成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)畫出成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖.2.會(huì)通過散點(diǎn)圖判斷成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)性.3.結(jié)合實(shí)例，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義，了解樣本相關(guān)系數(shù)與“標(biāo)準(zhǔn)化”處理后的成對(duì)數(shù)據(jù)兩分量向量夾角的關(guān)系.4.結(jié)合實(shí)例，會(huì)通過相關(guān)系數(shù)比較多組成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性.重點(diǎn)：利用散點(diǎn)圖直觀判斷成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性，求樣本相關(guān)系數(shù)，通過樣本相關(guān)系數(shù)判斷或比較成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性強(qiáng)弱.難點(diǎn)：作出成對(duì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，求樣本相關(guān)系數(shù)，理解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.知識(shí)梳理一、變量的相關(guān)關(guān)系兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的區(qū)別與聯(lián)系1.區(qū)別：（1）函數(shù)關(guān)系：①函數(shù)關(guān)系中兩個(gè)變量間是一種確定性關(guān)系.②函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，即有因必有果.例如，圓的半徑由１增大為２，其面積必然由2.聯(lián)系：（1）兩種關(guān)系在現(xiàn)實(shí)生活中均存在.從某種意義上講，函數(shù)關(guān)系是一種理想中的關(guān)系模型，而相關(guān)關(guān)系是一種更為一般的情況.（2）在一定條件下兩種關(guān)系可以相互轉(zhuǎn)化.有些相關(guān)關(guān)系可以用函數(shù)關(guān)系進(jìn)行估計(jì)或推斷.二、散點(diǎn)圖為了更加直觀地描述上述成對(duì)樣本數(shù)據(jù)中脂肪含量與年齡之間的關(guān)系，類似于用直方圖描述單個(gè)變量樣本數(shù)據(jù)的分布特征，我們用圖形展示成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的變化特征.用橫軸表示年齡，縱軸表示脂肪含量，則表8.1-1中每個(gè)編號(hào)下的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來，由這些點(diǎn)組成了如圖8.1-1所示的統(tǒng)計(jì)圖.我們把這樣的統(tǒng)計(jì)圖叫做散點(diǎn)圖.圖8.1-1三、由散點(diǎn)圖判斷變量的相關(guān)關(guān)系1.正相關(guān)、負(fù)相關(guān)如果從整體上看，當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢，我們就稱這兩個(gè)變量正相關(guān)；如果當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢，則稱這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).理解兩個(gè)變量正相關(guān)，負(fù)相關(guān)時(shí)需注意以下兩點(diǎn)（1）兩個(gè)變量正相關(guān)、負(fù)相關(guān)必須從成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的整體上看.當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的值相應(yīng)呈現(xiàn)增加（減少）的趨勢，就稱這兩個(gè)變量正相關(guān)（負(fù)相關(guān)）.當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的值中有個(gè)別值減少（增加）時(shí)，并不影響兩個(gè)變量的正相關(guān)（負(fù)相關(guān)）關(guān)系.（2）由散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量正相關(guān)、負(fù)相關(guān)的方法：當(dāng)散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在平面直角坐標(biāo)系中從左下角到右上角的區(qū)域時(shí)，兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在平面直角坐標(biāo)系中從左上角到右下角的區(qū)域時(shí)，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).圖8.1-1觀察散點(diǎn)圖8.1-1，從中我們不僅可以大致看出脂肪含量和年齡呈現(xiàn)正相關(guān)性，而且從整體上可以看出散點(diǎn)落在某條直線附近.一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量線性相關(guān).2.線性相關(guān)3.非線性相關(guān)（曲線相關(guān)）觀察散點(diǎn)圖8.1-2，我們發(fā)現(xiàn)：圖（1）中的散點(diǎn)落在某條曲線附近，而不是落在一條直線附近，說明這兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)；類似地，圖（2）中的散點(diǎn)落在一條折線附近，這兩個(gè)變量也具有相關(guān)性，但它們既不是正相關(guān)，也不是負(fù)相關(guān)；圖（3）中的散點(diǎn)雜亂無章，無規(guī)律可言，看不出兩個(gè)變量有什么相關(guān)性.一般地，如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個(gè)變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān).

