半，所以這條直線把這個圖形分成了面積相等的兩部分，即乙做法正確．故選：．【點睛】此題主要考查了中心對稱，根據(jù)圖形中的割補情況，抓住經(jīng)過對角線的交點的直線都能把長方形分成面積相等的兩部分這一特點，即可解決問題．【考點4利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求角度】【方法點撥】掌握圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是關(guān)鍵：(1)對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;(2)對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角;(3)旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等.【例4】（2019春?宛城區(qū)期末）如圖，把繞頂點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△，當．，時，的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，則，由，則可求．【答案】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知旋轉(zhuǎn)角相等，即，．故選：．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解決這類問題要找準旋轉(zhuǎn)角、以及旋轉(zhuǎn)后對應的線段和角．【變式4-1】（2019?青白江區(qū)模擬）如圖，中，，在同一平面內(nèi)，將繞點旋轉(zhuǎn)到的位置，使得，則等于A． B． C． D．【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可求解．【答案】解：如圖，，，將繞點旋轉(zhuǎn)到的位置，，，故選：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練運用旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)是本題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2018秋?大連期末）如圖，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，若點、、在同一直線上，，則的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得到和的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進行解答即可．【答案】解：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到．，，，，點，，在同一條直線上，，在中，，，故選：．【點睛】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和解答．解題時注意：對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．【變式4-3】（2018秋?沙河口區(qū)期末）如圖，中，，線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，過點作射線于點，則的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得到，然后利用互余表示出，從而利用互余可得到的度數(shù)．【答案】解：線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，，，，，．故選：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．【考點5利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求線段長度】【例5】（2019春?福田區(qū)期末）如圖，將繞點按順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到，點的對應點恰好落在邊上．若，，則的長為A．1 B． C．2 D．【分析】由直角三角形的性質(zhì)可得，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，可證是等邊三角形，可得，即可求解．【答案】解：，，，，繞點按順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到，，且是等邊三角形，故選：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練運用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2019?潮州模擬）如圖，在中，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到△’，連接，則的長為A．6 B． C． D．【分析】連結(jié)，交于點，如圖，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，則可判斷為等邊三角形，接著利用線段垂直平分線定理的逆定理說明垂直平分，則，然后利用勾股定理計算出，，即可求解．【答案】解：連結(jié)，交于點，如圖，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到△，，，，為等邊三角形，，而，垂直平分，，故選：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是證明為等邊三角形和．【變式5-2】（2019春?