四川省自貢市2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

第第頁2023－2024學(xué)年九年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷第Ⅰ卷選擇題（共48分）一、選擇題（每小題4分，共48分）1.下列圖形中，既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心，進行逐一判斷即可．【詳解】解：A、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故A選項不合題意；B、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故C選項不合題意；D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故D選項不合題意．故選B．【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義.2.一元二次方程的解是（）A. B. C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可求解．【詳解】解：∴或，解得：，，故選：C．【點睛】本題考查了解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．3.在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為5，以下各點在內(nèi)的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)勾股定理求出各點到O的距離，再與的半徑5相比較即可．【詳解】解：A、點到O的距離為，則點在內(nèi)，本選項符合題意；B、點到O的距離為，則點在上，本選項不符合題意；C、點到O的距離為，則點在外，本選項不符合題意；D、點到O的距離為，則點在外，本選項不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查的是點與圓的位置關(guān)系，熟知點與圓的三種位置關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．4.將拋物線向左平移2個單位，再向上平移1個單位，得到拋物線的解析式為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)平移規(guī)律“左加右減，上加下減”的原則進行解答即可．【詳解】解：拋物線向左平移2個單位，再向上平移1個單位，得到的拋物線解析式為：，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知二次函數(shù)圖象的平移法則是解題的關(guān)鍵．5.下列說法正確的是（）A.不可能事件發(fā)生概率為0，而隨機事件發(fā)生的概率為；B.某校370名學(xué)生中肯定存在生日相同的同學(xué)；C.任意擲一枚均勻的骰子，擲出的點數(shù)是奇數(shù)的概率是；D.在疫情防控期間，有一天我市篩查出了一名新冠患者，小明當(dāng)天撥錯了電話號碼，發(fā)現(xiàn)接電話的人正是這名患者，這是一個不可能事件．【答案】B【解析】【分析】分別利用隨機事件的定義以及利用頻率估計概率的方法分析求出即可．【詳解】解：A、不可能事件發(fā)生的概率為0，而隨機事件發(fā)生的概率為大于等于0、小于1，原說法錯誤，本選項不符合題意；B、某校370名學(xué)生中肯定存在生日相同的同學(xué)，正確，本選項符合題意；C、任意擲一枚均勻的骰子，擲出的點數(shù)是奇數(shù)的概率是，原說法錯誤，本選項不符合題意；D、在疫情防控期間，有一天我市篩查出了一名新冠患者，小明當(dāng)天撥錯了電話號碼，發(fā)現(xiàn)接電話的人正是這名患者，這是一個隨機事件，原說法錯誤，本選項不符合題意；故選：B．【點睛】此題主要考查了隨機事件以及確定時間和利用頻率估計概率等知識，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．6.一部售價為4000元的手機，一年內(nèi)連續(xù)兩次降價，如果每次降價的百分率都是x，則兩次降價后的價格y（元）與每次降價的百分率x之間的函數(shù)關(guān)系式是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩次降價后的價格等于原價乘以（每次降價的百分率），列出函數(shù)關(guān)系式，即可求解．【詳解】解：∵每次降價的百分率都是x，∴兩次降價后的價格y（元）與每次降價的百分率x之間的函數(shù)關(guān)系式是．故選：B【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7.如圖，是的直徑，點C，D在上，若，則的度數(shù)為（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由于是直徑，由圓周角定理可知，則和互余，欲求需先求出的度數(shù)，已知了同弧所對的圓周角的度數(shù)，則，由此得解．【詳解】解：是的直徑，，即；又，．故選：D．【點睛】此題主要考查的是圓周角定理及其推論；半圓（?。┖椭睆剿鶎Φ膱A周角是直角；同弧所對的圓周角相等．8.二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圖像可以知道，進而得出的正負(fù)，求出一次函數(shù)經(jīng)過的象限，進而得出答案.