2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型24專題專題01 手拉手模型含解析

中考數(shù)學(xué)幾何模型24專題專題01手拉手模型一、方法突破問題一：構(gòu)成手拉手的必要條件．當(dāng)對(duì)一個(gè)幾何圖形記憶并不深刻的時(shí)候，可以嘗試用文字取總結(jié)要點(diǎn)，比如手拉手：四線共點(diǎn)，兩兩相等，夾角相等．條件：如圖，OA=OB，OC=OD（四線共點(diǎn)，兩兩相等），∠AOB=∠COD（夾角相等）結(jié)論：△OAC≌△OBD（SAS）證明無需贅述，關(guān)于條件中的OA=OB，OC=OD，有時(shí)候會(huì)直接以特殊幾何圖形的形式給出，比如我們都很熟悉的等邊三角形和正方形．等邊三角形手拉手（1）如圖，B、C、D三點(diǎn)共線，△ABC和△CDE是等邊三角形，連接AD、BE，交于點(diǎn)P：結(jié)論一：△ACD≌△BCE證明：→△ACD≌△BCE（SAS）（2）記AC、BE交點(diǎn)為M，AD、CE交點(diǎn)為N：結(jié)論二：△ACN≌△BCM；△MCE≌△NCD證明：→△ACN≌△BCM（SAS）；→△MCE≌△NCD（ASA）（3）連接MN：結(jié)論三：△MNC是等邊三角形．證明：→△MCN是等邊三角形．（4）記AD、BE交點(diǎn)為P，連接PC：結(jié)論四：PC平分∠BPD證明：△BCE≌△ACD→CG=CH→PC平分∠BPD．

（5）結(jié)論五：∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPE=60°．（6）連接AE：結(jié)論六：P點(diǎn)是△ACE的費(fèi)馬點(diǎn)（PA+PC+PE值最?。┱叫问掷秩鐖D，四邊形ABCD和四邊形CEFG均為正方形，連接BE、DG：結(jié)論一：△BCE≌△DCG證明：→△BCE≌△DCG（SAS）結(jié)論二：BE=DG，BE⊥DG證明：△BCE≌△DCG→BE=DG；∠CBE＝∠CDG→∠DHB=∠BCD=90°（旋轉(zhuǎn)角都相等）【重點(diǎn)概述】手拉手模型是一種基本的旋轉(zhuǎn)型全等，與其說看圖找模型，不如是“找條件、定模型”．問題二：條件與結(jié)論如何設(shè)計(jì)？設(shè)計(jì)一：我們可以給出手拉手模型條件，得到一組全等來解決問題，就像問題一中所得出的結(jié)論那樣；設(shè)計(jì)二：如果題目已知△ABC≌△ADE外，則還可得△ABD和△ACE均為等腰三角形，且有△ABD∽△ACE，．問題三：如何構(gòu)造手拉手？如何構(gòu)造手拉手？換句話說，如何構(gòu)造旋轉(zhuǎn)？當(dāng)我們?cè)谒伎歼@個(gè)問題的時(shí)候，不妨先問一句，旋轉(zhuǎn)能帶來什么？圖形位置的改變，這一點(diǎn)就夠了，因?yàn)?，若有?shù)量關(guān)系，則先有位置關(guān)系．二、典例精析例一：如圖，等邊三角形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)是的中心，，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，分別交線段、于、兩點(diǎn)，連接，給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③四邊形的面積始終等于；④周長(zhǎng)的最小值為6．上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4例二：如圖，點(diǎn)在等邊的內(nèi)部，且，，，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則的值為．例三：如圖，是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若，，，則四邊形的面積為．例四：如圖，等邊三角形內(nèi)有一點(diǎn)，分別連結(jié)、、，若，，．則．例五：如圖，為等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，且到三個(gè)頂點(diǎn)，，的距離分別為3，4，5，則的面積為A． B． C． D．例六：在Rt△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn)且∠APB=135°，，AC的最大值為_________．三、中考真題演練1．（2021?日照）問題背景：如圖1，在矩形中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．實(shí)驗(yàn)探究：（1）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小王同學(xué)將圖1中的繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2所示，得到結(jié)論：①；②直線與所夾銳角的度數(shù)為．（2）小王同學(xué)繼續(xù)將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至如圖3所示位置．請(qǐng)問探究（1）中的結(jié)論是否仍然成立？并說明理由．拓展延伸：在以上探究中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至、、三點(diǎn)共線時(shí)，則的面積為．2．（2021?貴港）已知在中，為邊的中點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角為鈍角），得到，連接，．（1）如圖1，當(dāng)且時(shí)，則與滿足的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，當(dāng)且時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由．（3）如圖3，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)．3．（2021?