灞橋區(qū)校級期末）已知等邊的邊長為4，點是邊上的動點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點是邊的中點，連接，則的最小值是A． B． C．2 D．不能確定【分析】依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可得到，當時，的長最小，再根據(jù)勾股定理，即可得到的最小值．【答案】解：如圖，由旋轉(zhuǎn)可得，又，，點是邊的中點，，當時，的長最小，此時，，，，的最小值是，故選：．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．【變式5-3】（2019?寧波模擬）如圖，在中，，，，將繞上的點順時針旋轉(zhuǎn)，得到△，連結(jié)，若，則的值為A． B．3 C． D．【分析】如圖，作于．連接，．【答案】解：如圖，作于．連接，．由題意：．，，，，，，，，，，，在中，，，，，，，，故選：．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．【考點6坐標系中的圖形旋轉(zhuǎn)規(guī)律】【例6】（2019?張家界）如圖，在平面直角坐標系中，將邊長為1的正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)后得到正方形，依此方式，繞點連續(xù)旋轉(zhuǎn)2019次得到正方形，那么點的坐標是A．， B． C．， D．【分析】探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可．【答案】解：四邊形是正方形，且，，將正方形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到正方形，，，，，，，發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，所以余3，點的坐標為，故選：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了坐標與圖形的變化、規(guī)律型：點的坐標等知識，解題的關(guān)鍵是學會從特殊到一般的探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．【變式6-1】（2019春?鄧州市期中）如圖，邊長為2的正方形的中心與坐標原點重合，軸，將正方形繞原點順時針旋2019次，每次旋轉(zhuǎn)，則頂點的坐標是A．， B． C． D．【分析】探究規(guī)律利用規(guī)律解決問題即可．【答案】解：由題意旋轉(zhuǎn)8次回到原來位置，，將正方形繞原點順時針旋2019次，每次旋轉(zhuǎn)，則頂點在軸的負半軸上，，故選：．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，正方形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會探究規(guī)律的方法，屬于中考常考題型．【變式6-2】（2019春?鹽湖區(qū)期中）如圖在平面直角坐標系中，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到△的位置，點、分別落在點、處，點在軸上，再將△繞點順時針旋轉(zhuǎn)到△的位置，點在軸上，將△繞點順時針旋轉(zhuǎn)到△的位置，點在軸上，依次進行下去若點，，，則點的坐標為A． B． C． D．【分析】首先根據(jù)已知求出三角形三邊長度，然后通過旋轉(zhuǎn)發(fā)現(xiàn)，、、每偶數(shù)之間的相差6個單位長度，根據(jù)這個規(guī)律可以求得的坐標．【答案】解：，，，，，中，，，的橫坐標為：6，且，即，的橫坐標為：，點的橫坐標為：，點的縱坐標為：2，即的坐標是．故選：．【點睛】此題考查了點的坐標規(guī)律變換以及勾股定理的運用，通過圖形旋轉(zhuǎn)，找到所有點之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2019?洛陽三模）如圖，在平面直角坐標系中，將正方形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到正方形，依此方式，繞點連續(xù)旋轉(zhuǎn)2019次得到正方形，如果點的坐標為，那么點的坐標為A． B． C． D．【分析】根據(jù)圖形可知：點在以為圓心，以為半徑的圓上運動，由旋轉(zhuǎn)可知：將正方形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到正方形，相當于將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，可得對應點的坐標，根據(jù)規(guī)律發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，可得結(jié)論．【答案】解：四邊形是正方形，且，，連接，由勾股定理得：，由旋轉(zhuǎn)得：，將正方形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到正方形，相當于將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，依次得到，，，，，，發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，所以余3，點的坐標為，故選：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了坐標與圖形的變化、規(guī)律型：點的坐標等知識，解題的關(guān)鍵是學會從特殊到一般的探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．【考點7圖案設(shè)計】【方法點撥】我們可以分別利用各種圖形變換方法設(shè)計圖案，也可以利用它們的組合進行圖案設(shè)計.