【詳解】解：根據(jù)圖像可得：，，故經(jīng)過一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限，故選：D.【點睛】本題考查的二次函數(shù)圖像與的關(guān)系，進而得出系數(shù)的正負(fù)值，再根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)求出答案即可.9.如圖，小穎在圍棋盤上兩個相鄰格子的格點上任意擺放黑、白兩個棋子，且兩個棋子不在同一條網(wǎng)格線上，其中，恰好擺放成如圖所示位置的概率是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先找出符合的所有情況，再得出選項即可．【詳解】如圖所示，共有12種情況，恰好擺放成如圖所示位置的只有1種，所以概率是，故選：D．【點睛】本題考查了概率的求法：如果一個事件有種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件出現(xiàn)種結(jié)果，那么事件的概率，能找出符合的所有情況是解本題的關(guān)鍵．10.某地有兩人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后又有70人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)為（）A.5人 B.6人 C.7人 D.8人【答案】A【解析】【分析】設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)為人，第一輪傳染后有人患了流感，第二輪有人，根據(jù)兩輪后共有72人，列出一元二次方程，解方程即可求解．【詳解】解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)為人，第一輪傳染后有人患了流感，第二輪有人，依題意，得解得：（舍去）故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．11.如圖，在等腰中，，將邊繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到，連接，連接交于點E，若，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出輔助圓，利用圓周角定理求得，，利用等邊對等角以及三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵，∴點B、C、D在以A為圓心，AD為半徑的圓上，如圖：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得，故選：B．【點睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，作出輔助圓是解題的關(guān)鍵．12.如圖，九（1）班同學(xué)準(zhǔn)備用8米長的圍欄，在本班勞動實踐基地內(nèi)圍出一塊一邊靠墻的等腰三角形菜地，他們能圍出的最大面積是（）A.米 B.米 C.8米 D.米【答案】C【解析】【分析】腰相等的不同等腰三角形中直角三角形面積最大，再結(jié)合三角形的面積知識求得．【詳解】∵在等腰三角形中，根據(jù)三角形面積公式，，當(dāng)時，三角形面積最大，（平方米）故選C．【點睛】此題考查了三角形的面積，解題的關(guān)鍵是熟悉三角形的面積公式．第Ⅱ卷非選擇題（共102分）二、填空題（本大題共6個小題，每題4分，共24分）13.拋物線的對稱軸是______．【答案】直線【解析】【分析】根據(jù)拋物線的對稱軸是直線即可確定．【詳解】解：∵拋物線的解析式為，∴拋物線的對稱軸為直線，故答案為：直線．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握由拋物線的頂點坐標(biāo)式寫出拋物線的對稱軸方程，比較容易．14.關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，則k的取值范圍是______．【答案】且【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程定義和一元二次方程根的判別式列不等式組求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得，解得：且，故答案為：且．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用．切記不要忽略一元二次方程二次項系數(shù)不為零這一隱含條件．15.如圖，在中，點C在弦上，，則的半徑為______．【答案】【解析】【分析】過點O作于點D，連接，先根據(jù)垂徑定理求出的長，再由勾股定理求出的長，在中根據(jù)勾股定理即可得出的長．【詳解】解：過點O作于點D，連接，∵，∴，∴．在中，∵，∴，在中，∵，∴．即的半徑為．故答案為：．【點睛】本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．16.如圖，用一個圓心角為，半徑為6的扇形作一個圓錐的側(cè)面，這個圓錐的底面圓的半徑為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)弧長公式先計算出扇形的弧長，再利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長求解．【詳解】解：扇形弧長，設(shè)圓錐的底面半徑為R，則，所以．故答案為：．【點睛】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．