天津市河西區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1天津市河西區(qū)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法，其中（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意得：，故選：A2.下列函數(shù)中，存在極值的函數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗A：因為函數(shù)是實數(shù)集上的增函數(shù)，所以函數(shù)沒有極值；B：因為函數(shù)是正實數(shù)集上的增函數(shù)，所以函數(shù)沒有極值；C：因為函數(shù)在區(qū)間、上是減函數(shù)，所以函數(shù)沒有極值；D：因為，所以該函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，因此是函數(shù)的極小值點，符合題意，故選：D3.設(shè)隨機變量，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為隨機變量，，則.故選：C.4.已知，，那么等于A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由條件概率公式得，故選B.5.已知定義在［0，3］上函數(shù)的圖像如圖，則不等式＜0的解集為（）A.(0，1) B.(1，2)C.(2，3) D.(0，1)(2，3)〖答案〗B〖解析〗由圖象知在上是減函數(shù)，所以的解集是．故選：B．6.一工廠生產(chǎn)的100個產(chǎn)品中有90個一等品，10個二等品，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中抽取4個，則其中恰好有一個二等品的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗從這批產(chǎn)品中抽取4個，則事件總數(shù)為個，其中恰好有一個二等品的事件有個，根據(jù)古典概型的概率公式可知恰好有一個二等品的概率為，故選：D．7.函數(shù)在區(qū)間上的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，得函數(shù)在區(qū)間上的最小值是．故選：B．8.已知離散型隨機變量的分布列如下，則（）024A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗，故〖答案〗選B.9.已知函數(shù)的定義域為，則下列說法正確的個數(shù)是（）①；②在上單調(diào)遞增；③函數(shù)有2個零點；④有且僅有4個極值點．A.1個 B.2個 C.3個 D.4個〖答案〗B〖解析〗對于①，，所以，故①錯誤；對于②，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，故②正確；對于③，在上的零點為方程在上的根，易知0不是零點，所以在上的根，作出函數(shù)和函數(shù)在上的圖象，如圖所示所以函數(shù)和函數(shù)在上有個交點，所以函數(shù)有個零點，故③錯誤；對于④，由③可知，有且僅有4個極值點，故④正確.故選：B.第Ⅱ卷二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，多空題只答對一空得3分，共30分．10.______．〖答案〗〖解析〗可得：故〖答案〗為：11.的展開式中常數(shù)項的系數(shù)為______．〖答案〗60〖解析〗由二項展開式的通項公式為：．令，所以展開式中常數(shù)項的系數(shù)為：．故〖答案〗為：60.12.某校從5名同學(xué)中選擇3人分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽，則不同的選法共有________種．〖答案〗〖解析〗由題意，先從5名同學(xué)中選擇3人，共有種不同的選法，再把選出的3人分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽，共有種不同的安排方法，由分步計數(shù)原理，可得共有種不同的選法.故〖答案〗為：.13.若，則______．〖答案〗2555〖解析〗因為，所以令時，，即，令時，，即，所以，故〖答案〗為：2555.14.假設(shè)某市場供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占，乙廠產(chǎn)品占，甲廠產(chǎn)品的合格率為，乙廠產(chǎn)品的合格率為，在該市場中購買甲廠的兩個燈泡，則恰有一個是合格品的概率為___________；若在該市場中隨機購買一個燈泡，則這個燈泡是合格品的概率為___________.〖答案〗①②〖解析〗在該市場中購買甲廠的兩個燈泡，恰有一個是合格品的概率為，若在該市場中隨機購買一個燈泡，則這個燈泡是合格品的概率為.故〖答案〗為：；.15.關(guān)于的方程在區(qū)間上有三個不相等的實根，則實數(shù)的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗令，則關(guān)于的方程在區(qū)間上有三個不相等的實根，等價于函數(shù)的圖象在區(qū)間上的部分與直線有三個不同的交點，是過原點斜率為的直線，設(shè)過原點且與的圖象相切的直線與的圖象相切于點，所以，，所以，所以切線方程為，整理可得：，因為切線過原點，所以，即，所以，所以設(shè)過原點且與圖象相切的直線方程為，記，則直線的斜率為，由圖知：要使函數(shù)的圖象在區(qū)間上的部分與直線有三個不同的交點，則令直線的斜率在過原點的與的圖象相切的直線的斜率和直線的斜率之間，所以，所以實數(shù)的取值范圍是故〖答案〗為：.三、解答題：本大題共3小題，共34分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報名參加、、三個智力競賽項目，每個人都要報名且只能參加一個項目．（1）共有多少種不同的報名方法？（2）甲必須報項目，乙必須報項目，那么有多少種不同報名方法？（3）甲、乙報同一項目，丙不報項目，那么有多少種不同的報名方法？（4）每個項目都有人報名，那么有多少種不同的報名方法？（5）甲不報項目，且、項目報名的人數(shù)相同，那么有多少種不同的報名方法？解：（1）每個同學(xué)都有種選擇，則甲、乙、丙、丁四名同學(xué)的報名方法種數(shù)為.（2）甲必須報項目，乙必須報項目，則丙、丁各有種選擇，所以，不同的報名方法種數(shù)為.（3）甲、乙報同一項目，則甲、乙報名的方法種數(shù)為，丙不報項目，則丙有種選擇，所以，丁有種選擇，由分步乘法計數(shù)原理可知，不同報名方法種數(shù)為.（4）將甲、乙、丙、丁四名同學(xué)分為三組，每組人數(shù)分別為、、，然后再將這三組同學(xué)分配給、、三個智力競賽項目，所以，不同的報名方法種數(shù)為.（5）分兩種情況討論：①項目沒人報，且、項目的報名人數(shù)均為，此時不同的報名方法種數(shù)為種；②項目有人報，且甲不報項目，、項目報名的人數(shù)相同，則、項目報名的人數(shù)均為，則甲報項目或項目，則報名項目的有人，剩余個項目只有一人報名，由分步乘法計數(shù)原理可知，不同的報名方法種數(shù)為.綜上所述，不同的報名方法種數(shù)為.17.在某次世界乒乓球錦標(biāo)賽的團體比賽中，中國隊將對陣韓國隊．比賽實行5局3勝制．根據(jù)以往戰(zhàn)績，中國隊在每一局中獲勝的概率都是．（1）求中國隊以的比分獲勝的概率；（2）求中國隊在先失1局的前提下獲勝的概率；（3）假設(shè)全場比賽的局?jǐn)?shù)為隨機變量，在韓國隊先勝第一局的前提下，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）設(shè)中國隊以的比分獲勝的事件為，所以概率為：.（2）設(shè)中國隊在先失一局的前提下獲勝的事件為，則有2種情況：①中國隊連勝3局，此時的概率為：；②中國隊在2到4局中勝2局，再勝第5局，此時概率：；所以.（3）由題意知，則，，，所以的分布列為：345所以的數(shù)學(xué)期望為：.18.已知函數(shù)．（1）求在點處的切線方程；（2）求證：；（3）若函數(shù)無零點，求實數(shù)a的取值范圍．解：（1）因為，所以，所以，所以在點處的切線的斜率為，故在點處的切線方程為，即.（2）依題意知，函數(shù)的定義域為，，令，則，解得；令，則，