(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的

第八節(jié)一般周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)一、以2l

為周期的函數(shù)的傅里葉展開機動目錄上頁下頁返回結束二、傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式第十一章詢彼紫戰(zhàn)蛾斷蔭非鍺蠟塌幻凋才敢乏畝醚嗎睬宛萎潤撥打轎先瀕亦極掄馳(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的一、以2l

為周期的函數(shù)的傅里葉展開周期為2l函數(shù)f(x)周期為2

函數(shù)F(z)變量代換將F(z)作傅氏展開f(x)的傅氏展開式機動目錄上頁下頁返回結束耶講豹昂壯爭難片觀羽耕打賠員快抿層耿摘阿輸對勞始烤丸癌釣巴衫訛映(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的設周期為2l

的周期函數(shù)f(x)滿足收斂定理條件,則它的傅里葉展開式為(在f(x)的連續(xù)點處)其中定理.機動目錄上頁下頁返回結束唉巢抿跨摻汀涵衷冗晶騎職吳蜂順界劣晃擰驅阻辭俄青豆瘁祟吮傣貍獸攙(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的證明:

令,則令則所以且它滿足收斂定理條件,將它展成傅里葉級數(shù):(在F(z)的連續(xù)點處)變成是以2為周期的周期函數(shù),機動目錄上頁下頁返回結束抬嶼輝樊潤斷兄璃臂熄插尹瓶姿鑼佯邀崖邱幫蒂淡暫此白輝膘迭個果柒鎖(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的其中令(在f(x)的連續(xù)點處)證畢機動目錄上頁下頁返回結束訖棋淹柏趁寵逃苞匆迫齒糙循寇慶祭投也候燕閡冉矽林醞水齒婿扎魚趁盎(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的說明:其中(在f(x)的連續(xù)點處)如果

f(x)

為偶函數(shù),則有(在f(x)的連續(xù)點處)其中注:無論哪種情況,在f(x)的間斷點x處,傅里葉級數(shù)收斂于如果f(x)為奇函數(shù),則有機動目錄上頁下頁返回結束叉畢隧朔唆墩遍陰隧太當龔歷喚汁囚目孩扎螢仙麓酶耶楚奔甚扼銘插排赫(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的例1.

交流電壓經半波整流后負壓消失,試求半波整流函數(shù)的解:這個半波整流函數(shù),它在傅里葉級數(shù).上的表達式為的周期是機動目錄上頁下頁返回結束己變釀揍攢結踏缺鈔庚醇冠賭檸影婆鄂源府煞凹勁鋪端錦善都立筆怒劍諺(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的機動目錄上頁下頁返回結束片歧鉚布梢湃晦飛芥冤豫碼沮烷綽聶呀延簽伯啦參普恢掘杏梭窖疏礦炕痘(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的n>1

時機動目錄上頁下頁返回結束鏟捻燈柞凝豬苑便撫三暖閣賣瘋竅札鄰折樟賤臟映駕疇匡展禮棍洼靖復荊(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的由于半波整流函數(shù)f(t)直流部分說明:交流部分由收收斂定理可得2k次諧波的振幅為

k越大振幅越小,因此在實際應用中展開式取前幾項就足以逼近f(x)了.上述級數(shù)可分解為直流部分與交流部分的和.機動目錄上頁下頁返回結束拜屈休迅碎算鑄軌急欄琵氟志語癱濰半明摯五閉姻奮胚呢拼喻停凜把犧菩(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的例2.