(1)利用平移設(shè)計圖案:先設(shè)計出基本圖案，然后沿著一定的方向不斷平移進行設(shè)計;(2)利用軸對稱設(shè)計圖案:先設(shè)計出基本圖案，然后通過不斷翻折進行設(shè)計;(3)利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計圖案:先設(shè)計出基本圖案，然后利用旋轉(zhuǎn)知識，將基本圖案繞著某點依次旋轉(zhuǎn)進行設(shè)計;(4)利用圖形變換的組合設(shè)計圖案:綜合利用上面的圖形變換進行圖案設(shè)計.【例7】（2018春?農(nóng)安縣期末）圖①、圖②、圖③是的正方形網(wǎng)格，每個網(wǎng)格圖中有3個小正方形己涂上陰影，請在余下的6個空白小正方形中，按下列要求涂上陰影：（1）在圖①中選取1個空白小正方形涂上陰影，使4個陰影小正方形組成一個軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形．（2）在圖②中選取1個空白小正方形涂上陰影，使4個陰影小正方形組成一個中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形．（3）在圖③中選取2個空白小正方形涂上陰影，使5個陰影小正方形組成一個軸對稱圖形．（請將三個小題依次作答在圖①、圖②、圖③中，均只需畫出符合條件的一種情形）【分析】（1）根據(jù)軸對稱定義，在最上一行右邊一列涂上陰影即可；（2）根據(jù)中心對稱定義，在中間一行、最右一列涂上陰影即可；（3）在最下一行、中間一列、最左一列涂上陰影即可．【答案】解：（1）如圖①所示：（2）如圖②所示；（3）如圖③所示．【點睛】本題主要考查軸對稱圖形和中心對稱圖形，掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形定義是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2018春?貴陽期末）如圖，網(wǎng)格中的圖形是由五個小正方形組成的，根據(jù)下列要求畫圖（涂上陰影）．（1）在圖①中，添加一塊小正方形，使之成為軸對稱圖形，且只有一條對稱軸；（畫一種情況即可）（2）在圖②中，添加一塊小正方形，使之成為中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形；（3）在圖③中，添加一塊小正方形，使之成為既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形．【分析】（1）直接利用軸對稱圖形的性質(zhì)得出答案；（2）直接利用中心對稱圖形的性質(zhì)進而得出答案；（3）利用是中心對稱圖形以及軸對稱圖形的性質(zhì)得出答案．【答案】解：（1）如圖①所示：（2）如圖②所示：（3）如圖③所示：【點睛】此題主要考查了利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計圖案以及利用軸對稱設(shè)計圖案，正確把握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式7-2】（2019春?長春期末）如圖所示，在的正方形網(wǎng)格中，選取14個格點，以其中三個格點為頂點畫出，請你以選取的格點為頂點再畫出一個三角形，且分別滿足下列條件：（1）圖①中所畫的三角形與組成的圖形是軸對稱圖形；（2）圖②中所畫的三角形與組成的圖形是中心對稱圖形．【分析】（1）利用軸對稱圖形的性質(zhì)得出符合題意的答案；（2）利用中心對稱圖形的性質(zhì)，畫出一個平行四邊形即可．【答案】解：（1）如圖①所示：（2）如圖②所示．【點睛】此題主要考查了利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計圖案以及利用軸對稱設(shè)計圖案，正確利用網(wǎng)格畫出符合題意圖形是解題關(guān)鍵．【變式7-3】（2018秋?連云港期末）如圖1，是由2個白色和2個黑色全等正方形組成的“”型圖案，請你分別在圖2，圖3，圖4上按下列要求畫圖：（1）在圖案中，添1個白色或黑色正方形，使它成軸對稱圖案；（2）在圖案中，添1個白色或黑色正方形，使它成中心對稱圖案；（3）在圖案中，先改變1個正方形的位置，再添1個白色或黑色正方形，使它既成中心對稱圖案，又成軸對稱圖案．【分析】（1）根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)，先找出對稱軸，再思考如何畫圖；（2）如一，也是先找一個中心，再根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，思考如何畫圖；（3）根據(jù)中心對稱和軸對稱的性質(zhì)畫一個圖形，注意此題有多種畫法，答案不唯一．【答案】解：（1）如圖2所示；（2）如圖3所示；（3）如圖4所示．【點睛】本題考查了中心對稱圖形及軸對稱圖形的性質(zhì)，及其作圖的方法，學生做這些題時找對稱軸及對稱點是關(guān)鍵．【考點8格點作圖】【方法點撥】旋轉(zhuǎn)作圖的一般步驟是:(1)明確旋轉(zhuǎn)的三要素:旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度;(2)確定關(guān)鍵點，分別作出這幾個關(guān)鍵點繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)后的位置;(3)按原來位置依次連接各點即得要求的旋轉(zhuǎn)后的圖形.【例8】（2019春?高郵市期中）如圖，已知平面直角坐標系中，的頂點坐標分別，，．（1）將以原點為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)得到△，畫出△；（2）平移，使點的對應點坐標為，畫出平移后的△；（3）若將△繞某一點旋轉(zhuǎn)可得到△，請直接寫出這個點的坐標．【分析】（1）依據(jù)以原點為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，即可得到△；（2）依據(jù)點的對應點坐標為，即可畫出平移后的△；（3）兩對對應點連線的垂直平分線的交點，即為旋轉(zhuǎn)中心的位置．