黑龍江）在等腰中，，是直角三角形，，，連接、，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．（1）當(dāng)，點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖①所示，求證：；（2）當(dāng)，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)落在邊上時(shí)，如圖②所示，當(dāng)，點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖③所示，猜想圖②、圖③中線段和又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想，不需證明．4．（2021?通遼）已知和都是等腰直角三角形，．（1）如圖1，連接，，求證：；（2）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)恰好在邊上時(shí)，求證：；②當(dāng)點(diǎn)，，在同一條直線上時(shí)，若，，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．5．（2021?十堰）已知等邊三角形，過點(diǎn)作的垂線，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接，把線段繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，連．（1）如圖1，直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)、在同側(cè)且時(shí)，求證：直線垂直平分線段；（3）如圖3，若等邊三角形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)、分別位于直線異側(cè)，且的面積等于，求線段的長(zhǎng)度．6．（2020?沈陽）在中，，，點(diǎn)為線段延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，得到線段，連接，．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，①求證：；②求的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出和的數(shù)量關(guān)系．（3）當(dāng)時(shí)，若，，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)到的距離為或．專題01手拉手模型一、方法突破問題一：構(gòu)成手拉手的必要條件．當(dāng)對(duì)一個(gè)幾何圖形記憶并不深刻的時(shí)候，可以嘗試用文字取總結(jié)要點(diǎn)，比如手拉手：四線共點(diǎn)，兩兩相等，夾角相等．條件：如圖，OA=OB，OC=OD（四線共點(diǎn)，兩兩相等），∠AOB=∠COD（夾角相等）結(jié)論：△OAC≌△OBD（SAS）證明無需贅述，關(guān)于條件中的OA=OB，OC=OD，有時(shí)候會(huì)直接以特殊幾何圖形的形式給出，比如我們都很熟悉的等邊三角形和正方形．等邊三角形手拉手（1）如圖，B、C、D三點(diǎn)共線，△ABC和△CDE是等邊三角形，連接AD、BE，交于點(diǎn)P：結(jié)論一：△ACD≌△BCE證明：→△ACD≌△BCE（SAS）（2）記AC、BE交點(diǎn)為M，AD、CE交點(diǎn)為N：結(jié)論二：△ACN≌△BCM；△MCE≌△NCD證明：→△ACN≌△BCM（SAS）；→△MCE≌△NCD（ASA）（3）連接MN：結(jié)論三：△MNC是等邊三角形．證明：→△MCN是等邊三角形．（4）記AD、BE交點(diǎn)為P，連接PC：結(jié)論四：PC平分∠BPD證明：△BCE≌△ACD→CG=CH→PC平分∠BPD．

（5）結(jié)論五：∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPE=60°．（6）連接AE：結(jié)論六：P點(diǎn)是△ACE的費(fèi)馬點(diǎn)（PA+PC+PE值最?。┱叫问掷秩鐖D，四邊形ABCD和四邊形CEFG均為正方形，連接BE、DG：結(jié)論一：△BCE≌△DCG證明：→△BCE≌△DCG（SAS）結(jié)論二：BE=DG，BE⊥DG證明：△BCE≌△DCG→BE=DG；∠CBE＝∠CDG→∠DHB=∠BCD=90°（旋轉(zhuǎn)角都相等）【重點(diǎn)概述】手拉手模型是一種基本的旋轉(zhuǎn)型全等，與其說看圖找模型，不如是“找條件、定模型”．問題二：條件與結(jié)論如何設(shè)計(jì)？設(shè)計(jì)一：我們可以給出手拉手模型條件，得到一組全等來解決問題，就像問題一中所得出的結(jié)論那樣；設(shè)計(jì)二：如果題目已知△ABC≌△ADE外，則還可得△ABD和△ACE均為等腰三角形，且有△ABD∽△ACE，．問題三：如何構(gòu)造手拉手？如何構(gòu)造手拉手？換句話說，如何構(gòu)造旋轉(zhuǎn)？當(dāng)我們?cè)谒伎歼@個(gè)問題的時(shí)候，不妨先問一句，旋轉(zhuǎn)能帶來什么？圖形位置的改變，這一點(diǎn)就夠了，因?yàn)?，若有?shù)量關(guān)系，則先有位置關(guān)系．二、典例精析例一：如圖，等邊三角形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)是的中心，，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，分別交線段、于、兩點(diǎn)，連接，給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③四邊形的面積始終等于；④周長(zhǎng)的最小值為6．