17.在實數(shù)范圍內(nèi)定義一種運算“*”，其運算法則為．根據(jù)這個法則，下列結(jié)論中錯誤的是______．（只填寫番號）①；②若，則；③是一元二次方程；④方程有一個解是．【答案】①③④【解析】【分析】根據(jù)運算法則為，一一判斷即可．【詳解】解：①，故①符合題意；②若，則，∴，，∴，故②不符合題意；③，是一元一次方程，故③符合題意；④方程，即，整理得，由于，∴，方程無實數(shù)解，故④符合題意；綜上，①③④符合題意；故答案為：①③④．【點睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，實數(shù)的運算等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用新的定義解決問題．18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，，，與直線相切于點C，點D是線段上一動點，則的最小值為______．【答案】##【解析】【分析】作點C關(guān)于x軸的對稱點G，且交x軸于點E，點G向右平移3個單位得到點H，過H作軸于點F交于點D，作軸于點N，求得的最小值為，利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，，∴，作點C關(guān)于x軸的對稱點G，且交x軸于點E，點G向右平移3個單位得到點H，過H作軸于點F交于點D，作軸于點N，此時，，∴，故的最小值為，∵，，∴是等腰直角三角形，且，∵與直線相切于點C，∴，則，∴是等腰直角三角形，則，∵，，∴，，，∵軸，軸，∴，∴，∴，即，∴，∴，CE＋DF的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，軸對稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．三、解答題（共8個題，共78分）19.解方程：．【答案】．【解析】【詳解】試題分析：利用公式法解方程即可.試題解析：．．=12．．．．∴方程的解為．20.一只不透明的袋子中裝有3個大小、質(zhì)地完全相同的乒乓球，球面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，攪勻后先從袋子中任意摸出1個球，記下數(shù)字后放回，攪勻后再從袋子中任意摸出1個球，記下數(shù)字．（1）第一次摸到標(biāo)有奇數(shù)的乒乓球的概率是______；（2）小李和小劉兩同學(xué)約定，若兩次摸到的乒乓球上所標(biāo)數(shù)字之積為偶數(shù)則小李勝，否則小劉勝，這個游戲規(guī)則公平嗎？請說明理由，【答案】（1）（2）不公平，理由見解析【解析】【分析】（1）第一次的可能性有三種，直接求解即可．（2）列出表格，得到兩次數(shù)字的積，直接判斷即可．【小問1詳解】第一次摸出求的可能性有3種可能的結(jié)果，摸到標(biāo)有奇數(shù)的乒乓球有2種可能的結(jié)果那么第一次摸到標(biāo)有奇數(shù)的乒乓球的概率是【小問2詳解】列表如下：那么兩次摸到的乒乓球上所標(biāo)數(shù)字之積為分別為1，2，3，2，4，6，3，6，9，其中偶數(shù)有5種可能的結(jié)果，奇數(shù)有4種可能的結(jié)果若兩次摸到的乒乓球上所標(biāo)數(shù)字之積為偶數(shù)則小李勝，否則小劉勝，即，，因此小李的勝利的可能性更大一些，游戲規(guī)則不公平．【點睛】此題考查概率，解題關(guān)鍵是將事件分步驟計算可能性．21.如圖，是的直徑，C為上一點，與過點C的直線互相垂直，垂足為點D，平分．求證：直線是的切線．【答案】見解析【解析】【分析】連接OC，根據(jù)圓的半徑相等OA＝OC,得出∠OAC＝∠OCA，根據(jù)AC平分∠DAB，可證∠OCA＝∠CAD.利用直線平行判定可得OC∥AD.根據(jù)AD⊥DC，證出OC⊥DC即可.【詳解】證明：連接OC，∵OA＝OC,∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠OAC＝∠CAD.∴∠OCA＝∠CAD.∴OC∥AD.∵AD⊥DC，∴∠OCD＝180°－∠ADC＝90°.∴OC⊥DC.∵OC為半徑，∴直線CD是⊙O的切線.【點睛】本題主要考查的就是切線的判定定理屬于中等題型．解決這個問題就是利用輔助線，有切點連半徑，證垂直，沒切點作垂線，證半徑是解題關(guān)鍵．22.已知關(guān)于x的方程．（1）求證：當(dāng)時，方程總有兩個不相等實數(shù)根；（2）若方程兩個相等的實數(shù)根都是整數(shù)，寫出一組滿足條件的m，n的值，并求此時方程的根．【答案】（1）見解析（2），，(答案不唯一)【解析】【分析】（1）根據(jù)根的判別式符號進行判斷；（2）根據(jù)判別式以及一元二次方程解法即可求出答案．【小問1詳解】證明：∵，∴，∵，∴，即，方程總有兩個實數(shù)根；【小問2詳解】解：由題意可知，，即：．以下答案不唯一，如：當(dāng)，時，方程為．解得．【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根的判別式，本題屬于基礎(chǔ)題型．23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點坐標(biāo)分別是、、，將繞坐標(biāo)原點O順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到．