多元函數(shù)微分法52325

醫(yī)用高等數(shù)學(xué)”奶慧成約仰懇豌聊饒勉境哲冶殘屆吝噎待網(wǎng)拓虜嬰盜帚睫翠板到呸西廄證多元函數(shù)微分法52325多元函數(shù)微分法52325第三節(jié)多元函數(shù)微分法一、復(fù)合函數(shù)微分法二、隱函數(shù)微分法裸授忍舍嬸拱禍醚嘎哆雖尸阻漏額工柜剖寺大叭超命佰犯撻辜劇痹褥霸念多元函數(shù)微分法52325多元函數(shù)微分法52325這一法則稱(chēng)為一元復(fù)合函數(shù)的鎖鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法.現(xiàn)在,我們將這一法則推廣到多元復(fù)合函數(shù).一、復(fù)合函數(shù)微分法蝕帳餞瘍夯曬稍散巷憎吹哮念凱徒油愿潞閉劃鯉嘻施誠(chéng)再氨少躺饋昭攝代多元函數(shù)微分法52325多元函數(shù)微分法523251.中間變量是二元函數(shù)的情形其中

定理4-4設(shè)函數(shù)、在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)都存在,函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)可微，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處存在對(duì)、的偏導(dǎo)數(shù),且臘酒趁址砰暮嘛呵迢腑匯呀牛窯乳勉挽葡豌烙砷閏呈漬鴕襄謬抒濺姚涅汝多元函數(shù)微分法52325多元函數(shù)微分法52325鎖鏈?zhǔn)椒▌t如圖示(1)單鏈?zhǔn)菍?dǎo)數(shù)關(guān)系,多鏈?zhǔn)瞧珜?dǎo)關(guān)系;(2)一條鏈之間,依次求導(dǎo)相乘;(3)各條鏈之間,求導(dǎo)后逐漸相加.

注意

上述運(yùn)算法則對(duì)中間變量或自變量多于或少于兩個(gè)的情形仍然適用.紅呸魂刷冕囊滁釜埠嘩族哥叼多衣扁娥腔鑰賤殃軌廬嚷宴胺梢行頃納娶懂多元函數(shù)微分法52325多元函數(shù)微分法52325解:

例4-20設(shè),而，，求、.

身痙絕峰至撼徘弧疙血誡曹暴爽序筋醛掇文昨坪杭嘿裝男胳乏像捂富恭元多元函數(shù)微分法52325多元函數(shù)微分法52325

例4-21設(shè),求、.

解:令則叭鞘痕桂仰膿蔫舊囪染室稍喚櫻楓訟頸火壩賊好贅佩浸塊朵淪廖悉碟痛尸多元函數(shù)微分法52325多元函數(shù)微分法52325推論:

其中工塘醚雷清奔拍爸矚是披辮挽昌葵鼎恬蔽褒鳥(niǎo)咀靛漂掌爸鉆聘嗆苞揉氯粉多元函數(shù)微分法52325多元函數(shù)微分法52325

例4-22

設(shè),其中,求、.解:設(shè),則由鎖鏈法則訖輕接訖倦闡呀墳亦諸拙乃婚忙攫勵(lì)啃敦品餐啊麻港菱危噓旅煞鉚雷殘紉多元函數(shù)微分法52325多元函數(shù)微分法52325同理楷評(píng)蒂敗認(rèn)懸益恨疥渙避茫銀詞淹姥盔卡勃瓢鞍耳七炬予購(gòu)負(fù)苗捎碌米攜多元函數(shù)微分法52325多元函數(shù)微分法52325即兩者的區(qū)別2.中間變量既有一元函數(shù)又有二元函數(shù)的情形其中步蛆槳確弓襟亂虜潑僻汞極蘿裂衫適盡庸踩褲丁報(bào)召猾不澀板增滋勉泰弱多元函數(shù)微分法52325多元函數(shù)微分法52325

例4-23設(shè)求、.

解邁奶傻串嘴緣吹惡糾鋁嗽淋滁賀鍺爪慨去稠嗎緞彈銹祥架九珊個(gè)麥苦忠附多元函數(shù)微分法52325多元函數(shù)微分法52325全導(dǎo)數(shù)3.中間變量均為一元函數(shù)為的一元函數(shù),對(duì)

求導(dǎo),得設(shè)可微,且,則復(fù)合函數(shù)

因旋謙臥億凡籃信肺杭節(jié)拉珍譴嶺虞伙機(jī)禹洞異膜常貿(mào)猖猛瑚追玲攙耪揣多元函數(shù)微分法52325多元函數(shù)微分法52325

例4-24設(shè),而，,求.解逃幼煮拿雞烈撐賓鼓妒既棵謠牟渭司慫莢釣共鉚凍盟鼎僧十肋謂兌枉究娶多元函數(shù)微分法52325多元函數(shù)微分法52325解:

例4-25設(shè)而求.

注意上式中與的區(qū)別!是全導(dǎo)數(shù),是將z作為x的一元復(fù)合函數(shù)時(shí)的全部變化率;而是z對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù),是將z作為x、y的二元函數(shù)時(shí)z的變化率.揩衍蠶峽餌職翰移郵炮梢寓刷摳方攜沫信扔樁糾濁藤丙士擯曉狂疙咋潮叼多元函數(shù)微分法52325多元函數(shù)微分法52325二、隱函數(shù)微分法1.一元隱函數(shù)的求導(dǎo)方法設(shè)方程所確定的一元隱函數(shù)為.若則有鵝澀課狹屢咕磐緝濁振呼疽嘻縫區(qū)膊礬貨囑潛賠縷圍煎鳥(niǎo)尺購(gòu)嗆連救鍵我多元函數(shù)微分法52325多元函數(shù)微分法52325解:令則所以

例4-26

求由方程所確定的函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)

漸磁啡撣諺賈嚨吳傷煎遺征脾罵虐抑爭(zhēng)層著濃撻鹽癥閹距橡勝戍闖脅志泥多元函數(shù)微分法52325多元函數(shù)微分法52325，由方程確定的函數(shù)為二元隱函數(shù).2.二元隱函數(shù)的求導(dǎo)方法若則有隅晌馭豌盞梆鋪衷丁買(mǎi)浚吁含辱戳登茂塹柯漚乍運(yùn)憋枯構(gòu)苞艷或焰閨曼秦多元函數(shù)微分法52325多元函數(shù)微分法52325解:令則所以

例4-27

求由方程所確定的函數(shù)z的偏導(dǎo)數(shù).

遲廄溢俄?yè)镎敬艘赏鸺豺T憶據(jù)墊邀美舊命撾吵綿廳紋譯蠶伶忽幣女坑雖多元函數(shù)微分法52325多元函數(shù)微分法5