2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型24專題專題19 阿基米德折弦定理含解析

2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型專題19阿基米德折弦定理一、方法突破【問(wèn)題呈現(xiàn)】阿基米德，公元前公元前212年，古希臘）是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子．折弦定義:從圓周上任一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，我們稱之為該圖的一條折弦。阿基米德折弦定理：一個(gè)圓中一條由兩長(zhǎng)度不同的弦組成的折弦所對(duì)的兩段弧的中點(diǎn)在較長(zhǎng)弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn)。?如下圖所示，AB和BC是⊙O的兩條弦(即ABC是圓的一條折弦)，BC>AB，M是的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線之垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD=AB+BD?！咀C明方法】方法1:補(bǔ)短法如圖，延長(zhǎng)DB至F，使BF=BA∵M(jìn)是的中點(diǎn)∴∠MCA=∠MAC=∠MBC∵M(jìn)、B、A、C四點(diǎn)共圓∴∠MCA+∠MBA=180°∵∠MBC+∠MBF=180°∴∠MBA=∠MBF∵M(jìn)B=MB,BF=BA∴△MBF≌△MBA∴∠F=∠MAB=∠MCB∴MF=MC∵M(jìn)D⊥CF∴CD=DF=DB+BF=AB+BD方法2:截長(zhǎng)法如圖，在CD上截取DG=DB∵M(jìn)D⊥BG∴MB=MG，∠MGB=∠MBC=∠MAC∵M(jìn)是的中點(diǎn)∴∠MAC=∠MCA=∠MGB即∠MGB=∠MCB+∠BCA=∠MCB+∠BMA又∠MGB=∠MCB+∠GMC∴∠BMA=∠GMC∵M(jìn)A=MC∴△MBA≌△MGC(SAS)∴AB=GC∴CD=CG+GD=AB+BD方法3:垂線法如圖，作MH⊥射線AB，垂足為H。∵M(jìn)是的中點(diǎn)∴MA=MC∵M(jìn)D⊥BC∴∠MDC=90°=∠H∵∠MAB=∠MCB∴△MHA≌△MDC(AAS)∴AH=CD，MH=MD又∵M(jìn)B=MB∴Rt△MHB≌Rt△MDB(HL)∴HB=BD∴CD=AH=AB+BH=AB+BD二、典例精析1．如圖，是劣弧，是的中點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)．自向弦引垂線，垂足為，求證：．2．如圖所示，在中，，，點(diǎn)為劣弧上的動(dòng)點(diǎn)，且．（1）求的長(zhǎng)度；（2）求的值；（3）過(guò)點(diǎn)作，求證：．3．小明學(xué)習(xí)了垂徑定理，做了下面的探究，請(qǐng)根據(jù)題目要求幫小明完成探究．（1）更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多真命題．如圖1，在中，是劣弧的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)，則．請(qǐng)證明此結(jié)論；（2）從圓上任意一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦．如圖2，，組成的一條折弦．是劣弧的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)，則．可以通過(guò)延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，再連接證明結(jié)論成立．請(qǐng)寫出證明過(guò)程；（3）如圖3，．組成的一條折弦，若是優(yōu)弧的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)，則，與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論，不必證明．4．已知、、、是上的四點(diǎn)，，是四邊形的對(duì)角線（1）如圖1，連接，若，求證：是的平分線；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，若，，求線段的長(zhǎng)度．5．如圖，內(nèi)接于，，，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，且．（1）求的長(zhǎng)度；（2）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，弦的延長(zhǎng)線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，問(wèn)的值是否變化？若不變，請(qǐng)求出的值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，過(guò)點(diǎn)作，求證：．三、鞏固練習(xí)1．先閱讀命題及證明思路，再解答下列問(wèn)題．命題：如圖1，在正方形中，已知：，角的兩邊、分別與、相交于點(diǎn)、，連接．求證：．證明思路：如圖2，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至．，，與重合．，，點(diǎn)、、是一條直線．根據(jù)，得證，得．（1）特例應(yīng)用如圖1，命題中，如果，，求正方形的邊長(zhǎng)．（2）類比變式如圖3，在正方形中，已知，角的兩邊、分別與、的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)、，連接．寫出、、之間的關(guān)系式，并證明你的結(jié)論．（3）拓展深入如圖4，在中，、是的弦，且，、是上的兩點(diǎn)，．①如圖5，連接、，求證：，；②若點(diǎn)在（點(diǎn)不與點(diǎn)、、、重合）上，連接、分別交線段、或其延長(zhǎng)線于點(diǎn)、，直接寫出、、之間的等式關(guān)系．2．問(wèn)題提出如圖①，、是的兩條弦，，是的中點(diǎn)，垂足為，求證：．小敏在解答此題時(shí)，利用了“補(bǔ)短法”進(jìn)行證明，她的方法如下：如圖②，延長(zhǎng)至，使，連接、、、、．（請(qǐng)你在下面的空白處完成小敏的證明過(guò)程．推廣運(yùn)用如圖③，等邊內(nèi)接于，，是上一點(diǎn)，，，垂足為，則的周長(zhǎng)是．拓展研究如圖④，若將“問(wèn)題提出”中“是的中點(diǎn)”改成“是的中點(diǎn)”，其余條件不變，“”這一結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，寫出、、三者之間存在的關(guān)系并說(shuō)明理由．