圖8.1-2四、樣本相關(guān)系數(shù)我們稱

為變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù).【提示】變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù)r的變形形式：五、樣本相關(guān)系數(shù)與正、負(fù)相關(guān)的關(guān)系樣本相關(guān)系數(shù)r是一個(gè)描述成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，它的正負(fù)性和絕對(duì)值的大小可以反映成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的變化特征：當(dāng)r>0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān).這時(shí)，當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變小時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常也變?。划?dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變大時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常也變大.當(dāng)r<0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).這時(shí)，當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變小時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常會(huì)變大；當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變大時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常會(huì)變小.六、樣本相關(guān)系數(shù)與線性相關(guān)程度的關(guān)系樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為［-1，1］.樣本相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值大小可以反映成對(duì)樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度：當(dāng)|r|越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；當(dāng)|r|越接近0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.七、用樣本相關(guān)系數(shù)估計(jì)總體相關(guān)系數(shù)在實(shí)際中，獲得總體中所有的成對(duì)數(shù)據(jù)往往是不容易的.因此，我們還是要用樣本估計(jì)總體的思想來解決問題.也就是說，我們先要通過抽樣獲取兩個(gè)變量的一些成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，再計(jì)算出樣本相關(guān)系數(shù)，通過樣本相關(guān)系數(shù)去估計(jì)總體相關(guān)系數(shù)，從而了解兩個(gè)變量之間的相關(guān)程度.對(duì)于簡單隨機(jī)樣本而言，樣本具有隨機(jī)性，因此樣本相關(guān)系數(shù)r也具有隨機(jī)性.一般地，樣本容量越大，用樣本相關(guān)系數(shù)估計(jì)兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)的效果越好.?？碱}型一、變量之間的相關(guān)關(guān)系1.相關(guān)關(guān)系的判斷【解】（方法一）根據(jù)實(shí)際生活的經(jīng)驗(yàn)可知，人的身高和體重之間存在相關(guān)關(guān)系.（方法二）觀察表格中的數(shù)據(jù)可知，人的體重隨著身高的增高而增長，因此人的身高和體重之間存在相關(guān)關(guān)系.（方法三）以x軸表示身高，以y軸表示體重，得到相應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖所示.我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，隨著身高的增高，體重基本上呈增長的趨勢.所以體重與身高之間存在相關(guān)關(guān)系，并且是正相關(guān).

◆判斷變量之間是否相關(guān)的思路1.根據(jù)直觀感覺判斷，這時(shí)要用到已有的知識(shí)或生活、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)等.2.根據(jù)變量的取值判斷，觀察縱坐標(biāo)代表的變量是否隨橫坐標(biāo)代表變量的增大而增大（或增大而減?。?，從而判斷變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系.3.根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，這時(shí)要由兩個(gè)變量相應(yīng)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，作出散點(diǎn)圖，通過觀察散點(diǎn)圖中各點(diǎn)是否分布在某條曲線的周圍，從而判斷變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系.◆判斷兩個(gè)變量是函數(shù)關(guān)系還是相關(guān)關(guān)系的方法判斷兩個(gè)變量間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系還是相關(guān)關(guān)系的關(guān)鍵是判斷兩個(gè)變量之間的關(guān)系是否是確定的，若確定，則是函數(shù)關(guān)系；若不確定，則是相關(guān)關(guān)系.BA2.樣本相關(guān)系數(shù)與相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱例2［2020·廣東高三月考］對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是 （）A.r2<r4<0<r3<r1 B.r4<r2<0<r1<r3C.r4<r2<0<r3<r1 D.r2<r4<0<r1<r3相關(guān)系數(shù)為r1

相關(guān)系數(shù)為r2

相關(guān)系數(shù)為r3

相關(guān)系數(shù)為r4

（1）

（2）

（3）

（4）【解析】由散點(diǎn)圖可知圖（1）與圖（3）是正相關(guān)，故r1>0，r3>0，圖（2）與圖（4）是負(fù)相關(guān)，故r2<0，r4<0，且圖（1）與圖（2）的樣本點(diǎn)集中在一條直線附近，因此r2<r4<0<r3<r1.故選A.【答案】A◆相關(guān)關(guān)系強(qiáng)弱的定量分析與定性分析1.定量分析：相關(guān)系數(shù)r的范圍為-1≤r≤1，r為正時(shí)，成對(duì)數(shù)據(jù)正相關(guān)；r為負(fù)時(shí)，成對(duì)數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)；|r|越接近于1，成對(duì)數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越大；|r|越接近于0，成對(duì)數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越?。划?dāng)|r|＝1時(shí)，所有數(shù)據(jù)點(diǎn)都在一條直線上.2.定性分析：相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱體現(xiàn)在散點(diǎn)圖中就是樣本點(diǎn)越集中在某條直線附近，兩變量的線性相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)；樣本點(diǎn)在某條直線附近越分散，兩變量的線性相關(guān)關(guān)系越弱.訓(xùn)練題［2020·廣東湛江高二期末］有以下幾組（x，y）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：（1，2），（2，4），（4，5），（3，10），（10，12），要使剩下的數(shù)據(jù)具有較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系，應(yīng)去掉的一組數(shù)據(jù)是 （）A.（3，10） B.（10，12） C.（1，2） D.（2，4）A二、散點(diǎn)圖

例3［2020·遼寧營口高二月考］對(duì)變量x，y由觀測數(shù)據(jù)得散點(diǎn)圖（1）；對(duì)變量y，z由觀測數(shù)據(jù)得散點(diǎn)圖（2）.由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷 （）A.變量x與y正相關(guān)，y與z正相關(guān)

B.變量x與y正相關(guān)，y與z負(fù)相關(guān)C.變量x與y負(fù)相關(guān)，y與z正相關(guān)

D.變量x與y負(fù)相關(guān)，y與z負(fù)相關(guān)圖（1）圖（2）【解析】通過觀察散點(diǎn)圖可以知道，y隨x的增大而減小，各點(diǎn)整體呈下降趨勢，x與y負(fù)相關(guān)，z隨y的增大而增大，各點(diǎn)整體呈上升趨勢，z與y正相關(guān).故選C.

【答案】C◆畫散點(diǎn)圖的步驟1.建立平面直角坐標(biāo)系；2.將n個(gè)樣本點(diǎn)（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n）描在平面直角坐標(biāo)系中.散點(diǎn)圖的作用1.散