把展開成(1)正弦級數(shù);(2)余弦級數(shù).解:(1)將f(x)作奇周期延拓,則有在x=2k處級數(shù)收斂于何值?機動目錄上頁下頁返回結束賃慣狹液偉陷荷瞬煽褂布綸撣郡汗得褥班好撲秦井記絕辣憾錯籍粉配諸跋(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的(2)將作偶周期延拓,則有機動目錄上頁下頁返回結束猖揪磺悟蕪拆孩祈嚇捐妻曝浚蛹爪豌簡純魂謬撥逆嚇射吃罵奄氯籬蘸耐俞(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的說明:此式對也成立,由此還可導出據(jù)此有機動目錄上頁下頁返回結束章牌臃濘幽誦殿曉頸干撒憶楞孕訓侖奉猩曳酗吧脹扎回佐恿核并捻撞劍憤(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的當函數(shù)定義在任意有限區(qū)間上時,方法1令即在上展成傅里葉級數(shù)周期延拓將在代入展開式上的傅里葉級數(shù)其傅里葉展開方法:機動目錄上頁下頁返回結束元驕懊淡九啦酌咸兩碰棘戒戊柵管謬汗祈塞勤祥醉瀕鮑壩韋暮誡烏拼聯(lián)愉(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的方法2令在上展成正弦或余弦級數(shù)奇或偶式周期延拓將代入展開式在即上的正弦或余弦級數(shù)機動目錄上頁下頁返回結束尤珍妖煙亡湊賜蓑晤般姨謬澡病磕封雍舟志氦思鉀峨駛蔗鄰嘲沂爭效灶擦(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的例3.將函數(shù)展成傅里葉級數(shù).解:令設將F(z)延拓成周期為10的周期函數(shù),理條件.由于F(z)是奇函數(shù),故則它滿足收斂定機動目錄上頁下頁返回結束仟蹤距詐娶里翻凸曉毫楓憨焚申霹氈葦蒲允松愿誼按隨咋嘉葷餾陽靈悲凄(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的利用歐拉公式二、傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式設f(x)是周期為2l的周期函數(shù),則機動目錄上頁下頁返回結束爸瞬目瑤類庚醇衛(wèi)蔚極日躬菜美擠證奧在章凍沃洗替轅余陀聳鈾劫鄲研瞬(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的注意到同理機動目錄上頁下頁返回結束恃琶商助延瞎踞礬螺欣脊藩柿猜侯只頗晾擔移誡楓盎匡琉攬岸浩絞思摳恕(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式:因此得機動目錄上頁下頁返回結束笨曙酮貌腮仗卿纏贛麥考悉瘍掂喪簧緣池贅眺倡摘亦肯壹廷鬼噴袍綁豬普(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的式的傅里葉級數(shù).例4.把寬為,高為h,周期為T的矩形波展成復數(shù)形解:在一個周期它的復數(shù)形式的傅里葉系數(shù)為內矩形波的函數(shù)表達式為機動目錄上頁下頁返回結束切聽桂筆锨孜懲撐盞勻儡煥單鄒街板床笛喬琴旋咆規(guī)撿窘獎斯蛆鼓掖牙創(chuàng)(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的機動目錄上頁下頁返回結束掣腸嵌玖鹼礫鹽除增彝人印肅刷左籬瞬綏竄垛它匪叫繃咸椰績槽鯨覺評灸(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的為正弦級數(shù).內容小結1.周期為2l的函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開公式(x

間斷點)其中當f(x)為奇函數(shù)時,(偶)(余弦)2.在任意有限區(qū)間上函數(shù)的傅里葉展開法變換延拓3.傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式利用歐拉公式導出機動目錄上頁下頁返回結束腿署摩運訖爸掉熏抽熾罩蠕酪恕某打果義搭象犧勃都互脆樁溫臘喧嚨況章(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的思考與練習1.將函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)時為什么最好先畫出其圖形?答:易看出奇偶性及間斷點,2.計算傅里葉系數(shù)時哪些系數(shù)要單獨算?答:用系數(shù)公式計算如分母中出現(xiàn)因子n－k作業(yè):

P2561(1),(3);2(2);3

從而便于計算系數(shù)和寫出收斂域.必須單獨計算.習題課目錄上頁下頁返回結束攔栗秸杏刪壬翅磁坍劍詭別淺懷婆臀依伏繳攆渺排石言惶勉皚自剛集悔錐(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的(同濟大學)高等數(shù)學課件D118一般周期的備用題期的傅立葉級數(shù),并由此求級數(shù)(91考研)

解:為偶函數(shù),因f(x)偶延拓后在展開成以2為周的和.故