3．在中，順次連接、、．（1）如圖1，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，且交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求證：為的切線；（2）如圖2，在（1）的條件下，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，若，，，則、、有何數(shù)量關(guān)系？（3）如圖3，當(dāng)時(shí)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，且，若，的周長(zhǎng)為9，請(qǐng)求出的值？4．【問(wèn)題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理：阿基米德，公元前公元前212年，古希臘）是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子．如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點(diǎn)，即．下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明的部分證明過(guò)程．證明：如圖2，在上截取，連接、、和．是的中點(diǎn)，，又，，，，又，，即．【理解運(yùn)用】如圖1，、是的兩條弦，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，于點(diǎn)，則；【變式探究】如圖3，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，【問(wèn)題呈現(xiàn)】中的其他條件不變，判斷、、之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．【實(shí)踐應(yīng)用】如圖4，是的直徑，點(diǎn)圓上一定點(diǎn)，點(diǎn)圓上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，若，的半徑為5，則．5．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出并證明了“折弦定理”．如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，是優(yōu)弧的中點(diǎn)，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點(diǎn)，即．（1）請(qǐng)按照下面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；證明：如圖2，在上截取，連接，，和．是的中點(diǎn)，，．（2）如圖（3），已知等邊內(nèi)接于，，為上一點(diǎn)，，，垂足為，請(qǐng)你運(yùn)用“折弦定理”求的周長(zhǎng)．專題19阿基米德折弦定理一、方法突破【問(wèn)題呈現(xiàn)】阿基米德，公元前公元前212年，古希臘）是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子．折弦定義:從圓周上任一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，我們稱之為該圖的一條折弦。阿基米德折弦定理：一個(gè)圓中一條由兩長(zhǎng)度不同的弦組成的折弦所對(duì)的兩段弧的中點(diǎn)在較長(zhǎng)弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn)。?如下圖所示，AB和BC是⊙O的兩條弦(即ABC是圓的一條折弦)，BC>AB，M是的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線之垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD=AB+BD?！咀C明方法】方法1:補(bǔ)短法如圖，延長(zhǎng)DB至F，使BF=BA∵M(jìn)是的中點(diǎn)∴∠MCA=∠MAC=∠MBC∵M(jìn)、B、A、C四點(diǎn)共圓∴∠MCA+∠MBA=180°∵∠MBC+∠MBF=180°∴∠MBA=∠MBF∵M(jìn)B=MB,BF=BA∴△MBF≌△MBA∴∠F=∠MAB=∠MCB∴MF=MC∵M(jìn)D⊥CF∴CD=DF=DB+BF=AB+BD方法2:截長(zhǎng)法如圖，在CD上截取DG=DB∵M(jìn)D⊥BG∴MB=MG，∠MGB=∠MBC=∠MAC∵M(jìn)是的中點(diǎn)∴∠MAC=∠MCA=∠MGB即∠MGB=∠MCB+∠BCA=∠MCB+∠BMA又∠MGB=∠MCB+∠GMC∴∠BMA=∠GMC∵M(jìn)A=MC∴△MBA≌△MGC(SAS)∴AB=GC∴CD=CG+GD=AB+BD方法3:垂線法如圖，作MH⊥射線AB，垂足為H。∵M(jìn)是的中點(diǎn)∴MA=MC∵M(jìn)D⊥BC∴∠MDC=90°=∠H∵∠MAB=∠MCB∴△MHA≌△MDC(AAS)∴AH=CD，MH=MD又∵M(jìn)B=MB∴Rt△MHB≌Rt△MDB(HL)∴HB=BD∴CD=AH=AB+BH=AB+BD二、典例精析1．如圖，是劣弧，是的中點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)．自向弦引垂線，垂足為，求證：．【解答】證明：在上取點(diǎn)，使，連接，是的中點(diǎn)，，（等弧對(duì)等弦），又，在和中，，，，為等腰三角形為底），又，為中點(diǎn)（等腰三角形三線合一），．2．如圖所示，在中，，，點(diǎn)為劣弧上的動(dòng)點(diǎn)，且．（1）求的長(zhǎng)度；（2）求的值；（3）過(guò)點(diǎn)作，求證：．【解答】解：（1）作，，，，，，在中，，；（2）連接，，，四邊形內(nèi)接于圓，，，，公共角，，，；（3）證明：在上取一點(diǎn)，使得，與所對(duì)的弧是，，在和中，，，，，，，，，．3．小明學(xué)習(xí)了垂徑定理，做了下面的探究，請(qǐng)根據(jù)題目要求幫小明完成探究．（1）更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多真命題．如圖1，在中，是劣弧的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)，則．請(qǐng)證明此結(jié)論；（2）從圓上任意一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦．如圖2，，組成的一條折弦．是劣弧的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)，則．