有限差分法及其應(yīng)用

有限差分法及其應(yīng)用1有限差分法簡介有限差分法〔FDM〕是計算機數(shù)值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運用。該方程將解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個網(wǎng)絡(luò)節(jié)點代替連續(xù)的求解域。有限差分法通過泰勒級數(shù)展開等方法，把控制方程中的導(dǎo)數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點上的函數(shù)值得差商代替進行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。該方法是一種直接將微分問題變?yōu)榇鷶?shù)問題的近似值解法，數(shù)學(xué)概念直觀，表達簡單，是開展較早且比擬成熟的數(shù)值方法。2有限差分法的數(shù)學(xué)根底有限差分法的數(shù)學(xué)根底是用差分代替微分，用差商代替微商而用差商代替微商的意義是用函數(shù)在某區(qū)域內(nèi)的平均變化率來代替函數(shù)的真是變化率。而根據(jù)泰勒級數(shù)展開可以看出，用差商代替微商必然會帶來階段誤差，相應(yīng)的用差分方程代替微分方程也會帶來誤差，因此，在應(yīng)用有限差分法進行計算的時候，必須注意差分方程的形式，建立方法及由此產(chǎn)生的誤差。3有限差分解題根本步驟有限差分法的主要解題步驟如下：建立微分方程根據(jù)問題的性質(zhì)選擇計算區(qū)域，建立微分方程式，寫出初始條件和邊界條件。構(gòu)建差分格式首先對求解域進行離散化，確定計算節(jié)點，選擇網(wǎng)格布局，差分形式和步長；然后以有限差分代替無線微分，以差商代替微商，以差分方程代替微分方程及邊界條件。求解差分方程差分方程通常是一組數(shù)量較多的線性代數(shù)方程，其求解方法主要包括兩種:精確法和近似法。其中精確法又稱直接發(fā)，主要包括矩陣法，高斯消元法及主元素消元法等；近似法又稱間接法，以迭代法為主，主要包括直接迭代法，間接迭代法以及超松弛迭代法。精度分析和檢驗對所得到的數(shù)值進行精度與收斂性分析和檢驗。4商用有限差分軟件簡介商用有限差分軟件主要包括FLAC、UDEC/3DEC和PFC程序，其中，F(xiàn)LAC是一個基于顯式有限差分法的連續(xù)介質(zhì)程序，主要用來進行土質(zhì)、巖石和其他材料的三維結(jié)構(gòu)受力特性模擬和塑性流動分析；UDEC/3DEC是針對巖體不連續(xù)問題開發(fā)，用于模擬非連續(xù)介質(zhì)在靜，動態(tài)載荷作用下的反響；PFC是利用顯式差分算法和離散元理論開發(fā)的微、細觀力學(xué)程序，它是從介質(zhì)的根本粒子結(jié)構(gòu)的角度考慮介質(zhì)的根本力學(xué)特性，并認為給定介質(zhì)在不同應(yīng)力條件下的根本特征主要取決于粒子之間接粗狀態(tài)的變化，適用于研究粒狀集合體的破裂和破裂開展問題，以及顆粒的流動(大位移〕問題。5有限差分法的應(yīng)用光子晶體光纖色散的有限差分法研究光子晶體光纖的橫截面結(jié)構(gòu)和特征參數(shù)如圖1所示。對結(jié)構(gòu)如此復(fù)雜的光子晶體光纖,采用有限差分法加以研究。有限差分法是光波導(dǎo)分析中廣為采用的數(shù)值方法之一,它利用臺勞展開用有限差分式代替波動方程中的微分式,得到關(guān)于場分量的有限差分方程。在縱向(z方向)均勻分布的光子晶體光纖中,電場的橫向分量Ex和Ey滿足如下耦合方程組其中,Ex和Ey為電場的兩個偏振分量,εr為相對介電常數(shù),k0為真空中的波數(shù),β=koneff為傳播常數(shù),neff為模式有效折射率。在光子晶體光纖分析中,通常求解基模(類比于傳統(tǒng)光纖,也稱為HE11模)的兩個偏振分量。文獻中已經(jīng)證明了橫向結(jié)構(gòu)對稱分布的光子晶體光纖基模的線偏振特性,因而(1),(2)式中的電場偏振分量Ex和Ey可以認為不再耦合,此時(1),(2)式將變?yōu)閮蓚€獨立的分別關(guān)于兩個偏振分量Ex和Ey的半矢量形式的波動方程(3),(4)式中保存左邊的第二項對于研究空氣填充率較高的光子晶體光纖是必要的,因為這時標量波動方程給出的解會產(chǎn)生較大的誤差。