上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4【分析】等邊三角形中的旋轉(zhuǎn)型全等連接OB、OC，易證△OBD≌△OCE，∴OD=OE，結(jié)論①正確；考慮∠FOG是可以旋轉(zhuǎn)的，△ODE面積和△BDE面積并非始終相等，故結(jié)論②錯(cuò)誤；∵△OBD≌△OCE，∴四邊形ODBE的面積等于△OBC的面積，，故結(jié)論③正確；考慮BD=CE，∴BD+BE=CE+BE=4，只要DE最小，△BDE周長(zhǎng)就最小，△ODE是頂角為120°的等腰三角形，故OD最小，DE便最小，當(dāng)OD⊥AB時(shí)，OD取到最小值，此時(shí)，∴周長(zhǎng)最小值為6，故結(jié)論④正確．綜上，選C，正確的有①③④．【小結(jié)】所謂全等，實(shí)際就是將△ODB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到△OEC的位置．等等，好像和某個(gè)圖有點(diǎn)神似，如下：當(dāng)然這個(gè)圖形還可以簡(jiǎn)化一下，畢竟和D點(diǎn)及F點(diǎn)并沒有什么關(guān)系．結(jié)論與證明不多贅述，題型可以換，但旋轉(zhuǎn)是一樣的旋轉(zhuǎn)．例二：如圖，點(diǎn)在等邊的內(nèi)部，且，，，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則的值為．【分析】連接，則是等邊三角形，故，易證△CPB≌，∴，又AP=8，∴是直角三角形，∴．例三：如圖，是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若，，，則四邊形的面積為．【分析】分四邊形為三角形．連接PQ，易證△APQ是等邊三角形，△BPQ是直角三角形，，，∴四邊形APBQ的面積為．例四：如圖，等邊三角形內(nèi)有一點(diǎn)，分別連結(jié)、、，若，，．則．【分析】構(gòu)造旋轉(zhuǎn)．如圖，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△BEA，連接EP，可得△AEP是直角三角形，△BEP是等邊三角形，,所以本題答案為．搭配一：若，則可任意旋轉(zhuǎn)，得等邊+直角．且兩條較短邊夾角（∠APB）為150°．搭配二：若∠APB=150°，則有．例五：如圖，為等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，且到三個(gè)頂點(diǎn)，，的距離分別為3，4，5，則的面積為A． B． C． D．【分析】（3，4，5）是一組勾股數(shù)，通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造直角三角形．法一：如圖，將三個(gè)小三角形面積分別考慮到△ABC是等邊三角形，可將△APB旋轉(zhuǎn)到△ADC位置，可得：，同理可得：，，∴，∴，故選A．法二：如圖，易證∠APB=150°，過點(diǎn)A作BP的垂線交BP延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則，，，．【思考】如果放在正方形里，條件與結(jié)論又該如何搭配？作旋轉(zhuǎn)之后，可得△AEP是等腰直角三角形，若使△PEB也為直角三角形，則原∠APD=135°，而線段PA、PB、PD之間的關(guān)系為：．搭配一：若∠APD=135°，則；搭配二：若，則∠APD=135°．另外，其實(shí)這個(gè)圖和點(diǎn)C并沒有什么關(guān)系，所以也可以將正方形換成等腰直角三角形．大概如下圖：抓主要條件，舍棄無用條件，也是理解幾何圖形的一種方式．例六：在Rt△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn)且∠APB=135°，，AC的最大值為_________．【分析】顯然根據(jù)∠APB=135，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)．可得：△APQ是等腰直角三角形，△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°，另外還有條件．重新梳理下條件，（1）有一條線段，（2）∠PQC=90°，則Q點(diǎn)軌跡是個(gè)圓弧，（3）以PQ為斜邊在PC異側(cè)作等腰直角三角形，點(diǎn)A是直角頂點(diǎn)．∴A點(diǎn)軌跡是什么？瓜豆原理啦，也是個(gè)圓弧：∴AC的最大值為．三、中考真題演練1．（2021?日照）問題背景：如圖1，在矩形中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．實(shí)驗(yàn)探究：（1）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小王同學(xué)將圖1中的繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2所示，得到結(jié)論：①；②直線與所夾銳角的度數(shù)為．（2）小王同學(xué)繼續(xù)將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至如圖3所示位置．請(qǐng)問探究（1）中的結(jié)論是否仍然成立？并說明理由．拓展延伸：在以上探究中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至、、三點(diǎn)共線時(shí)，則的面積為．【解答】解：（1）如圖1，，，，，如圖2，設(shè)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，，，，，又，，直線與所夾銳角的度數(shù)為，故答案為：，；（2）結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖3，設(shè)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，，又，，，，又，，直線與所夾銳角的度數(shù)為．拓展延伸：如圖4，當(dāng)點(diǎn)在的上方時(shí)，過點(diǎn)作于，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，，，，，，、、三點(diǎn)共線，，，，，由（2）可得：，，，的面積；如圖5，當(dāng)點(diǎn)在的下方時(shí)，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于，同理可求：的面積；故答案為：或．