可以通過(guò)延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，再連接證明結(jié)論成立．請(qǐng)寫出證明過(guò)程；（3）如圖3，．組成的一條折弦，若是優(yōu)弧的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)，則，與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論，不必證明．【解答】證明：（1）如圖1，連接，，是劣弧的中點(diǎn)，，，，，，，為等腰三角形，，；（2）如圖2，延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，再連接，是圓內(nèi)接四邊形，，是劣弧的中點(diǎn)，，，為等腰三角形，，，，，（3）．連接，，，、相交于點(diǎn)，弧弧，，，，，，，，，，，，，，．4．已知、、、是上的四點(diǎn)，，是四邊形的對(duì)角線（1）如圖1，連接，若，求證：是的平分線；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，若，，求線段的長(zhǎng)度．【解答】（1）證明：，，，是等邊三角形，，，即是的平分線；（2）解：連接，在線段上取點(diǎn)，使得，連接，，，，，，，，四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，，，，在和中，，，，，．5．如圖，內(nèi)接于，，，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，且．（1）求的長(zhǎng)度；（2）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，弦的延長(zhǎng)線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，問(wèn)的值是否變化？若不變，請(qǐng)求出的值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，過(guò)點(diǎn)作，求證：．【解答】解：（1）作，，，，，，在中，，；（2）連接，，，四邊形內(nèi)接于圓，，，，公共角，，，；（3）在上取一點(diǎn)，使得，在和中，，，，，，，，．三、鞏固練習(xí)1．先閱讀命題及證明思路，再解答下列問(wèn)題．命題：如圖1，在正方形中，已知：，角的兩邊、分別與、相交于點(diǎn)、，連接．求證：．證明思路：如圖2，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至．，，與重合．，，點(diǎn)、、是一條直線．根據(jù)，得證，得．（1）特例應(yīng)用如圖1，命題中，如果，，求正方形的邊長(zhǎng)．（2）類比變式如圖3，在正方形中，已知，角的兩邊、分別與、的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)、，連接．寫出、、之間的關(guān)系式，并證明你的結(jié)論．（3）拓展深入如圖4，在中，、是的弦，且，、是上的兩點(diǎn)，．①如圖5，連接、，求證：，；②若點(diǎn)在（點(diǎn)不與點(diǎn)、、、重合）上，連接、分別交線段、或其延長(zhǎng)線于點(diǎn)、，直接寫出、、之間的等式關(guān)系．【解答】解：（1）如圖1，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則有，．由材料可知：．在中，，．．解得：，（舍去）所以正方形的邊長(zhǎng)為6．（2）．理由如下：在上取一點(diǎn)，使得．連接，如圖3．四邊形是正方形，，．．在和中，．．，．．，．在△和中，．△．．．（3）①延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，如圖5．，，．在和中，．．．．，．．，，，．，．②Ⅰ．當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如圖6、7．同理可得：．Ⅱ．當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如圖8．同理可得：．2．問(wèn)題提出如圖①，、是的兩條弦，，是的中點(diǎn)，垂足為，求證：．小敏在解答此題時(shí)，利用了“補(bǔ)短法”進(jìn)行證明，她的方法如下：如圖②，延長(zhǎng)至，使，連接、、、、．（請(qǐng)你在下面的空白處完成小敏的證明過(guò)程．推廣運(yùn)用如圖③，等邊內(nèi)接于，，是上一點(diǎn)，，，垂足為，則的周長(zhǎng)是．拓展研究如圖④，若將“問(wèn)題提出”中“是的中點(diǎn)”改成“是的中點(diǎn)”，其余條件不變，“”這一結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，寫出、、三者之間存在的關(guān)系并說(shuō)明理由．【解答】問(wèn)題提出：證明：如圖2，延長(zhǎng)至，使，連接、、、、，是的中點(diǎn)，，，，，，在和中，，，又，，；推廣運(yùn)用：解：如圖3，截取，連接，，，由題意可得：，，在和中，，，，，則，，，則的周長(zhǎng)是，故答案為：；拓展研究：不成立，、、三者之間的關(guān)系：，證明：連接，，，交于，是的中點(diǎn)，，在和中，，，，，，，，．3．在中，順次連接、、．（1）如圖1，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，且交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求證：為的切線；（2）如圖2，在（1）的條件下，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，若，，，則、、有何數(shù)量關(guān)系？（3）如圖3，當(dāng)時(shí)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，且，若，的周長(zhǎng)為9，請(qǐng)求出的值？【解答】解：（1）如圖1，連接，是的中點(diǎn)，，，，為的半徑，為的切線；（2）如圖2，連接交于，連結(jié)，是的中點(diǎn)，，，，，，，，是的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，；（3）過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，與交于點(diǎn)，連接，則，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，則，，，是等邊三角形，，，即與在同一直線上，四邊形是平行四邊形，，，設(shè)，則，，，，，，即，，，在中，，，，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，則，，，，，，，，，，，解得：（舍去），，，，作于點(diǎn)，則，．