【答案】解：（1）如圖所示，△即為所求；（2）如圖所示，△即為所求；（3）如圖所示，將△繞點旋轉(zhuǎn)可得到△．【點睛】本題考查了作圖旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．【變式8-1】（2019春?普寧市期末）如圖，平面直角坐標系內(nèi)，小正方形網(wǎng)格的邊長為1個單位長度，的三個頂點的坐標分別為，，．，解答下列問題：（1）將向上平移1個單位長度，再向右平移5個單位長度后得到的△，畫出△；（2）繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△，畫出△；（3）如果利用△旋轉(zhuǎn)可以得到△，請直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標【分析】（1）利用點平移的坐標變換規(guī)律寫出、、的對應點、、的坐標，然后描點即可；（2）利用網(wǎng)格特點和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出點、的對應點、，從而得到△；（3）和的垂直平分線的交點即為點，從而得到點坐標．【答案】解：（1）如圖所示，△為所求作的三角形；（2）如圖所示，△為所求作的三角形．（3）點的坐標為：．【點睛】本題考查了作圖旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．也考查了平移變換．【變式8-2】（2019春?昌圖縣期末）如圖所示，將置于平面直角坐標系中，，，（1）畫出向下平移5個單位得到的△．并寫出點的坐標；（2）畫出繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到的△，并寫出點的坐標；（3）畫出以點為對稱中心，與成中心對稱的△，并寫出點的坐標；【分析】（1）利用點平移的坐標變換規(guī)律寫出點、、的坐標，然后描點即可；（2）利用網(wǎng)格特點和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出點、、的對應點、、，然后描點即可得到△，從而得到點的坐標；（3）根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標特征寫出點、、的坐標，然后描點即可．【答案】解：（1）如圖，△為所作，點的坐標為；（2）如圖，△為所作，點的坐標為；（3）如圖，△為所作，點的坐標為．【點睛】本題考查了作圖旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．也考查了平移變換．【變式8-3】（2019春?南海區(qū)期末）如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，每個小正方形的頂點叫格點，的頂點均在格點上．（1）先將向上平移4個單位后得到的△，再將△繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)后所得到的△，在圖中畫出△和△．（2）△能由繞著點旋轉(zhuǎn)得到，請在網(wǎng)格上標出點．【分析】（1）根據(jù)要求分別畫出△和△．（2）作線段，線段的垂直平分線，交于點，點即為所求．【答案】解：（1）如圖所示，△和△為所求．（2）點為所求．【點睛】本題考查作圖旋轉(zhuǎn)變換，作圖平移變換等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．九上專題4圓章末重難點題型【舉一反三】【人教版】【考點1圓的相關(guān)概念】【方法點撥】解決此類問題的關(guān)鍵是圓中的半徑所構(gòu)成等腰三角形的靈活應用.【例1】（2019?邗江區(qū)校級一模）如圖，⊙O的直徑BA的延長線與弦DC的延長線交于點E，且CE＝OB，已知∠DOB＝72°，則∠E等于（）A．36° B．30° C．18° D．24°【分析】根據(jù)圓的半徑相等，可得等腰三角形；根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，可得關(guān)于∠E的方程，根據(jù)解方程，可得答案．【答案】解：如圖：CE＝OB＝CO，得∠E＝∠1．由∠2是△EOC的外角，得∠2＝∠E+∠1＝2∠E．由OC＝OD，得∠D＝∠2＝2∠E．由∠3是三角形△ODE的外角，得∠3＝E+∠D＝∠E+2∠E＝3∠E．由∠3＝72°，得3∠E＝72°．解得∠E＝24°．故選：D．【點睛】本題考查了圓的認識，利用圓的半徑相等得出等腰三角形是解題關(guān)鍵，又利用了三角形外角的性質(zhì)．【變式1-1】（2019?陜西模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以C為圓心，CB為半徑的圓交AB于點D，連接CD，則∠ACD＝（）A．10° B．15° C．20° D．25°【分析】先求得∠B，再由等腰三角形的性質(zhì)求出∠BCD，則∠ACD與∠BCD互余．【答案】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠B＝50°，∵CD＝CB，∴∠BCD＝180°﹣2×50°＝80°，∴∠ACD＝90°﹣80°＝10°；故選：A．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識比較簡單．【變式1-2】（2019秋?蕭山區(qū)期中）如圖，半圓O是一個量角器，△AOB為一紙片，AB交半圓于點D，OB交半圓于點C，若點C、D、A在量角器上對應讀數(shù)分別為45°，70°，160°，則∠B的度數(shù)為（）A．20° B．30° C．45° D．60°【分析】連結(jié)OD，如圖，根據(jù)題意得∠DOC＝25°，∠AOD＝90°，由于OD＝OA，則∠ADO＝45°，然后利用三角形外角性質(zhì)得∠ADO＝∠B+∠DOB，所以∠B＝45°﹣25°＝20°．