【【高考】】2018年全國統(tǒng)一【高考】數(shù)學試卷（文科）（新課標ⅱ）（含答案）

【【高考】】2018年全國統(tǒng)一【高考】數(shù)學試卷（文科）（新課標ⅱ）（含答案）【【高考】】2018年全國統(tǒng)一【高考】數(shù)學試卷（文科）（新課標ⅱ）（含答案）第1頁（共1頁）【【高考】】2018年全國統(tǒng)一【高考】數(shù)學試卷（文科）（新課標ⅱ）（含答案）2018年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標Ⅱ）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）i（2+3i）=（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i 2．（5分）已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，則A∩B=（）A．{3} B．{5} C．{3，5} D．{1，2，3，4，5，7} 3．（5分）函數(shù)f（x）=的圖象大致為（）A． B． C． D． 4．（5分）已知向量，滿足||=1，=﹣1，則?（2）=（）A．4 B．3 C．2 D．0 5．（5分）從2名男同學和3名女同學中任選2人參加社區(qū)服務，則選中的2人都是女同學的概率為（）A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 6．（5分）雙曲線=1（a＞0，b＞0）的離心率為，則其漸近線方程為（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x 7．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，則AB=（）A．4 B． C． D．2 8．（5分）為計算S=1﹣+﹣+…+﹣，設計了如圖的程序框圖，則在空白框中應填入（）A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4 9．（5分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點，則異面直線AE與CD所成角的正切值為（）A． B． C． D． 10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[0，a]是減函數(shù)，則a的最大值是（）A． B． C． D．π 11．（5分）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，則C的離心率為（）A．1﹣ B．2﹣ C． D．﹣1 12．（5分）已知f（x）是定義域為（﹣∞，+∞）的奇函數(shù)，滿足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50 B．0 C．2 D．50 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）曲線y=2lnx在點（1，0）處的切線方程為．14．（5分）若x，y滿足約束條件，則z=x+y的最大值為．15．（5分）已知tan（α﹣）=，則tanα=．16．（5分）已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB互相垂直，SA與圓錐底面所成角為30°．若△SAB的面積為8，則該圓錐的體積為．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{an}的通項公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值．18．（12分）如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額y（單位：億元）的折線圖．為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量t的值依次為1，2，…，17）建立模型①：=﹣30.4+13.5t；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量t的值依次為1，2，…，7）建立模型②：=99+17.5t．（1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值；（2）你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由．19．（12分）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點．（1）證明：PO⊥平面ABC；（2）若點M在棱BC上，且MC=2MB，求點C到平面POM的距離．20．（12分）設拋物線C：y2=4x的焦點為F，過F且斜率為k（k＞0）的直線l與C交于A，B兩點，|AB|=8．（1）求l的方程；（2）求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程．21．（12分）已知函數(shù)f（x）=x3﹣a（x2+x+1）．（1）若a=3，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：f（x）只有一個零點．（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）22．（10分）在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為，（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）．（1）求C和l的直角坐標方程；（2）若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為（1，2），求l的斜率．[選修4-5：不等式選講]（10分）23．設函數(shù)f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．（1）當a=1時，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≤1，求a的取值范圍．