4．【問(wèn)題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理：阿基米德，公元前公元前212年，古希臘）是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子．如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點(diǎn)，即．下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明的部分證明過(guò)程．證明：如圖2，在上截取，連接、、和．是的中點(diǎn)，，又，，，，又，，即．【理解運(yùn)用】如圖1，、是的兩條弦，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，于點(diǎn)，則；【變式探究】如圖3，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，【問(wèn)題呈現(xiàn)】中的其他條件不變，判斷、、之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．【實(shí)踐應(yīng)用】如圖4，是的直徑，點(diǎn)圓上一定點(diǎn)，點(diǎn)圓上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，若，的半徑為5，則．【解答】解：【理解運(yùn)用】：由題意可得，即，，，，故答案為：1；【變式探究】．證明：在上截取，連接、、、，是弧的中點(diǎn)，，，又，，，，又，，，即；【實(shí)踐應(yīng)用】如圖，當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，是圓的直徑，，，圓的半徑為5，，，，，．當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，，同理易得．綜上所述：的長(zhǎng)為或，故答案為或．5．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出并證明了“折弦定理”．如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，是優(yōu)弧的中點(diǎn)，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點(diǎn)，即．（1）請(qǐng)按照下面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；證明：如圖2，在上截取，連接，，和．是的中點(diǎn)，，．（2）如圖（3），已知等邊內(nèi)接于，，為上一點(diǎn)，，，垂足為，請(qǐng)你運(yùn)用“折弦定理”求的周長(zhǎng)．【解答】（1）證明：如圖2，在上截取，連接，，和．是的中點(diǎn)，，．在和中，，，又，，；（2）解：如圖3，截取，連接，，，由題意可得：，，在和中，，，，，則，，，則的周長(zhǎng)是．專題20最值之胡不歸問(wèn)題一、方法突破【故事介紹】從前有個(gè)少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無(wú)反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說(shuō)，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”（“胡”同“何”）而如果先沿著驛道AC先走一段，再走砂石地，會(huì)不會(huì)更早些到家？【模型建立】如圖，一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使的值最?。締?wèn)題分析】，記，即求BC+kAC的最小值．【問(wèn)題解決】構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過(guò)B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C，交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．【模型總結(jié)】在求形如“PB+kPA”的式子的最值問(wèn)題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPA相等的線段，將“PB+kPA”型問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“PB+PC”型．而這里的PA必須是一條方向不變的線段，方能構(gòu)造定角利用三角函數(shù)得到kPA的等線段．【問(wèn)題】如圖，點(diǎn)P為射線l上的一動(dòng)點(diǎn)，A、B為定點(diǎn)，求PB+kPA的最小值l【問(wèn)題解決】構(gòu)造射線AD使得sinα=k，PC/PA=k，CP=kAP．DD將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求PB+PC最小值，過(guò)B點(diǎn)作BC⊥AD交l于點(diǎn)P，交AD于C點(diǎn)，此時(shí)PB+PC取到最小值，即PB+kPA最小．二、典例精析1．如圖，在中，，，，若是邊上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A． B．6 C． D．32．如圖，在中，，，為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），連接，則的最小值是A． B． C． D．83．如圖，中，，，，為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于．4．如圖，中，，，于點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是A． B． C． D．105．如圖所示，已知拋物線，與軸從左至右依次相交于、兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為．（1）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求拋物線的函數(shù)解析式；（2）若在第三象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（1）的條件下，設(shè)點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接．一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再沿線段以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)后停止，問(wèn)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所用時(shí)間最少？