【答案】解：連結(jié)OD，如圖，則∠DOC＝70°﹣45°＝25°，∠AOD＝160°﹣70°＝90°，∵OD＝OA，∴∠ADO＝45°，∵∠ADO＝∠B+∠DOB，∴∠B＝45°﹣25°＝20°．故選：A．【點睛】本題考查了圓的認識：掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．【變式1-3】（2018秋?瑞安市期末）如圖，A，B，C是⊙O上的三點，AB，AC的圓心O的兩側(cè)，若∠ABO＝20°，∠ACO＝30°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．100° B．110° C．125° D．130°【分析】過A、O作⊙O的直徑AD，分別在等腰△OAB、等腰△OAC中，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠BOC＝2∠ABO+2∠ACO．【答案】解：過A作⊙O的直徑，交⊙O于D．在△OAB中，OA＝OB，則∠BOD＝∠ABO+∠OAB＝2×20°＝40°，同理可得：∠COD＝∠ACO+∠OAC＝2×30°＝60°，故∠BOC＝∠BOD+∠COD＝100°．故選：A．【點睛】本題考查了圓周角定理，涉及了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出∠COD及∠BOD的度數(shù)．【考點2垂徑定理求線段】【方法點撥】垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條?。纠?】（2019?柯橋區(qū)模擬）如圖，⊙O的直徑CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OC＝4：5，則AB的長為（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】由于⊙O的直徑CD＝10cm，則⊙O的半徑為5cm，又已知OM：OC＝4：5，則可以求出OM＝4，OC＝5，連接OA，根據(jù)勾股定理和垂徑定理可求得AB．【答案】解：如圖所示，連接OA．⊙O的直徑CD＝10cm，則⊙O的半徑為5cm，即OA＝OC＝5，又∵OM：OC＝4：5，所以O(shè)M＝4，∵AB⊥CD，垂足為M，∴AM＝BM，在Rt△AOM中，AM＝＝3，∴AB＝2AM＝2×3＝6．故選：A．【點睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理的應用，解決與弦有關(guān)的問題時，往往需構(gòu)造以半徑、弦心距和弦長的一半為三邊的直角三角形，若設(shè)圓的半徑為r，弦長為a，這條弦的弦心距為d，則有等式r2＝d2+（）2成立，知道這三個量中的任意兩個，就可以求出另外一個．【變式2-1】（2019?渝中區(qū)校級三模）如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，連結(jié)AO并延長交⊙O于點E，連結(jié)EB．若AB＝4，CD＝1，則EB的長為（）A．3 B．4 C．5 D．2.5【分析】設(shè)⊙O的半徑為r．在Rt△AOC中，利用勾股定理求出r，再利用三角形的中位線定理即可解決問題．【答案】解：設(shè)⊙O的半徑為r．∵OD⊥AB，∴AC＝BC＝2，在Rt△AOC中，∵∠ACO＝90°，∴OA2＝OC2+AC2，∴r2＝（r﹣1）2+22，∴r＝，∴OC＝，∵OA＝OE，AC＝CB，∴BE＝2OC＝3，故選：A．【點睛】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考常考題型．【變式2-2】（2019?廬陽區(qū)二模）如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AC于點E，連接BC過點O作OF⊥BC于點F，若BD＝12cm，AE＝4cm，則OF的長度是（）A． B． C． D．3cm【分析】連接OB，根據(jù)垂徑定理求出BE，根據(jù)勾股定理求出OB，再根據(jù)勾股定理計算即可．【答案】解：連接OB，∵AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AC，∴BE＝BD＝6，在Rt△OEB中，OB2＝OE2+BE2，即OB2＝（OB﹣4）2+62，解得，OB＝，則EC＝AC﹣AE＝9，BC＝＝3，∵OF⊥BC，∴CF＝BC＝，∴OF＝＝（cm），故選：A．【點睛】本題考查的是垂徑定理、勾股定理，垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．【變式2-3】（2019?梧州）如圖，在半徑為的⊙O中，弦AB與CD交于點E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，則CD的長是（）A．2 B．2 C．2 D．4【分析】過點O作OF⊥CD于點F，OG⊥AB于G，連接OB、OD、OE，由垂徑定理得出DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，得出EG＝AG﹣AE＝2，由勾股定理得出OG＝＝2，證出△EOG是等腰直角三角形，得出∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，求出∠OEF＝30°，由直角三角形的性質(zhì)得出OF＝OE＝，由勾股定理得出DF═，即可得出答案．【答案】解：過點O作OF⊥CD于點F，OG⊥AB于G，連接OB、OD、OE，如圖所示：則DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，∴EG＝AG﹣AE＝2，在Rt△BOG中，OG＝＝＝2，∴EG＝OG，∴△EOG是等腰直角三角形，∴∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，∵∠DEB＝75°，∴∠OEF＝30°，∴OF＝OE＝，在Rt△ODF中，DF＝＝＝，∴CD＝2DF＝2；故選：C．