2018年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標Ⅱ）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）i（2+3i）=（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i 【考點】A5：復數(shù)的運算．【專題】11：計算題；34：方程思想；4O：定義法；5N：數(shù)系的擴充和復數(shù)．【分析】利用復數(shù)的代數(shù)形式的乘除運算法則直接求解．【解答】解：i（2+3i）=2i+3i2=﹣3+2i．故選：D．【點評】本題考查復數(shù)的求法，考查復數(shù)的代數(shù)形式的乘除運算法則等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎題．2．（5分）已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，則A∩B=（）A．{3} B．{5} C．{3，5} D．{1，2，3，4，5，7} 【考點】1E：交集及其運算．【專題】11：計算題；37：集合思想；4O：定義法；5J：集合．【分析】利用交集定義直接求解．【解答】解：∵集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，∴A∩B={3，5}．故選：C．【點評】本題考查交集的求法，考查交集定義等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎題．3．（5分）函數(shù)f（x）=的圖象大致為（）A． B． C． D． 【考點】3A：函數(shù)的圖象與圖象的變換；6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】33：函數(shù)思想；4R：轉(zhuǎn)化法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，利用函數(shù)的定點的符號的特點分別進行判斷即可．【解答】解：函數(shù)f（﹣x）==﹣=﹣f（x），則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除A，當x=1時，f（1）=e﹣＞0，排除D．當x→+∞時，f（x）→+∞，排除C，故選：B．【點評】本題主要考查函數(shù)的圖象的識別和判斷，利用函數(shù)圖象的特點分別進行排除是解決本題的關(guān)鍵．4．（5分）已知向量，滿足||=1，=﹣1，則?（2）=（）A．4 B．3 C．2 D．0 【考點】91：向量的概念與向量的模；9O：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算．【專題】11：計算題；38：對應思想；4O：定義法；5A：平面向量及應用．【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式計算即可．【解答】解：向量，滿足||=1，=﹣1，則?（2）=2﹣=2+1=3，故選：B．【點評】本題考查了向量的數(shù)量積公式，屬于基礎題5．（5分）從2名男同學和3名女同學中任選2人參加社區(qū)服務，則選中的2人都是女同學的概率為（）A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 【考點】D9：排列、組合及簡單計數(shù)問題．【專題】11：計算題；38：對應思想；4O：定義法；5I：概率與統(tǒng)計．【分析】（適合理科生）從2名男同學和3名女同學中任選2人參加社區(qū)服務，共有C52=10種，其中全是女生的有C32=3種，根據(jù)概率公式計算即可，（適合文科生），設2名男生為a，b，3名女生為A，B，C，則任選2人的種數(shù)為ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10種，其中全是女生為AB，AC，BC共3種，根據(jù)概率公式計算即可【解答】解：（適合理科生）從2名男同學和3名女同學中任選2人參加社區(qū)服務，共有C52=10種，其中全是女生的有C32=3種，故選中的2人都是女同學的概率P==0.3，（適合文科生），設2名男生為a，b，3名女生為A，B，C，則任選2人的種數(shù)為ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10種，其中全是女生為AB，AC，BC共3種，故選中的2人都是女同學的概率P==0.3，故選：D．【點評】本題考查了古典概率的問題，采用排列組合或一一列舉法，屬于基礎題．6．（5分）雙曲線=1（a＞0，b＞0）的離心率為，則其漸近線方程為（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x 【考點】KC：雙曲線的性質(zhì)．【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；4O：定義法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】根據(jù)雙曲線離心率的定義求出a，c的關(guān)系，結(jié)合雙曲線a，b，c的關(guān)系進行求解即可．【解答】解：∵雙曲線的離心率為e==，則=====，即雙曲線的漸近線方程為y=±x=±x，故選：A．【點評】本題主要考查雙曲線漸近線的求解，結(jié)合雙曲線離心率的定義以及漸近線的方程是解決本題的關(guān)鍵．7．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，則AB=（）A．4 B． C． D．2 【考點】HR：余弦定理．【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；58：解三角形．【分析】利用二倍角公式求出C的余弦函數(shù)值，利用余弦定理轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，則AB====4．故選：A．