在x,y方向采用相同的網(wǎng)格間距h,利用五點差分格式可以建立基于半矢量波動方程(3),(4)的差分方程。其中E為Ex或Ey,p,q為網(wǎng)格點編號。對于Ex,各項系數(shù)分別為對于Ey,各項系數(shù)分別為(5)式可化為特征值方程其中A為系數(shù)矩陣,E為由各網(wǎng)格點構(gòu)成的向量。計算結(jié)果為將基于半矢量波動方程的差分法得到的結(jié)果與文獻中全矢量方法得到的結(jié)果比擬,取與文獻中相同的求解參數(shù):光纖參數(shù)為空氣孔間距Λ=2.3μm,空氣孔直徑d=1.0μm,整個求解區(qū)域取為6Λ×6Λ,石英的折射率為1.45,波長為1.5μm,采用電壁(electricwall)邊界條件,x,y方向格點數(shù)均為240?；诎胧噶坎▌臃匠痰牟罘址ǖ玫浇Y(jié)果為neff=1.42806,與文獻中給出的結(jié)果1.42868以及其他方法得到的結(jié)果較為接近?？紤]到全矢量方法計算結(jié)果說明在求解某一偏振態(tài)時另一偏振分量并不為零,但相差幾個數(shù)量級,而半矢量波動方程完全忽略了另一偏振分量的影響,以及網(wǎng)格剖分的方法不同,這一結(jié)果是較為精確的?？够瑯度珮秲?nèi)力計算“m-k”法的有限差分法如圖1所示，設(shè)抗滑樁全長為H，其中滑動而以上，即受荷段樁長為h1;滑動而以下，即錨固段樁長為h2。設(shè)滑坡推力ET按梯形分布，地而和滑動而處的分布荷載集度分別為q0和qa。樁前滑體的剩余抗滑力為E'。樁的截而尺寸:長x寬為axb，樁的抗彎剛度為EI。為便于公式的推導(dǎo)，設(shè)樁前滑體地基系數(shù)為K1(z)=mZ，滑而以下錨固體地基系數(shù)為K2(z)=K(常數(shù))。由于抗滑樁有剛性樁和彈性樁〔或稱柔性樁〕之分，它們的受力特點是不同的，因而應(yīng)注意區(qū)分，即應(yīng)先按下式計算出樁的變形系數(shù)：式中b0為樁的計算寬度的單位為m^-1當h2<=1時，為剛性樁;h2>=1時，為彈性樁。如圖1所示，抗滑樁在滑坡推力和土體抗力作用下產(chǎn)生彈性撓曲變形，其受荷段.A)的撓曲微分方程為采用等量分段h由樁頂往下至滑動面將樁長離散化，如圖2(a)(b)所示。那么任意節(jié)點i處的控制差分方程為即由于樁頂自由，故在樁頂處彎矩和剪力均為0，即由得及由得令式〔3〕中i=0，并將式〔4〕和式〔5〕代入，可得令那么式(4)和〔6〕可以表達為仿此，可得將〔8〕(9〕代入〔3〕整理可得上式中令那么式〔10〕仍可寫成式〔7〕的形式?；瑒用嬉韵?，即錨固段可視為樁頂受水平荷載〔集中荷載———剪力和彎矩〕的側(cè)荷樁，其撓曲微分方程為從樁底由下往上至滑動面也采用等量分段h見圖2〔c〕，那么可得該段任意節(jié)點j處的控制差分方程為即樁底按自由端考慮，由彎矩和剪力均為0的邊界條件，同理可得到式〔4〕和式〔5〕。同樣地式(12)中令j=0，可得將式〔4〕和(5)代入上式，整理可得令那么防上2式可得將〔14〕〔15〕代入〔12〕整理可得由于抗滑樁在滑動面處應(yīng)滿足位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力的連續(xù)條件。參照圖2〔b〕，〔c〕，并仿照式〔7〕~〔9〕和式〔13〕~〔15〕，可得到下面的線性方程組解此線性方程組，可求得滑動面處及附近節(jié)點〔上、下段各5個〕處的位移。從而采用迭代法可求得樁身各節(jié)點處的位移及其內(nèi)力。計算結(jié)果及準確度檢驗計算結(jié)果幾乎完全一致，說明本文方法是正確可靠的。傳統(tǒng)的查表手算法在樁底處出現(xiàn)了與邊界條件不完全吻合的剩余誤差，這是由于傳統(tǒng)方法所用表中系數(shù)截斷誤差所致，而差分法那么沒有出現(xiàn)這樣的問題。6結(jié)論可以看出在實際問題中利用有限差分法對實際問題分析求解，再利用相應(yīng)計算機程序如FLAC、UDEC/3DEC和PFC程序，有時也可以根據(jù)自己需要根據(jù)算法編制一個計算程序求出方程組的解從而得出的結(jié)果與查表結(jié)果和實際結(jié)果比照，精確對很高，從而證明了其正確性與