2．（2021?貴港）已知在中，為邊的中點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角為鈍角），得到，連接，．（1）如圖1，當(dāng)且時(shí)，則與滿足的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，當(dāng)且時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由．（3）如圖3，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)．【解答】解：（1）結(jié)論：．理由：如圖1中，，，，，，，，，，，．（2）結(jié)論成立．理由：如圖2中，，，，，，，，，．（3）如圖3中，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，，，，，，，，，，．3．（2021?黑龍江）在等腰中，，是直角三角形，，，連接、，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．（1）當(dāng)，點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖①所示，求證：；（2）當(dāng)，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)落在邊上時(shí)，如圖②所示，當(dāng)，點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖③所示，猜想圖②、圖③中線段和又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想，不需證明．【解答】（1）證明：如圖①中，，，，，，，，，，，，垂直平分線段，，．（2）解：如圖②中，結(jié)論：．理由：取的中點(diǎn)，連接，，，交于點(diǎn)．，，，，垂直平分線段，，，，，，，，，，，，，，，，，．如圖③中，結(jié)論：．理由：取的中點(diǎn)，連接，．，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．4．（2021?通遼）已知和都是等腰直角三角形，．（1）如圖1，連接，，求證：；（2）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)恰好在邊上時(shí)，求證：；②當(dāng)點(diǎn)，，在同一條直線上時(shí)，若，，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：，，即，和都是等腰直角三角形，，，，；（2）①證明：連接，，，即，和都是等腰直角三角形，，，，，，，，都是等腰直角三角形，，；②解：如圖3，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，連接，設(shè)，由（1）可知，可得且，在中，，和都是等腰直角三角形，，，，，，解得：，，如圖4，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，連接，設(shè)，由（1）可知，可得且，在中，，和都是等腰直角三角形，，，，，，解得：，，綜上所述，線段的長(zhǎng)為或．5．（2021?十堰）已知等邊三角形，過點(diǎn)作的垂線，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接，把線段繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，連．（1）如圖1，直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)、在同側(cè)且時(shí)，求證：直線垂直平分線段；（3）如圖3，若等邊三角形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)、分別位于直線異側(cè)，且的面積等于，求線段的長(zhǎng)度．【解答】解：（1）在等邊中，，，由旋轉(zhuǎn)可得，，，，，即，，．（2）在等邊中，，，由旋轉(zhuǎn)可得，，，，，即，，，；，，，，，，，，，即平分，且點(diǎn)是的中點(diǎn)，即直線垂直平分線段．（3）①當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，如圖所示，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意可得，，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，在中，，，即，解得或．即的長(zhǎng)為或．②當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，如圖所示，設(shè)交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意可得，，，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，在中，，，即，解得負(fù)值舍去）．綜上可得，的長(zhǎng)為：或或．6．（2020?沈陽）在中，，，點(diǎn)為線段延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，得到線段，連接，．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，①求證：；②求的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出和的數(shù)量關(guān)系．（3）當(dāng)時(shí)，若，，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)到的距離為．