【點睛】本題考查的是垂徑定理、勾股定理以及直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．【考點3圓周角定理】【方法點撥】圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等。推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑?！纠?】（2019?營口）如圖，BC是⊙O的直徑，A，D是⊙O上的兩點，連接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，則∠ABC的度數(shù)是（）A．20° B．70° C．30° D．90°【分析】連接AC，如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠BAC＝90°，∠ACB＝∠ADB＝70°，然后利用互余計算∠ABC的度數(shù)．【答案】解：連接AC，如圖，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°，∵∠ACB＝∠ADB＝70°，∴∠ABC＝90°﹣70°＝20°．故答案為20°．故選：A．【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．【變式3-1】（2019?相城區(qū)校級二模）如圖，AB是半圓的直徑，O為圓心，C是半圓上的點，D是上的點．若∠BOC＝50°，則∠D的度數(shù)（）A．105° B．115° C．125° D．85°【分析】連接BD，如圖，利用圓周角定理得到∠ADB＝90°，∠BDC＝∠BOC＝25°，然后計算∠ADB+∠CDB即可．【答案】解：連接BD，如圖，∵AB是半圓的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠BDC＝∠BOC＝×50°＝25°，∴∠ADC＝90°+25°＝115°．故選：B．【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．【變式3-2】（2019?碑林區(qū)校級一模）如圖，AD是半圓的直徑，點C是弧BD的中點，∠ADC＝55°，則∠BAD等于（）A．50° B．55° C．65° D．70°【分析】連接OB、OC．求出∠BOD即可解決問題．【答案】解：連接OB，OC，∵∠ADC＝55°，∴∠AOC＝2∠ADC＝110°，∴弧AC＝110°，∵AD是半圓的直徑，∴弧CD＝70°，∵D是弧BD的中點，∴弧BD＝140°，∴∠BOD＝140°，∴∠BAD＝∠BOD＝70°，故選：D．【點睛】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2019?太原二模）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于點D，若∠ABC＝30°，則∠CAD的度數(shù)為（）A．l00° B．105° C．110° D．120【分析】利用圓周角定理得到∠ACB＝90°，則利用互余計算出∠BAC＝60°，接著根據(jù)角平分線定義得到∠BCD＝45°，從而利用圓周角定理得到∠BAD＝∠BCD＝45°，然后計算∠BAC+∠BAD即可．【答案】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝45°，∵∠BAD＝∠BCD＝45°，∴∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝60°+45°＝105°．故選：B．【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．【考點4圓的內(nèi)接四邊形】【方法點撥】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補,且任意一個角的外角都等于其內(nèi)對角.【例4】（2019?藍田縣一模）如圖，點A、B、C、D在⊙O上，，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，則∠ADB＝（）A．30° B．50° C．70° D．80°【分析】直接利用圓周角定理以及結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得出∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC，進而得出答案．【答案】解：∵，∠CAD＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，∴∠DBC＝∠DAC＝30°，∵∠ACD＝50°，∴∠ABD＝50°，∴∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°．故選：C．【點睛】此題主要考查了圓周角定理以及三角形內(nèi)角和定理，正確得出∠ABD度數(shù)是解題關(guān)鍵．【變式4-1】（2019?澄海區(qū)一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，它的一個外角∠EBC＝55°，分別連接AC、BD，若AC＝AD，則∠DBC的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．65° D．70°【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠ADC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理計算即可．【答案】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠ADC＝∠EBC＝55°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝55°，∴∠DAC＝70°，由圓周角定理得，∠DBC＝∠DAC＝70°，故選：D．