2021屆高三數(shù)學(xué)（文理）一輪復(fù)習(xí)題型訓(xùn)練：函數(shù)的周期性（含解析）

《函數(shù)的周期性》

考查內(nèi)容：函數(shù)周期性的定義與求解，利用周期性求函數(shù)值，解析式，抽

象函數(shù)的周期性等

選擇題(在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)

1.已知定義在R上的函數(shù)“力滿足〃x)=—/(x+1),且當(dāng)lWx<2時，

f(x)=9x-9,則/

A.0B.-6C.18D.-18

2.已知函數(shù)Ax)對于任意實(shí)數(shù)了滿足條件/(x+2)=—工，若/(2)=工，則

/(x)2

/(2020)=()

11

A.----B.—C.—2D.2

22

3.已知定義在尺上的函數(shù)Ax)滿足/(%+2)=—/(%),當(dāng)xc(0,2］時,

/(x)=x-sin7TX,/(I)+/(2)+/(3)+L+/(2019)=()

A.6B.4C.2D.0

4.已知定義在R上的奇函數(shù)〃力滿足〃x+2)=/(2—X),當(dāng)—24尤<0時,

f(x)=ax-l(a>Q),且/(2)=—8,貝|/(2019)=()

A.2B.1C.-2D.-1

5.已知函數(shù)“無)滿足/(x+2)—l=/(x)/(x+2),/(0)=2,則

/(2018)+/(2020)=()

1

A.-1B.2C.1D.——

2

6.函數(shù)y=/(%)是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)(0,1)時，f(x)=%+1,則在

(1,2)時/(x)=()

A.-x-3B.3-xC.1-xD.x+1

7.設(shè)/(%)是定義在H上以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)xw［2,3］時，/(%)=%,則

2,0］時，/(力的解析式為()

A./(x)=2+|x+l|B./(x)=3-|x+l|

C./(%)=2-%D.〃x)=x+4

8.己知〃尤)是定義在R上周期為2的函數(shù)，當(dāng)年［-1』時，/(x)=|x|,那么當(dāng)

%目一7,-5］時/(力=()

A.|x+3|B.\x-3\C.|x+6|D.|x-6|

9.已知偶函數(shù)7。)的圖象關(guān)于(1,0)對稱，且當(dāng)xe(0,1)時，/(x)=Y,貝I］

xe(9,10)時，Ax)=()

A.%2B.-x2C.(x—8>D.-(10-x)2

10.定義在R上的偶函數(shù)〃尤)滿足“x+2)=/(x),且在［―1,0］上單調(diào)遞減，設(shè)

a=/(-2.8),b=/(-1.6),c=/(0.5),則。、b,c大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.c>a>b

C.b>c>aD.a>c>b

ii.已知函數(shù)“x)是定義在R上的奇函數(shù)，y(x+i)是偶函數(shù)，且當(dāng)時，

f(x)=3x-2,則〃2019)+〃2020)=()

A.-1B.0C.1D.2

12.已知函數(shù)y=/(x)的周期為2,當(dāng)xe［0,2］時，/(x)=(x-l)2,如果

g(x)=/(x)-log5|x-l|，則函數(shù)y=g(x)的所有零點(diǎn)之和為()

A.2B.4C.6D.8

二.填空題

13.已知定義在R上的函數(shù)/(力滿足/(X+1)=—/(%),且當(dāng)1WX<2時，

/(x)=9，—9,則/，￡|=

14.已知函數(shù)/(%)對VxeR滿足/(x+2)=/(—x),

y(x+l)=/(x)/(x+2),且/(x)>0,若/⑴=4,則“2019)+4202。)=一

15.已知/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)x滿足/(x+2)=—/(%),

/⑴=2,則/(2019)+/(2020)=.

16.已知兀r)是定義在R上的偶函數(shù)，并且/'(x-4)=/(x),當(dāng)2%W3時，於)=彳,

則次105.5)=.

三.解答題(解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)x,恒有/(x+2)=—/(%),當(dāng)

xe［0,2］時，/(x)=2A:-X2.