三、中考真題演練1．如圖所示，菱形的邊長(zhǎng)為5，對(duì)角線的長(zhǎng)為，為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A．4 B．5 C． D．2．如圖，中，，，是的邊上的高，點(diǎn)是上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是A． B． C．10 D．3．如圖，中，，，于點(diǎn)，點(diǎn)是線段的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．4．如圖，拋物線交軸于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)），交軸于點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，點(diǎn)是線段上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合）．（1）求，兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)，關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；5．如圖，拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，交軸于，兩點(diǎn)，連接，，已知，．（Ⅰ）求拋物線的解析式和的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下：（1）為軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，問(wèn)：是否存在點(diǎn)使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）設(shè)為線段上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒一個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再沿線段以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到后停止，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)最少？6．如圖，已知拋物線為常數(shù)，且與軸從左至右依次交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為．（1）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若在第一象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，求的值；（3）在（1）的條件下，設(shè)為線段上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到，再沿線段以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到后停止，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少？專題20最值之胡不歸問(wèn)題一、方法突破【故事介紹】從前有個(gè)少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無(wú)反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說(shuō)，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”（“胡”同“何”）而如果先沿著驛道AC先走一段，再走砂石地，會(huì)不會(huì)更早些到家？【模型建立】如圖，一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使的值最?。締?wèn)題分析】，記，即求BC+kAC的最小值．【問(wèn)題解決】構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過(guò)B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C，交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．【模型總結(jié)】在求形如“PB+kPA”的式子的最值問(wèn)題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPA相等的線段，將“PB+kPA”型問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“PB+PC”型．而這里的PA必須是一條方向不變的線段，方能構(gòu)造定角利用三角函數(shù)得到kPA的等線段．【問(wèn)題】如圖，點(diǎn)P為射線l上的一動(dòng)點(diǎn)，A、B為定點(diǎn)，求PB+kPA的最小值l【問(wèn)題解決】構(gòu)造射線AD使得sinα=k，PC/PA=k，CP=kAP．DD將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求PB+PC最小值，過(guò)B點(diǎn)作BC⊥AD交l于點(diǎn)P，交AD于C點(diǎn)，此時(shí)PB+PC取到最小值，即PB+kPA最?。?、典例精析1．如圖，在中，，，，若是邊上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A． B．6 C． D．3解：過(guò)點(diǎn)作射線，使，再過(guò)動(dòng)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，連接，如圖所示：在中，，，，當(dāng)，，在同一直線上，即時(shí)，的值最小，最小值等于垂線段的長(zhǎng)，此時(shí)，，是等邊三角形，，在中，，，，，，，，的最小值為3，故選：．2．如圖，在中，，，為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），連接，則的最小值是A． B． C． D．8解：如圖，以為斜邊在下方作等腰，過(guò)作于，，，，，，，，的最小值為．故選：．3．如圖，中，，，，為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于．解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線且時(shí)，有最小值，即最小值為，故答案為：4．