【解答】（1）①證明：如圖1中，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，得到線段，，，，，，是等邊三角形，，，，，，．②解：如圖1中，設(shè)交于點(diǎn)．，，，，即．（2）解：結(jié)論：．理由：如圖2中，，，，，，，，，，，．（3）過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于．如圖中，當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，在中，，，，，，，，由（2）可知，，，，，如圖中，當(dāng)是銳角三角形時(shí)，同法可得，，，綜上所述，滿足條件的的值為或．故答案為或．專題02半角模型一、方法突破90°+45°模型．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別在BC、CD上，且∠EAF=45°連接EF．【兩個(gè)基本結(jié)論】結(jié)論1：EF=BE+DF．證明：延長(zhǎng)CD至點(diǎn)G使得DG=BE【截長(zhǎng)】易證：△ABE≌△ADG（SAS）→AE=AG，∠GAF=45°易證：△AFE≌△AFG（SAS）→EF=GF綜上：EF=GF=GD+DF=BE+DF．若E、F分別在CB、DC延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)論變?yōu)椋篍F=DF-BE．

證明：在DC上取點(diǎn)G使得DG=BE【補(bǔ)短】易證：△ABE≌△ADG（SAS）→AE=AG，∠GAF=45°易證：△AEF≌△AGF（SAS）→EF=GF綜上：EF=GF=DF-DG=DF-BE【小結(jié)】截長(zhǎng)、補(bǔ)短只是形式，關(guān)鍵點(diǎn)在于已知半角的情況下，構(gòu)造相應(yīng)的另一個(gè)半角．此處通過旋轉(zhuǎn)，想要將一個(gè)圖形毫無違和地旋轉(zhuǎn)到另一位置，需要：鄰邊相等，對(duì)角互補(bǔ)．正方形可滿足一切你所想．結(jié)論2：連接BD，與AE、AF分別交于M、N，則：．證明：構(gòu)造△ADM’≌△ABM→AM=AM’，∠MAN=∠M’AN，BM=DM’易證：△AMN≌△AM’N（SAS）→MN=M’N易證：△M’DN是直角三角形→→．

【其他結(jié)論】結(jié)論3：若，則點(diǎn)F是CD邊中點(diǎn)．反之亦然．結(jié)論4：過點(diǎn)A作AH⊥EF交EF于H點(diǎn)，則△ABE≌△AHE，△AHF≌△ADF．另外還可得：AE平分∠BEF，AF平分∠DFE．結(jié)論5：A、B、E、N四點(diǎn)共圓，A、D、F、M四點(diǎn)共圓．證明：∠EAN=∠EBN=45°，∴A、B、E、N四點(diǎn)共圓．同理可證A、D、F、M四點(diǎn)共圓．另外還可得：連接EN、MF，可得△AEN、△AMF是等腰直角三角形．結(jié)論6：M、N、F、E四點(diǎn)共圓．證明：∵∠MEF=∠MFN，∴M、N、F、E四點(diǎn)共圓．結(jié)論7：△AMN∽△AFE．且．由構(gòu)圖3可得∠ANM=∠AEF，∠AMN=∠AFE．可得△AMN∽△AFE．結(jié)論8：△MAN∽△MDA，△NAM∽△NBA．結(jié)論9：連接AC，則△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且．【思考】對(duì)于以上9個(gè)結(jié)論，在正方形中，有哪些作為條件能推出∠EAF=45°的？【小結(jié)】從結(jié)論5開始，后面的可能都用不上，但既然半角模型作為題型出現(xiàn)，了解下圖形的更多性質(zhì)有時(shí)候能幫上大忙．在這里除了給的∠EAF=45°外，正方形對(duì)角線也會(huì)形成其他45°角，多組相等角總能撞出些火花．

120°+60°模型（1）如圖，△ABC是等邊三角形，BD=CD且∠BDC=120°，E、F在直線AB、AC上且∠EDF=60°結(jié)論：EF=BE+CF證明：延長(zhǎng)AC至點(diǎn)G使得CG=BE，易證：△DBE≌△DCG（SAS）→DE=DG，∠FDG=∠FDE=60°易證：△DFE≌△DFG（SAS）→EF=GF綜上：EF=GF=GC+CF=BE+CF（2）若點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上，EF、BE、CF之間又有何數(shù)量關(guān)系？二、典例精析例一：如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)，分別在邊，上，若，則的周長(zhǎng)等于．例二：已知如圖，在正方形中，，，分別是，上的一點(diǎn)，且，，將繞點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后與重合，連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則以下結(jié)論：①，②，③，④中正確的是A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④例三：如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，E為CD邊上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，連接AG，CF．給出下列判斷：①∠EAG=45°；②若，則AG∥CF；③若E為CD的中點(diǎn)，則△GFC的面積為；④若CF=FG，則；⑤．其中正確的是______．（寫出所有正確判斷的序號(hào)）三、中考真題演練1．如圖，正方形中，、分別在邊、上，且，連接，這種模型屬于“半角模型”中的一類，在解決“半角模型”問題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的分析思路．例如圖中與可以看作繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的關(guān)系．這可以證明結(jié)論“”，請(qǐng)補(bǔ)充輔助線的作法，并寫出證明過程．（1）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接；（2）證明：．