(1)求證：/(x)是周期函數(shù)；

(2)當(dāng)xe［2,4］時，求“X)的解析式;

(3)計(jì)算〃0)+〃1)+〃2)++”2014)的值.

18.已知〃尤)是定義在R上且滿足/(x+2)=/(x)的函數(shù).

(1)如果gx<2時，有/(%)=%,求"3)的值；

(2)如果g后2時，有=—若-24W0,求的取值范圍；

(3)如果g(x)=x+/(x)在［0,2］上的值域?yàn)椋?,8］,求g(%)在［-2,4］的值域.

19.設(shè)危)是定義域?yàn)镽的周期函數(shù)，最小正周期為2,且y(l+x)=Xl—%),當(dāng)一

l<x<0時，f(x)=—x.

⑴判斷/(%)的奇偶性；

(2)試求出函數(shù)危)在區(qū)間［—1,2］上的表達(dá)式.

20.已知函數(shù)八力的定義域?yàn)镽,且滿足〃x+2)=—/(%).

⑴求證：“可是周期函數(shù)；

⑵若“可為奇函數(shù)，且當(dāng)OWxWl時，/(x)=1x,求使/(x)=—1■在［0,2014］

上的所有X的個數(shù).

21.設(shè)函數(shù)/(%)在R上滿足"3+X)="3-x),/(8+x)=/(8-X),且

在閉區(qū)間［0,8］上只有/⑴=/(5)=/⑺=0.

(1)求證函數(shù)/(九)是周期函數(shù)；

(2)求函數(shù)/(%)在閉區(qū)間［-10,0］上的所有零點(diǎn)；

(3)求函數(shù)“可在閉區(qū)間［-2012,2012］上的零點(diǎn)個數(shù)及所有零點(diǎn)的和.

22.已知定義在R上的函數(shù)/(X)同時滿足：①對任意XGR,都有

/(x+1)=-/(%)；②當(dāng)XC(0,1］時，/(%)=x,

(1)當(dāng)xe(2,4］時，求/(x)的表達(dá)式；

(2)若關(guān)于工的方程/。)=2%+加在(2,4］上有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(3)若對任意xc(-8,4］,關(guān)于x的不等式/(x)>2x+m都成立，求實(shí)數(shù)m的取

值范圍.

《函數(shù)的周期性》解析

L【解析】〃x)=-/(x+l),.-./(%+1)=-/(%),

，/(x+2)=-/(x+l)=/(x)，

所以，函數(shù)y=/(x)是以2為周期的周期函數(shù)，

2.【解析】/(%+2)=/(%+4)=-1=/(x):.T=4

/(x)/(x+2)

/(2020)=/(4)=--i-=-2,故選：c

J\^)

3.【解析】?.?/(x+4)=—〃x+2)=/(x),的周期為4,

"1)=1,42)=2,/(3)=-/(1)=-1,/(4)=-/(2)=-2,

/(1)+/(2)+/(3)+-+/(2019)=/(1)+/(2)+/(3)=2.

4?【解析】根據(jù)題意，函數(shù)/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，則/(-x)=-/(%),

若函數(shù)了(尤)滿足/(x+2)—f(2-x),則有/(-x)—f(x+4),

則有了(x+4)=-f(尤)，變形可得了(x+8)=-f(x+4)=于(尤)，

則函數(shù)了(無)是周期為8的周期函數(shù)，

又由函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且/(2)=-8,則/(-2)=8,

若當(dāng)-2Wx<0時，f(x)=〃-1(a>0),且/(-2)=a2-1=8,解可得。=；,

則/(-I)=(1)-1-1=2,則/(1)=-2,

又由函數(shù)/(x)是周期為8的周期函數(shù)，

則了(2019)=/(3+2016)=/(3)=/(1)=-2；故選：C.

11

5.【解析】/(%+2)=/(x+4)==1-

1-/Wl-/(x+2)/(x)

/(x+6)=———■-=/(%),所以/(x)的周期為6,

l-/(x+4)

f(2018)="6x336+2)=/(2)=-1,

/(2020)=/(6x336+4)=/(4)=1,所以/'(2018)+/(2020)=—g.故選：D.