（1）畫出，并寫出點B對應(yīng)點F的坐標(biāo)；（2）求出點C旋轉(zhuǎn)到點G過程中，點C走過的路徑長度；（3）求出在旋轉(zhuǎn)過程中，線段掃過的圖形面積．【答案】（1）圖見解析，（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)要求畫出，根據(jù)圖形，寫出F的坐標(biāo)即可；（2）求出的長即可得解；（3）連接，求出扇形的面積，即為所求．【小問1詳解】解：如圖所示，即為所求；由圖可知：；【小問2詳解】解：∵，∴，∴的長為：；即：點C走過的路徑長度為；【小問3詳解】解：連接，，∵，∴，∴線段掃過的圖形面積為：．【點睛】本題考查坐標(biāo)系與圖形變換—旋轉(zhuǎn)，以及弧長和扇形面積的計算．熟練掌握旋轉(zhuǎn)三要素，弧長和扇形的計算公式，是解題的關(guān)鍵．24.已知一個二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表所示：x…0123…y…03430…（1）在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個二次函數(shù)的圖象；（2）當(dāng)時，直接寫出函數(shù)值y的取值范圍；（3）求該二次函數(shù)的函數(shù)值不大于時，自變量x的取值范圍．【答案】（1）見解析（2）（3）或【解析】【分析】（1）直接用描點法作畫出二次函數(shù)圖象即可；（2）利用圖象法，直接由圖象求解即可；（3）先用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，再求出二次函數(shù)圖象與直線的交點，然后畫出圖象，利用圖象求出解集即可．【小問1詳解】解：根據(jù)表格數(shù)據(jù)描點連線繪制函數(shù)圖象如下：【小問2詳解】解：由圖象可得，當(dāng)時，；【小問3詳解】解：設(shè)二次函數(shù)解析式為，把，，分別代入，得，解得：，∴次函數(shù)解析式為，當(dāng)時，則，解得：，，∴二次函數(shù)與直線的交點坐標(biāo)為，，如圖，∴二次函數(shù)的函數(shù)值不大于時，自變量x的取值范圍為或．【點睛】本題考查畫二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，掌握利用圖象法求不等式的解集是解題的關(guān)鍵．25.在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為r，P是與圓心C不重合的點，點P關(guān)于的限距點的定義如下：若為直線與的一個交點，滿足，則稱為點P關(guān)于的限距點，如圖1為點P及其關(guān)于的限距點的示意圖．（1）當(dāng)?shù)陌霃綖闀r．①分別判斷點，，關(guān)于的限距點是否存在？若存在，求其坐標(biāo)；②如圖2，點D的坐標(biāo)為，DE，DF分別切于點E，F(xiàn)，點P在的邊上．若點P關(guān)于的限距點存在，求點的橫坐標(biāo)的取值范圍．（2）保持（1）中D，E，F(xiàn)三點不變，點P在的邊DE，DF上沿F→D→E的方向運動，的圓心C的坐標(biāo)為，半徑為r，若點P關(guān)于的限距點不存在，則r的取值范圍為______．【答案】（1）①；②（2）【解析】【分析】（1）①畫出圖形，由圖可求解；②分兩種情況：Ⅰ、當(dāng)點在線段上時，Ⅱ、當(dāng)點在線段，上時，分別求解即可；（2）過點C作于M，如圖，求得，根據(jù)點P關(guān)于的限距點不存在，所以或，求解即可．【小問1詳解】解：①如圖，從圖中可以看出點，點關(guān)于的限距點不存在，點關(guān)于的限距點存在，其坐標(biāo)為；②如圖所示，連接并延長交于點，連接并延長交于點，點的坐標(biāo)為，．切于點，．，，．，分別切于點，點，，，．．．，，，，，設(shè)點關(guān)于的限距點的橫坐標(biāo)為，Ⅰ、當(dāng)點在線段上時，直線的延長線與點交點滿足，點關(guān)于的限距點存在，其橫坐標(biāo)滿足；Ⅱ、當(dāng)點在線段，上時，直線與的交點滿足或，點關(guān)于的限距點不存在；綜上所述，點關(guān)于的限距點的橫坐標(biāo)的取值范圍為：；【小問2詳解】解：由（1）可知，，，，∴，過點C作于M，如圖，則，∵點P關(guān)于的限距點不存在，∴或，解得：．【點睛】本題考查新定義，圓的有關(guān)概念與性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，圓的切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，點的坐標(biāo)的特征，利用點的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長度是解決此類問題常用的方法，本題是閱讀型題目，準(zhǔn)確理解新定義并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．26.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點，．（1）求拋物線的表達式及頂點M的坐標(biāo)；（2）線段繞點O旋轉(zhuǎn)得到線段，點D是拋物線對稱軸上一動點，記拋物線在A，B之間的部分為圖象W（包含A，B兩點），若直線與圖象W有公共點，求面積的最大值；（3）在（2）中，當(dāng)直線與圖象W沒有公共點時，點D縱坐標(biāo)t的取值范圍是______；當(dāng)直線與圖象W有公共點時，周長的最小值是______；若點F是圖象W上一動點，四邊形面積的最大值是______．【答案】（1），（