2．半角模型是指有公共頂點(diǎn)，銳角等于較大角的一半，且組成這個(gè)較大角的兩邊相等．通過翻折或旋轉(zhuǎn)，將角的倍分關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的相等關(guān)系，并進(jìn)一步構(gòu)成全等或相似三角形，弱化條件，變更載體，而構(gòu)建模型，可把握問題的本質(zhì)．（1）問題背景：如圖1，在四邊形中，，，，、分別是、上的點(diǎn)，且．探究圖中線段，，之間的數(shù)量關(guān)系；（2）探索延伸：如圖2，若在四邊形中，，．、分別是、上的點(diǎn)，且，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；（3）結(jié)論應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心處）北偏西的處，艦艇乙在指揮中心南偏東的處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東的方向以80海里小時(shí)的速度前進(jìn)，1.5小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)、處，且兩艦艇與指揮中心之間的夾角，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離；（4）能力提高：如圖，等腰直角三角形中，，，點(diǎn)、在邊上，且，若，，試求出的長(zhǎng)．3．小明、小亮在共同學(xué)習(xí)的過程中經(jīng)常會(huì)遇到一類幾何問題：兩個(gè)角度是一半關(guān)系，并且這兩個(gè)角共頂點(diǎn)，他們稱之“半角問題”；常見的半角模型是含，含．問題背景：（1）如圖1，在正方形中，、分別是、邊上的點(diǎn)，且，探究圖中線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．小明的探究思路是：延長(zhǎng)到，使，連接，先證明，再證明．小亮發(fā)現(xiàn)這里可以由經(jīng)過一種圖形變換得到，請(qǐng)你寫出這種變換的過程可以由繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．（不需要證明）拓展研究：（2）如圖2，在四邊形中，，，、分別是邊、上的點(diǎn)，且，試問線段、、具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出證明過程．（3）如圖3，在四邊形中，，與互補(bǔ)，點(diǎn)、分別在射線、上，且．當(dāng)，，時(shí)，的周長(zhǎng)等于．4．已知，如圖1，四邊形是正方形，、分別在邊、上，且，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．（1）在圖1中，連接，為了證明結(jié)論“”，小明將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后解答了這個(gè)問題，請(qǐng)按小明的思路寫出證明過程；（2）如圖2，當(dāng)?shù)膬蛇叿謩e與、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)、，連接，試探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．5．【模型引入】當(dāng)幾何圖形中，兩個(gè)共頂點(diǎn)的角存在角度是公共大角一半的關(guān)系，我們稱之為“半角模型”．【模型探究】（1）如圖1，在正方形中，、分別是、邊上的點(diǎn)，且，探究圖中線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．【模型應(yīng)用】（2）如圖2，如果四邊形中，，，，且，，，求的長(zhǎng)．【拓展提高】（3）如圖3，在四邊形中，，與互補(bǔ)，點(diǎn)、分別在射線、上，且．當(dāng)，，時(shí)，的周長(zhǎng)等于13．（4）如圖4，正方形中，的頂點(diǎn)、分別在、邊上，，且，連接分別交、于點(diǎn)，若，，，求、的長(zhǎng)．（5）如圖5，在菱形中，，點(diǎn)、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且，連接分別與邊、交于、，當(dāng)時(shí)，求證：．6．如圖1：在四邊形中，，，，、分別是，上的點(diǎn)，且，探究圖中線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，先證明，再證明，即可得出，，之間的數(shù)量關(guān)系，他的結(jié)論應(yīng)是．像上面這樣有公共頂點(diǎn)，銳角等于較大角的一半，且組成這個(gè)較大角的兩邊相等的幾何模型稱為半角模型．拓展如圖2，若在四邊形中，，，、分別是，上的點(diǎn)，且，則，，之間的數(shù)量關(guān)系是．請(qǐng)證明你的結(jié)論．實(shí)際應(yīng)用如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心處）北偏西的處，艦艇乙在指揮中心南偏東的處，且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東的方向以80海里小時(shí)的速度前進(jìn)，1.2小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)，處，且兩艦艇之間的夾角為，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離是海里（直接寫出答案）．7．已知如圖1，四邊形是正方形，，分別在邊、上，且，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．