6.【解析】設(shè)無￡(1,2),則-(-2,-1),(0,1)

：.f(2-x)=2-x+l=3-x,函數(shù)y=/(x)是以2為周期的偶函數(shù)

.*./(x+2)=f(x),/(-x)=f(%),則/(2-x)=f(-x)=f(x)=3-x

故選艮

7.【解析】/(力是定義在R上以2為周期的偶函數(shù)，

,當(dāng)xe[_2,—l]時，%+4e[2,3],/(x)=/(%+4)=^+4；

當(dāng)xe[_l,O]時，-x+2e[2,3],/(%)=/(-%)=/(-%+2)=-%+2,

二當(dāng)xe[-2,0]時，/(%)=3-卜+1卜故選：B.

8.【解析】設(shè)則x+6e[—l,l],由題意知,/(x+6)=|x+6],

因?yàn)楹瘮?shù)/(可是定義在R上周期為2的函數(shù)，

所以/(x+6)=/(x),即/(x)=|x+6].故選:C

9.【解析】偶函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于a,0)對稱，則/(%)=/(—x),/a—x)=—/(l+無)

得到/(%)=/(-%)=-f(2+x),f(x+2)=—/(x+4),

故/(x+4)=/(x)周期為4,設(shè)xe(9,10),則10-xc(0,l)

/(x)=—/(x+2)=-/(x-10)=-/(10-x)=-(10-J,故選：D

10.【解析】：偶函數(shù)滿足〃x+2)=/(x),.?.函數(shù)的周期為2.

由于a=/(—2.8)=〃-0.8),b=/(-1.6)=/(0.4)=/(-0.4),

c=/(O.5)=/(-O.5),-O.8<—0.5<-0.4.且函數(shù)/(九)在[—1,0]上單調(diào)遞減，

:?a>c>b.

11.【解析】=—/(x),/(—x+l)=/(x+l),.,.

/(2+x)=/(-x)=-/(x),/./(4+x)=-/(2+x)=/(x),

最小正周期T=4,又/(0)=0,

7(2019)=/(505X4-1)=/(-1)=-/(1)=-1,

/(2020)=f(505x4)=/(0)=0,/(2019)+/(2020)=—1,故選：A.

12.【解析】由題意可得g(x)=f(x)+log5|x-l|,

根據(jù)周期性畫出函數(shù)f(x)=(x-l)2的圖象以及y=log引X-1|的圖象，

根據(jù)y=log引x-l|在(1,+oo)上單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)x二"6"時，log5|x-l|二l,

，當(dāng)x>6時，y=log5|x-l|>l,此時與函數(shù)y=f(x)無交點(diǎn).

再根據(jù)y=log5|x-l|的圖象和f(x)的圖象都關(guān)于直線x=l對稱，結(jié)合圖象可知有8個

交點(diǎn)，則函數(shù)g(x)=f(x)-log5|x-l|的零點(diǎn)個數(shù)為8,故選D.

13.【解析】由/(%+1)=—/(%),可得/(x+2)=—/(x+l)=〃x)nT=2

14?【解析】YXER,/(力>0且/(X+1)=/(X)/(X+2),

得小+2)=翁，二4+3)=彳翳=黑產(chǎn)天%=看,

???/(X+6)=/(：+3)=/(X),，丁:/口)是以6為周期的周期函數(shù),

/(x+2)=/(-%),.?./(x+l)=/(x>/(一%),可得［〃0)T=7'⑴=4,

???"0)=2,又“1)=4,得〃2)=瑞=2,=

八4)=舟1回力！

113

.?./(2019)+/(2020)=/(6X336+3)+/(6X336+4)=/(3)+/(4)=-+-=-

15.【解析】,函數(shù)y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則"0)=0,

且對任意實(shí)數(shù)X滿足/(x+2)=—/⑺，.?.4)=—/(x+2)=/⑺,

所以，函數(shù)y=/(x)是以4為周期的周期函數(shù),

7(2019)=/(4x505-l)=/(-l)=-/(l)=-2,

/(2020)=/(4x505)=/(0)=0,因止匕，/(2019)+f(2020)=-2+0=-2.