【點評】本題考查余弦定理的應用，考查三角形的解法以及計算能力．8．（5分）為計算S=1﹣+﹣+…+﹣，設計了如圖的程序框圖，則在空白框中應填入（）A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4 【考點】E7：循環(huán)結(jié)構(gòu)；EH：繪制程序框圖解決問題．【專題】38：對應思想；4B：試驗法；5K：算法和程序框圖．【分析】模擬程序框圖的運行過程知該程序運行后輸出的S=N﹣T，由此知空白處應填入的條件．【解答】解：模擬程序框圖的運行過程知，該程序運行后輸出的是S=N﹣T=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）；累加步長是2，則在空白處應填入i=i+2．故選：B．【點評】本題考查了循環(huán)程序的應用問題，是基礎題．9．（5分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點，則異面直線AE與CD所成角的正切值為（）A． B． C． D． 【考點】LM：異面直線及其所成的角．【專題】11：計算題；31：數(shù)形結(jié)合；41：向量法；5G：空間角．【分析】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線AE與CD所成角的正切值．【解答】解以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，設正方體ABCD﹣A1B1C1D1棱長為2，則A（2，0，0），E（0，2，1），D（0，0，0），C（0，2，0），=（﹣2，2，1），=（0，﹣2，0），設異面直線AE與CD所成角為θ，則cosθ===，sinθ==，∴tanθ=．∴異面直線AE與CD所成角的正切值為．故選：C．【點評】本題考查異面直線所成角的正切值的求法，考查空間角等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎題．10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[0，a]是減函數(shù)，則a的最大值是（）A． B． C． D．π 【考點】GP：兩角和與差的三角函數(shù)；H5：正弦函數(shù)的單調(diào)性．【專題】33：函數(shù)思想；4R：轉(zhuǎn)化法；56：三角函數(shù)的求值．【分析】利用兩角和差的正弦公式化簡f（x），由﹣+2kπ≤x﹣≤+2kπ，k∈Z，得﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，取k=0，得f（x）的一個減區(qū)間為[﹣，]，結(jié)合已知條件即可求出a的最大值．【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=﹣sin（x﹣），由﹣+2kπ≤x﹣≤+2kπ，k∈Z，得﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，取k=0，得f（x）的一個減區(qū)間為[﹣，]，由f（x）在[0，a]是減函數(shù)，得a≤．則a的最大值是．故選：C．【點評】本題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應用，三角函數(shù)的求值，屬于基本知識的考查，是基礎題．11．（5分）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，則C的離心率為（）A．1﹣ B．2﹣ C． D．﹣1 【考點】K4：橢圓的性質(zhì)．【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】利用已知條件求出P的坐標，代入橢圓方程，然后求解橢圓的離心率即可．【解答】解：F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，可得橢圓的焦點坐標F2（c，0），所以P（c，c）．可得：，可得，可得e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1），解得e=．故選：D．【點評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應用，考查計算能力．12．（5分）已知f（x）是定義域為（﹣∞，+∞）的奇函數(shù)，滿足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50 B．0 C．2 D．50 【考點】3K：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷．【專題】36：整體思想；4O：定義法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性的關(guān)系求出函數(shù)的周期是4，結(jié)合函數(shù)的周期性和奇偶性進行轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：∵f（x）是奇函數(shù)，且f（1﹣x）=f（1+x），∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，則f（x+2）=﹣f（x），則f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，∵f（1）=2，∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，f（4）=f（0）=0，則f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故選：C．【點評】本題主要考查函數(shù)值的計算，根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性的關(guān)系求出函數(shù)的周期性是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）曲線y=2lnx在點（1，0）處的切線方程為y=2x﹣2．