（1）在圖1中，連接，為了證明結(jié)論““，小亮將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后解答了這個(gè)問題，請(qǐng)按小亮的思路寫出證明過程；（2）如圖2，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，試探究與、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（3）如圖3，如果四邊形中，，，，且，，，求的長(zhǎng)．專題02半角模型一、方法突破90°+45°模型．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別在BC、CD上，且∠EAF=45°連接EF．【兩個(gè)基本結(jié)論】結(jié)論1：EF=BE+DF．證明：延長(zhǎng)CD至點(diǎn)G使得DG=BE【截長(zhǎng)】易證：△ABE≌△ADG（SAS）→AE=AG，∠GAF=45°易證：△AFE≌△AFG（SAS）→EF=GF綜上：EF=GF=GD+DF=BE+DF．若E、F分別在CB、DC延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)論變?yōu)椋篍F=DF-BE．

證明：在DC上取點(diǎn)G使得DG=BE【補(bǔ)短】易證：△ABE≌△ADG（SAS）→AE=AG，∠GAF=45°易證：△AEF≌△AGF（SAS）→EF=GF綜上：EF=GF=DF-DG=DF-BE【小結(jié)】截長(zhǎng)、補(bǔ)短只是形式，關(guān)鍵點(diǎn)在于已知半角的情況下，構(gòu)造相應(yīng)的另一個(gè)半角．此處通過旋轉(zhuǎn)，想要將一個(gè)圖形毫無違和地旋轉(zhuǎn)到另一位置，需要：鄰邊相等，對(duì)角互補(bǔ)．正方形可滿足一切你所想．結(jié)論2：連接BD，與AE、AF分別交于M、N，則：．證明：構(gòu)造△ADM’≌△ABM→AM=AM’，∠MAN=∠M’AN，BM=DM’易證：△AMN≌△AM’N（SAS）→MN=M’N易證：△M’DN是直角三角形→→．

【其他結(jié)論】結(jié)論3：若，則點(diǎn)F是CD邊中點(diǎn)．反之亦然．結(jié)論4：過點(diǎn)A作AH⊥EF交EF于H點(diǎn)，則△ABE≌△AHE，△AHF≌△ADF．另外還可得：AE平分∠BEF，AF平分∠DFE．結(jié)論5：A、B、E、N四點(diǎn)共圓，A、D、F、M四點(diǎn)共圓．證明：∠EAN=∠EBN=45°，∴A、B、E、N四點(diǎn)共圓．同理可證A、D、F、M四點(diǎn)共圓．另外還可得：連接EN、MF，可得△AEN、△AMF是等腰直角三角形．結(jié)論6：M、N、F、E四點(diǎn)共圓．證明：∵∠MEF=∠MFN，∴M、N、F、E四點(diǎn)共圓．結(jié)論7：△AMN∽△AFE．且．由構(gòu)圖3可得∠ANM=∠AEF，∠AMN=∠AFE．可得△AMN∽△AFE．結(jié)論8：△MAN∽△MDA，△NAM∽△NBA．結(jié)論9：連接AC，則△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且．【思考】對(duì)于以上9個(gè)結(jié)論，在正方形中，有哪些作為條件能推出∠EAF=45°的？【小結(jié)】從結(jié)論5開始，后面的可能都用不上，但既然半角模型作為題型出現(xiàn)，了解下圖形的更多性質(zhì)有時(shí)候能幫上大忙．在這里除了給的∠EAF=45°外，正方形對(duì)角線也會(huì)形成其他45°角，多組相等角總能撞出些火花．

120°+60°模型（1）如圖，△ABC是等邊三角形，BD=CD且∠BDC=120°，E、F在直線AB、AC上且∠EDF=60°結(jié)論：EF=BE+CF證明：延長(zhǎng)AC至點(diǎn)G使得CG=BE，易證：△DBE≌△DCG（SAS）→DE=DG，∠FDG=∠FDE=60°易證：△DFE≌△DFG（SAS）→EF=GF綜上：EF=GF=GC+CF=BE+CF（2）若點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上，EF、BE、CF之間又有何數(shù)量關(guān)系？二、典例精析例一：如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)，分別在邊，上，若，則的周長(zhǎng)等于．【分析】半角模型．根據(jù)半角模型結(jié)論可知EF=AE+CF，∴△EDF的周長(zhǎng)等于DA+DC=4，故△EDF的周長(zhǎng)為4．例二：已知如圖，在正方形中，，，分別是，上的一點(diǎn)，且，，將繞點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后與重合，連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則以下結(jié)論：①，②，③，④中正確的是A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【分析】半角模型結(jié)論①顯然正確；設(shè)BF=x，則EF=3+x，CF=4-x，勾股定理得：，解得：，故結(jié)論②正確；，故結(jié)論③錯(cuò)誤；∵BM∥AG，∴△FBM∽△FGA，且，，∴，故結(jié)論④正確；綜上所述，選D．例三：如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，E為CD邊上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，連接AG，CF．給出下列判斷：①∠EAG=45°；②若，則AG∥CF；③若E為CD的中點(diǎn)，則△GFC的面積為；④若CF=FG，則；⑤．其中正確的是______．（寫出所有正確判斷的序號(hào)）【分析】半角模型．結(jié)論①正確，易證△ADE≌△AFE，△AFG≌△ABG，∴．結(jié)論②正確，若，則G是BC中點(diǎn)，GC=GF，∴∠GCF=∠GFC，又∠CFG+∠GFC=∠FGB，∴∠GFC=∠FGA，∴AG∥CF．結(jié)論③錯(cuò)誤，∠FGB=2∠FGA，∴∠FGC=∠FGA，∴AG∥CF．若E為CD中點(diǎn)，則，，有，∴．結(jié)論④正確，若GF=FC，則DE=BG，不妨設(shè)DE=BG=x，則GE=2x，，由△ECG是等腰直角三角形，可得：，解得：．