【點睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形、圓周角定理，掌握圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2019?嘉祥縣三模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，F(xiàn)是上一點，且＝，連接CF并延長交AD的延長線于點E，連接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，則∠E的度數(shù)為（）A．45° B．50° C．55° D．60°【分析】先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠ADC的度數(shù)，再由圓周角定理得出∠DCE的度數(shù)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【答案】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝105°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°．∵＝，∠BAC＝25°，∴∠DCE＝∠BAC＝25°，∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°．故選：B．【點睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟知圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解答此題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2018?南崗區(qū)一模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若⊙O的半徑為4，且∠B＝2∠D，連接AC，則線段AC的長為（）A．4 B．4 C．6 D．8【分析】連接OA，OC，利用內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠D＝60°，進而得出∠AOC＝120°，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)解答即可．【答案】解：連接OA，OC，過O作OE⊥AC，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠B＝2∠D，∴∠B+∠D＝3∠D＝180°，解得：∠D＝60°，∴∠AOC＝120°，在Rt△AEO中，OA＝4，∴AE＝2，∴AC＝4，故選：B．【點睛】此題考查內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠D＝60°．【考點5弧長計算】【方法點撥】n°的圓心角所對的弧長l為：?！纠?】（2019?鞍山）如圖，AC是⊙O的直徑，B，D是⊙O上的點，若⊙O的半徑為3，∠ADB＝30°，則的長為．【分析】根據(jù)圓周角定理求出∠AOB，得到∠BOC的度數(shù)，根據(jù)弧長公式計算即可．【答案】解：由圓周角定理得，∠AOB＝2∠ADB＝60°，∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°，∴的長＝＝2π，故答案為：2π．【點睛】本題考查的是圓周角定理、弧長的計算，掌握圓周角定理、弧長公式是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2019?廬江縣模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，∠ABC的平分線交⊙O于點D．若AB＝6，∠BAC＝30°，則劣弧的長等于．【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角求出∠ACB＝90°，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠ABC，然后根據(jù)角平分線的定義求出∠ABD，根據(jù)在同圓或等圓中，同弧所對的圓心角等于圓周角的二倍求出∠AOD，然后根據(jù)弧長公式列式計算即可得解．【答案】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝30°，∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∵∠ABC的平分線交⊙O于點D，∴∠ABD＝∠ABC＝×60°＝30°，∴∠AOD＝2∠ABD＝2×30°＝60°，∴劣弧的長＝＝π．故答案為：π．【點睛】本題考查了弧長的計算，圓周角定理，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，比較簡單，熟記定理與公式并求出∠AOD的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2019?泰順縣模擬）如圖，△ABC的頂點C在半徑為9的⊙O上，∠C＝40°，邊AC，BC分別與⊙O交于D，E兩點，則劣弧DE的長度為．【分析】連接OD、OE，得出∠DOE＝2∠C＝80°，由弧長公式即可得出答案．【答案】解：連接OD、OE，如圖所示：∵∠C＝40°，∴∠DOE＝2∠C＝80°，∵OD＝9，∴劣弧DE的長＝＝4π．故答案為：4π．【點睛】本題考查了圓周角定理、弧長公式；熟練掌握弧長公式，能夠運用圓周角定理求角是解決問題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2019?瑤海區(qū)二模）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，E為BC的中點，AF＝1，以EF為直徑的半圓與DE交于點G，則劣弧的長為．【分析】連接OG，DF，根據(jù)勾股定理分別求出DF、EF，證明Rt△DAF≌Rt△FBE，求出∠DFE＝90°，得到∠GOE＝90°，根據(jù)弧長公式計算即可．