16.【解析】由已知，“X—4)=/(￡),故函數(shù)的周期為4.

.?.f(105.5)=f(4x27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5).V2<2,5<3,由題意,得f(2.5)=2.5.

.??f(105.5)=2.5.故答案為2.5

17?【解析】⑴/(%+2)=-/(x),?|-

"%)是周期為4的周期函數(shù).

⑵當(dāng)2,0]時，—xe[0,2],由已知得了(—x)=2(—x)—(―4=—2x—d.

又/(%)是奇函數(shù)，二/(一%)=-/(%)=-2%-*,二/(X)=X2+2%,

又當(dāng)xe[2,4]時,X-4G[-2,0],/./(x-4)=(x-4)2+2(x-4),

又〃尤)是周期為4的周期函數(shù)，

/(x)==(無一4)~+2(%-2)=尤2-6x+8，

從而求得xe[2,4]時，/(%)=X2-6%+8.

(3)/(0)=0,/(2)=0,/(1)=1,/(3)=-1,又/(%)是周期為4的周期函數(shù)，

/(0)+/(1)+/(2)+/(3)=/(4)+/(5)+/(6)+/(7)==f(2008)+f(2009)+/(2010)+/(2011)=0

又了(2012)+〃2013)+〃2014)=/(0)+〃1)+〃2)=1,

/(0)+/(1)+/(2)++/(2014)=1.

18.【解析】⑴f(3)=f(l+2)=f(l)=l；

⑵若-2WaW0,則ga+2W2,.?.f(a)=f(a+2)=(a+2—1)2=但+1)屋[0』；

(3)因?yàn)間(x)=x+f(x)在[0,2]上的值域?yàn)閇3,8],所以f(x)在[0,2]上的值域

為[3,6],所以g(x)在[-2,4]上的值域?yàn)閇1,10].

19.【解析】(l);VU+x)=/U—x),x)=/(2+x).

又7(%+2)=危)，%)=/(x).又危)的定義域?yàn)镽,???加)是偶函數(shù).

(2)當(dāng)x￡[0,1]時，—%e[—1,0],則—%)=%；

進(jìn)而當(dāng)10爛2時，一13一2二0,y(x)=/(x—2)=—(%—2)=—x+2.

-x,xG[-1,0]

故/(x)=<x,xe(O,l)

-x+2,xe[1,2]

20.【解析】⑴證明：於+2)=一加),

???八%+4)=—加+2)=—［—次叨=/(%),???八工)是以4為周期的周期函數(shù).

⑵解當(dāng)00運(yùn)1時,"%)=

設(shè)一13運(yùn)0,貝！!0二一爛1,.\f(—x)=(―%)=—

??7(x)是奇函數(shù)，.??/(—%)=—，")，???一，")=一萬元,即y(x)=5%.

皿1

故#%)=-X-

又設(shè)1<%<3,則一l<x—2<1,?t?fix-2)=5(%—2).

又??"(x)是以4為周期的周期函數(shù)

11

??處—2)=八-2)一段)’—萬(廣2),；&)=一萬(1)(1令<3).

—x,-1<x<1

21

???加)=《，由兀r)=——,解得x=-L

--(%-2),1<%<3-

:八%)是以4為周期的周期函數(shù)，.?猶x)=一g的所有x=4〃一l(〃ez).

人12015-

40<4z?-l<2014,貝nUl—S花-----.又l<H<503(?ez),

44

...在［0,2014］上共有503個x使人x)=-g.

21.【解析】⑴由/(3+x)=/(3—x),/(8+x)=/(8-九)得

/(10+x)=/(8+(8-6+x))=/(6-x)=/(3+3-x)=/(x)

所以〃龍)的最小正周期T=10.

(2)由〃8+x)=/(8—x)知〃9)=〃7)=。

/(1)=/(1-10)=/(-9)=0/(5)=/(5-10)=/(-5)=0

/(7)=/(7-10)=/(-3)=0/(9)=/(9-10)=/(-1)=0

函數(shù)y=/(力在閉區(qū)間［—10,0］上的零點(diǎn)分別有：T，—3,—5,—9.

(3)由(2)可知一個周期內(nèi)有4