結(jié)論⑤正確，正方形面積是，是五邊形ABGED的面積，故證明△GEC面積為即可．設(shè)BG=m，DE=n，則EG=m+n，CG=a-m，CE=a-n，根據(jù)勾股定理可得：，化簡(jiǎn)得：，∴．綜上所述，正確的是①②④⑤．三、中考真題演練1．如圖，正方形中，、分別在邊、上，且，連接，這種模型屬于“半角模型”中的一類，在解決“半角模型”問題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的分析思路．例如圖中與可以看作繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的關(guān)系．這可以證明結(jié)論“”，請(qǐng)補(bǔ)充輔助線的作法，并寫出證明過程．（1）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接；（2）證明：．【解答】解：（1）與可以看作繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的關(guān)系．延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，故答案為：；（2）證明：由（1）得，，，，，，四邊形為正方形，，，，，在和中，，，，，．2．半角模型是指有公共頂點(diǎn)，銳角等于較大角的一半，且組成這個(gè)較大角的兩邊相等．通過翻折或旋轉(zhuǎn)，將角的倍分關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的相等關(guān)系，并進(jìn)一步構(gòu)成全等或相似三角形，弱化條件，變更載體，而構(gòu)建模型，可把握問題的本質(zhì)．（1）問題背景：如圖1，在四邊形中，，，，、分別是、上的點(diǎn)，且．探究圖中線段，，之間的數(shù)量關(guān)系；（2）探索延伸：如圖2，若在四邊形中，，．、分別是、上的點(diǎn)，且，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；（3）結(jié)論應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心處）北偏西的處，艦艇乙在指揮中心南偏東的處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東的方向以80海里小時(shí)的速度前進(jìn)，1.5小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)、處，且兩艦艇與指揮中心之間的夾角，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離；（4）能力提高：如圖，等腰直角三角形中，，，點(diǎn)、在邊上，且，若，，試求出的長(zhǎng)．【解答】解：（1）如圖1，，理由如下：在和中，，，，，，，，在和中，，，，，；（2）如圖2，（1）中的結(jié)論仍然成立，即．理由：延長(zhǎng)到點(diǎn)．使．連接，在和中，，，，，，，，在和中，，，，，；（3）如圖3，連接，延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，，，，，，符合探索延伸中的條件，結(jié)論成立，即（海里）．此時(shí)兩艦艇之間的距離為210海里．（4）能力提高如圖4，作，使，連接，，是等腰直角三角形，，，，，，在和中，，，，，，在和中，，，，在中，，．3．小明、小亮在共同學(xué)習(xí)的過程中經(jīng)常會(huì)遇到一類幾何問題：兩個(gè)角度是一半關(guān)系，并且這兩個(gè)角共頂點(diǎn)，他們稱之“半角問題”；常見的半角模型是含，含．問題背景：（1）如圖1，在正方形中，、分別是、邊上的點(diǎn)，且，探究圖中線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．小明的探究思路是：延長(zhǎng)到，使，連接，先證明，再證明．小亮發(fā)現(xiàn)這里可以由經(jīng)過一種圖形變換得到，請(qǐng)你寫出這種變換的過程可以由繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．（不需要證明）拓展研究：（2）如圖2，在四邊形中，，，、分別是邊、上的點(diǎn)，且，試問線段、、具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出證明過程．（3）如圖3，在四邊形中，，與互補(bǔ)，點(diǎn)、分別在射線、上，且．當(dāng)，，時(shí)，的周長(zhǎng)等于．【解答】解：（1）從圖形看，可以由繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，故答案為：可以由繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到；（2）結(jié)論：，理由是：如圖2，延長(zhǎng)到，使，連接．，，，在與中，，，，，．．又，，．．；（3）在上截取，，，，，，；，，；是與的公共邊，，；，．的周長(zhǎng)，故答案為：13．4．已知，如圖1，四邊形是正方形，、分別在邊、上，且，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．（1）在圖1中，連接，為了證明結(jié)論“”，小明將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后解答了這個(gè)問題，請(qǐng)按小明的思路寫出證明過程；（2）如圖2，當(dāng)?shù)膬蛇叿謩e與、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)、，連接，試探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【解答】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)可得，，，四邊形為正方形，，，，，在和中，，，；（2）解：，證明如