如圖，中，，，于點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是A． B． C． D．10解：如圖，作于，于．，，，設(shè)，，則有：，，或（舍棄），，，，，（等腰三角形兩腰上的高相等），，，，，，，，的最小值為．方法二：作于，交于點(diǎn)，則點(diǎn)滿足題意．通過(guò)三角形相似或三角函數(shù)證得，從而得到．故選：．5．如圖所示，已知拋物線，與軸從左至右依次相交于、兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為．（1）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求拋物線的函數(shù)解析式；（2）若在第三象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（1）的條件下，設(shè)點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接．一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再沿線段以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)后停止，問(wèn)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所用時(shí)間最少？解：（1），點(diǎn)的坐標(biāo)為、點(diǎn)兩的坐標(biāo)為，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在拋物線上，，解得，，則拋物線的解析式為；（2）如圖1中，設(shè)，作軸于．①當(dāng)時(shí)，，，即，即．解得．，解得或1（舍棄），當(dāng)時(shí)，，，即，，即，解得或（舍棄），．②當(dāng)時(shí)，，，即，，，，解得或1（舍棄），當(dāng)時(shí)，，，即，，或（舍棄），．（3）如圖2中，作軸交拋物線于，作軸于，作于，則，，，，的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，當(dāng)和共線時(shí)，最小，則，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)．三、中考真題演練1．如圖所示，菱形的邊長(zhǎng)為5，對(duì)角線的長(zhǎng)為，為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A．4 B．5 C． D．解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．四邊形是菱形，，，，，，，，，，，，，的最小值為4，故選：．2．如圖，中，，，是的邊上的高，點(diǎn)是上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是A． B． C．10 D．解：，，．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由勾股定理得．．當(dāng)、、三點(diǎn)共線，且時(shí)，的值最小為．中，，，，由等腰三角形腰上的高相等，，在中，．故．故選：．3．如圖，中，，，于點(diǎn)，點(diǎn)是線段的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．解：如圖，作于，，，，設(shè)，，，，，或（舍去），，，，，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，，此時(shí)，則根據(jù)垂線段最短性質(zhì)知值最小，此時(shí)．4．如圖，拋物線交軸于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)），交軸于點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，點(diǎn)是線段上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合）．（1）求，兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)，關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；解：（1）在中，令得：，解得或，，；（2）過(guò)作軸于，交于，如圖：拋物線的對(duì)稱軸為直線，在中，令得，，，，，在中，，最小，即是最小，由垂線段最短可知的最小值即為的長(zhǎng)，點(diǎn)，，關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線對(duì)稱，與關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線對(duì)稱，，，，即的最小值為，由，，得直線解析式為，在中，令得，；5．如圖，拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，交軸于，兩點(diǎn)，連接，，已知，．（Ⅰ）求拋物線的解析式和的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下：（1）為軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，問(wèn)：是否存在點(diǎn)使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）設(shè)為線段上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒一個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再沿線段以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到后停止，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)最少？解：（Ⅰ）把，代入，得，解得：．拋物線的解析式為聯(lián)立，解得：或，點(diǎn)的坐標(biāo)為．如圖1．，，，，，，，是直角三角形，，；（Ⅱ）方法一：（1）存在點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似．過(guò)點(diǎn)作軸于，則．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由在軸右側(cè)可得，則．，，．若點(diǎn)在點(diǎn)的下方，①如圖2①，當(dāng)時(shí)，則．，，，．．則．把代入，得，整理得：解得：（舍去），（舍去）．②如圖2②，當(dāng)時(shí)，則．同理可得：，則，把代入，得，整理得：解得：（舍去），，，