【考點】6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【專題】11：計算題；34：方程思想；49：綜合法；53：導數(shù)的綜合應用．【分析】欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數(shù)求出在x=1的導函數(shù)值，再結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．【解答】解：∵y=2lnx，∴y′=，當x=1時，y′=2∴曲線y=2lnx在點（1，0）處的切線方程為y=2x﹣2．故答案為：y=2x﹣2．【點評】本小題主要考查直線的斜率、導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．14．（5分）若x，y滿足約束條件，則z=x+y的最大值為9．【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【專題】11：計算題；31：數(shù)形結(jié)合；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5T：不等式．【分析】由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得答案．【解答】解：由x，y滿足約束條件作出可行域如圖，化目標函數(shù)z=x+y為y=﹣x+z，由圖可知，當直線y=﹣x+z過A時，z取得最大值，由，解得A（5，4），目標函數(shù)有最大值，為z=9．故答案為：9．【點評】本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．15．（5分）已知tan（α﹣）=，則tanα=．【考點】GP：兩角和與差的三角函數(shù)．【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；56：三角函數(shù)的求值．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導公式以及兩角和差的正切公式進行計算即可．【解答】解：∵tan（α﹣）=，∴tan（α）=，則tanα=tan（α+）=====，故答案為：．【點評】本題主要考查三角函數(shù)值的計算，利用兩角和差的正切公式進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．16．（5分）已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB互相垂直，SA與圓錐底面所成角為30°．若△SAB的面積為8，則該圓錐的體積為8π．【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；MI：直線與平面所成的角．【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5F：空間位置關(guān)系與距離；5G：空間角．【分析】利用已知條件求出母線長度，然后求解底面半徑，以及圓錐的高．然后求解體積即可．【解答】解：圓錐的頂點為S，母線SA，SB互相垂直，△SAB的面積為8，可得：，解得SA=4，SA與圓錐底面所成角為30°．可得圓錐的底面半徑為：2，圓錐的高為：2，則該圓錐的體積為：V==8π．故答案為：8π．【點評】本題考查圓錐的體積的求法，母線以及底面所成角的應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{an}的通項公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值．【考點】84：等差數(shù)列的通項公式；85：等差數(shù)列的前n項和．【專題】34：方程思想；49：綜合法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）根據(jù)a1=﹣7，S3=﹣15，可得a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，求出等差數(shù)列{an}的公差，然后求出an即可；（2）由a1=﹣7，d=2，an=2n﹣9，得Sn===n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，由此可求出Sn以及Sn的最小值．【解答】解：（1）∵等差數(shù)列{an}中，a1=﹣7，S3=﹣15，∴a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，解得a1=﹣7，d=2，∴an=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9；（2）∵a1=﹣7，d=2，an=2n﹣9，∴Sn===n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，∴當n=4時，前n項的和Sn取得最小值為﹣16．【點評】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了等差數(shù)列的前n項的和公式，屬于中檔題．18．（12分）如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額y（單位：億元）的折線圖．為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量t的值依次為1，2，…，17）建立模型①：=﹣30.4+13.5t；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量t的值依次為1，2，…，7）建立模型②：=99+17.5t．（1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值；（2）你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由．【考點】BK：線性回歸方程．【專題】31：數(shù)形結(jié)合；4O：定義法；5I：概率與統(tǒng)計．