【答案】解：連接OG，DF，∵BC＝2，E為BC的中點，∴BE＝EC＝1，∵AB＝3，AF＝1，∴BF＝2，由勾股定理得，DF＝＝，EF＝＝，∴DF＝EF，在Rt△DAF和Rt△FBE中，，∴Rt△DAF≌Rt△FBE（HL）∴∠ADF＝∠BFE，∵∠ADF+∠AFD＝90°，∴∠BFE+∠AFD＝90°，即∠DFE＝90°，∵FD＝FE，∴∠FED＝45°，∵OG＝OE，∴∠GOE＝90°，∴劣弧的長＝＝π，故答案為：π．【點睛】本題考查的是弧長的計算、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．【考點6正多邊形與圓】【方法點撥】定義：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角，中心正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距?！纠?】（2019?朝陽區(qū)校級四模）如圖，⊙O與正六邊形OABCDE的邊OA、OE分別交丁點F、G，點M在FG上，則圓周角∠FMG的大小為度．【分析】在優(yōu)弧FG上取一點T，連接TF，TG．利用圓內(nèi)接四邊形對角互補解決問題即可．【答案】解：在優(yōu)弧FG上取一點T，連接TF，TG．∵ABCDEF是正六邊形，∴∠AOE＝120°∵∠T＝∠FOG，∴∠T＝60°，∵∠FMG+∠T＝180°，∴∠FMG＝120°，故答案為120°．【點睛】本題考查正多邊形與圓，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形解決問題．【變式6-1】（2019?海南）如圖，⊙O與正五邊形ABCDE的邊AB、DE分別相切于點B、D，則劣弧所對的圓心角∠BOD的大小為度．【分析】根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式可求出∠E、∠D，根據(jù)切線的性質(zhì)可求出∠OAE、∠OCD，從而可求出∠AOC，然后根據(jù)圓弧長公式即可解決問題．【答案】解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠E＝∠A＝＝108°．∵AB、DE與⊙O相切，∴∠OBA＝∠ODE＝90°，∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，故答案為：144．【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)、正五邊形的性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角和公式、熟練掌握切線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2019?青島）如圖，五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形，AF是⊙O的直徑，則∠BDF的度數(shù)是°．【分析】連接AD，根據(jù)圓周角定理得到∠ADF＝90°，根據(jù)五邊形的內(nèi)角和得到∠ABC＝∠C＝108°，求得∠ABD＝72°，由圓周角定理得到∠F＝∠ABD＝72°，求得∠FAD＝18°，于是得到結(jié)論．【答案】解：連接AD，∵AF是⊙O的直徑，∴∠ADF＝90°，∵五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形，∴∠ABC＝∠C＝108°，∴∠ABD＝72°，∴∠F＝∠ABD＝72°，∴∠FAD＝18°，∴∠CDF＝∠DAF＝18°，∴∠BDF＝36°+18°＝54°，故答案為：54．【點睛】本題考查正多邊形與圓，圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式6-3】（2019?江岸區(qū)校級模擬）如圖，⊙O的半徑為2，正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于⊙O，對角線CE、DF相交于點M，則△MEF的面積是．【分析】設(shè)OE交DF于N，由正八邊形的性質(zhì)得出DE＝FE，∠EOF＝＝45°，，由垂徑定理得出∠OEF＝∠OFE＝∠OED，OE⊥DF，得出△ONF是等腰直角三角形，因此ON＝FN＝OF＝，∠OFM＝45°，得出EN＝OE﹣OM＝2﹣，證出△EMN是等腰直角三角形，得出MN＝EN，得出MF＝OE＝2，由三角形面積公式即可得出結(jié)果．【答案】解：設(shè)OE交DF于N，如圖所示：∵正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于⊙O，∴DE＝FE，∠EOF＝＝45°，，∴∠OEF＝∠OFE＝∠OED，OE⊥DF，∴△ONF是等腰直角三角形，∴ON＝FN＝OF＝，∠OFM＝45°，∴EN＝OE﹣OM＝2﹣，∠OEF＝∠OFE＝∠OED＝67.5°，∴∠CED＝∠DFE＝67.5°﹣45°＝22.5°，∴∠MEN＝45°，∴△EMN是等腰直角三角形，∴MN＝EN，∴MF＝MN+FN＝ON+EN＝OE＝2，∴△MEF的面積＝MF×EN＝×2×（2﹣）＝2﹣；故答案為：2﹣．【點睛】本題考查了正多邊形和圓、垂徑定理、正八邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握正八邊形的性質(zhì)，證明△ONF和△ENM是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．【考點7與圓有關(guān)的求最值】【例7】（2019?清江浦區(qū)一模）正△ABC的邊長為4，⊙A的半徑為2，D是⊙A上動點，E為CD中點，則BE的最大值為．【分析】連接AD，通過圓的半徑和等邊三角形的邊長，E點的運動軌跡是以F為圓心FE為半徑的圓，可以判斷點B，E，F(xiàn)三點共線，此時BE與圓A相切時BE的值最大，利用三角形的性質(zhì)即可求解；【答案】解：連接AD，∵⊙A的半徑是2，∴⊙A