【分析】（1）根據(jù)模型①計算t=19時的值，根據(jù)模型②計算t=9時的值即可；（2）從總體數(shù)據(jù)和2000年到2009年間遞增幅度以及2010年到2016年間遞增的幅度比較，即可得出模型②的預測值更可靠些．【解答】解：（1）根據(jù)模型①：=﹣30.4+13.5t，計算t=19時，=﹣30.4+13.5×19=226.1；利用這個模型，求出該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值是226.1億元；根據(jù)模型②：=99+17.5t，計算t=9時，=99+17.5×9=256.5；．利用這個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值是256.5億元；（2）模型②得到的預測值更可靠；因為從總體數(shù)據(jù)看，該地區(qū)從2000年到2016年的環(huán)境基礎設施投資額是逐年上升的，而從2000年到2009年間遞增的幅度較小些，從2010年到2016年間遞增的幅度較大些，所以，利用模型②的預測值更可靠些．【點評】本題考查了線性回歸方程的應用問題，是基礎題．19．（12分）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點．（1）證明：PO⊥平面ABC；（2）若點M在棱BC上，且MC=2MB，求點C到平面POM的距離．【考點】LW：直線與平面垂直；MK：點、線、面間的距離計算．【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5F：空間位置關(guān)系與距離．【分析】（1）證明：可得AB2+BC2=AC2，即△ABC是直角三角形，又POA≌△POB≌△POC，可得∠POA=∠POB=∠POC=90°，即可證明PO⊥平面ABC；（2）設點C到平面POM的距離為d．由VP﹣OMC=VC﹣POM?，解得d即可【解答】（1）證明：∵AB=BC=2，AC=4，∴AB2+BC2=AC2，即△ABC是直角三角形，又O為AC的中點，∴OA=OB=OC，∵PA=PB=PC，∴△POA≌△POB≌△POC，∴∠POA=∠POB=∠POC=90°，∴PO⊥AC，PO⊥OB，OB∩AC=0，∴PO⊥平面ABC；（2）解：由（1）得PO⊥平面ABC，PO=，在△COM中，OM==．S=××=，S△COM==．設點C到平面POM的距離為d．由VP﹣OMC=VC﹣POM?，解得d=，∴點C到平面POM的距離為．【點評】本題考查了空間線面垂直的判定，等體積法求距離，屬于中檔題．20．（12分）設拋物線C：y2=4x的焦點為F，過F且斜率為k（k＞0）的直線l與C交于A，B兩點，|AB|=8．（1）求l的方程；（2）求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程．【考點】KN：直線與拋物線的綜合．【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）方法一：設直線AB的方程，代入拋物線方程，根據(jù)拋物線的焦點弦公式即可求得k的值，即可求得直線l的方程；方法二：根據(jù)拋物線的焦點弦公式|AB|=，求得直線AB的傾斜角，即可求得直線l的斜率，求得直線l的方程；（2）根據(jù)過A，B分別向準線l作垂線，根據(jù)拋物線的定義即可求得半徑，根據(jù)中點坐標公式，即可求得圓心，求得圓的方程．【解答】解：（1）方法一：拋物線C：y2=4x的焦點為F（1，0），設直線AB的方程為：y=k（x﹣1），設A（x1，y1），B（x2，y2），則，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，則x1+x2=，x1x2=1，由|AB|=x1+x2+p=+2=8，解得：k2=1，則k=1，∴直線l的方程y=x﹣1；方法二：拋物線C：y2=4x的焦點為F（1，0），設直線AB的傾斜角為θ，由拋物線的弦長公式|AB|===8，解得：sin2θ=，∴θ=，則直線的斜率k=1，∴直線l的方程y=x﹣1；（2）由（1）可得AB的中點坐標為D（3，2），則直線AB的垂直平分線方程為y﹣2=﹣（x﹣3），即y=﹣x+5，設所求圓的圓心坐標為（x0，y0），則，解得：或，因此，所求圓的方程為（x﹣3）2+（y﹣2）2=16或（x﹣11）2+（y+6）2=144．【點評】本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線的焦點弦公式，考查圓的標準方程，考查轉(zhuǎn)換思想思想，屬于中檔題．21．（12分）已知函數(shù)f（x）=x3﹣a（x2+x+1）．（1）若a=3，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：f（x）只有一個零點．【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6D：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【專題】11：計算題；33：函數(shù)思想；34：方程思想；49：綜合法；53：導數(shù)的綜合應用．【分析】（1）利用導數(shù)，求出極值點，判斷導函數(shù)的符號，即可得到結(jié)果．（2）分離參數(shù)后求導，先找點確定零點的存在性，再利用單調(diào)性確定唯一性．【解答】解：（1）當a=3時，f（x）=x3﹣a（x2+x+1），所以f′（x）=x2﹣6x﹣3時，令f′（x）=0解得x=3，當x∈（﹣∞，3﹣2），x∈（3+2，+∞）時，f′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)，當x∈（3﹣2時，f′（x）＜0，函數(shù)是單調(diào)遞減，綜上，f（x）在（﹣∞，3﹣2），（3+2，+∞），上是增函數(shù)，在（3﹣2上遞減．（2）證明：因為x2+x+1=（x+）2+，所以f（x）=0等價于，令，則，僅當x=0時，g′（x）=0，所以g（x）在R上是增函數(shù)；g（x）至多有一個零點，從而f（x）至多有一個零點．又因為f（3a﹣1）=﹣6a2+2a﹣=﹣6（a﹣）2﹣＜0，f（3a+1）=＞0，故f（x）有一個零點，綜上，f（x）只有一個零點．【點評】